数理逻辑期末复习题
数理逻辑复习题
一、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。
3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ⌝→(3) Q P →⌝ ⑷ P Q ⌝→⌝()P Q ⌝∧ 提示：()R P Q P Q ⇔⌝∧⇔→⌝4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧⇔ ⑵()P P Q P ∧∨⇔ ⑶()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨ ⑷()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ⇒∧ ⑵ P Q P ⇒∨ ⑶ ()Q P Q ⌝⇒⌝→⑷Q Q P ⌝⇒→⌝)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ↔6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∃→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ∀∧∀→ (3) (()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∃→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ∃∧∀→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →∀ ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀ ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的 x 是⑶⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ∀∨⇒∀∨∀ ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∧⇒∃∧∃ (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ∀∧⇔∀∧∀ ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ∃∨⇔∃∨∃10、下列推导错在⑶①)(y x y x >∃∀ P ②)(y z y >∃ US ① ③)(z C z > ES ② ④)(x x x >∀UG ③⑴② ⑵③ ⑶④ ⑷无 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ∀∃ P ②),(y z yF ∃ US ① ③),(c z F ES ② ④),(c x xF ∀ UG ③ ⑤),(y x xF y ∀∃EG ④ ⑴①→② ⑵②→③ ⑶③→④ ⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ∀∃去掉量词后，可表示为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧ ⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨ (3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ ⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨ 提示：原式()()()()()()()(),,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ⇔∃∧∃⇔∨∧∨二、填充题1、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n种。
篇数理逻辑复习题
篇数理逻辑复习题第一篇数理逻辑复习题第1章命题逻辑一、单项选择题1. 下列命题公式等值的是( )B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A (3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( )(A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )．(A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )．(A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为( )Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A (二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的真值是5. 命题公式P →?(P∧Q )的类型是．6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是式(重言式、矛盾式或可满足式)三、解答化简计算题1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型．3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值．(2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值．4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式.6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值．7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．8. 将命题公式)(P R Q P →?∧?∧?化为只含∨和?的尽可能简单的等值式．9. 求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．参考答案一、1. C 2. D 3. B 4. A 5. D 6. B二、1. 1,0；1,1 2. )(Q P ∧?或Q P ?∨? 3. (P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧?R )4. 05. 非永真式的可满足式6. 重言三、1. (1) 是命题，真值为1. (2) 是命题，真值为0. (3), (4)不是命题. (5) 是命题.1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值.(1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数.(3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人.2. 命题公式的真值表原式为可满足式.3. (1) (P ∨?Q )→(P ∧Q )?(?P ∧Q )∨(P ∧Q )?(?P ∨P )∧Q ?Q可见(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值为(0,1)，(1,1)．(2) ))()(()(Q R Q P R P →?∨?→?∧?0))10()01(()10(?→∨→∧??4. ))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧P Q P Q P ∧?∧?∨∧?)()()()(P P Q P Q P ∧?∧?∨∧∧?0)(∨∧?Q PQ P ∧?5. ))()((Q P P Q P ∧?∧→→))()((Q P P Q P ∧?∧∨?∨??)())(Q P P Q P Q P ∧?∧∨∧?∧?∨??)00(∧∨??P)(Q Q P ?∧∨??)()(Q P Q P ?∨?∧∨??6. R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((R P R Q P P R Q ∨?∨∨∧∨∨??)()(R P Q Q R P ∨?∧?∨∨?)(1?7. )()()()(Q P Q P Q P Q P ?∨?∧?∧??→∧→?Q P ?∧?因为成真赋值是（1，0），故成假赋值为（0，0），（0，1），（1，1）8. ))()()(R P Q P P R Q P ∨∧∨??→?∧?∧?))()((R P Q P ∨?∨∨??不唯一．9.四、证明题1. 证明S S P R R Q Q P ∨∧?∧∨?∧→)()()(①?Q ∨R P②?R P③?Q T ①，②析取三段论④P →Q P⑤P ? T ③，④拒取式⑥P ∨?S P⑦?S ⑤，⑥析取三段论2. 构造推理证明：S R Q P R S Q P →?∧→∧→→)())((.前提：Q P R S Q P ,)),((→→→结论：S R →证明：① R 附加前提② R →P 前提引入③ P ①，②假言推理④P →(Q →S ) 前提引入⑤ Q →S ③,④假言推理⑥ Q 前提引入⑦ S ⑤,⑥假言推理3. 证明命题公式(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q 与?（P ∨?Q ）等值．证明:(P →(Q ∨?R ))∧?P ∧Q ?(?P ∨(Q ∨?R ))∧?P ∧Q(?P ∧?P ∧Q )∨(Q ∧?P ∧Q )∨(?R ∧?P ∧Q )(?P ∧Q )∨(?P ∧Q )∨(?P ∧Q ∧?R )P ∧Q(P ∨?Q )4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．证明.方法1．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?∨∧??Q R P )(Q R P →∧)(因为两命题公式等值，由主合取范式的惟一性，可知两命题公式的主合取范式是相同．4. 证明命题公式)()(Q R Q P →∨→与Q R P →∧)(有相同的主析取范式．方法2．)()(Q R Q P →∨→?)()(Q R Q P ∨?∨∨?R Q P Q R P ?∨∨??∨?∨??R Q P Q R P Q R P ?∨∨??∨?∨??→∧)(因为它们的主合取范式相同，可知它们的主析取范式也相同．第2章谓词逻辑一、单项选择题1. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中量词?x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ?∨? (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ?∨ (D) )(x Q2. 谓词公式?xA (x )∧??xA (x )的类型是（）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 不属于(A ),(B ),(C )任何类型3 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+??y x y x (B) )0(=+??y x x y(C))0(=+??y x y x (D) )0(=+y x y x4 设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为( )(A) ),()(y x A x xL →? (B) ))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→?(C) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? (D) )),()()((y x A y J x L y x →∧??5. 设个体域是整数集合，P 代表?x ?y ((x <="" )→(x="" -y=""(A) P 是真命题 (B) P 是逻辑公式，但不是命题(C) P 是假命题 (D) P 不是逻辑公式6. 表达式))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ?→?∧∨?中x ?的辖域是( ) (A) P (x ,y ) (B)R (x ,y ) (C)P (x ,y )∧R (x ,y ) (D) P (x ,y )∨Q (z )二、填空题1. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 .2. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ?→?消去量词化为3. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为4. 谓词公式?x (F (x )→G (x ))∧??y (F (y )→G (y ))的类型是．5. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则?x (P (x )∨Q (x ))的真值是三、解答化简计算题1. 判别谓词公式),(),(y x xF y y x yF x ??→??的类型.2. 指出谓词公式)())()),()(((x S x xR y x Q x P x ∧?∧→?中?x 和?x 的辖域，并指出该公式的约束变元和自由变元以及约束出现次数和自由出现次数．3. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→?的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．4.说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式(永真式)．5. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?6. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?的前束范式.四、证明题1. 试利用代换实例证明谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式(永真式)．2. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →→?．（提示：))()(()()(x B x A x x xB x xA ∨∨?.)参考答案一、1. C ；2.. B ；3 A ；4. B ；5. A 6. D二、1. A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) 2. (G (a )→(H (a ,a )∨H(a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))3. ))()(())()((x N x Z x x Z x N x ?∧?∧→?4. 永假式5. 1三、1.设I 为任意一个解释，D 为I 的个体域. 若在解释I 下，该公式的前件为0，无论),(y x xF y ??如何取值，),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1；若在解释I 下，该公式的前件为1，则,0D x ∈?使得),(y x yF ?为1，它蕴含着),(,0y x F D y '∈'?为1),(y x xF '??为1，由y '的任意性，必有),(y x xF y ??为1，于是),(),(y x xF y y x yF x ??→??为1.所以，),(),(y x xF y y x yF x ??→??是永真式．2. ?x 的辖域为：P (x )→Q (x ,y )∧?xR (x )x 的辖域为：R (x )x 既是约束变元，也是自由变元，约束出现3次，自由出现1次．y 是自由变元，自由出现1次．3. ))(())((a f R x Q P x ∧→? =))5(())5(())1(())3((f R Q P Q P Q P ∧→∧→∧-→=)3()11()01()01(-∧→∧→∧→R01100=∧∧∧=4. 已知1)()(?∨?∨??∨?∨??→→P Q P P Q P P Q P因为))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是)(P Q P →→的代换实例，可知))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式．或))(),(()(x xP y x yG x xP ?∨??∨??1)(),()(?∨??∨x P y x yG x xP5. ?→?))()((x Q x P x )()((x Q x P x ∨??))()(x xQ x P x ?∨)()(x xQ x xP ?∨)()(x xQ x xP ?→??6. ),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?∨),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),((z y x zH v u vG y u F u ?∧?∨)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧∨(或)),,()),(),(((z y x H v u Q y u F z v u ∧→)四、1.谓词公式))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→? 是命题公式)(P Q P →→ 的代换实例．因为命题公式∨?∨??→→P Q P P Q P )( 1 是永真式，故))(),(()(x xF z x zG y x xF ?→??→?是逻辑有效式．2.前提：)()(x xQ x xP ?→?．结论：)()(x xQ x xP ?→?．证① )()(x xQ x xP ?→? 前提引入② )()(x xQ x xP ?∨?? T ①,蕴含等值式③ )()(x xQ x P x ?∨?? T ②,量词否定④ ))()((x Q x P x ∨??⑤ ))()((x Q x P x →? T ④,蕴含等值式。
数理逻辑复习题
数理逻辑复习题随着现代科学的发展，数理逻辑作为一门重要的学科被广泛应用于各个领域。
它不仅是数学、计算机科学和哲学的重要基础，也在日常生活中发挥着重要的作用。
为了帮助大家复习数理逻辑，以下是一些数理逻辑的复习题。
一、命题逻辑1. 下列命题属于复合命题的是：a) 数学是一门有趣的学科。
b) 如果我下周一有空，我们可以一起去看电影。
c) 2+2=4且1+1=2。
d) 今天天气晴朗。
2. 根据以下命题，判断哪些命题是真命题，哪些命题是假命题：a) 如果今天下雨，那么昨天是晴天。
b) 数学是一门艺术。
c) 2+2=4或1+1=3。
d) 所有的狗都有四条腿。
3. 假设P表示“今天下雨”，Q表示“明天下雨”，R表示“后天下雨”，用逻辑运算符表示以下命题：a) 后天不会下雨。
b) 如果今天下雨，那么明天也会下雨。
c) 明天下雨是必要条件，但不是充分条件。
d) 今天不下雨是充分条件，但不是必要条件。
二、谓词逻辑1. 根据下列谓词逻辑公式，判断每个公式是否为真：a) (∀x)(P(x) ∧ Q(x))b) (∃x)(P(x) ∨ Q(x))c) (∀x)(P(x) → Q(x))d) (∃x)(P(x) → Q(x))2. 给定谓词逻辑公式(∀x)(P(x) ∧ Q(x))，假设P(x)表示“x是奇数”，Q(x)表示“x是偶数”，判断公式的真假。
三、命题演算1. 使用命题演算的推理法则，证明以下结论：a) (P ∧ Q) → Pb) P → (P ∨ Q)c) (P → Q) ∧ P → Qd) (P ∨ Q) ∧ ¬P → Q2. 给定命题P表示“我学习数理逻辑”，Q表示“我能解决复杂问题”，将以下陈述转化为蕴含式（蕴含式形式为“If A, then B”）：a) 如果我学习数理逻辑，那么我能解决复杂问题。
b) 我不能解决复杂问题是一个充分条件，但不是必要条件。
四、命题等价1. 判断以下两个命题是否等价：a) P ∨ (Q ∧ R)b) (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)2. 利用逻辑运算法则，将命题(~P ∨ Q) ∧ (~Q ∨ P)进行化简。
数理逻辑复习题
离散数学期末复习题2012-6-161.“太阳系以外的星球上有生命。
”是命题。
（ T ）2．ρ（A⋃B）=ρ（A）⋃ρ（B）（ F ）ρ（A∩B）=ρ（A）∩ρ（B）（ T ）3．一个命题的合取范式不是唯一的。
（ T ）4．等价式⌝（∃x）A（x）⇔（∀x）⌝A（x）成立。
( T )5．（∀x）（P（x）∨Q（x））∧ R（x）是命题。
（ F ）8．对于一个谓词公式，指定不同的个体域，则其真值不一定相同.T9. 若命题公式A的主析取范式包含全部的极小项，则A为永真式T10．命题“他在教室看书或在宿舍看书。
”可以符号化为P∨ S。
F11．当个体域S=｛a,b,c｝消去公式(∀x) P(x)∨(∃x)Q(x)中量词为(P(a)∨Q(a)) ∧ (P(b)) ∨Q(b)) ∧ (P(c)∨Q(c)) F12. 设P、Q是两个命题，当且仅当P、Q的真值均相同时，P↔Q的值为T. T13. 命题公式(P∧(P→ Q)) → Q是永真式. T14．命题联结词集｛∨、∧｝是极小功能完备的联结词集. F15．(A ≠Φ) ∧ (B ≠Φ) ⇒ (A ⋂ B ≠Φ ) F16. （P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是矛盾式。
F17. ∃xA(x) ∨∃x B(x) ⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) T19. 若关系R不具有对称性则R一定具有反对称性 F22. 设A、B、C是任意集合，且C-B = C-A，则A=B 。
F23. 设A、B和C为任意集合，且A∪B=A∪C，则B=C. F24．若R和S是X上具有对称性的关系，则R º S也具有对称性。
F25．若R和S是X上的具有对称性的关系，则R ∩S具有对称性。
T26．∃xA(x)∨∃x B(x)⇒∃x ( A(x) ∨ B(x)) （F ）27．（P ↔ Q）→┐（ P ∨Q）是可满足式。
（ F）28．｛｝=｛φ｝（ F ）二、填空题1．已知B={ {a，b}，c}，则B的幂集ρ（B）= { B ,Φ,{{a，b}}，{c} }2．已知A={1，2，3，4，5，6，7}，B={2，4，6，8，10}，则A-B= {1,3,5,7,} ,A + B= {1,3,5,7, 8,10} 。
数理逻辑复习题
数理逻辑复习题⼀、选择题1、永真式的否定是（2）(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满⾜式 (4) (1)--(3)均有可能2、设P ：2×2=5，Q ：雪是⿊的，R ：2×4=8，S ：太阳从东⽅升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。
3、设P ：我听课，Q ：我看⼩说，则命题R “我不能⼀边听课，⼀边看⼩说”的符号化为⑵⑴ P Q →⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧提⽰：()R P Q P Q ??∧?→?4、下列表达式错误的有⑷⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨?⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷⑴ P P Q ?∧⑵ P Q P ?∨⑶ ()Q P Q →⑷Q Q P →?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3)⑴∧⑵∨ (3)→⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是⼈，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的⼈喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→(3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是⽼师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些⽼师”的逻辑符号化为⑵⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧??8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶⑴⾃由变元⑵约束变元⑶既是⾃由变元⼜是约束变元⑷既不是⾃由变元⼜不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()xA xB x xA x xB x ?∨??∨? 10、下列推导错在⑶①)(y x y x >?? P②)(y z y >? US ①③)(z C z >ES ②④)(x x x >? UG ③⑴②⑵③⑶④⑷⽆ 11、下列推理步骤错在⑶①(,)x yF x y ?? P②),(y z yF ? US ①③),(c z F ES ②④),(c x xF ?UG ③⑤),(y x xF y ?? EG ④⑴①→②⑵②→③⑶③→④⑷④→⑤12、设个体域为{a,b}，则(),x yR x y ??去掉量词后，可表⽰为⑷⑴()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∧∧∧⑵()()()(),,,,R a a R a b R b a R b b ∨∨∨(3) ()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨⑷()()()()()()b b R a b R b a R a a R ,,,,∨∧∨提⽰：原式()()()()()()()() ,,,,,,yR a y yR b y R a a R a b R b a R b b ??∧??∨∧∨⼆、填充题1、⼀个命题含有n 个原⼦命题，则对其所有可能赋值有2n 种。
数理逻辑复习题
数理逻辑复习题复习要求： 掌握命题、逻辑联结词的概念；公式与解释的概念，用基本等价式化简其他公式；会用真值表法和主范式判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法判断公式的类型；公式蕴涵与逻辑结果的概念；形式演绎方法..一阶逻辑的基本概念，一阶逻辑公式及其解释，等值演算，推理理论；一阶逻辑公式的三种类型，即逻辑有效式（永真式），矛盾式和可满足式；用联结词产生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系生复合命题的方法；公式在解释下的真值；公式范式的概念；形式演绎和蕴涵的关系..命题逻辑与一阶逻辑推理理论理理论. .一、命题逻辑部分1、填空题.⑴ 公式（p ÙØq ）Ú（Øp Ùq ）的成真赋值为）的成真赋值为 01，10 .⑵ 设p 、r 为真命题，q 、s 为假命题，则复合命题（p ®q ）«（Ør ®s ）的真值为）的真值为 0 . ⑶ 设p 、q 为命题，在为命题，在 p 、q 不能同时发生不能同时发生 条件下，p 与q 的排斥或也可以写成p 与q 的相容或.⑷ 设A 为任意公式，B 为重言式，则A ÚB 的类型是的类型是 重言式重言式⑸ 设A 是含命题变项p 、q 、r 的重言式，则公式A Ú（（p Ùq ）®r ）的类型为重言式.⑹ 设B 是含命题变项p 、q 、r 的矛盾式，则公式B Ù（（p «q ）®r ）的类型为矛盾式）的类型为矛盾式 . ⑺ 矛盾式的主析取范式是矛盾式的主析取范式是 0 .⑻ 重言式的主合取范式是重言式的主合取范式是 1 .⑼ 设公式A 含命题变项p 、q 、r 已知A 主合取范式是M 0ÙM 2ÙM 5ÙM 6，则A 的主析取范式是的主析取范式是 .⑽ 已知公式Ø（q ®p ）Ùp 是矛盾式，则公式Ø（q ®p ）Ùp ÙØr 的成真赋值是的成真赋值是 成假赋值 .⑾已知公式（p ®（p Úq ））Ù（（p Ùq ）®p ）是重言式，公式p ®（p Úq ）及（p Ùq ）®p 类型是 .⑿已知公式（p Ùq ）®p 是重言式，则公式（（p Ùq ）®p ）Úr 的成真赋值是的成真赋值是 成假赋值 .⒀（A ®B ）ÙØB Þ 为拒取式推理定律.⒁（A ÚØB ）ÙB Þ 为析取三段论推理定律.⒂（ØA ®B ）Ù（B ®ØC ）Þ 为假言三段论推理定律.⒃（ØA ®ØB ）ÙØA Þ 为假言推理定律.2、将下列命题或语句符号化. ⑴ 说7不是无理数是不对的. ØØp （p ）⑵ 小刘既不怕苦，又很钻研. Øp Ùq⑶ 只有不怕困难，才能战胜困难只有不怕困难，才能战胜困难 q ®Øp⑷ 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非问题解决了. Ør ®（p ®q ）；（Ør Ùp ）®q 或Øq ®（Øp Úr ） ⑸ 整数n 是偶数当且仅当n 能被2整除. p «q ⑹ 若地球上没有树木，则人类不能生存. q p Ø®Ø⑺ 若422=+，则地球是静止不动的. q p ®3、求下列复合命题真值. P ：2能整除5，q ：旧金山美国的首都，r ：一年有四季：一年有四季⑴（（p Úq ）®r ）Ù（r ®（p Ùq ）⑵（（Øq «p ）®（r Úp ））Ú（（Øp ÙØq ）ÚØr ）4、判断下面一段论述是否为真：“3是无理数.并且，如果3是无理数，则2也是无理数.另外，只有6能被22⑥ p ÙØq ®r 前提引入前提引入⑦ r ⑤ ⑥假言推理⑥假言推理二、一阶逻辑部分1.在一阶逻辑中将下列命题符号化.⑴ 所有的整数，不是负整数，就是正整数，或者是零. 解 F （x ）：x 是整数G （x ）：x 是正整数H （x ）：x 是负整数L （x ）：x 是0 "x （F （x ）® G （x ）ÚH （x ）ÚL （x ））或"x （F （x ）ÙØ G （x ）®H （x ）ÚL （x ）） ⑵ 有的实数是有理数有的实数是无理数. 解 F （x ）：x 是实数是实数 G （x ）：x 是有理数是有理数H （x ）：x 是无理数是无理数 $x （F （x ）ÙG （x ））Ù$y （F （y ）Ù H （y ）） ⑶ 不存在能表示成分数无理数. 解 F （x ）：x 能表示成分数能表示成分数 G （x ）：x 是无理数是无理数Ø$x （G （x ）Ù F （x ））Û"x （G （x ）®Ø F （x ）） ⑷ 若x 、y 都是实数，且x>y ，则x+2>y+2. 解 F （x ）：x 是实数是实数 H （x ，y ）：x>y "x "y （F （x ）ÙF （y ）Ù H （x ，y ）® H （x+2，y+2）） ⑸不存在最大的自然数. 解 F （x ）：x 是自然数是自然数 H （x ，y ）：x>y Ø$x （F （x ）Ù"y （F （y ）® H （x ，y ））⑹ 在北京卖菜的人不全是外地人. 解 设)(x M ：x 是外地人. )(x F ：x 在北京卖菜. 则符号化为))()((x F x M x ÙØ$. ⑺ 设：)(x M ：x 是火车. )(x H ：x 是轮船. )(x F ：x 是汽车. ),(y x G ：x 比y 快. 则“火车都比轮船快.”符号化为)),()()((y x G y H x M y x ®Ù"". 则“有的火车比有的汽车快.”符号化为)),()()((y x G y F x M y x ÙÙ$$. 则“不存在比所有火车都快的汽车.”符号化为)))),()(()(((y x G y M y x F x ®"Ù$Ø. 4、 指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现：指出下列公式中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现：（1）)),()((y x G x F x ®"解 x "的辖域：),()(y x G x F ®.x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. （2）),(),(y x yG y x xF $®"解 x "的辖域：),(y x F .x 是指导变元. x 是约束出现，y 是自由出现. y $的辖域：),(y x G .y 是指导变元. x 是自由出现，y 是约束出现. 5、 证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）))),()(()((y x H y G y x F x Ù$®"证明1解释1I ：R D =，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x . ))),()(()((y x H y G y x F x Ù$®"指对任意正数x ，存在负数y ，使得0=+y x .在该解释下，命题为“真”. 2解释2I ：}3,2,1{-=D ，)(x F ：x 是正数.)(y G ：y 是负数.),(y x H ：0=+y x .则对1=x 时，不存在负数D y Î，使0=+y x ，故在该解释下，命题为“假”，所以（1）公式既不是永真式也不是矛盾式. （2）)),()()((y x H y G x F y x ®Ù""6、设个体域},,{c b a D =，消去下列各式的量词：，消去下列各式的量词：（1）))()((y G x F y x Ù$")))()(((y G a F y Ù$Û)))()(((y G b F y Ù$Ù)))()(((y G c F y Ù$ÙÚÙÛ))()(((a G a F ÚÙ))()((b G a F ÙÙ)))()((c G a F ÚÙ))()(((a G b F ÚÙ))()((b G b F ÙÙ)))()((c G b F ÚÙ))()(((a G c F ÚÙ))()((b G c F )))()((c G c F Ù（2）))()((y G x F y x Ú"")))()(((y G a F y Ú"Û)))()(((y G b F y Ú"Ù)))()(((y G c F y Ú"ÙÙÚÛ))()(((a G a F ÙÚ))()((b G a F ÙÚ)))()((c G a FÙÚ))()(((a G b F ÙÚ))()((b G b F ÙÚ)))()((c G b FÙÚ))()(((a G c F ÙÚ))()((b G c F )))()((c G c F Ú7、求前束范式⑴Ø$x "yF （x ，y ）（Û "x $y ØF （x ，y ））⑵（$xF （x ，y ）®"yG （x ，y ，z ））®$z H （z ）. （Û$x $y $z （F （x ，t ）®G （u ，y ，v ）®H （z ）））⑶Û"®"),()(y x yG x xF ),()(y z yG x xF "®")),()((y z G x F y x ®"$Û⑷ Û$®")),,(),((z y x yG y x F x Û$®")),,(),((z y x yG t x F x )),,(),((z y x G t x F y x ®$" ⑸ Û$«"),(),(y x xG y x xF ),(),(y z zG t x xF $«")),(),(()),(),((t x xF y z zG y z zG t x xF "®$Ù$®"Û)),(),(()),(),((h r rF g s sG y z G t x F z x "®$Ù®$$Û)),(),(()),(),((h r F g s G r s y z G t x F z x ®""Ù®$$Û))),(),(()),(),(((h r F g s G y z G t x F r s z x ®Ù®""$$Û8、在自然推理系统在自然推理系统N L 中构造下面推理的证明. ⑴前提：$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ）），$xR （x ）®$yG （y ）结论：$x （ F （x ）Ù R （x ））®$x H （x ）证明1 ⑴ $x （ F （x ）Ù R （x ））⑵ F （c ）Ù R （c ）⑶ F （c ）⑷ R （c ）⑸ $x F （x ）⑹$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ））⑺ "y （G （y ）®H （y ））⑻ G （c ）®H （c ）⑼R （c ）⑽$x R （x ）⑾$xR （x ）®$yG （y ）⑿$yG （y ）⒀G （c ）⒁H （c ）⒂$x H （x ）证明2： ⑴$x （ F （x ）Ù R （x ））⑵$x F （x ）Ù$x R （x ））⑶$x F （x ）⑷$xF （x ）®"y （G （y ）®H （y ））⑸"y （G （y ）®H （y ））⑹G （c ）®H （c ）⑺$xR （x ）®$yG （y ）⑻$x R （x ））⑼$yG （y ）⑽G （c ）⑾H （c ）⑿$x H （x ）⑵人都喜欢吃蔬菜.但说所有的人都喜欢吃鱼是不对的.所以存在只喜欢吃蔬所以存在只喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的人. F （x ）：x 是人是人G （x ）：喜欢吃蔬菜：喜欢吃蔬菜 H （x ）：喜欢吃鱼：喜欢吃鱼前提："x （F （x ）®G （x ）） Ø"x （F （x ）®H （x ））结论：$x （ F （x ）Ù G （x ）ÙØH （x ））证明：证明： ⑴⑴ Ø"x （F （x ）®H （x ）） ⑵$ x Ø（F （x ）®H （x ））⑶$ x （F （x ）ÙØH （x ））⑷F （c ）ÙØH （c ）⑸"x （F （x ）®G （x ））⑹F （c ）®G （c ）⑺ F （c ）⑻ G （c ）⑼F （c ）ÙØH （c ）Ù G （c ）⑽$x （ F （x ）Ù G （x ）ÙØH （x ））⑶任意三角形的内角和等于1800，ABC 三角形，则ABC 的内角和等于1800. 证明 设F （x ）：x 是三角形是三角形 G （x ）：x 的内角和等于1800 a ：ABC 前提："x （F （x ）®G （x ）） F （a ）结论：结论： G （a ）证明：证明： ⑴"x （F （x ）® G （x ）） ⑵F （a ）® G （a ）⑶F （a ）⑷G （a ）（4）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车.每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车.有的人不喜欢乘汽车.所以有的人不喜欢步行.（个体域为人类集合）. 证明 设F （x ）：x 喜欢步行喜欢步行 G （x ）：x 喜欢骑自行车喜欢骑自行车 H （x ）：x 喜欢乘车喜欢乘车｛"x （F （x ）®Ø G （x ）），"x （G （x ）Ú H （x ），$x ØH （x ））®$x ØF （x ）① $x ØH （x ）② ØH （c ）③ "x （G （x ）Ú H （x ））④ G （c ）Ú H （c ）⑤ G （c ）⑥ "x （F （x ）®Ø G （x ））⑦ F （c ）®Ø G （c ）⑧ Ø F （c ）⑨$x ØF（x）(5)每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而有聪明的人在他的事业中都将获得成功.王大海是科学工作者，并且是聪明的所以王大海在他的事业中将获得成功（个体域为人类集合）. 聪明喜欢钻研 H（x）：x聪明证明设F（x）：x是科学工作者是科学工作者 G（x）：x喜欢钻研W（x）：x事业成功：王大海事业成功 a：王大海｛"x（F（x）®G（x）），"x（G（x）ÙH（x）®W（x）），F（a），H（a）｝®W（a）①"x（F（x）®G（x））②F（a）®G（a））③"x （G（x）ÙH（x）®W（x））④G（a）ÙH（a）®W（a）⑤F（a）⑥G（a）⑦H（a）⑧G（a）ÙH（a）⑨W（a）。
数学逻辑期末试题及答案
数学逻辑期末试题及答案1. 题目：逻辑推理试题：Jack，Tom和John是三位朋友，他们分别住在红、蓝、绿三座房子中，其中一座房子是红色的、一座是蓝色的、一座是绿色的。
另外，他们每人都有一辆汽车，其中一台是红色的、一台是蓝色的、一台是绿色的。
已知以下条件：1) Tom住在红色房子里。
2) Jack的汽车是蓝色的。
3) 绿色房子和红色房子之间有一座空房子。
根据以上条件，请回答以下问题：a) Jack住在哪座房子里？b) John的汽车是什么颜色？解答：a) 根据条件2，Jack的汽车是蓝色的，而根据条件3，绿色房子和红色房子之间有一座空房子。
由于题目中已经确定Tom住在红色房子里，所以Jack只能住在蓝色房子里。
b) 根据条件1，Tom住在红色房子里，根据条件3，绿色房子和红色房子之间有一座空房子。
由于每人都有一辆汽车且其中一台是绿色的，所以John的汽车是绿色的。
2. 题目：数学运算试题：解方程：2x + 5 = 15计算：20 ÷ 4 × 5解答：解方程：2x + 5 = 15首先，将方程中的常数项5移到等号右边，则得到2x = 15 - 5，即2x = 10。
然后，将等号两边的系数2除以2，得到x = 10 ÷ 2，即x = 5。
因此，方程的解为x = 5。
计算：20 ÷ 4 × 5首先，按照数学运算的优先级，先进行除法运算，得到20 ÷ 4 = 5。
然后，将得到的结果5与乘法运算的另一操作数5相乘，即5 × 5 = 25。
因此，20 ÷ 4 × 5的计算结果为25。
3. 题目：概率问题试题：一面硬币投掷三次，求出现至少一次正面的概率。
解答：一面硬币投掷三次，总共有2^3 = 8种可能的结果，即正面和反面各出现0次、1次、2次和3次的情况。
要求出现至少一次正面的概率，即求出现1次、2次或3次正面的概率之和。
数理逻辑复习题
数理逻辑练习题1. 下列表达式正确的有( )A. (P Q) QB. P QPC.(P Q) (P Q) PD. P (P Q) T2. 下列推理步骤错在( )① x(F(x) G(x)) P② F(y) G(y) USD③xF(x) P④ F(y) ES③⑤ G(y) T②④I⑥xG(x) E(⑤A.②B.④C.⑤D.⑥3. 设P: 2X2=5, Q:雪是黑的，R: 2X4=8, S:太阳从东方升起, 下列( )命题的真值为真。
A. P Q RB. R P SC. S Q RD. (P R) (Q S)4. 下列公式中哪些是永真式？( )A. ( n P Q)T(Q- R)B.P-(Q-Q)C.(P Q)—PD.P- (P Q)5. 下列等价关系正确的是( )A. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)B. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)C. x(P(x) Q) xP(x) Q6.7.8.9. D. x(P(x) Q) xP(x) Q列推导错在( )①x y(x y)P②y(z y)USD③ z z ES②④x(x x)U(③A. ②B. ④C. ③若公式(P Q) ( P R)的主合取范式为( )A. m001 m011 m110 m111C. M 001 M 011 M 110 M 111D.无的主析取范式为B. M 000D. m000m001M 010m010m011M 100m100m110M101m101 。
在下述公式中不是重言式为A．(P Q) (P Q) B．(P Q) ((PC．(P Q) QD．P (P Q)下列各式中哪个不成立( )A. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)B. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)C. x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)D. x(P(x) Q) xP(x) QQ) (Q P))10. 命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”的符号化(m111则它P(x) ：x是聪明的，M(x) ：x 是人)( )A. x(M (x) P(x)) ( x(M (x) P(x)))B. x(M(x) P(x)) ( x(M (x) P(x)))C. x(M(x) P(x)) ( x(M(x) P(x)))B. 约束变元C. 既是自由变元又是约束变元D. 既不是自由变元又不是约束变元12. 命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为 ( )设D:全总个体域，F (x ): x 是花，M(x) : x 是人，H(x,y) : x 喜欢 y A.x(M (x)y(F(y) H(x,y))) B. x(M (x) y(F(y) H(x,y))) C. x(M (x)y(F(y) H (x, y))) D. x(M(x)y(F(y)H(x,y)))13. 下列等价式成立的有 ( ) A. P Q P Q B. P (P R) R C. P (P Q) Q D. P (Q R) (P Q) R14. 给定公式xP(x) xP(x)，当D={a,b}时，解释()使该公式真 值为 0。
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数理逻辑期末复习题
1. 符号化：我将去镇上，仅当我有时间。
答：设p：我将去镇上，q：我有时间。
命题符号化为：p→q
2. 符号化：他13岁或14岁。
答：设p：他13岁，q：他14岁。
命题符号化为：()()p q p q p q ∨
∧¬∨¬∧或3. 利用等值演算验证：
(())(())(())A B C D C A B D C A B D ∧∧→∧→∨∨⇔∧↔→
证明：
(())(())
(())(())
()(()[()()]
()[()()]
()[()()]
()[()()]
()()
[()][(A B C D C A B D A B C D C A B D A B C D C A B D C D A B A B C D A B B A C D A B B A C D B A A B C D A B C A B D
C ∧∧→∧→∨∨⇔¬∧∧∨∧¬∨∨∨⇔¬∨¬∨¬∨∧¬∨∨∨⇔¬∨∨¬∨¬∧∨⇔¬∨∨¬∧∨¬∧⇔¬∨∨¬∨¬∨¬∨¬⇔¬∨∨¬→∧→⇔¬∨∨¬↔⇔¬∨¬↔∨⇔¬∧)][()]A B D
C A B
D ↔∨⇔∧↔→)
p
4. 符号化下列命题并完成推理证明。
如果6是偶数，则7不被2整整除；或者5不是质数，或者7被2整除；但5是质数。
所以，6是奇数。
解：设p:6是偶数；q：7被2整除；r:5是质数。
命题符号化为：
,,p q r q r →¬¬∨⇒¬证明：
（1）r P
（2） P
r q ¬∨（3）q T(1)(2)I
（4）p q →¬ P
（5）q T(4)E
p →¬（6）p ¬ T(4)(5)I
5. 推理证明：(),,A B C D C D A B ∧→¬¬∨⇒¬∨¬
证明：（1） P
C D ¬∨（2）C T(1)E
D →（3）D ¬ P
（4） T(2)(3)I
C ¬（5）()A B ∧→C ) P
（6）(A B ¬∧ T(4)(5)I
（7）A B ¬∨¬ T(6)E
6. 求下式的主析取范式与主合取范式：
（1）(
())(())P Q R P Q R →∧∧¬→¬∧¬（2）
(()P P Q P →∧→)解：
（1）
(())(())
(())(())
()()()()
[()()][()()]
[()()][()()]()()()()
(P Q R P Q R P Q R P Q R P Q P R P Q P R P Q R P Q R P R Q P R Q P Q R P Q R P R Q P R Q P Q R P Q R P Q R P Q R P →∧∧¬→¬∧¬⇔¬∨∧∧∨¬∧¬⇔¬∨∧¬∨∧∨¬∧∨¬⇔¬∨∨∧¬∨∨¬∧¬∨∨∧¬∨∨¬∧∨¬∨∧∨¬∨¬∧∨¬∨∧∨¬∨¬⇔¬∨∨∧¬∨∨¬∧¬∨¬∨∧∨¬∨∧∨¬100101110010011001
000111
)()
()()
Q R P Q R M M M M M M m m P Q R P Q R ∨¬∧∨∨¬⇔∧∧∧∧∧⇔∨⇔¬∧¬∧¬∨∧∧（主合取范式）（主析取范式）
（2） 00011011
(())
(())
()(())
11
1
()()()()P P Q P P P Q P P P P Q P m m m m P Q P Q P Q P Q →∧→⇔¬∨∧¬∨⇔¬∨∧¬∨¬∨⇔∧⇔⇔∨∨∨⇔¬∧¬∨¬∧∨∧¬∨∧（主合取范式）（主析取范式）
7. 一阶逻辑符号化。
（1）所有运动员都钦佩某些教练员。
（2）有些大学生不钦佩运动员。
解：设Y(x)：x 是运动员；J(x)：x 是教练员；A(x,y)：x 钦佩y；S(x)：x 是大学生。
（1）(()(()(,)))x Y x y J y A x y ∀→∃∧
（2）(()((,)()))x S x y A x y L y ∃∧∀→¬或(()(()(,)))x S x y L y A x y ∃∧∀→¬
8. 将下面的一阶逻辑式化为前束范式。
((,)(,))(,,)yA x y xB x z x zC x y z ∃→∀∨∃∀
解：
((,)(,))(,,)
((,)(,))(,,)((,)(,))(,,)
((,)(,))(,,)
yA x y xB x z x zC x y z yA x y uB u z s tC s w t s t y u A x y B u z C s w t y u s t A x y B u z C s w t ∃→∀∨∃∀⇔∃→∀∨∃∀⇔∃∀∀∀→∨⇔∀∀∃∀→∨ 9. 符号化并推理证明：任何人若喜欢不行，则不喜欢乘车；每个人或者喜欢乘车，或者喜欢骑自行车；有人不爱骑自行车。
因此，有人不爱步行。
（个体域为人的集合。
）
解：设W(x)：x 喜欢步行；C(x)：x 喜欢乘车；B(x)：x 喜欢骑自行车。
符号化为：(()()),(()()),()()x W x C x x C x B x x B x x W x ∀→¬∀∨∃¬⇒∃¬ 证明：
（1）()x B x ∃¬ P
（2）()B a ¬ (1)∃−
（3）(()())x C x B x ∀∨ P
（4） ()()C a B a ∨(3)∀−
（5） T(2)(4)I
()C a （6）(()())x W x C x ∀→¬ P
（7） ()()W a C a →¬(6)∀−
（8） T(7)E
()()C a W a →¬（9） T(5)(8)I
()W a ¬（10）()x W x ∃¬ (9)∃+。