一次函数与四边形综合题——轻舟数学

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一次函数和四边形练习

学习内容一、一次函数基本概念巩固二、一次函数图像综合考查（数形结合基础）三、平行四边形的性质四、平行四边形的判别内容一：一次函数基本概念巩固讲解基础题，直接用基础知识来做答1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+32．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4 （B）6 （C）8 （D）163．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（）（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1<y2（D）不能确定4．一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限5.已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________．6.某一次函数的图像经过点（-1，2），且函数y的值随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_________．7.已知直线y=-2x+m不经过第三象限，则m的取值范围是_________．8.若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是【】A.2B.-2C.1D. -1内容二：一次函数图像综合考查（数形结合基础）讲解1、要求画图来理解问题2、数形结合的初步应用参数与图像的关系 1、若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（）（A ）一象限（B ）二象限（C ）三象限（D ）四象限2、设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）3、无论m 为何实数，直线y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4、在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个5、若实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，且a ＜b ＜c ，则函数y=ax+c 的图象可能是【】A ．B ．C ．D ．图像的平移1、要得到y=-32x-4的图像，可把直线y=-32x （）．（A ）向左平移4个单位（B ）向右平移4个单位（C ）向上平移4个单位（D ）向下平移4个单位2、y=x ，向上平移2个单位后函数变为__________;向左平移2个单位后函数变为__________3、y=2x ，向上平移2个单位后函数变为__________;向左平移2个单位后函数变为__________4、y=－3x ，向上平移2个单位后函数变为__________;向左平移2个单位后函数变为__________ 简单数形结合 1、若直线y=3x-1与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是（）．（A ）k<13 （B ）13<k<1 （C ）k>1 （D ）k>1或k<132．过点P （-1，3）直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，•这样的直线可以作（）（A ）4条（B ）3条（C ）2条（D ）1条3．当-1≤x ≤2时，函数y=ax+6满足y<10，则常数a 的取值范围是（）（A ）-4<a<0 （B ）0<a<2（C）-4<a<2且a≠0 （D）-4<a<24．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为5、如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb= ．6．函数y=-3x+2的图像上存在点P，使得P•到x•轴的距离等于3，•则点P•的坐标为__________．7、过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．8、y=23x与y=-2x+3的图像的交点在第_________象限．内容三：平行四边形的性质平行四边形的性质1. 在以下平行四边形的性质中,错误的是( )A. 对边平行B. 对角相等C. 对边相等D. 对角线互相垂直2. 在平行四边形ABCD中,∠A=65°,则∠D的度数是( )A. 105°B. 115°C. 125°D. 65°3．四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°．则∠ABC、∠CAB的度数分别为（）A．28°，120°B．120°，28°C．32°，120°D．120°，32°4．如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．︒=∠+∠18021 B. ︒=∠+∠18032C. ︒=∠+∠18043 D. ︒=∠+∠18042BCDFEABCD EFOGA图1 图2 图35．如图2，在□ABCD 中，EF//AB ，GH//AD ，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有（）. A. 7 个 B. 8个 C. 9个 D. 11个6．若□ABCD 的周长为28，△ABC 的周长为17cm ，则AC 的长为（）A. 11cmB. 5.5cmC. 4cmD. 3cm7．如图3 ,在□ABCD 中, ∠B=110°,延长AD 至F,延长CD 至E,连接EF,则∠E+∠F 的值为 ( ).A. 110°B. 30°C. 50°D. 70° 8．在平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（）A. 1：2：3：4B. 3：4：4：3C. 3：3：4：4D. 3：4：3：4 9．平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )A. 6<AC<10B. 6<AC<16C. 10<AC<16D. 4<AC<1610．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠ADC ＝60°，BE ＝2，CF ＝1. 求△DEC 的面积.11. 如图，已知E 为□ABCD 中DC 延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于点O ，连结OF .求证：AB ＝2OF.12．在□ABCD 中, ∠ABC 的平分线将AD 分成4cm 和2cm 的两条线段，求□ABCD 的周长。

一次函数与四边形综合公开课——轻舟数学

一次函数与四边形综合运用鹏程中学周天应教学目标：1、掌握求点的坐标和构造全等三角形的方法2、在解题的过程中提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、在解决问题的过程中培养学生克服困难的勇气。

教学重点：求点的坐标教学难点：作辅助线构造全等三角形1、已知直线y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点，点P在第一象限的直线AB上，S△ABC=1,点C与点B关于X轴对称。

（1）如图1,求点P的坐标。

（2）如图2,N(6,0),NQ⊥NP交AC的延长线于点Q ，求证：NP=NQ。

（3）在（2）的条件下求NQ的解析式。

2、如图（1），直线y=﹣x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，以OA、OC为边作正方形OABC，E是边OC上一点，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D．（1）求A、C两点的坐标；（2）若直线AD的解析式为y=﹣x+3，求直线DE的解析式；（3）在x轴、y轴上分别找点M、N，使四边形BDMN的周长最小，求点M、N的坐标。

如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．。

一次函数,反比例函数与四边形的综合题

一次函数与反比例函数的综合四边形1，如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点.（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ；（3）对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 2，看图说故事。

请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系式，要求：①指出x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量3，如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D 、E ，且tan ∠BOA=．（1）求边AB 的长；（2）求反比例函数的解析式和n 的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G ，求线段OG 的长．4．如图5，双曲线)0(>=k xky 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为．5，如图9，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)的位置随b 的不同取值而变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为2．当b = 时，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)经过圆心M ：当b = 时，直线l ：y = －2x +b (b ≥0)与OM 相切：(2)若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A (2，0)、BC 6，O )、C (6，2). 设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，6，如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、B （0，1）、C （d ，2）。

(完整word版)一次函数与四边形综合题及答案

1。

如图所示，直线y=x+1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1,记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x+1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2,记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y=x+1相交于点A3,再以C2A3为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；…,依此类推,则第n个正方形的边长为_____．2. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x—与矩形ABCO的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA=3,OC=4，则△CEF的面积是（）A。

6B.3C。

12D。

4/33. 如图，在平面直角坐标系内，四边形AOBC是菱形，点B的坐标是(4，0），∠AOB=60°，点P从点A开始沿AC以每秒1个单位长度向点C移动，同时点Q从点O以每秒a(1≤a≤3)个单位长度的速度沿OB向右移动，设t秒后，PQ交OC于点R．（1）设a=2，t为何值时，四边形APQO的面积是菱形AOBC面积的；(2)设a=2，OR=，求t的值及此时经过P、Q两点的直线解析式;（3）当a为何值时，以O、Q、R为顶点的三角形与以O、B、C为顶点的三角形相似(只写答案，不必说理)．4。

在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2,…，按图所示的方式放置．点A1、A2、A3，…和点B1、B2、B3,…分别在直线y=kx+b和x轴上．已知C1(1，-1），C2(，)，则点A3的坐标是_____．5。

如图，函数的图象交y轴于M,交x轴于N，点P是直线MN上任意一点,PQ⊥x轴，Q是垂足，设点Q的坐标为(t，0），△POQ的面积为S(当点P与M、N重合时，其面积记为0)．(1)试求S与t之间的函数关系式;(2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S=a(a＞0）的点P的个数．6. 如图,在平面坐标系中,直线y=—x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P(a，b）在第一象限内，由点P向x轴,y轴所作的垂线PM，PN(垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P(a，b）运动时,矩形PMON的面积为定值2．（1）求∠OAB的度数；（2)求证：△AOF∽△BEO；(3)当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值?若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．7。

一次函数应用题——轻舟数学

1、某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：（1）分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；（2）求注水多长时间，甲、乙两个蓄水池水的深度相同；（3）求注水多长时间，甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．2、宁波与台州两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从宁波开往台州．如图所示，OA是第一列动车组列车离开宁波的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的函数图象，BC是一列从台州开往宁波的普通快车距宁波的路程s（单位：km）与运行时间t（单位：h）的函数图象．请根据图中信息，解答下列问题：（1）点B横坐标0.5的意义是普通快车的发车时间比第一列动车组列车的发车时间晚h，点B的纵坐标300的意义是（2）若普通列车的速度为100km/h，①求BC的解析式；②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇．3、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间t（h），两车之间的距离为s（km），图中的折线表示s与t之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）试解释图中点B的实际意义；（2）①求线段BC所表示的s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；②若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多长时间？4、水利专家为了考察某河流的堤岸的抗洪能力，一组专家乘坐勘测船从甲码头顺流出发，往返于甲、乙码头；另一组专家从甲、乙两码头间的丙码头出发，乘一橡皮艇漂流而下，直至到达乙码头．若两组专家同时出发，船、艇离丙码头的距离y （km）与出发的时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）甲、乙两码头的距离为 km，勘测船顺流航行的速度为km/h，勘测船逆流航行的速度为km/h；（2）求艇从丙码头漂流到乙码头所用的时间；（3）船、艇在途中相遇了几次？相遇时，船、艇离丙码头有多远？5、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，匀速开往对方所在地，图（1）表示甲、乙两车离A地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象，图（2）表示甲、乙两车间的路程y（km）与出发时间x（h）的函数图象．（1）A、B两地的距离为km，h的实际意义是（2）求甲、乙两车离B地的路程y（km）与出发时间x（h）的函数关系式及x的取值范围，并画出图象（不用列表，图象画在备用图中）；（3）丙车在乙车出发10分钟时从B地出发，匀速行驶，且比乙车提前20分钟到达A地，那么，丙车追上乙车多长时间后与甲车相遇？6、（2011•牡丹江）甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向b地行驶，到达B地并在B地停留1小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：（1）求甲、乙两车的速度，并在图中（_______）内填上正确的数：（2）求乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式；（3）当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，甲、乙两车距B地的路程是多少？7、（2012•牡丹江）快车甲和慢车乙分别从A、B两站同时出发，相向而行．快车到达B站后，停留1小时，然后原路原速返回A站，慢车到达A站即停运休息．下图表示的是两车之问的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数图象．请结合图象信息．解答下列问题：（1）直接写出快、慢两车的速度及A、B两站间的距离；（2）求快车从B 返回 A站时，y与x之间的函数关系式；（3）出发几小时，两车相距200千米？请直接写出答案．8、（2011•连云港）因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值．为灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，又经过20h，甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h，乙水库停止供水．甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q（万m3）与时间t（h）之间的函数关系．求：（1）线段BC的函数表达式；（2）乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度；（3）乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值？9、某工厂有一批4800个零件的加工任务，在零件加工过程中，机器温度会持续升高，为了保护机器，当温度达140℃时机器会自动停机降温，当温度达40℃时机器又自动开机加工，如此反复，18个小时后顺利完成任务．当天车间温度为20℃，机器温度变化如图所示．（1）求第一次降温过程中，机器温度T（℃）与运行时间t（h）的函数关系式；（2）求第一次停机后多少小时机器开始第二次加工；（3）经过技术革新，配置一套自动冷却系统，该机器可以不停机连续加工，加工速度提高20%．技术革新后完成这批零件的加工任务需多少小时？10、（2012•绥化）星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车20米3的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（1）8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了米3的天然气；（2）当x≥8.5时，求储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系式；（3）正在排队等候的20辆车加完气后，储气罐内还有天然气米3，这第20辆车在当天9：00之前能加完气吗？请说明理由．11、萧山素以“萝卜干之乡”著称．某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种不同包装的萝卜干42吨到外地销售．按规定每辆车只装同一种萝卜干，且必须装满，每种萝卜干不少于2车．（1）设有x辆车装运A种萝卜干，用y辆车装运B种萝卜干，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系，并求x的取值范围；（2）设此次外销活动的利润为W（百元），求W与x的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案．。

专题训练10：一次函数与四边形

专题训练10：一次函数与四边形1.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从A出发沿A→B→C→D的路线移动，设点P移动的路线为x，△PAD的面积为y．（1）写出y与x之间的函数关系式，并在坐标系中画出这个函数的图象．（2）求当x=4和x=18时的函数值．（3）当x取何值时，y=20，并说明此时点P在矩形的哪条边上．2.如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方形的边上由A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）点P在AB上运动时间为s，在CD上运动的速度为cm/s，△APD的面积S的最大值为 cm2；（2）求出点P在CD上运动时S与t的函数解析式；（3）当t为s时，△APD的面积为10cm2．3.在平面直角坐标系中，一动点P （x ，y ）从M （1，0）出发，沿由A （-1，1），B （-1，-1），C （1，-1），D （1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动。

图②是P 点运动的路程s （个单位）与运动时间t （秒）之间的函数图象，图③是P 点的纵坐标y 与P 点运动的路程s 之间的函数图象的一部分.（图①）（图②）（图③）（1）s 与t 之间的函数关系式是：；（2）与图③相对应的P 点的运动路径是：；P 点出发秒首次到达点B ；（3）写出当3≤s ≤8时，y 与s 之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象.4.如图1，在矩形ABCD 中，点P 从B 点出发沿着四边按B →C →D →A 方向运动，开始以每秒m 个单位匀速运动，a 秒后变为每秒2个单位匀速运动，b 秒后又恢复为每秒m 个单位匀速运动．在运动过程中，△ABP 的面积S 与运动时间t 的函数关系如图2所示．（1）求矩形ABCD 的长和宽；（2）求m 、a 、b 的值. ·P。

一次函数与平行四边形综合

一．解答题（共3小题）1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共3小题）1．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB ﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∴OA=8，OB=6，在直角△AOB中，AB===10；（2）∵BC平分∠ABO，∴OC=CD，设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD∽△AOB，∴，即，解得：x=3．即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y=x+6，设CD的解析式是y=﹣x+m，则4+m=0，则m=﹣4．则直线CE的解析式是y=﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y=2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12=（m+8）2+（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM12=m2+（2m+6﹣6）2=5m2，AB=10，根据AB2+AM12=BM12得100+5m2+40m+100=5m2，m=﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），BM1中点坐标为（﹣，1），BM1中点同时也是AP1中点，则有，解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=﹣4或m=0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），AB中点坐标为（﹣4，3），AB中点同时也是P2M2中点，则有，解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．2．（2015•黑龙江）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求△OFH的面积；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣x+；（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx，把E点坐标代入可求得m=，∴直线OE解析式为y=x，令﹣x+=x，解得x=，∴H点到y轴的距离为，又由（1）可得F（0，），∴OF=，∴S=××=；△OFH（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，∴△DFM为直角三角形，①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD，∴=，即=，解得OM=，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），设N点坐标为（x，y），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，则有△FOD∽△DOM，∴=，即=，解得OM=6，∴M（0，﹣6），且F（0，），∴MG=MF=，则OG=OM﹣MG=6﹣=，∴G（0，﹣），设N点坐标为（x，y），则=0，=﹣，解得x=﹣4，y=﹣，此时N（﹣4，﹣）；③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，∵四边形MFND为矩形，∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N（4，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．3．（2015•龙沙区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，∴点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（0，8），∵点C为线段AB的中点，∴点C的坐标是（4，4），解得x=5，∴CD=5，设点D的坐标是（m，0）（m＞0），则，解得m=1或m=7，∴点D的坐标是（1，0）或（7，0）．（2）①当点D的坐标是（1，0）时，设直线CD的解析式是y=ax+b，则解得∴直线CD的解析式是y=x﹣．②当点D的坐标是（7，0）时，设直线CD的解析式是y=cx+d，则解得∴直线CD的解析式是y=﹣x．（3）存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形．①当直线CD的解析式是y=x﹣时，设AF所在的直线的解析式是y=+m，∵点A的坐标是（8，0），解得m=﹣，∴AF所在的直线的解析式是y=﹣．Ⅰ、如图1，，设点F的坐标是（p，），则DF的中点E的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），∴AC的中点E的坐标是（6，2），∴=6，解得p=11，∴点F的坐标是（11，4）．Ⅱ、如图2，，设点F的坐标是（p，），则CF的中点G的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（1，0），∴AD的中点G的坐标是（4.5，0），∴，解得p=5，∴点F的坐标是（5，﹣4）．Ⅲ、如图3，当CF∥AD时，，设点F的坐标是（p，4），则AF的中点E的坐标是（，2），∵点D的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，4），∴CD的中点E的坐标是（2.5，2），∴=2.5，解得p=﹣3，∴点F的坐标是（﹣3，4）．②当直线CD的解析式是y=﹣x+时，设AF所在的直线的解析式是y=﹣+n，∵点A的坐标是（8，0），∴，解得n=，∴AF所在的直线的解析式是y=﹣+．Ⅰ、如图4，，设点F的坐标是（p，﹣），则DF的中点M的坐标是（），∵点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（4，4），∴AC的中点M的坐标是（6，2），∴=6，解得p=5，∴点F的坐标是（5，4）．Ⅱ、如图5，，设点F的坐标是（p，﹣），则CF的中点N的坐标是（，），∵点A的坐标是（8，0），点D的坐标是（7，0），∴AD的中点N的坐标是（7.5，0），∴，解得p=11，∴点F的坐标是（11，﹣4）．Ⅲ、如图6，当CF∥AD时，，设点F的坐标是（p，4），则AF的中点E的坐标是（，2），∵点D的坐标是（7，0），点C的坐标是（4，4），∴CD的中点E的坐标是（5.5，2），∴=5.5，解得p=3，∴点F的坐标是（3，4）．综上，可得点F的坐标是（11，4），（5，﹣4），（﹣3，4），（5，4），（11，﹣4）或（3，4）．。

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一次函数与四边形综合题——轻舟数学一．选择题（共1小题）1．（2011•杭州自主招生）如图，直线PA是一次函数y=x+n（n＞0）的图象，直线PB是一次函数y=﹣2x+m（m＞n）的图象．若PA与y轴交于点Q，且S四边形PQOB=，AB=2，则m，n的值分别是（）A．3，2 B．2，1 C．D．1，二．解答题（共16小题）2．（2009春•静安区期末）如图，一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求直线BD的表达式．3．（2010秋•常州期末）如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），并且与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D．（1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．（3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是．4．（2012•绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2014•温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N 分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S．①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S 的取值范围．6．（2012•鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．7．（2011•牡丹江）如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E 在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD=．若线段OA的长是一元二次方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，又2AB=30A．请解答下列问题：（1）求点B、F的坐标；（2）求直线ED的解析式：（3）在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：①BC的长为；②DE的长为；③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长，请找出它们的数量关系？（2）如图2，当直角∠BAC绕着其顶点A顺时针旋转时，角的两边分别与x轴正半轴、y 轴正半轴交于点C1和B1，连接B1C1交OA于P．B1D平分∠OB1C1，交OA于点D，过点D作DE⊥B1C1，垂足为E，请猜想线段OB、B1C1、DE三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当B1E=6，C1E=4时，求直线B1D的解析式．9．（2013•会泽县校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．10．（2013•大连二模）如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°．（1）请直接写出线段PG与PC的位置关系及的值．（2）若将图1中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变，如图2．那么你在（1）中得到的结论是否发生变化？若没变化，直接写出结论，若有变化，写出变化的结果．（3）在图1中，若∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG饶点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请直接写出的值（用含α的式子表示）．11．（2013•重庆模拟）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=4厘米，OC=3厘米，线段OA上一动点D，以1厘米/s的速度从O点出发向终点A运动，线段AB上一动点E也以1厘米/s的速度从A点出发向终点B运动．当E点到达终点B后，D点继续运动直至到达终点A．（1）试写出多边形ODEBC的面积S（平方厘米）与运动时间t（s）之间的函数关系式．（2）在（1）的条件下，当多边形ODEBC的面积最小时，在坐标轴上是否存在点P，使△PDE 为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在某一时刻将△BED沿着BD翻折，使点E恰好落在BC边的点F上．求出此时时间t的值．若此时在x轴上存在一点M，在y轴上存在一点N，使四边形MNFE的周长最小，试求出此时点M、N的坐标．12．（2012•青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠AEB=90°又∵∠EAM+∠AEB=90°∴∠EAM=∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM=EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME=135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF=135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．13．（2012•葫芦岛一模）在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．14．（2010•乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O．过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3．（1）如图1所示，当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）．求证：h2+h3=2h1；（2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直．①如图2所示，当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由；②如图3所示，当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系．（只需写出关系，不要求说明理由）15．（2009•哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．16．（2014春•武汉月考）在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y 轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+（n﹣2）2=0．（1）求点A、C的坐标；（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB=90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．17．（2014春•青山区期末）如图（1），直线y=﹣x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，以OA、OC为边作正方形OABC，E是边OC上一点，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D．（1）求A、C两点的坐标；（2）若直线AD的解析式为y=﹣x+3，求直线DE的解析式；（3）如图（2），若∠OAE=30°，过点E作EF⊥AC于点H，交AD于点F，求的值．。