人教版数学高一-必修一训练 .1对数函数的图象及性质(教师版)

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人教新课标版数学高一(必修1)练习对数函数及其性质(一)

2.2.2 对数函数及其性质(一)一、基础过关1．函数y ＝log 2x －2的定义域是 ( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．[4，＋∞)2．设集合M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N 等于 ( )A ．(－∞，0)∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)∪(0,1)3．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－12，2 4．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则 ( ) A ．x <y <z B ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x5．如果函数f (x )＝(3－a )x ，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．6．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．7．求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝log 2(x －2)；(2)y ＝log 4(x 2＋8)．8．设函数f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)的定义域为A .(1)若1∈A ，－3∉A ，求实数a 的取值范围；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．二、能力提升9．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为 ( )10．若log a 23<1，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0，23) B ．(23，＋∞) C ．(23，1) D ．(0，23)∪(1，＋∞) 11．函数f (x )＝log 3(2x 2－8x ＋m )的定义域为R ，则m 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a >0，且a ≠1)．(1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值．(2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．三、探究与拓展13．若不等式x 2－log m x <0在(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．答案1．D 2.C 3.C 4．D 5．(1,2) 6．(4，－1)7．解 (1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R .(2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义，所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R .又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32，即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[32，＋∞)． 8．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋1＞09－3a ＋1≤0，所以a ≥103. 故实数a 的取值范围为[103，＋∞)． (2)由题意，得x 2＋ax ＋1＞0在R 上恒成立，则Δ＝a 2－4＜0，解得－2＜a ＜2. 故实数a 的取值范围为(－2,2)．9．A 10．D 11．m >812．解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数，故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6，f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2.(2)f (x )－g (x )>0，即log a (1＋x )>log a (1－x )， ①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0<x <1.②当0<a <1时，0<1＋x <1－x ，得－1<x <0.13．解由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，要使x 2<log m x 在(0，12)内恒成立，只要y ＝log m x 在(0，12)内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1.在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．∵x ＝12时，y ＝x 2＝14， ∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14. ∴12≤m 14，即116≤m .又0<m <1， ∴116≤m <1，即实数m 的取值范围是[116，1)．。

高一数学(必修一)《第五章-对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()2log 1f x x =-的图像为（）A ．B ．C ．D ．2．已知对数函数()f x 的图像经过点1,38A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点则（）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a <<3．函数1()ln f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--5．函数f （x ）＝|ax －a |(a >0且a ≠1)的图象可能为（）A． B ． C ． D ．6．下列函数中是减函数的为（） A ．2()log f x x = B ．()13x f x =- C ．()f x = D ．2()1f x x =-+7．设0.30.50.514,log 0.6,16a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．已知函数2(43)3,0()log (1)2,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩ (a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（）A ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈当12x x <时，则都有()()()12122f x f x x x -<-则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．1,2D ．()2,+∞10．函数y ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,211．记函数2log 2x y x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．()0,2D ．(]0,212．下列函数在(),1-∞-上是减函数的为（）A ．()ln f x x =-B ．()11f x x =-+ C ．()234f x x x =--D ．()21f x x =13．下列函数是偶函数且值域为[)0,∞+的是（）①y x =；②3y x =；③||2x y =；④2y x x =+ .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④14．已知函数22,2()log ,2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．[)1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-15．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>16．已知集合{}1,0,1,2A =-和2{|1}B x x =≤，则A B =（） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,217．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()1()xf x a=与()log b g x x =的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．18．设123a -=，1312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭和21log 3c =，则（） A ．a c b << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<19．已知函数212()log (3)f x x ax a =-+ 在[)2,+∞上单调递减，则a 的取值范围（）A ．(,4]-∞B ．(4,4]-C ．[4,4]-D ．(4,)-+∞20．函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,121．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞二、解答题22．比较下列各数的大小：（1）12log 3与12log π；（2）4log 3与5log 3；（3）5log 2与2log 5.23．已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的图象经过点()3,3ln 2.(1)求a 的值，及()f x 的定义域； (2)求关于x 的不等式()()ln 2f x x ≤的解集.24．已知函数()()9log 91xf x x =++.(1)若()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立，求a 的取值范围； (2)若函数()()9231f x xx g x m -=+⋅+和[]90,log 8x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.25．已知函数()ln f x x =.(1)在①()21g x x =-，②()21g x x =+这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知函数___________，()()()=h x f g x 求()h x 的值域. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)若1x ∀∈R ，()20,x ∈+∞和()1122421ln x xa x x -+<-，求a 的取值范围.26．已知______，且函数()22x bg x x a+=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题. (1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围. 27．定义：若函数()y f x =在某一区间D 上任取两个实数12x x 、，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭则称函数()y f x =在区间D 上具有性质L ．（1）写出一个在其定义域上具有性质L 的对数函数（不要求证明）．（2）判断函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论．（3）若函数21()g x ax x=-在区间(0,1)上具有性质L ，求实数a 的取值范围．三、填空题28．函数()ln(4)f x x =+-的定义域是___________. 29．()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________．30．已知函数211,0()2,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 31．已知函数2(12)0()log (1)0a x a x f x x x +-<⎧=⎨+≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的范围是_________32．已知函数()log (23)1(>0a f x x a =-+且1)a ≠，且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为_________.33．已知函数()2log 081584，，⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x x f x x x ，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是____．34．若0x >和0y >，且111x y+=，则22log log x y +的最小值为___________.四、多选题35．已知函数()f x 和()g x 的零点所构成的集合分别为M ，N ，若存在M α∈和N β∈，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点伴侣”．若函数()1e 2xf x x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（） A ．1B ．2C ．3D ．436．已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，下列结论中正确的是（）A ．当0a =时，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 一定有最小值C ．当0a =时，则()f x 的值域为RD ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥-参考答案与解析1．A【分析】根据函数的定义域为(),1-∞可排除B 、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当0x =时，则()()20log 10=0f =-，故排除B 、D. 当1x =-时，则()()21log 1110f -=+=>，故A 正确. 故选A.【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的x 值，判断y 的正负号. 2．C【分析】根据对数函数可以解得2a =，4t =再结合中间值法比较大小．【详解】设()()log 0,1a f x x a a =>≠，由题意可得：1log 38a =-，则2a = ∴log 164a t ==0.1log 40a =<，()40.20,1b =∈和0.141c =>∴a b c << 故选：C ． 3．A【分析】利用函数的奇偶性排除选项D ，利用当01x <<时，则()0f x >，排除选项B ，C ，即得解. 【详解】解：∵函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，1()ln f x x xx ⎛⎫-=-+⋅- ⎪⎝⎭1ln ()x x f x x ⎛⎫--⋅=- ⎪=⎝⎭ ∴()f x 为奇函数，排除选项D ．当01x <<时，则2110x x x x--=<和ln 0x < ∴()0f x >，排除选项B ，C ．故选：A ． 4．A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，则1y =-，故排除B 、D 两项；当1x >时，则函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，则12x y -=-单调递减，故排除C项. 故选：A. 5．C【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】当>1a 时，则,1()=,<1x xa a x f x a a x -≥-⎧⎨⎩显然当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减函数图象的渐近线为=y a ，而>1a ，故AB 不符合；对于CD ，因为渐近线为=2y ，故=2a ，故=0x 时，则=1y 故选项C 符合，D 不符合；当0<<1a 时，则,<1()=,1x xa a x f x a a x --≥⎧⎨⎩当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减函数图象的渐近线为=y a ，而0<<1a ，故ABD 不符合；故选：C 6．B【分析】利用对数函数单调性判断选项A ；利用指数函数单调性判断选项B ；利用幂数函数单调性判断选项C ；利用二次函数单调性判断选项D.【详解】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误；选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确；选项C ：由12-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =为增函数.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误. 故选：B 7．B【分析】计算可得2a =，再分析()0.5log 0.60,1b =∈，0.3116c a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭即可判断【详解】由题意0.542a ==，()()0.50.50.5log 0.6log 1,log 0.50,1b =∈=和0.30.30.2511616216c a -⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，故b ac <<故选：B 8．C【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数2(43)3y x a x a =+-+的对称轴为：432a x -=-因为二次函数开口向上，所以当0x <时，则该二次函数不可能单调递增所以函数()f x 是实数集上的减函数则有01432302343log 122a a a a a <<⎧⎪-⎪-≥⇒≤≤⎨⎪≥+=⎪⎩故选：C 9．B【分析】由题设知()()2h x f x x =-在R 上递增，将不等式转化为2(log )(1)h x h <，利用单调性求解集即可. 【详解】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<. 故不等式解集为()0,2. 故选：B 10．C【分析】依题意可得21log 0x +≥，根据对数函数的性质解不等式，即可求出函数的定义域. 【详解】解：依题意可得21log 0x +≥，即221log 1log 2x ≥-=，所以12x ≥ 即函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C 11．B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x << 所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ． 12．C【分析】根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.【详解】对于选项A ，()ln f x x =-在(),1-∞-上无意义，不符合题意；对于选项B ，()11f x x =-+在(),1-∞-上是增函数，不符合题意；对于选项C ，2234,? 4134,? 14x x x x x x x ⎧--≥≤-⎨-++-<<⎩或的大致图象如图所示中由图可知()f x 在(),1-∞-上是减函数，符合题意；对于选项D ，()21f x x =在(),1-∞-上是增函数，不符合题意. 故选：C. 13．C【分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案. 【详解】对于①，y x =是偶函数，且值域为[)0,∞+；对于②，3y x =是奇函数，值域为R ；对于③，2xy =是偶函数，值域为[)1,+∞；对于④，2y x x=+是偶函数，且值域为[)0,∞+所以符合题意的有①④ 故选：C. 14．D【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是()21f =，则根据指数函数的性质，列式求实数a 的取值范围.【详解】2x <时，则()2,4xa a a -∈--，2x ≥时，则2log 1x ≥若要使得()f x 存在最小值，只需要2log 2a -≥，即1a ≤-. 故选：D. 15．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m > 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=- 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b >又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)mf x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．16．A【分析】根据一元二次不等式的求解得{}11B x x =-≤≤，根据集合的交运算即可求解. 【详解】因为{}1,0,1,2A =-和{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-故选：A ． 17．B【分析】由对数的运算性质可得ab ＝1，讨论a ，b 的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】22log log 0a b +=，即为2log 0ab =，即有ab ＝1. 当a ＞1时，则0＜b ＜1函数()1()xf x a=与()log b g x x =均为减函数，四个图像均不满足当0＜a ＜1时，则b ＞1函数数()1()xf x a=与()log b g x x =均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B 故选：B ． 18．B【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可【详解】由题意201313a -<==，故(0,1)a ∈ 1130312212b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭2231log log 10c =<= 故c a b << 故选：B 19．B【分析】转化为函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果. 【详解】因为函数212()log (3)f x x ax a =-+在[)2,+∞上单调递减所以函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立所以2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，解得44a -<≤.故选：B 20．A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由220x x ->，得02x <<令22t x x =-，则2log y t=22t x x =-在(0,1)上递增，在(1,2)上递减因为2log y t=在定义域内为增函数所以22log (2)y x x =-的单调递减区间为(1,2)故选：A 21．A【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，则函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答.【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，则()4322x xf x =-⨯+当0x <时，则0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+而当0x ≥时，则()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，则0(4322)6x xx --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A22．（1）1122log 3log π>.（2）45log 3log 3>.（3）52log 2log 5<. 【分析】（1）根据12()log f x x=，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；（2）根据3log y x =，在定义域内是增函数，可得330log 4log 5<<，故3311log 4log 5>，即可比较二者大小；（3）根据5log 21<，2log 51>即可比较二者大小. 【详解】（1）设12()log f x x =.3π<且()f x 是减函数 ∴(3)()f f π>即1122log 3log π>.（2）3log y x =是增函数∴330log 4log 5<<. ∴3311log 4log 5> 即45log 3log 3>. （3）55log 2log 51<=且22log 5log 21>=∴52log 2log 5<.【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 23．(1)1a =，定义域为()1,+∞ (2){112}x x <+∣【分析】（1）直接将()3,3ln 2代入函数解析式，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()()2ln 1ln 2x x -，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（1）解：由题意可得()()ln 31ln 313ln2a ++-=，即()ln 312ln2a +=，所以314a += 解得1a =则()()()ln 1ln 1f x x x =++-.由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >.所以()f x 的定义域为()1,+∞. （2）解：由（1）可得()()()()2ln 1ln 1ln 1,1f x x x x x =++-=->不等式()()ln 2f x x 可化为()()2ln 1ln 2x x -因为ln y x =在()0,+∞上是增函数所以20121x xx ⎧<-⎨>⎩ 解得112x <+.故不等式()()ln 2f x x 的解集为{}|112x x <+. 24．(1)(],0-∞(2)存在 m =【分析】（1）利用分离参数法得到()9log 91x a x <+-对于任意x 恒成立，令()()9log 91xh x x =+-，利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到()9232x xg x m =+⋅+令3x t =， t ⎡∈⎣研究函数()()222222p t t mt t m m =++=++-，t ⎡∈⎣根据二次函数的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m . （1）由题意可知，()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立代入可得()9log 910x x a +-->所以()9log 91xa x <+-对于任意x 恒成立令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx xh x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为1119x +>，所以由对数的图像与性质可得：91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以0a ≤. 即实数a 的范围为(],0-∞. （2）由()()9231f x xx g x m -=+⋅+，[]90,log 8x ∈且()()9log 91x f x x =++代入化简可得()9232x xg x m =+⋅+.令3x t =，因为[]90,log 8x ∈，所以t ⎡∈⎣则()()222222p t t mt t m m =++=++- t ⎡∈⎣①当1m -≤，即1m ≥-时，则()p t 在⎡⎣上为增函数所以()()min 1230p t p m ==+=，解得32m =-，不合题意，舍去②当1m <-<1m -<-时，则()p t 在[]1,m -上为减函数，()p t 在m ⎡-⎣上为增函数所以()()2min 20p t p m m =-=-=，解得m =m =③当m ≤-，即m ≤-()p t 在⎡⎣上为减函数所以()(min 100p t p ==+=解得m =综上可知m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性. 25．(1)答案见解析 (2)1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据复合函数的性质即可得到()h x 的值域；（2）令()()1ln F x x x =-，求出其最小值，则问题转化为1142x x a <-恒成立，进而求1142x xy =-最小值即可.（1）选择①，()()2ln 1h x x =-令21t x =-，则()0,t ∈+∞，故函数ln y t =的值域为R ，即()h x 的值域为R .选择②，()()2ln 1h x x =+，令21t x =+，则[)1,t ∈+∞因为函数ln y t =单调递增，所以0y ≥，即()h x 的值域为[)0,∞+. （2）令()()1ln F x x x =-.令12x m =，则()0,m ∈+∞，所以112211142244x x m m m ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭故14a <-，即a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.26．(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析； (2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ；若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中再根据定义判断函数的奇偶性；（2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1）选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+.选择②.当0a >时，则()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩ 所以()222xg x x =+.()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数.（2）当0x >时，则()122g x x x=+，因为224x x +≥，当且仅当22x x =，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤；当0x <时，则因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，则()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.27．（1）12log y x =；（2）函数1()f x x x =+在区间(0,)+∞上具有性质L ；答案见解析；（3）(,1]-∞．【分析】（1）由于底数在(0,1)上的对数函数满足题意，故可得答案；（2）任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，对()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭作差化简为因式乘积形式，判断出与零的大小，可得结论；（3）函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离求出最值，可得参数的范围．【详解】（1）如12log y x=（或底在(0,1)上的对数函数）；（2）函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ．证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠()()12121212121211122222f x f x x x x x f x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2212121212121212121241112222x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫=+-== ⎪+++⎝⎭ 因为12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠所以()()21212120,20x x x x x x ->⋅+>，即()()1212022f x f x x x f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭．所以函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ．（3）任取12,(0,1)x x ∈，且12x x ≠，则()()21222121212121211122222g x g x x x x x g ax ax a x x x x ⎡⎤+⎛⎫++⎛⎫⎛⎫-=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()()()2221212121212121212122244ax x x x x x x x a x x x x x x x x x x -+⎡⎤--⎣⎦=-⋅=-++ 因为12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，所以()()21212120,40x x x x x x ->⋅+> 要使上式大于零，必须()121220a x x x x -⋅⋅+>在12,(0,1)x x ∈上恒成立即()12122a x x x x <+()212124x x x x +< ()()()()231212*********8x x x x x x x x x x +∴++>=+ 令()()3120,8x x t +=∈，则38y t =在()0,1上单调递减，即()()()()2331212121212228148x x x x t x x x x x x ∴>=++=>++ 所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新概念，考查不等式的恒成立问题，解决本题的关键点是将函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离后转化为求最值问题，并借助于基本不等式和幂函数的单调性得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 28．(3,4)【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得260,40,x x ->⎧⎨->⎩解得34x <<，即()f x 的定义域是(3,4).故答案为：(3,4) 29．413a <<【分析】使复合函数()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，需内增外减或外增内减，讨论a 求解即可【详解】由题可得，根据对数的定义，0a >且1a ≠，所以4y ax =-是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到1430a a >⎧⎨->⎩，所以413a <<.故答案为：413a <<30．2⎛ ⎝⎭[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<所以当1≥x 时，则12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增当01x <<时，则21122()loglog g x x x =-+则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得0x <<所以()g x在⎛ ⎝⎭上递增综上得函数()g x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭ [1,)+∞故答案为：⎛ ⎝⎭，[1,)+∞ 31．1(,0]2-【分析】先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域应该有哪些元素．【详解】当0x ≥时，则2()log 0f x x =≥，因此当0x <时，则()(12)f x a x a =+-的取值范围应包含(,0)-∞ ∴1200a a +>⎧⎨-≥⎩，解得102-<≤a ．故答案为1(,0]2-．【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段讨论．32．()2,1【解析】根据对数函数的性质求解．【详解】令231x -=，则2x =，(2)1f =即()f x 图象过定点(2,1)．故答案为：(2,1)33．()820，【分析】利用函数图像，数形结合进行分析.【详解】不妨设a b c <<，画出函数()f x 图像：()()()f a f b f c ==221log log 54a b c ∴==-+－ ()2log 0ab ∴= 10534c <-+< 解得1ab = 820c <<820abc ∴<<．故答案为：()820，34．2【分析】由均值不等式求出xy 的最小值，再由对数的运算及性质即可求解.【详解】因为0x >，0y >且111x y+=所以111x y ≥+=4xy ≥，当且仅当11x y =，即2x y ==时等号成立即xy 的最小值为4所以2222log log log log 42x y xy +=≥=故答案为：235．AD【分析】首先确定函数()f x 的零点，然后结合新定义的知识得到关于a 的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a 的取值范围即可.【详解】因为函数()1e 2x f x x -=+-是R 上的增函数，且()10f =，所以1α=，结合“零点伴侣”的定义得11β-≤，则02β≤≤又函数()23g x x ax a =--+在区间[]0,2上存在零点，即方程230x ax a --+=在区间[]0,2上存在实数根整理得2232122411x x x x a x x +++--+==++()4121x x =++-+ 令()()4121h x x x =++-+，[]0,2x ∈所以()h x 在区间[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增又()03h =，()723h =和()12h =，所以函数()h x 的值域为[]2,3 所以实数a 的取值范围是[]2,3．故选：AD ．36．AC【分析】A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.【详解】对于A ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-，令210x ->，解得1x <-或1x >，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，故A 正确；对于B 、C ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则21y x ax a =+--在[)2,+∞上单调递增，且当2x =时，则0y >则224210aa a⎧-≤⎪⎨⎪+-->⎩，解得3a>-，故D错误．故选：AC．。

人教A版高中数学必修一课时作业第一课时对数函数的图象及性质

2.2.2 对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质[选题明细表]知识点、方法题号对数函数的定义及性质1,3,8,10对数函数的图象特征2,5,6,12,14 对数函数的定义域、值域问题4,7,11,13反函数9基础巩固1.下列给出的函数:①y=log5x+1;②y=log a x2(a>0,且a≠1);③y=lo x;④y=log 3x;⑤y=log x(x>0,且x≠1);⑥y=lo x.其中是对数函数的为( D )(A)③④⑤(B)②④⑥(C)①③⑤⑥ (D)③⑥解析:①②④不满足对数函数解析式特征,⑤中真数是常数,故只有③⑥是对数函数.选D.2.(2019·云南玉溪一中高一上期中)函数y=log a(3x-2)+2(a>0,且a≠1)的图象必过定点( A )(A)(1,2) (B)(2,2)(C)(2,3) (D)(,2)解析:令3x-2=1,得x=1,又log a(3×1-2)+2=2,故定点为(1,2),选A.3.(2019·吉林舒兰一中高一上学期期中)设ln b>ln a>ln c,则a,b,c 的大小关系为( A )(A)b>a>c (B)a>b>c(C)c>b>a (D)c>a>b解析:由对数函数的图象与性质可知,函数y=ln x在(0,+∞)上为单调递增函数,因为ln b>ln a>ln c,所以b>a>c,故选A.4.(2019·辽宁实验中学高一上期中)已知函数f(x)=log2(1+2-x),函数的值域是( B )(A)[0,2) (B)(0,+∞)(C)(0,2) (D)[0,+∞)解析:因为2-x+1>1,所以log2(1+2-x)>log21,故f(x)>0.故选B.5.函数y=log2|x|的图象大致是( A )解析:函数y=log2|x|为偶函数,且x>0时,y=log2x,故选A.6.已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( A ) (A)x2<x3<x1(B)x1<x3<x2(C)x1<x2<x3(D)x3<x2<x1解析:令a=-1,得ln x1=-1,lg x2=-1,log3x3=-1,故x1=,x2=,x3=,则x1>x3>x2.选A.7.(2019·陕西安康市高一上期中)若函数y=log0.5(a-2x)的定义域为(-∞,2),则a等于( D )(A)(B)(C)2 (D)4解析:由已知得a-2x>0,2x<a,x<log2a=2,a=4,故选D.8.若对数函数f(x)=(a2-2a-2)log a x,则f(9)= .解析:由对数函数定义知故a=3或a=-1(舍去),则f(x)=log3x,故f(9)=log39=2.答案:2能力提升9.(2018·河南实验中学期中)已知函数f(x)与g(x)=e x互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,若h(a)=1,则实数a 的值为( C )(A)-e (B)-(C)(D)e解析:因为函数f(x)与函数g(x)=e x互为反函数,所以f(x)=ln x.因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)=-ln x.因为h(a)=1,所以a=,故选C.10.(2019·湖南岳阳一中高一上期中)已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是( A )(A)(,10) (B)(0,)∪(1,+∞)(C)(,1) (D)(0,1)∪(10,+∞)解析:因为f(x)是偶函数且在[0,+∞)上是减函数,又f(lg x)>f(1),即f(|lg x|)>f(1),则|lg x|<1,故-1<lg x<1,解得<x<10.故选A.11.若函数f(x)=log5(3x-b)(x≥1)的值域是[0,+∞),则b的取值集合是.解析:因为x≥1,所以3x-b≥3-b.又f(x)=log5(3x-b)的值域是[0,+∞),所以3-b=1,故b=2.答案:{2}12.若直线y=t(t>0)与f(x)=|ln x|有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,则x1x2= .解析:由题意知|ln x1|=|ln x2|,假设x1<1<x2,则-ln x1=ln x2,即ln x1+ln x2=0,故ln x1x2=0,因此x1x2=1.答案:113.已知函数f(x)=+的定义域为A.(1)求集合A;(2)若函数g(x)=(log2x)2-2log2x-1,且x∈A,求函数g(x)的最大值、最小值和对应的x值.解:(1)要使函数有意义,则即解得≤x≤4,即集合A=[,4].(2)因为x∈A,所以-1≤log2x≤2,g(x)=(log2x)2-2log2x-1=(log2x-1)2-2.当log2x=1,即x=2时,g(x)取最小值为-2,当log2x=-1,即x=时,g(x)取最大值为2.探究创新14.若定义一个区间[m,n]的长度为n-m,当函数f(x)=|log4x|在区间[a,b]上的值为[0,1]时,该区间的长度的最小值为.解析:依题意知f(x)=|log4x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],如图,当f(x)=0时,x=1,当f(x)=1时,x=4或,因此定义域为[,1]时,区间长度最小,故b-a的最小值为.答案:。

对数函数的图像和性质高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

也可用换底公式化为同底,再进行比较.
6
{x| < x ≤ 3}
− 6) 的解集为_____________.
5
例3（1）不等式 log 2 (2x + 3) ≥ log 2 (5x
2x + 3 > 0,
6
[解析] 原不等式等价于 5x − 6 > 0,
解得 < x ≤ 3 ，所以原不等式的解
5
2x + 3 ≥ 5x − 6,
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
>
m
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y = log a x 为减函数，其图象过定点 (1,0) ，此时 1 − a > 0 ，函数 y = (1 − a)x 为
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增函数.故选C.
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（2）若函数 f(x) = log a (x − n) + m(a > 0 且 a ≠ 1) 的图象恒过定点 (3, −1) ，
解得
所以 mn = −1 × 2 = −2 .故选A.
m = −1,
n = 2,

高中数学人教A版必修一练习：2.2.2 对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质.doc

2.2.2 对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质【选题明细表】1.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( D )(A)y=log4x (B)y=lo x(C)y=lo x (D)y=log2x解析:设对数函数为y=log a x(a>0,且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=log a16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x,故选D.2.下列函数①y=2x;②y=log0.5(x+1);③y=;④y=|x-1|,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( D )(A)①③(B)②③(C)①④(D)②④解析:函数①y=2x在区间(0,1)上单调递增;②y=log0.5(x+1)在区间(0,1)上单调递减;③y=在区间(0,1)上单调递增;④y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减.故选D.3.(2018·长沙高一月考)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( C )(A)(-∞,-1) (B)(1,+∞)(C)(-1,1)∪(1,+∞) (D)(-∞,+∞)解析:由题意知解得x>-1,且x≠1.故选C.4.函数y=log2|x|的图象大致是( A )解析:因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.5.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f()的值为( B )(A)-log23 (B)-log32 (C)(D)解析:由题意可知f(x)=log3x,所以f()=log3=-log32,故选B.6.(2018·濮阳高一期末)函数f(x)=|lo x|的单调增区间为.解析:由函数f(x)=|lo x|可得函数的大致图象如图所示,所以函数的单调增区间为[1,+∞).答案:[1,+∞)7.函数f(x)=log2(-1)(x>8)的值域是.解析:因为x>8,所以-1>2,由于对数函数的底数2大于1,说明函数为增函数.所以f(x)>log22=1,故函数的值域为(1,+∞).答案:(1,+∞)8.已知函数f(x)=log a(a>0,且a≠1)的图象关于原点对称,求m 的值.解:根据已知条件,对于定义域内的一切x,都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,所以log a+log a=0.整理得log a=0,所以=1,即(m2-1)x2=0.所以m2-1=0.所以m=1或m=-1.若m=1,=-1,f(x)无意义,则舍去m=1,所以m=-1.9.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a x与y=log a x的图象是( D )解析:因为函数y=a x与y=log a x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,且当0<a<1时,函数y=a x与y=log a x都是减函数,观察图象知,D正确.故选D.10.若y=log a(ax+3)(a>0且a≠1)在区间(-1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.解析:因为y=log a(ax+3)(a>0且a≠1)在区间(-1,+∞)上是增函数,所以解得1<a≤3.故a的取值范围是(1,3].答案:(1,3]11.(2018·重庆市丰都县实验中学期末)函数f(x)=的定义域是.解析:由题意得解得<x≤1.所以f(x)的定义域为(,1].答案(,1]12.已知函数f(x)=log a(1+x),g(x)=log a(1-x)(a>0且a≠1).(1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求函数f(x)的最值;(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.解:(1)当a=2时,函数f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数,故f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6,f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2.(2)f(x)-g(x)>0,即log a(1+x)>log a(1-x).①当a>1时,1+x>1-x>0,得0<x<1.②当0<a<1时,0<1+x<1-x,得-1<x<0.综上,a>1时,x∈(0,1),0<a<1时,x∈(-1,0).13.若不等式x2-log m x<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围. 解:由x2-log m x<0,得x2<log m x,要使x2<log m x在(0,)内恒成立,只要y=log m x在(0,)内的图象在y=x2的上方,于是0<m<1.在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的草图,如图所示.因为x=时,y=x2=,所以只要x=时,y=log m≥=log m.所以≤,即≤m.又0<m<1,所以≤m<1,即实数m的取值范围是[,1).。

高一数学必修1同步教师用书：第2章2.2.2第1课时对数函数的图象及性质

13，
2 3
.
【答案】 13，23
2．函数 y＝ loga(x－1)＋ 1(a>0，且 a≠ 1)恒过定点 ________．
【解析】当 x＝2 时， y＝1，故恒过定点 (2,1)．
【答案】 (2,1)
教材整理 3 反函数
阅读教材 P73 至 “练习 ”以上的部分，完成下列问题．反函数：对数函数 y＝ logax 与指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)互为反函数．
判断 (正确的打“√”，错误的打“×” ) 1
(1)函数 y＝logx2是对数函数． ( ) (2)函数 y＝2log3x 是对数函数． ( ) (3)函数 y＝log3(x＋ 1)的定义域是 (0，＋∞ )．( ) 【解析】 (1)×.对数函数中自变量 x 在真数的位置上，且 x>0，所以 (1)错； (2)× .在解析式 y＝ logax 中， logax 的系数必须是 1，所以 (2)错； (3)× .由 x＋ 1>0 得 x>－1，所以函数的定义域为 (－ 1，＋ ∞)，所以 (3)错．【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理 2 对数函数的图象和性质阅读教材 P70 第三自然段至 P71“ 例 7”以上部分，完成下列问题．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象和性质如下表所示：
函数 f(x)＝
1 2
x 的反函数为
g(x)，则 g(x)＝________.
【解析】
f(x)＝
1 2
x
的反函数为
1 g(x)＝log2x.
1 【答案】 log2x
[小组合作型 ]
对数函数的概
念
(1)下列函数表达式中，是对数函数的个数有 ( )

人教版高一数学必修一2.2.2对数函数的图像及性质(1)

2．2．2对数函数的图像及性质（1）班级______________座号_________学生_______________一．选择题：1. 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 2．函数)23(log 21-=x y 的定义域是( )A ．[)+∞,1 B. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32 D .⎥⎦⎤ ⎝⎛1,323．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)7 4. 设βα,分别是方程2log 30x x +-=和230x x +-=的根，则βα+的值为（） A.1 B.2 C.3 D.6二．填空题：5. 函数y ＝log (2)ax +＋1的图像过定点_________6．偶函数()x f 在)0,(-∞内是减函数,若)(lg )1(x f f <-,则实数x 的取值范围是_______7．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．三．解答题：8. 已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．9. 已知log a (3x )≥log a (8－x )，求实数x 的取值范围．10.已知函数()()1log 2+=x x f ，当点()y x ,是函数()x f y =图像上的点时，点⎪⎭⎫⎝⎛2,3y x 是函数()x g y =图像上的点。

人教版数学高一-必修1活页作业 .1对数函数的图象及性质

活页作业(二十) 对数函数的图象及性质知识点及角度难易度及题号基础中档稍难对数函数的概念 1、5 对数函数的图象 2、4、6 8、10 11 对数函数的定义域与值域3、79121．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100解析：D 中两函数的定义域均为(0，＋∞)，且y ＝lg x100＝lg x －lg100＝lg x －2.故选D.答案：D2．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2＜x 3＜x 1B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 1＜x 2＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 1解析：分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x 2＜x 3＜x 1.答案：A 3．函数f (x )＝3x1－x＋lg(2x －1)的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(0，＋∞)解析：要使函数解析式有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＞0，1－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＜1，所以0＜x ＜1，即函数定义域为(0,1)，故选C.答案：C4．若log a2＜log b2＜0，则下列结论正确的是()A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．a＞b＞1 D．b＞a＞1解析：∵log a2＜log b2＜0，如图所示，∴0＜b＜a＜1.答案：B5．已知g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0ln x，x>0，则g⎝⎛⎭⎫g⎝⎛⎭⎫13＝________.解析：∵13>0，∴g⎝⎛⎭⎫13＝ln13<0，∴g⎝⎛⎭⎫g⎝⎛⎭⎫13＝g⎝⎛⎭⎫ln13＝e ln13＝13.答案：136．对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f⎝⎛⎭⎫12＝______.解析：设f(x)＝log a x(a＞0，且a≠1)，由3＝log a8，得a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f⎝⎛⎭⎫12＝log212＝－1.答案：－17．(1)求函数y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域．(2)求函数f(x)＝log12(x2＋2x＋3)的值域．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧16－4x＞0x＋1＞0x＋1≠1，得⎩⎨⎧x＜2x＞－1x≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2)．(2)∵x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2， ∴定义域为R . ∴f (x )≤log 122＝－1，∴值域为(－∞，－1]．8．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )等于( ) A ．log 12xB ．log 2x C.12x D ．x 2解析：由题意知f (x )＝log a x ，又f (a )＝a ， ∴log a a ＝a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x .故选A.答案：A9．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是________．答案：⎣⎡⎦⎤22， 2 10．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值范围为0＜a ＜2.11．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上时，点⎝⎛⎭⎫x 3，y 2在函数y ＝g (x )的图象上．(1)写出y ＝g (x )的解析式． (2)求方程f (x )－g (x )＝0的根．解：(1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )＝log 2(x ＋1)，y 2＝g ⎝⎛⎭⎫x 3，则g ⎝⎛⎭⎫x 3＝12log 2(x ＋1)，故g (x )＝12log 2(3x ＋1)．(2)由f (x )－g (x )＝0得， log 2(x ＋1)＝12log 2(3x ＋1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，3x ＋1＞0，3x ＋1＝(x ＋1)2，解得，x ＝0或x ＝1.12．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(其中0＜a ＜1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值．解：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，∴函数的定义域为(－3,1)． (2)函数可化为：f(x)＝log a(1－x)(x＋3)＝log a(－x2－2x＋3)＝log a[－(x＋1)2＋4]，∵－3＜x＜1，∴0＜－(x＋1)2＋4≤4.∵0＜a＜1，∴log a[－(x＋1)2＋4]≥log a4，即f(x)min＝log a4，由log a4＝－4，得a－4＝4；∴a＝4－14＝22.1．在对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响，无论a取何值，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝log a x(a＞1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0＜a＜1时函数单调递减，当a＞1时函数单调递增．2．求含对数式的复合函数的定义域，注意对数式的基本概念及性质的应用，当对数式有意义时，有两个条件具备，即真数大于0，底数大于0且不等于1，当对数的底数不确定时，对数函数的单调性要分类讨论．。

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(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A ．y ＝log 2x
B ．y ＝2log 4x
C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x
D ．不确定
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1，x >0)，则2＝log a 4＝log a 22＝2log a 2，即log a 2＝1，a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x .故选A.
答案： A
2．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析： f (a )＝log 2(a ＋1)＝1
∴a ＋1＝2
∴a ＝1.故选B.
答案： B
3．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数为g (x )，且满足g (2)<0，则函数g (x ＋1)的图象是下图中的( )
解析：由y ＝a x 解得x ＝log a y ，
∴g (x )＝log a x .
又∵g (2)<0，∴0<a <1.
故g (x ＋1)＝log a (x ＋1)是单调递减的，并且是由函数g (x )＝log a x 向左平移1个单位得到的．
答案： A
4．已知函数f (x )＝2log 12
x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )
A.⎣⎡⎦⎤22，2 B ．[－1,1]
C.⎣⎡⎦⎤12，2
D.⎝
⎛⎦⎤－∞，22∪[2，＋∞) 解析：函数f (x )＝2log 12
x 在(0，＋∞)为减函数，则－1≤2log 12
x ≤1，可得－12≤log 12x ≤12
，解得22
≤x ≤ 2.故选A. 答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(3,1)，则a ＝________. 解析：函数f (x )的反函数为y ＝log a x ，由题意，log a 3＝1，
∴a ＝3.
答案： 3
6．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x (x ≤0)ln x (x >0)，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析： g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12
<0， g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12
， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12
. 答案： 12
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列函数的定义域：
(1)f (x )＝log 2(9－x 2)；
(2)f (x )＝log (5－x )(2x －3)；
(3)f (x )＝2x ＋3x －1
log 2(3x －1)．解析： (1)由对数真数大于零，得9－x 2＞0，即－3＜x ＜3，∴所求定义域为{x |－3＜x ＜3}．
(2)要使f (x )＝log (5－x )(2x －3)有意义，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3＞05－x ＞0
5－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞3
2x ＜5x ≠4. ∴所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x | 32＜x ＜4，或4＜x ＜5. (3)要使f (x )＝2x ＋3x －1
log 2(3x －1)有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1＞0，2x ＋3≥0，
x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1
3x ≥－32x ≠1. ∴所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x | x ＞13，且x ≠1. 8．已知2x ≤256且log 2x ≥12，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 2
的最大值和最小值．解析：由2x ≤256得x ≤8，log 2x ≤3即12
≤log 2x ≤3， f (x )＝(log 2x －1)·(log 2x －2)
＝⎝
⎛⎭⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14
，当log 2x ＝3，即x ＝23＝8时，f (x )max ＝2.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．解析：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立．只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．
当0<a <1时，由图象知显然不成立．当a >1时，如图所示，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1<a ≤2.。