必修1函数的定义域和值域

2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，
那么其值域为
()
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
答案： A
3．下列函数中，值域是(0，＋∞)的函数是 ( B )
A．y＝lgx
B．y＝(13)1－x
C．y＝|x－x 1|
D．y＝ 1－2x
函数值域或最值的常用求解方法 导数法
当一个函数在定义域上可导时，可根据其导 数求最值确定值域；
函数值域或最值的常用求解方法
判别式法
主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)·x2＋ b(y)·x＋c(y)＝0的函数y＝f(x)．在由Δ≥0且a(y)≠0, 求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是 否有相应的x的值．
解析：∵ x有意义，∴x≥0. ∴y＝x2＋3x－5＝x＋322－94－5 ∴当 x＝0 时，ymin＝－5.
答案： [－5，＋∞)
函数值域或最值的常用求解方法
基本不等式法
具有可用基本不等式求解形状特征的函数，常利用基 本不等式 a＋b≥2 ab求函数值域，应用基本不等式求值域 时，要注意条件“一正、二定、三相等”．即：①a>0，b>0； ②a＋b(或 ab)为定值；③取等号条件 a＝b.
法二：(换元法)令 1－2x＝t，则 t≥0 且 x＝1－2 t2， 于是 y＝1－2 t2－t＝－12(t＋1)2＋1， 由于 t≥0，所以 y≤12，故函数的值域是(－∞，12]．
求函数的值域． y＝x＋ x＋1；
解：由于 x≥－1， 又函数 y＝x＋ x＋1在[－1，＋∞)单调递增， 故所求的值域为[－1，＋∞)．
【解析】y＝(13)1－x＝3x－1＝13·3x>0， 即 y＝(13)1－x 的值域为 R＋，其它都不符合．
函数值域或最值的常用求解方法
配方法
主要适用于可化为二次函数的函数，形如F(x) ＝af 2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，此时要 特 别注意自变量的范围；
求二次函数在闭区间上的值域问题，一般利用 配方法，并结合二次函数的图象，利用函数单调性 求解，若函数或区间中含参数，则按区间端点与对 称轴的相对位置分情况讨论．
求函数的值域． y＝x2－2x4－x＋4 5(x≥52)；
【解析】f(x)＝x2－x2－2＋ 2 1＝12[(x－2)＋x－1 2]， ∵x≥52，∴f(x)≥12·2 x－2×x－1 2＝1. 当且仅当 x－2＝x－1 2时，即 x＝3 时取到最小值， ∴值域为[1，＋∞)．
函数值域或最值的常用求解方法
求函数的值域． y＝x2－2x＋5，x∈[－2，2]；
【解析】由于 y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4， 所以二次函数图象开口向上，对称轴为 x＝1. 当 x∈[－ 2，2]时， 函数在 x ＝ 1 时，取最小值 4， 在 x ＝－2 时，取最大值 13， 故所求值域为[4，13]．
若 x有意义，则函数 _____．
[归纳领悟]
1．函数有解析式时，其定义域是使解析式有 意义的自变量的取值构成的集合．
2．实际问题的函数定义域不仅要考虑解析式 的意义，还要看其实际意义．
3．抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何 关系，进而求解．
2．(2011·广东高考)函数 f(x)＝1－1 x＋lg(1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1)
反函数法
利用函数和它的反函数的定义域与值域的关 系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．
形如y＝ cx＋d (a≠0)的函数的值域，均可使 ax＋b
用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用 “分离常数法”求解．
求函数的值域： y＝11＋－xx22；
解：y＝11－ ＋xx22＝1＋2 x2－1， ∵1＋x2≥1，∴0<1＋2 x2≤2， ∴－1<1＋2x2－1≤1，即 y∈(－1,1]． ∴函数有最大值为 1，无最小值．
函数的定义域和值域
考什么 会求一些简单函数的定义域和值域.
怎么考 1.本节是函数部分的基础，以考查函数的定义域、 值域为主，求函数定义域是高考的热点，而求函数 值域是高考的难点． 2.本部分在高考试题中的题型以选择、填空题为 主，属于中、低档题目.
一、常见基本初等函数的定义域 1．分式函数中分母 不等于零 ． 2．偶次根式函数被开方式 大于或等于0. 3．一次函数、二次函数的定义域均为 R . 4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为 R .
整理得xx22－ －xx≥ －01， ≤0
x≤0或x≥1，
⇒1－ 2
5≤x≤1＋2
5，
∴所求函数的定义域为1－2 5，0∪1，1＋2 5. (2)用换元思想，令3－2x＝t，
f(t)的定义域即为f(x)的定义域，
∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，
B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0}
D．{x|0≤x≤1}
解析：xx≥x－0 1≥0 ⇒x≥1 或 x＝0. 答案：C
2．求函数 y＝ln22xx－－x12的定义域．
2x－x2≥0， 解：由ln2x－1≠0，
2x－1＞0，
0≤x≤2， 得x≠1，
x＞12.
{y|y≥4ac4－a b2}；当a＜0时，值域为{y|y≥4ac4－a b2} ．
(3)y＝kx(k≠0)的值域是 {y|y≠0} ． (4)y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域为 {y|y>0} ． (5)y＝logax(a>0 且 a≠1)的值域是R . (6)y＝sinx，y＝cosx 的值域是 [－1,1] ． (7)y＝tan x 的值域是 R .
求函数的值域：f(x)＝log3x＋logx3－1.
解：函数定义域为{x|x∈R，x>0 且 x≠1}． 当 x>1 时，log3x>0， 于是 y＝log3x＋log13x－1≥2 log3x·log13x－1＝1； 当 0<x<1 时，log3x<0， 于是 y＝log3x＋log13x－1 ＝－[(－log3x)＋(－lo1g3x)]－1≤－2－1＝－3. 故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
由已知得

log1 2x＋1≠0，
2
∴x>－12， 2x＋1≠1.
即 x>－12且 x≠0.
练习巩固
1．(2011·台州一模)函数 f(x)＝ 2x－2 x－lg(x－1)的定义域
是 A．(0,2)
() B．(1,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，1)
解析：函数有意义需满足2x－－x1>>00，，
{y|y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．在 函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应 关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既 要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域 对值域的制约作用．
2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为
若函数 y＝f(x)的值域是[12，3]，则 F(x)＝f(x)＋f1x的
值域是
(B)
A．[21，3]
B．[2，130]
C．[25，130]
D．[3，130]
【解析】令 t＝f(x)，则 t∈[12，3]， F(x)＝t＋1t ∈[2，130]，故选 B.
求函数的值域： f(x)＝x－ 1－2x；
5．y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为 (0，＋∞) ．
6．y＝tan x的定义域为 {x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．
7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有 意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
[题组自测]
1．函数 y＝ xx－1＋ x的定义域为
()
A．{x|x≥0}
函数值域或最值的常用求解方法
单调性法
单调性求值域关键是熟悉基本初等函数的单调性，及 熟练利用导数讨论函数的单调性，如 y＝ax＋b＋ dx＋e
(a、b、d、e 均为常数，且 ad≠0)，看 a、d 的符号，若同
号用单调性求值域，否则用换元法求值域；
求函数的值域： f(x)＝x－ 1－2x；
法一：容易判断 f(x)为增函数，而其定义域 应满足 1－2x≥0，即 x≤12，所以 y≤f(12)＝12， 即函数的值域是(－∞，12]．
答案：{x|x≥4且x≠5}
[精析考题]
[例 1] (2011·江西高考)若 f(x)＝ log 1 12x＋1，
2
则 f(x)的定义域为
( C)
A.－12，0
B.－12，＋∞
C.－12，0∪(0，＋∞)
D.－12，2
2x＋1>0，
[自主解答]
形如 y＝aa12xx22＋ ＋bb12xx＋ ＋cc12(a1，a2 不同时为零) 的函数的值域常用此法求解．
形如 y＝cx2a＋x＋dxb＋e或 y＝cx2a＋x＋dxb＋e(a·c≠0)的值 域常用基本不等式或判别式法求解(判别式要慎用)．
求函数的值域： y＝x＋4x (x<0)．
解：∵x<0，∴x＋4x＝－(－x－4x)≤－4， 当且仅当 x＝－2 时“＝”成立． ∴y∈(－∞，－4]． ∴函数有最大值－4，无最小值．
函数值域或最值的常用求解方法
直接法（观察法）
从自变量 x 的范围出发，通过观察和代 数运算推出 y＝f(x)的取值范围；
1．函数 y＝x2＋1 2的值域为
()
A．R
B．{y|y≥12}
C．{y|y≤12}
D．{y|0<y≤12}
解析：∵x2＋2≥2，∴0<x2＋1 2≤12，∴0<y≤12.