利用复数妙解三角几何等问题

关键字：复数；形式；解题；妙解
复数是高三最后一章的内容，短短几页，只有三节，但在高考中却占着一定的分值。高考中复数主要是以选择题与填空题的形式出现，只要掌握了复数的概念以及运算规律，就很容易得出答案。因此，教材的编排只简单介绍了复数的概念，复数的运算以及数系的扩充，没有作过多的介绍，其三角形式和指数形式只是在背景材料中提到过，并没有作详细的介绍。但在实际应用中，很多的数学问题，比如：三角问题、几何问题等我们也可以用复数的知识去解答。在高中数学中，复数把三角、平面几何、解析几何、代数在一定的程度上相互链接起来了，那我们应该如何巧妙地利用复数的不同表示形式去解答这类问题呢下面分别对这几方面进行探究。
图
设向量 、 对应的复数为 、
∵ ，
∴ ， ∴
∴ 又∵ 是复数 的辐角， 是复数 的辐角
∴根据复数的乘方运算性质有
∴
点评：证法一是利用平面几何的方法，证法二是利用复数辐角的方法，显而易知，证法二比证法一更简洁明了。如果平面上的几何图形之间的关系可以用复数来表示，那么这些几何的问题我们就可以通过复数的运算来解决，巧妙地算出我们想要的结果，从而使一些比较复杂的几何问题得到更简洁的证法。
参考文献
［1］钟玉泉.复变函数论（第三版）［M］.北京.高等教育出版社，2004:3-21.
［2］傅荣强.第二篇综合应用篇［M］.北京.科学出版社.2002：240-241.
［3］顾长亮.余弦定理的向量复数证明及其变式应用［J］.
［4］李中恢.复数在三角问题中的应用［J］.南昌高专学报，2008，（4）：165-166.
［5］许兴华.平面几何问题的复数解法［C］.
故 ，同理可证 ，
证法二（复数法）：
令 ， ，则由 ，得：
（3-10）
把（3-7）和（3-8）代入（3-10）得：
两边平方，得：
化简，得：
同理可证： ，
证法一是利用了不等式的基本性质解答，证法二则利用了模的性质，两种方法体现了两种不同的数学思维。证法一是最常用的方法，但当我们想不到证法一时，不妨试试其它途径，比如证法二，或许它会给我们一种意想不到的结果，让我们体验“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的惊喜。在我们平时的练习中，如果有意识地“一题多解”，这样不仅可以开拓我们的智力，亦能发散我们的思维。
【例6】 证明余弦定理。
证明：证法一:
图
画出三角形ABC，经过A点作BC的高为AD，如上图
设 的长为 ， 的长为 ， 的长为 ，则 ,,根据勾来自定理，有 即平方整理后，得
同理： ,
证法二：
以 为原点， 为 轴建立复平面，在复平面内作三角形 ,如图，那么 、 、 这三点分别对应的复数为 ，0，
图
∵
∴ 对应的复数为
本人仅对如何利用恰当的复数表示形式去解决高中数学不等式、数列、方程、几何、三角这五大方面的部分问题作了一些探究，而还有很多非复数的数学问题还可以通过构造恰当的复数表示形式去解决。由于本人的知识水平有限，目前未能够总结出更多的对于非复数数学问题的复数的解题方法与技巧，这是本毕业论文存在的不足。但笔者将会在今后的学习研究中继续思考此问题，以尽力弥补本文的不足。
复数的三角形式为 ，而 与 是三角函数中的正弦与余弦，这说明复数的三角形式与三角函数有着密切的联系，这个纽带为我们利用复数的运算与性质来解决三角函数的某些相关的问题创造了一条新的路径。
（1）利用三角形式计算三角函数值
针对在计算三角函数值时如果我们遇到的角度不是比如 ， ， ， 等等这些特殊的角度，并且题目中的各角度之间又存在着倍数关系时，用三角函数的和差角公式的方法计算则比较复杂，那么我们就可以考虑是否能用复数的表现形式去解决。三角函数很多时候与 ， 有关，而三角函数与复数的三角形式的共同点是含有 、 ，所以我们一般选择复数的三角形式去计算。
【例8】若实数 ， ， 满足等式 ，
求证： ， ，
分析：在这里我们可以用三角代换，不等式的基本性质……等多种方法来求证，但如果我们采取复数法，证明也很简洁明了。
证明：证法一：
由题意得： （3-7）
（3-8）
由均值不等式，有 （3-9）
把（3-7）和（3-8）代入（3-9）式，即
去括号，移项，合并同类项，整理得：
证明：设 ， ，
∵ 、 为锐角，即 、 （0， ）∴ （0， ）
∵
∴ 即
∵
∴ 即
根据棣莫弗公式，有
∴根据辐角的性质有：
即
故结论得证。
（3）利用指数形式证明三角等式
【例4】求证 .
分析：此题如果我们用一般的方法——和差角公式去证明的话是不容易入手的，因为等式左边是一倍 角度，而等式右边是五倍 角度，无论从左边证明右边还是从右边证明左边都是难上加难，因此我们可以考虑用复数的方法。但此题如果仍用例3的方法去证明是很难行得通的，这时我们可以考虑运用复数的其它表达形式。通过观察，在这里如构造复数的指数形式去证明较为简便。
复数 复平面内的点（ ， ），这就是复数的几何表示形式。
我们知道，任何一个复数都与平面直角坐标系中的点构成一一对应的关系，即：复数 复平面内的点 （ ， ），而点 （ ， ） 平面向量。所以，复数 平面向量 ，也就是说复数 也可以用起点为原点，点 （ ， ）为终点的向量 表示， 这个向量即是复数的向量表示形式。
4
本文在借助有关文献的基础上，对利用复数解决几何三角等问题进行了探究，归纳了如何利用恰当的复数表示形式去解决这些问题的方法。并指出在解决这些问题时，我们不仅需要熟悉掌握复数的最基本的知识，还要很巧妙地运用其相关的知识，善于从复杂的问题中寻求最简便的方法，掌握其技巧。
本文对利用复数解三角几何等问题进行了研究，这启示我们在解决数学问题时，不要急于解题，而是要学会分析题目，观察题设和条件的特征，寻找出问题的特殊性和简单性，善于运用复数的知识对问题进行有针对性的处理，进而提高解题的灵活性，增强解决问题的能力和数学思维的修养。
【例9】 解方程 。
解：证法一：原方程两边平方，有：
去括号：
移项，合并同类项，整理得
两边平方，得
移项，合并同类项，整理得 即：
故 即这个方程的根为 。
分析：证法一是解无理方程的一般解法，即通过平方去根号把它转化成有理方程再求解。但平方后未知数x的次数增高，项数也增多，甚至有时也会产生增根，对求解更加困难。但观察这个方程，发现根号里面可以配方，类比复数的模，故可以归结为复数的问题来解决，即证法二。
利用复数妙解三角几何等问题
摘要
复数在高中涉及的知识点较少，在高考中占据的分数也不多，但却是很有特色的内容。因为复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式与三角、几何、代数等学科有着密切的联系。本文罗列了复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式，从解三角函数、几何、不等式、方程等几个问题论述复数在解决非复数数学问题的具体应用，充分认识、深刻理解、熟悉掌握和灵活运用复数的几个表示形式去解答，对学生的创新性思维素质和能力的培养具有重要意义。
1
复数的代数形式表示为 （其中x、y为实数），其中“ ”叫做虚数单位， ， 和 分别叫做复数的实部和虚部。
图
在复平面上，每一个复数 都能够由复平面上坐标为（ ， ）的点来表示，复数集C和复平面上的点所称的集合之间建立了一个一一对应的关系：“任何一个复数 都可以由复平面的唯一的一个点（ ， ）来表示，反之，复平面内的任何一个点（ ， ）都可以表示唯一的复数 。”
图
设复数 对应于对应于向量 ,其中 的坐标为 ，如图，其中 ，所以 。我们把 叫做复数 的三角形式。
由我们熟知的欧拉公式 以及复数的三角形式 有 ，我们把这个表达式叫做指数形式。也就是说，任一非零复数z总可以表成 。并且容易得到 ， 。
2
复数是中学数学数系中的最后扩充，包含的知识面较多，应用也比较灵活。复数在高中数学中也是相对独立的，它的三角形式、几何形式、向量形式、代数形式、指数形式把几何、三角等学科紧紧的联系在一起，构建了一座优美的“桥梁”。因此，复数为高中数学解题提供了一种新的解题途径。下面对如何利用恰当复数形式妙解三角几何等问题做一些探讨。
∴ 又∵
∴
∴两边平方，移项，整理，得
同理可证 ，
点评：对于平面几何的证明，如果我们采用平面几何的证法，不仅需要技巧，而且遇到图形复杂的问题时，要找出适当的辅助线是很困难的，甚至有时还不知道该如何下手。但是，如果我们采用复数的方法去解决，只要建立一个复平面，很多复杂的问题就迎刃而解了。
我们都知道，实数是可以比较大小的，不等式是在实数的基础上建立的，虽然复数之间是无大小可言的，但是，这并不是表示说复数和不等式毫无关系。因为复数的实部和虚部是由实数构成的，而复数与不等式之间的关系则可以反映在复数的实部、虚部和模之间的关系上。所以，关于不等式的问题，我们也可以用复数的知识来解决。
设 ，则 ,那么两式相减得 ，从而
（2-1）
同理 （2-2）
故 (2-3)
由棣莫弗公式有 ， ，则
（2-4）
(2-5)
(2-6)
【例1】计算 的值。
分析：因为 是 的倍数，所以可以构造复数 。
解：构造复数 ，那么 ， ，
由公式（3-1）与（3-4），得
【例2】若 、 为锐角，且 ， ，求 的值。
解：∵ 且 为锐角
【例7】已知 ， 且 ，
求证：
图
证明:证法一：设 ，则
在 中有
∴
，
， ，
∴
证法二：设 ， ， ，
∴
证法一通过单位正方形的结合，可以得出结论。但是，证法一这种方法存在着很强的技巧性，有时候我们是难以想到的。这时我们就应该考虑其他的办法。这个不等式证明题含有四个无理式，并且这四个无理式都有一个共同的特征：两个数的平方和再开方。由此我们很容易联想到距离公式，进而联想到复数的模就顺理成章了。