复数与平面几何 数学竞赛
复数竞赛题
复数竞赛题
摘要：
1.复数竞赛题的概述
2.复数的基本概念
3.复数竞赛题的解题方法
4.复数竞赛题的实例解析
5.总结
正文：
【复数竞赛题的概述】
复数竞赛题是指涉及到复数知识的各种竞赛题目，复数作为数学的一个重要分支，其在解决实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
复数竞赛题能够有效检验学生对复数知识的掌握程度，提高学生的数学素养和解题能力。
【复数的基本概念】
复数是由实数和虚数部分组成的数，实数部分通常表示为a，虚数部分表示为bi，其中a 和b 均为实数，i 为虚数单位，满足i^2=-1。
复数的基本运算包括加法、减法、乘法、除法等，同时还包括复数的模、共轭、倒数等基本概念。
【复数竞赛题的解题方法】
解决复数竞赛题，首先要熟练掌握复数的基本概念和运算法则，然后根据题目要求，采用相应的解题方法。
常见的解题方法包括：直接求解法、代数法、几何法、复分析法等。
【复数竞赛题的实例解析】
例题：已知复数z=a+bi（a，b∈R），求证|z+1/z|=sqrt(5)。
解：根据题意，z+1/z=(a+1+(b-1)i)/(a^2+b^2)，所以
|z+1/z|=sqrt((a+1)^2+(b-1)^2)/sqrt(a^2+b^2)=sqrt(5)。
【总结】
复数竞赛题作为数学竞赛中的一个重要组成部分，对提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义。
要解决好复数竞赛题，首先要熟练掌握复数的基本概念和运算法则，然后根据题目要求，灵活运用各种解题方法。
高中数学竞赛讲义第一讲《复数》练习
高中数学竞赛第一讲复数一、基础知识1．复数的运算法则：三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1), z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2)，则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]；11222(0),z r z z r ≠=[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]，或记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+；.)(212121θθ-=i e r r z z 2．棣莫弗定理：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ). 3．开方：若=nw r (cos θ+i sin θ)，则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=，k =0,1,2,…,n -1。
4．方程10(2n x n n n -=≥为自然数，且）的个根 记为：22cossin (0,1,2,,1)k k k i k n n nππε=+=-称为1的n 次单位根。
由棣莫弗定理，全部n 次单位根可表示为112111-n εεε ，，，。
关于单位根，有如下常用性质：)20111211≥=++++-n n （εεε ；任意两个单位根j i εε,的乘积仍为一个n 次单位根，且（1）的余数）除以是其中时，当n j i k n j i k j i j i j i +=≥+=⋅++,(εεεεε； （2）设m 为整数，1≠n ，则⎩⎨⎧=++++-的倍数）不是的倍数），是n m n m n mn m m (0(1121εεε（3）1+z 1+z 2+…+z n -1=0；（4）x n -1+x n -2+…+x +1=(x -z 1)(x -z 2)…(x -z n -1)=(x -z 1)(x -21z )…(x -11n z -). 特别地：1的立方根有：1，ω＝－12＋32i ，-ω＝－12－32i（1）ω3＝-ω3＝1 （2）1＋ω＋ω2＝0或1＋-ω＋-ω2＝0 （3）ω-ω＝1 （4）ω2＝-ω，-ω2＝ω （5）(1±i )2＝±2i ，(3±4i )2＝－7±24i5．代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。
复数与平面几何的应用问题的综合练习题
复数与平面几何的应用问题的综合练习题题目一：求解复数方程已知复数方程z^2-6z+13=0，求解z的值。
解析：设z=a+bi，其中a和b为实数。
将z代入方程中得到：(a+bi)^2-6(a+bi)+13=0展开并整理得：(a^2-b^2-6a+13)+(2ab-6b)i=0由于两个复数相等，实部和虚部都相等，所以可以得到以下两个方程组：1) a^2-b^2-6a+13=02) 2ab-6b=0解方程组1)可以得到：a^2-6a+(13-b^2)=0应用一元二次方程求解公式，可得：a=3±√(b^2-4(13-b^2))/2实部a的值依赖于b的值。
解方程组2)可以得到：2a-6=0解得a=3，与解方程组1)的a值相等。
综上所述，复数方程z^2-6z+13=0的解为：z=3±bi，其中实数部分a=3，虚数部分b为任意实数。
题目二：复数表示平面向量已知复数z=a+bi表示平面上的一个向量，其中a和b为实数，向量与x轴夹角为θ，则求解θ的值。
解析：由于复数z的实部a表示向量在x轴上的投影长度，虚部b表示向量在y轴上的投影长度。
根据三角函数的定义，可以得到以下关系：t anθ = b/a解方程得到：θ = arctan(b/a)综上所述，复数z=a+bi对应的向量与x轴夹角θ满足θ = arctan(b/a)。
题目三：复数表示平面上的变换已知平面上的一点P的坐标为复数z，经过平面上的一个旋转变换R，P的坐标变为w。
求解旋转变换R的中心坐标和旋转角度。
解析：假设旋转变换R的中心坐标为复数c，旋转角度为θ。
根据旋转变换的定义，可以得到以下关系：w = (z - c) * e^(iθ) + c展开并整理得：w = z * e^(iθ) - c * e^(iθ) + c根据复数的指数表示形式，即e^(ix) = cosx + isinx，上式可以进一步化简为：w = (a+bi) * (cosθ + isinθ) - (c+di) * (cosθ + isinθ) + c+diw = (a*cosθ - b*sinθ + c) + (b*cosθ + a*sinθ + d)i根据两个复数相等的实部和虚部相等的性质，可以得到以下方程组：1) a*cosθ - b*sinθ + c = a2) b*cosθ + a*sinθ + d = b解方程组可以求解出中心坐标c和旋转角度θ的值。
复数竞赛题
复数竞赛题摘要：一、引言二、复数竞赛题的来源和意义三、复数竞赛题的类型和特点四、复数竞赛题的解题方法和技巧五、复数竞赛题的训练和提高六、总结正文：复数竞赛题在数学竞赛中占据着重要的地位，对于培养学生的数学思维和解题能力具有很大的意义。
本文将围绕复数竞赛题展开讨论，分析其来源、类型、特点和解题方法，以期帮助学生更好地应对复数竞赛题。
一、复数竞赛题的来源和意义复数是中学数学中的一个重要概念，与实数一起构成了完整的数系。
复数竞赛题主要来源于课本知识，如复数的运算、复数的几何意义、复数的三角表示等。
通过解答复数竞赛题，学生可以加深对复数概念的理解，提高自己的数学素养。
二、复数竞赛题的类型和特点复数竞赛题可分为以下几类：一是计算题，主要考察学生对复数运算的熟练程度；二是证明题，要求学生运用复数的性质解决问题；三是应用题，需要学生将复数知识与实际问题相结合。
复数竞赛题的特点是综合性强，需要学生具备一定的抽象思维能力。
三、复数竞赛题的解题方法和技巧1.熟悉复数的概念和性质：解答复数竞赛题的前提是熟练掌握复数的基本概念和性质，如共轭复数、虚数单位等。
2.灵活运用复数的运算法则：在解答过程中要注意合理运用复数的加法、减法、乘法、除法等运算规则。
3.善于利用已知条件：在解题时要仔细分析题目中给出的条件，寻找解题的突破口。
4.注重逻辑推理：解答复数竞赛题需要严谨的逻辑推理，确保步骤清晰、正确。
四、复数竞赛题的训练和提高为了更好地应对复数竞赛题，学生需要通过大量的练习来提高自己的解题能力。
在训练过程中，要注意总结经验，形成自己的解题方法和技巧。
同时，积极参加各类数学竞赛，提高自己在复数竞赛题方面的实战能力。
总之，复数竞赛题是数学竞赛的重要组成部分，对培养学生的数学素养和解题能力具有重要意义。
高中数学竞赛专题竞赛中的复数问题
Z2,Z3,Z4
共圆的充要条件是:
z3 z4
z1 z1
:
z3 z4
z2 z2
∈R.
二、典型问题
1.复数概念
[例 1]:若对一切θ∈R,复数 z=(a+cosθ)+(2a-sinθ)i 的模不超过 2,则实数
a 的取值范围为 .
[解 析]:|z|≤2 (a+cosθ)2+(2a-sinθ)2≤4 2acosθ-4asinθ≤3-5a2 -2 5 asin(θ+φ) ≤3-5a2 2 5 |a|≤3
z1 z2
+ z2 z3
+
z3 z1
=cos(α-β)+
isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1 sin(α-β)+sin(β-γ)+si
n(γ-α)=0
2sin cos 2 -2sin cos =0 sin sin sin =0.
部是
.
解: = =2 (1 cos 2B i sin 2B)(1 cos 2C i sin 2C) 2 cos B(cos B i sin B) 2 cos C(cos C i sin C)
cos B cos C
1 cos 2A i sin 2A
2 cos A(cos A i sin A)
2
2
2
2
2
2
2
当
sin
2
=0
时,β=2kπ+α
复数竞赛题
复数竞赛题摘要：1.复数竞赛题的概念与分类2.复数竞赛题的解题方法与技巧3.复数竞赛题的实际应用案例4.如何提高复数竞赛题的解题能力正文：复数竞赛题是指在各类数学竞赛中出现的涉及到复数知识的题目，这类题目旨在考查学生对复数概念的理解以及运用复数知识解决问题的能力。
复数竞赛题可以分为两大类：理论性题目和应用性题目。
理论性题目主要考查学生对复数基本概念、性质、运算等方面的掌握程度；应用性题目则要求学生运用复数知识解决实际问题，如解析几何、微积分等。
解复数竞赛题需要掌握一定的方法和技巧。
首先，要熟练掌握复数的基本概念和性质，如实数、虚数、纯虚数、共轭复数等，以及复数的模、幅角、相位等基本概念。
其次，要熟练运用复数的运算法则，如加法、减法、乘法、除法等，以及复数的幂运算、对数运算、三角函数运算等。
此外，还需要掌握一些常用的复数公式和恒等式，以便在解题过程中能够快速地化简和求解。
在实际应用案例中，复数竞赛题可能涉及到复数在解析几何中的应用，如求解复数形式的直线、圆、椭圆等；也可能涉及到复数在微积分中的应用，如求解复数形式的函数的极值、曲线拟合等问题。
这些题目不仅要求学生具备扎实的复数知识，还要求学生具备一定的数学建模和实际问题分析能力。
要提高解复数竞赛题的能力，首先要加强基本功，熟能生巧。
可以通过大量的练习来巩固和提高对复数知识的掌握程度，以及运用复数知识解决问题的能力。
其次，要善于总结和归纳，形成自己的解题方法和技巧。
可以通过分析典型例题，提炼出解题的关键步骤和技巧，以便在遇到类似题目时能够迅速找到解题思路。
此外，要关注各类数学竞赛的动态，了解竞赛题目的趋势和特点，有针对性地进行训练和准备。
总之，复数竞赛题是对学生复数知识的一次全面检验，要求学生在理论和实践两方面都具备较高的水平。
复数历年数学联赛真题WORD版分类汇编含详细答案
2016年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编12、复数部分2018A 6、设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的z 1=z x 0222=++x z zx z 和为 ◆答案：23-★解析：设（，且）bi a z +=R b a ∈,122=+b a 则原方程变为，所以，()()022222=-+++i bx bx ax ax ⎩⎨⎧=-=++0202222bx bx ax ax ***①若，则，解得，检验得，，，即；0=b 12=a 1±=a 1=a 31±-=x 1-=z ②若，则由知或，检验得：，代入 得，，0=b **0=x 22=x *41-=a 415±=b 所以；i z 41541±-=综上满足条件的所有复数之和为2341541415411-=--++-+-i i 2018B 8、已知复数满足，，其中是给定的实数，321,,z z z 1321===z z z r z z z =++321r 则的实部是 （用含有的式子表示）133221z z z z z z ++r ◆答案：232-r ★解析:记，由复数的模的性质可知：，，，因此133221z z z z z z w ++=111z z =221z z =331z z =。
133221z z z z z z w ++=于是()()ww w z z z z z z z z z r Re 2322322213213212+=++++=++++=解得。
23Re 2-=r w 2017A11、（本题满分20分）设复数满足，，且21,z z 0)Re(1>z 0)Re(2>z ，（其中表示复数的实部）2)Re()Re(2221==z z )Re(z z ⑴求的最小值；)Re(21z z ⑵求的最小值。
212122z z z z --+++★解析：⑴对，设，（），由条件知，2,1=k i y x z k k k +=R y x k k ∈,，()0Re >=k k z x ()2Re 2==-k k k z y x 因此：()()()()()2222Re Re 21212122212121221121≥-+≥-++=-=++=y y y y y y y yy y x x i y x i y x z z 又当时，，这表明的最小值为。
个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲
个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的。
了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
方法、方法。
平面、及应用。
2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。
，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
，一阶、二阶递归，法。
函数，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，，及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它。
集合的划分。
覆盖。
西姆松线的存在性及性质()。
及其逆定理。
一、平面几何1. 梅涅劳斯定理（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
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复数与平面几何
本篇着重讨论三角形巧合点的复数表示以及计算彼此之间的距离复数方法，复数方法虽然很少用到，但是但凡用到无不是一击制胜。
最经典的自然是那个将垂心变幻的那个IMO 题，不过自这一题之后除了解析性质比较明显，或者是涉及到变换之类的多有用复数证法，原汁原味的复数证法已鲜见，笔者在那道IMO 题之后感触颇深，经过研究，对三角形巧合点的复数形式做了一个小结。
引论：
已知△ABC ，以外心O 为原点的复平面A,B,C 对应点的复数为,,A B C z z z 则重心G 对应点复数3
A B C
G z z z z ++=(可以通过重心的性质易得，或者通过重心坐标容易
得到)
2
1××1
221312
B C
B C A A B C
G z z BC z z z z z z z +++++==+中点为
由定比分点公式 垂心H 对应点的复数z H A B C z z z =++下面我们来证明这个性质，无妨令A,B,C 在平面上逆时针排列（这个性质验证是极其容易的，直接得到却要费些功夫） 证法一：由欧拉定理G 在O,H 连线上，而且HG=2OG 以下就直接得到 证法二：
2222222
2
2cos tan tan tan tan cos 2,sin 2,
+=++B C
A H
Ai
A H
B
C A H B C A H B C A H B C A H B C A H B C A AH R A z z i A A A z z e A A A z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z =-==-=----+------=
--∑∏C B
C B 利用垂心性质即易得
（利用该式易证）
z
考虑与A 有关的量：z 利用万能代换表示出（）
（）2（）（）z 则z （）-（）（）-（）（）
（）（++H B C A H B C
H A B C
A H
B C
z z z z z z z z z z z z z z z --+--=
⇒=+--+）
(也可因此易得欧拉公式)
最后推导z I 的表示
z I 的推导一度十分困难，笔者尝试良久仍未见效，最终在向量表示方法中找到了影子，可
考虑内心的如下一个有趣的性质：
引理：0aIA =∑
先来证明这个性质，我们不妨假定a,b,c>1， 考虑三角形中特征点，重心有
0GA =∑
我们可以据此证明，
延长IA,IB,IC 至D,E,F 使ID=a ×IA 等等，反向延长ID 交EF 于G, 则只要证明EG=GF 即可
sin
sin 22cos cos
22sin sin 22
4cos cos 4cos cos
22220A B A C
IE IF r C r B b c B C B C B C
rR rR aIA ++⇔=⇔=⇔=⇒=∑ (注：这里条件是充要的，及平面上一点满足这个要求，则这个点必为三角形的内心，这里就不加赘述了，留给读者证明)
0()0A I A
I
aIA a z z az z a
=⇔-=⇔=
∑∑∑∑
这里给出了四心的复数表示，其中内心的复数表示可以类同垂心证法二中的方法。
下面我们给出这些点之间的距离公式
首
22
222
2=()2B C C B B C C B B C B C B B C C B C B C B B C C B C C B B C C B z z z z R a z z z z z z z z z z z z a z z z z z z z z z z z z z z z z R a +=-±±±±--+-+⇒+=-考虑到，出现在（）（）以及（）（）中，选取其中几何意义较为明显的（）（）
= ①
2
222222
()3(2)9H
H H
A A A A
B
C C B OH z z z z z z z z z z z R R a R a ====++=+-=-∑∑∑∑∑∑ ②22
22
()39
a OH OG R ==-∑
③
2
2
2
2
2
22222222
2
2()()
()
()()(2)
()()
()
2A A A
A B C B C I I I az az a z z bc z z z z OI z z z a a R a bc R a R a abc a
abc
R a a a
R Rr
++====
+--=
=
=-
=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
④2
2
2
2
2
2
444()49
9
a a GH OG R R ==-
=-
∑∑
⑤
()()
2
2
2
2
22222
222
2
3
3
22
((2))((2))
9()(2)(2)(2)()
9()(2)(2)(2)(2)
9()((2))(2)(2)9()()4A A I G I G A A B C C B a b c z a b c z GI z z z z a a b c z z b a c c a b z z z z a R a b c b a c c a b R a a R a b c b a c c a b a a b c bc b c ----=--=
--+----+=--+-----=-------=
++=
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑4
2
4
4
222
4
2
2
22
2
2259()
()5103236()
()8032()203236()369
516999
abc a a a a a b c abc a a a S abc a a S abc
a a
p r Rr ---+-=
+-==+
-
=+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
22
2222
22193
4(4+)222=)2sin tan
2
8cos 2
4+2(2)2(22sin )22
2cos 2
a r p r R r bc a r bc a
b
c a a R A A A
Rr r A R r R R R A
R +-⇔=--+-===+
=+=∑∑∑∑∑∑∑∑∏∑注：该结果还可写为
下证这个等式这个等式证法较多，可以化为代数恒等式证明下面，我们给出一个三角方法的证明：（得证
⑥
()()
()22
2
2
22222
222
2
4
442222
2
2
(())(())()()()()
()()()()()(2)
()(())()()()4461244()44H I H I A A A A B C C B HI z z z z b c z b c z b c z z a b a c z z z z a a R b c a b a c R a a R b c a b a c a a a abc a a a b c abc a
R a R p =--+++++++==
++++-=+-++=
++---=-
=-+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222
222
824344()1(42)2
S abc
R p r Rr a a R r a +=-++=+-
∑∑∑。