上海理工大学-线性代数
上海理工大学继续教育学院 线性代数补考复习题
， e3
。
21．计算三阶行列式
a b c b c a c a b
b a c ，c b a a c b
b a a ，c b b a c c
；若方程组有 。
kx x 2 1 22．已知方程组 1 。系数行列式 D 3x1 2 x 2 5
唯一解，则 D ，此时得 k
30．若向量 e1 , e2 构成向量空间 V 的一个规范正交基，则
e1
， e2
， e1 , e2
。
31．计算三阶行列式（未写出的元素为 0）
a b c
，
a b c
a ，d e
b f c
。
2 x1 kx2 2 32．已知方程组 。系数行列式 D x1 x 2 3
2 3 1 1 1 1 A 1 1 1 , B 1 2 4 。 5 1 1 1 1 0
AB
， 3 AB 2 A
， AT B
。
14．已知二阶方阵
a 2 A 。 A 1 a
， A*
R( A)
， A 1
， nA 1
。
46．已知方程组 Ax b 为
x1 2 x 2 1 。 A 1 2 x1 2 x 2 2
47．已知方程组
； x1
， x2
。
x1 x 2 2 x3 0 x1 2 x1 x 2 x3 0 。 2 x 2 x 4 x 0 2 3 1
A : a1 (1,1,3,1)T , a2 (1,1,1,3)T , a3 (5,2,8,9)T , a4 (1,3,1,7)T 。
上海市考研数学复习资料线性代数重点概念解析
上海市考研数学复习资料线性代数重点概念解析答题一：上海市考研数学复习资料线性代数重点概念解析线性代数是数学的一个重要分支，也是考研数学中的一门必考科目。
在备考过程中，我们需要重点掌握线性代数的核心概念和基本理论，以便在考试中能够灵活运用。
本文将对上海市考研数学复习资料中的线性代数重点概念进行解析，帮助考生更好地理解和掌握相关知识。
1. 矩阵及运算矩阵是线性代数中最基本的概念之一。
矩阵是一个由$m$行$n$列元素组成的矩形阵列，记作$A_{m\times n}$。
矩阵的加法、数乘、乘法是常见的运算操作。
其中，矩阵的乘法是一种特殊的运算，需要注意矩阵的乘法不满足交换律。
2. 线性方程组与矩阵的应用线性方程组是线性代数的核心内容之一。
一个线性方程组包含若干个线性方程，未知数之间的系数构成系数矩阵，方程右端构成常数向量。
线性方程组的解可以通过矩阵的运算求解。
对于方程组$Ax=b$，若存在满足条件的向量$x$，使得等式成立，则称$x$是方程组的解。
3. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
对于一个$n$阶方阵$A$，若存在一个数$\lambda$和一个非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$，则称$\lambda$为矩阵$A$的特征值，$x$为对应于特征值$\lambda$的特征向量。
矩阵的特征值与特征向量在数学和物理等领域具有广泛应用。
4. 矩阵的行列式矩阵的行列式是线性代数中的一个重要概念。
对于一个$n$阶方阵$A$，其行列式记作$|A|$。
行列式可以用于判断方阵的可逆性，计算方阵的逆矩阵以及求解线性方程组。
行列式的计算涉及到代数余子式和伴随矩阵等概念。
5. 矩阵的秩与线性相关性矩阵的秩是矩阵的重要性质之一。
对于一个矩阵$A$，其秩记作$r(A)$。
矩阵的秩可以通过高斯消元法等方法求解。
矩阵的秩与线性相关性密切相关，当矩阵的秩小于行数或列数时，说明矩阵中存在线性相关的向量。
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识点梳理
上海市考研数学复习资料线性代数重点知识点梳理线性代数作为数学的一个重要分支，在考研数学中也占据着重要的地位。
在备考过程中，对线性代数的重点知识点进行梳理和复习是非常必要的。
本文将从线性代数的基础概念、矩阵与行列式、向量空间、线性变换以及特征值和特征向量等方面，对上海市考研数学复习资料中的线性代数重点知识点进行详细的介绍和总结。
一、基础概念1. 数域与向量空间：数域的定义和性质、向量空间的定义、线性组合与线性相关、线性无关与生成子空间等。
2. 矩阵与行列式：矩阵的定义和性质、矩阵的运算、矩阵的转置、矩阵的秩、行列式的定义和性质、行列式的计算等。
3. 线性方程组：线性方程组的解集、线性方程组的性质、线性方程组的判定定理等。
二、矩阵与行列式1. 矩阵的运算：矩阵的加法、矩阵的数乘、矩阵的乘法、矩阵的幂等性等。
2. 矩阵的转置：矩阵的转置定义、矩阵转置的性质、矩阵转置的运算法则等。
3. 矩阵的秩：矩阵的秩的定义、矩阵秩的性质、矩阵秩的计算方法、矩阵的秩与线性方程组解的关系等。
4. 行列式的定义和性质：行列式的定义、行列式的性质、行列式的运算等。
5. 行列式的计算：拉普拉斯展开定理、行列式按行（列）展开计算等。
三、向量空间1. 向量空间的定义和性质：向量空间的定义、向量的加法和数乘、向量空间的性质等。
2. 线性组合与线性相关：线性组合的定义、线性相关与线性无关的概念、线性相关矩阵的秩等。
3. 子空间：子空间的定义、子空间的性质、子空间的直和分解等。
4. 基与维数：基的定义、基的性质、维数的概念、维数的计算等。
四、线性变换1. 线性变换的定义和性质：线性变换的定义、线性变换的性质、线性变换的运算性质等。
2. 线性变换的矩阵表示：线性变换的矩阵表示的定义、矩阵表示的性质、矩阵表示的计算等。
3. 线性变换与矩阵的相似性：线性变换与矩阵的相似性的定义、相似矩阵的性质等。
五、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质：特征值和特征向量的定义、特征值和特征向量的性质、特征值的计算等。
上海理工大学研究生高等代数预备知识
预备知识——一元多项式
c1 ,, cs 为 f(x)的全部实根.
p1 ,, pr , q1 ,, qr 全是实数.
注 利用根与系数的关系，可以构造一个n次多项式， 使其恰以 1 , 2 ,, n 为根. 例2 求出有单根5与-2, 二重根3的四次首1多项式.
预备知识——一元多项式
4.实系数多项式的因式分解定理 每个次数大于0的实系数多项式在实数域上都可 以唯一分解成一次因式与二次因式的乘积.
n n1 f ( x ) a x a x a1 x a0 R [ x], 设 n n1
f (x ). 。
预备知识——一元多项式 五.两个多项式的最大公因式
定义1 设 f ( x ), g( x ), ( x ) P[ x], 若 ( x) f ( x), ( x) g( x), 则 ( x ) 是 f ( x ), g( x ) 的一个公因式. 定义2 设 f ( x ), g( x ) P[ x], 若 d ( x ) 满足 (1) d ( x ) 是 f ( x ), g( x ) 的一个公因式, (2) f ( x ), g( x ) 的任一个公因式 ( x ) 均有 ( x) d ( x), 则称 d ( x ) 是 f ( x ), g( x ) 的最大公因式.
1 , 2 ,, n 是 f(x)的n个根(重根按重数计).
则
f ( x) ( x 1 )( x 2 )( x n )
x (1 n ) x
n n1
1 i j n
i j x n2 ( 1)n1 2 n
预备知识——一元多项式
定理 设 f ( x ), g( x ) P[ x], d ( x ) 是 f ( x ), g( x )
上海理工大学-线性代数
B 模拟卷四
（一）（本题15分）计算下列行列式的值
（1）2605232
11213141
2-=D （2）n
D ...222...
............2...3222...2222...221=（二）（本题12分）设矩阵A 和B 满足关系式B A AB 2+=，其中
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。
（三）（本题13分）当λ取何值时，非齐次线性方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x 有解？并在有无穷多组解时，求出全部解。
（四）（本题14分）求下列向量组的秩和一个最大线性无关组，并将其余向量
表示成这个最大无关组的线性组合。
()T 1,2,2,1,11=α，()T 1,5,1,2,02-=α，
()T 3,1,3,0,23-=α，()
T 1,4,0,1,14-=α（五）（本题12分）设向量组4321,,,αααα的秩为3，向量组5321,,,αααα的秩
为4，证明：向量组45321,,,ααααα-的秩为4。
（六）（本题8分）证明()T 0,1,11-=α，()T 3,1,22=α，()T
2,1,33=α构成3R 的一组基。
（七）（本题18分）求方阵A 的特征值与特征向量，其中⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A （八）（本题8分）已知n 阶矩阵A 和B 满足关系式AB B A =+，证明：E A -为
可逆矩阵，其中E 为n 阶单位矩阵。
上海理工大学2023《线性代数》考研参考书目和考研大纲
上海理工大学2023《线性代数》考研参考书目和考研大纲1500字《线性代数》是考研数学专业基础课之一，对于计算机科学、数学、统计学等相关专业的研究生来说是重要的必修课程之一。
在准备考研的过程中，选择合适的参考书目是非常重要的。
接下来为您推荐一些适合2023年上海理工大学《线性代数》考研的参考书目，并对考研大纲进行解读。
1.《线性代数及其应用》（第四版）作者：David C. Lay、袁亚湘该教材是经典的线性代数教材，深入浅出地讲解了线性代数的基本概念、性质和应用。
书中的例题和习题非常丰富，帮助读者巩固知识点并掌握解题技巧。
2.《线性代数》（第七版）作者：Howard Anton、Chris Rorres这本书是另一本很受欢迎的线性代数教材，与其他书相比，它对定理的证明更为详细，有助于理解和掌握重要概念和定理。
3.《线性代数与解析几何》（第五版）作者：李建民、杜江晖该教材是国内著名的线性代数教材，内容全面、系统，并增加了较多的实例和练习题，对考研备考很有帮助。
4.《线性代数》（第二版）作者：谢和平这本书是红宝书系列中的一本，作者以清晰的语言、详细的推导讲解了线性代数的基本理论和方法，是考研复习的好选择。
考研大纲主要分为以下几个部分：1. 向量空间和线性变换：讲解向量空间的定义、基础性质和运算规则，线性变换的定义、矩阵表示和性质。
2. 矩阵与行列式：介绍矩阵的基本概念、运算规则和性质，行列式的定义、性质、求解方法和应用。
3. 线性方程组：探讨线性方程组的基本概念、解的存在唯一性和求解方法，以及齐次线性方程组和非齐次线性方程组的性质和解的结构。
4. 特征值与特征向量：介绍特征值和特征向量的定义、性质和求解方法，以及对称矩阵的对角化。
5. 线性算子：讲解线性算子的概念、线性算子的矩阵表示和性质，同时介绍内积空间和正交性。
根据考研大纲，我们可以看出，《线性代数》的考察点主要包括：向量空间、线性变换、矩阵、行列式、线性方程组、特征值和特征向量、线性算子等。
上海理工大学高等代数试卷9
上海理工大学研究生试题/学年第 1 学期课程名称：高等代数教师签章：年月日教研室主任审查意见：签章：年月日1.编号栏由研究生部填写。
上海理工大学研究生课程试题*/ 学年第 1学期 考试课程 高等代数 学 号 姓 名 得 分一、 已知实二次型323121232221321444444),,(x tx x x x x x x x x x x f +-----=（1）假设),,(321x x x f 是负定二次型，求t 的值；（2）当1-=t 时，试用非退化线性变换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵. （16分）二、设A 是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，1+λ，1+λ，32)3)(2()1(+-+λλλ，求A 的所有的初等因子及A 的若当标准形. （12分）三、设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组基，这组基的度量矩阵为112121216-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令12γαα=+，证明γ是一个单位向量； （2）若123k βααα=++与γ正交，求k .（15分）四、已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R b a b a W ,|001,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R c a c a W 11112,|00是22⨯R 的两个子空间， 求2121,W W W W +⋂的一个基和维数. （15分）五、V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且21W W V ⊕=.（15分）六、设V 是数域P 上的一个三维空间，,,123ξξξ是它的一组基，f 是V 的一个线性函数，已知()1,(2)11321f f ξξξξ+=-=-，()312f ξξ+=-,求()112233f x x x ξξξ++.（12分）*注：考题全部写在框内，不要超出边界。
上海理工大学2023《计算方法》考研复试大纲和参考书目
上海理工大学2023《计算方法》考研复试大纲和参考书目1500字上海理工大学2023年《计算方法》考研复试大纲和参考书目如下：一、考试内容大纲：1. 数值计算的误差和稳定性分析a. 数值计算中的误差来源b. 表示误差和舍入误差c. 稳定性分析2. 解线性方程组a. 直接法：高斯消元法、LU分解法、LDLT分解法b. 迭代法：雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、超松弛迭代法3. 函数插值与逼近a. 插值问题b. 插值多项式：拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式c. 最小二乘逼近4. 数值积分与数值微分a. 数值积分的性质和误差估计b. 数值积分方法：梯形法则、辛普森法则、龙贝格积分法c. 数值微分方法：差商、中心差商、高阶差商5. 常微分方程的数值解法a. 初值问题：欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法b. 边值问题：有限差分法、有限元法二、参考书目：1. 《数值计算方法》（第3版），田文瑞，高等教育出版社本书是计算方法的经典教材，全面介绍了数值计算方法的基本原理和应用。
2. 《数值线性代数》（第2版），刘洪海，高等教育出版社本书详细介绍了解线性方程组的各种方法，包括直接法和迭代法，并对其误差和稳定性进行了分析。
3. 《数值分析》（第9版），沈荣毅，高等教育出版社本书是数值分析领域的经典教材，涵盖了数值计算的基本概念、数值线性代数、插值与逼近、数值积分与数值微分等内容。
4. 《常微分方程数值解法》（第3版），冯家荣，高等教育出版社本书介绍了常微分方程数值解法的基本原理和应用，包括初值问题和边值问题的数值解法。
5. 《计算方法与程序设计》（第2版），罗斌，上海交通大学出版社本书是计算方法与程序设计的综合教材，结合了理论知识和编程实践，帮助学生更好地理解和应用计算方法。
以上是上海理工大学2023年《计算方法》考研复试大纲和参考书目的详细内容，希望对您的复习有所帮助。
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B 模拟卷四
（一）（本题15分）计算下列行列式的值
（1）2605232
11213141
2-=D （2）n
D ...222...
............2...3222...2222...221=（二）（本题12分）设矩阵A 和B 满足关系式B A AB 2+=，其中
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。
（三）（本题13分）当λ取何值时，非齐次线性方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x 有解？并在有无穷多组解时，求出全部解。
（四）（本题14分）求下列向量组的秩和一个最大线性无关组，并将其余向量
表示成这个最大无关组的线性组合。
()T 1,2,2,1,11=α，()T 1,5,1,2,02-=α，
()T 3,1,3,0,23-=α，()
T 1,4,0,1,14-=α（五）（本题12分）设向量组4321,,,αααα的秩为3，向量组5321,,,αααα的秩
为4，证明：向量组45321,,,ααααα-的秩为4。
（六）（本题8分）证明()T 0,1,11-=α，()T 3,1,22=α，()T
2,1,33=α构成3R 的一组基。
（七）（本题18分）求方阵A 的特征值与特征向量，其中⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A （八）（本题8分）已知n 阶矩阵A 和B 满足关系式AB B A =+，证明：E A -为
可逆矩阵，其中E 为n 阶单位矩阵。