第四节 轴向拉伸与压缩时的变形
材料力学第4讲 拉伸与压缩2-8_2-11(考前复习突击)
[σ ] =
σu
n
n — 安全系数（factor of safety） 安全系数（
塑性材料 (ductile materials) 脆性材料 ( brittle materials)
[σ ] =
σs σb
n n
[σ ] =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3、强度条件（Strength condition)： 强度条件（ condition)：
α α ∆l 1 A2
A″ A' A1
以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A″， 即为A点的新位置.AA″ 即为A点的新位置.AA″ 就是A点的位移. 点的位移. 因变形很小，故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A′ 分别做两杆的垂线， 因变形很小， 可认为
Fl AA′ = AA′′ ∆A = AA′ = ∆l1 = = 2 cosα 2EAcos α m (↓) 1.293m
F2
Ⅰ l1 A
F1
R
FN3 FN2
F2
F1
FN3 − R = 0 FN3 = −50kN (−)
F − F2 − FN2 = 0 1 FN2 = −15kN (−)
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
R
轴向拉伸与压缩
第五章 轴向拉伸与压缩一、轴向拉伸与压缩承受拉伸或压缩杆件的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。
这种杆件称为拉压杆。
二、轴力及轴力图杆件在外力作用下将发生变形，同时杆件内部各部分之间产生相互作用力，此相互作用力称为内力。
对于轴向拉压杆，其内力作用线与轴线重合，此内力称为轴力。
轴力拉为正，压为负。
为了表现轴向拉压杆各横截面上轴力的变化情况，工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。
三、横截面上的应力根据圣文南原理，在离杆端一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也应是均匀的，并垂直于横截面，此即为正应力。
设杆的横截面面积为Ａ，则有AF N =σ 工程计算中设定拉应力为正，压应力为负。
四、强度条件工程中为各种材料规定了设计构件时工作应力的最高限度，称为许用应力，用［σ］表示。
轴向拉伸（压缩）强度条件为[]σσ≤=AF N用强度条件可解决工程中三个方面的强度计算问题，即：（1）强度校核；（2）设计截面；（3）确定许可载荷。
五、斜截面上的应力与横截面成θ角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力σ的关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θστθσσθθ2sin 2)2cos 1(2 由上式可知，当θ＝０°时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。
当θ＝±４５°时，切应力达到极值。
六、拉压变形与胡克定律等值杆受轴向拉力Ｆ作用，杆的原长为l ，横截面积为Ａ，变形后杆长由l 变为l ＋△l ，则杆的轴向伸长为EAFl l =∆ 用内力表示为EAl F l N =∆ 上式为杆件拉伸（压缩）时的胡克定律。
式中的Ｅ称为材料的拉伸（压缩）弹性摸量，ＥＡ称为抗拉（压）刚度。
用应力与应变表示的胡克定律为σ＝Ｅε在弹性范围内，杆件的横向应变ε‘和轴向应变ε有如下的关系：μεε-='式中的μ称为泊松比。
第四章 杆件的变形计算
第四章杆件的变形计算杆件在载荷作用下都将发生变形，过大的变形将影响杆件的正常使用，必须加以限制，而有时又希望杆件能有较大的变形，以起缓冲作用，如弹簧等，因此必须计算杆件的变形。
本章具体讨论了拉伸（压缩）、扭转、弯曲三种情况的杆件变形计算。
第一节拉（压）杆的轴向变形直杆在沿其轴线的外力作用下，纵向发生伸长或缩短变形，而其横向相应变细或变粗，如图4-1所示。
设杆原长l，宽b，在力F作用下产生变形，变形后长l1，宽b1。
则杆件在轴线方向的伸长为纵向应变为根据虎克定律和拉（压）杆横截面正应力公式，可以得到（4-1）上式表明，杆的轴向变形值与轴力F N及杆长l成正比，与材料的杨氏模量及杆的横截面面积成反比。
因此EA称为拉（压）杆的抗拉（压）刚度，EA值越大，杆件刚度越大，在一定外力作用下单位长度变形量就越小。
另一方面，横向变形,横向应变。
通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉（压）杆的纵向应变与横向应变之间存在如下比例关系：(4-2a)或=-（4-2b）式中比例常数称为泊松比。
弹性模量E、泊松比及切变模量G均是材料的弹性常数，可由实验测得。
对于各向同性材料，可以证明这三个弹性常数之间存在下列关系：（4-3）材料的值小于0.5，表4-1列出几种常见金属材料的E和的值。
例4-1 阶梯形直杆受轴力如图4-2，已知该杆AB段横截面面积A1=800mm2 , 段横截面面积A2=240mm2，杆件材料的弹性模量为E=200GPa。
试求该杆总伸长量。
解（1）求AB、BC段轴力F NAB=40kN（拉），F NBC=-20kN（压）（2）求AB、BC段伸长量AB段BC段由以上计算可以看出，AB段是伸长，而BC段是缩短。
（3）AC杆总伸长AC杆计算结果为负，说明AC杆是缩短而不是伸长。
例4-2 图示桁架，钢杆AC横截面面积A1=960mm ，弹性模量E1=200GPa。
木杆BC横截面，杨氏模量E2=10GPa 。
求铰节点C的位移。
第四节：轴向拉伸和压缩时的变形
杆件在外力作用下会发生变形，当外力取消 时不消失或不完全消失而残留下来的变形。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
二、纵向变形和胡克定律：
1、纵向变形 杆件在轴向力作用下，杆的长度会发生变化，杆件长度的改
变量叫做纵向变形，用△l 表示。若杆件变形前长度为l ，变形后 长度为l
1
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
杆件的纵向变形与杆长l 有关，在其它条件相同时， 杆件愈长则纵向变形愈大。为了消除杆长对变形的影响， 常用单位长度的变形来描述杆件变形的程度。单位长度的 变形叫做线应变，用ε表示。
NI
E I EA N 或
I
I EA E
上式是胡克定律的的另一种形式，它表明在弹性受 力范围内，应力与应变成正比。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
例：图示为一两层的木排架，作用在横木上的荷载传给
立 柱 ， 其 中 一 根 柱 的 受 力 图 如 图 b 所 示 ， P1=30KN ， P2=50KN。柱子为圆截面，直径d=150mm。木材的弹性模量 E=10Gpa。求木柱的总变形。
解：木柱AB和BC两段轴力不同，应分 别求出两段变形，然后求其总和 （1）求轴力ຫໍສະໝຸດ 第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
三、横向变形 拉压杆产生纵向变形时，横向也产生变形。若杆件
变形前的横向尺寸为α，变形后为，则横向变形为向应变
为 ： 1
横向应变为
杆件受拉时，横向尺寸缩小，ε′为负值；杆件受 压时横向尺寸变大，ε′为正值。可见，轴向拉、压杆的 线应变与横向应变的符号总是相反。
第四节 轴向拉伸和压缩时的变形
一、弹性变形与塑性变形 用手拉一根弹簧，当拉力不大时就放松，弹簧
轴向拉伸和压缩时的变形公式_概述及解释说明
轴向拉伸和压缩时的变形公式概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文主要介绍轴向拉伸和压缩下物体的变形公式及其解释说明。
在工程领域中，了解材料在不同应力条件下的变形规律对设计和使用具有重要意义。
轴向拉伸和压缩是常见的应力状态，通过研究这两种情况下的变形公式，可以帮助工程师更好地理解和预测物体的变形行为。
1.2 文章结构本文共分为四个部分进行阐述。
引言部分主要对文章进行总览和概述。
接下来,“2. 轴向拉伸时的变形公式”将详细介绍轴向拉伸过程中物体的变形规律，并包括弹性阶段和塑性阶段的应变公式以及变形模量的定义与计算方法。
“3. 轴向压缩时的变形公式”将探讨轴向压缩情况下物体的应变规律，并包括弹性阶段和塑性阶段的应变公式，以及计算压缩强度和稳定塑性流动区域大小的方法。
“4 结论”将总结轴向拉伸和压缩时的变形规律与公式，并展望其在工程实践中的意义和应用前景。
1.3 目的本文的目的是系统地介绍轴向拉伸和压缩时物体变形的公式及其解释说明。
通过深入探讨材料在不同应力状态下的变形规律，旨在增强读者对工程材料性能的理解，并提供有关设计和应用方面的参考。
此外，文章还将揭示轴向拉伸和压缩时变形公式的工程实践意义，为相关领域的研究者和从业人员提供参考。
2. 轴向拉伸时的变形公式2.1 弹性阶段的应变公式：在轴向拉伸时，当物体处于弹性阶段时，变形可以通过应变来描述。
应变是指物体在受力作用下产生的长度或形状改变与初始长度或形状之比。
弹性阶段的应变公式可以用胡克定律表示，即应力和应变成正比。
应变公式可以表示为：ε= σ/ E其中，ε表示轴向拉伸时的应变，σ表示受试样所受到的轴向拉伸力，E表示材料的弹性模量。
2.2 塑性阶段的应变公式：当材料超过其弹性极限，进入塑性阶段时，其应变特性就会发生改变。
塑性阶段的应变公式可以通过流动理论进行描述。
在塑性阶段中，通常采用等效塑性应变概念。
等效塑性应变是根据材料的真实应力-真实塑性曲线（即压缩-延展曲线）求得，在一定条件下模拟材料的本构关系。
工程力学 第四章 轴向拉伸与压缩讲诉
拉压杆的强度条件：杆件的最大工作应力不能超过材料的许用应力。即
FN max [ ]
max
A
式中： max ——横截面上的最大工作应力；
FN max ——产生最大工作应力界面的轴力，这个截面称为危险截面；
A——危险截面的横截面积；
[σ]——材料的许用应力。
对于等直杆，轴力最大的截面为危险截面；对于变截面直杆，若轴力不变， 横截面积最小的截面为危险截面；若杆件为变截面杆，且轴力也是变化的， [FN/A]max 所在的截面为危险截面。
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二、胡克定律
杆件受轴向力作用时，沿杆件轴线方向会伸长或缩短，同时杆件的横向尺 寸将缩小或增大。我们把杆件沿轴线方向伸长或缩短称为纵向变形；横截面方 向尺寸的改变量称为横向变形。
F
F
l l1
杆件在拉伸或压缩时长度发生改变，其改变量称为绝对变形，用 L 表示。 设杆件变形前的长度为 L ，变形后的长度为 L1 ，则其绝对变形
结合书 P83-84 例 3-5、例 3-6 对强度计算进行详细讲解。
2、例题
例 1：一直径 d=14mm 的圆杆，许用应力[σ]=170MPa，受轴向拉力 P=2.5kN 作用，试校核此杆是否满足强度条件。
解：
max
N max A
2.5 103 142 106
162MPa <留段 A 的 m — m 截面
轴向拉伸的内力计算
上，各处作用着内力，设这些内力的合力为 N ，它是弃去部分 B 对保留部分 A
的作用力。
（3）由于整个杆件原来处于平衡状态，所以截开后的任意一部分仍应保
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持平衡，故可对保留部分 A 建立平衡方程。
第四章轴向拉伸与压缩
4.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用在等截面直杆上的外力（或者外力合力）的 作用线和杆轴重合时，杆件的主要变形是轴向拉伸 或者压缩。
经历轴向拉伸（压缩）的等截面直杆称为拉（压） 杆。
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
O
B
C
4F 3F
D 2F
2A
2A
A
FN 3F
+ A
2F
B
+
+
–
C
D
F
4.3 拉（压）杆的应力
1. 应力的概念：
F
F
（1）问题提出：
F
F
1. 两杆的轴力都为F. 2. 但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，
同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。
3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的， 一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不 同。
横截面积 A 成反比。即
l Fl A
引入比例常数E，可有
l Fl F
EA
EA
这一关系称为胡克定律。
E 称为杨氏模量，也叫弹性模量。它是材料本身的性质，表征 材料抵抗变形的能力，需要用实验来测定。单位为Pa。
在拉压杆中，有
F FN
l Fl FN l FN
EA EA
EA
※ “EA”称为杆的拉伸(压缩)刚度。对于长度相等，受力也 相等的拉压杆，拉伸（压缩）刚度越大，变形越小。
d
向缩短。若拉杆为圆截面，原始
直径为d，变形后直径为d1，
《建筑力学》第五章轴向拉伸和压缩研究报告
材料压缩时的力学性质 材料压缩试验的试样通常采用圆截面(金属材料)或方截面(混凝土、石料等非金 属材料)的短柱体如图 5-19 所示．为避免压弯、试样的长度与直径 d 或截面边长 b 的 比值一般规定为 1—3 倍。
图 5-19
图 5-20
（1）低碳钢的压缩试验
○ 2 断面收缩率
设试样试验段的原面积为 A，断裂后断口的最小横截面的面积为 A1 ，则比值
A A1 100%
A
（5-8）
称为断面收缩率。低碳钢 Q235 的断面收缩串为 60% 。
2、其他塑性材料拉伸时的性质 如图 5-16 所示为几种塑性材料拉伸时的应力一应变因。它们的共同特点是断裂 时均具有较大的塑性变形，不同的是有些金属材料没有明显的屈服阶段。对于不存在 明显屈服阶段的塑性材料，工程规定其产生 0. 2％的塑性应变时所对应的应力作为屈
N2 3P 2P 0 N2 P （压力） N2 得负号，说明原先假设为拉力是不正确的，应为压力，同时又表明轴力是负的。
同理，取截面 3-3 如图 5-6（d），由平衡方程 x 0 得：
N3 P 3P 2P 0 N3 2P
如果研究截面 3-3 右边一段 [图 5-6（e）]，由平衡方程 x 0 得：
• 第一，假想用一横截面将物体截为两部分，研究其 中一部分，弃去另一部分。
• 第二，用作用于截面上的内力代替弃去部分对研究 部分的作用。
• 第三，建立研究部分的平衡条件，确定未知的内力 。
A
2、应力
现在假定在受力杆件中沿任意截面 m—m 把杆件截开，取出左边部分进行分析（图
5-2），围绕截面上任意一点 M 划取一块微面积 A，如果作用在这一微面积上的内力为 p ，那么 p 对 A的比值，称为这块微面积上的平均应力，即
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E
(4–6)
式(4-6)是胡克定律的又一表达形式：当应力不超过某一 极限时，应力与应变成正比
例 一钢制阶梯杆受力如图4-9a所示，已知其横截面面积
分别为ACD = 300mm2 ，AAB =ABC =500mm2 , 材料的弹性模量
E =200GPa 。试求：(1)杆的总变形。
(2)杆的最大纵向线应变。
整个杆件缩短了0.0067mm
(4) 计算杆的最大纵向线应变 max 由于各段的杆长相等，因此按式（4-2）可得
l AB 2 102 max 2 104 l AB 100
0.25～0.33 0.24～0.33 0.23～0.27 0.31～0.42 0.33
四、胡克定律 只要应力不超过某一极限值时，杆的轴向变形与轴向 载荷成正比、与杆的长度成反比、与杆的横截面面积成反 比。这一关系称为胡克定律，即
Fl l ∝ A
引进比例常数E ，则有
l
Fl EA
由于轴向拉压时有F = FN ,故上式可改为
图4-9
应用胡克定律分别求出各段杆的变形
量为
AB 段 BC 段 CD 段
l AB
FN1l AB 20103 100 2 mm 2 10 mm 3 EAAB 20010 500
lBC
lCD
FN 2lBC 10103 100 2 1 10 mm 3 EABC 20010 500
FN 2lCD 10103 100 2 mm 1 . 67 10 mm 3 EACD 20010 300
(3)计算杆的总变形
杆的总变形等于各段杆的变形量之和
l总 l AB lBC lCD (2 1 1.67) 102 mm 6.7 103 mm
FN l l EA
（4–5）
式中，E 为材料的弹性模量，单位常用GPa 。对同一材料，
E 为常数。
由式(4–5)可知，受力和长度相同的杆件，绝对变形 l 和
EA 的乘积成反比，该乘积愈大，变形就愈小。它反映了杆
件抵抗拉伸(压缩)变形的能力，故 EA 称为杆的抗拉(压) 刚度。
FN l 将 、 代入式(4–5)，便得 A l
（4–2）
二、横向变形
（一）绝对变形
杆件横向尺寸的缩小（增大）量称为横向绝对变 形，若以 △d 表示，则
△d
=d1 –d
（二）相对变形 横向单位长度的变形称为横向相对变形或横向线应
应变，若以 表示，则
d d
（4–3）
三、泊松比 当应力不超过某一限度时，同一种材料的横向线应变与
A
1
B
30kN
C
2 2 100
D 10kN
解 (1)画轴力图 用截面法求得截面1-1和2-2上 的轴力分别为
1 100
100 a) 20kN
FN
(+)
FN1 20kN FN 2 10kN
画出杆的轴力图（图4-9b)
x
(-)
10kN
(2)计算各杆的变形 将阶梯杆分为AB、BC、和CD 段，
b)
第四节 轴向拉伸与压缩时的变形
胡克定律
一、纵向变形
（一）绝对形
d
l
a) d
杆件长度的伸长（缩短）量称为绝
l
对变形。
l l1 l
l1
（4–1）
F
l
（二）相对变形 单位长度的变形称为相对变形，也
b)
称为线应变。沿轴线方向单位长度的变
d
l1
c)
F
形称为纵向相对变形或纵向线变形。
图4-8
l l
纵向线应变之比的绝对值为一常数，即
（4–4）
式中， 为横向变形系数或泊松比，是一个量纲为1的量 通常由试验测得,工程上常用材料的泊松比列于下表。
常用材料的 E ， 值
材料名称 低碳钢 合金钢 灰铸铁 铜合金 铝合金
E／GPa
196～216 186～216 115～157 72.6～128 70