Spheric geometry球面几何

Spheric geometry（球面几何）是几何学的一门分科。

研究球面上图形的几何学。

是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展起来的，其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三角”。

球面几何学是在二维的球面表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子。

在平面几何中，基本的观念是点和线。

在球面上，点的观念和定义依旧不变，但线不再是“直线”，而是两点之间最短的距离，称为最短线。

在球面上，最短线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。

同样的，在球面几何中的角被定义在两个大圆之间。

结果是球面三角学和平常的三角学有诸多不同之处。

例如：球面三角形的内角合大于180°。

对比于通过一个点至少有两条平行线，甚至无穷多条平行线的双曲面几何学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。

球面几何学在航海学和天文学都有实际且重要的用途。

球面几何学的重要关键在塑造真实投影平面，通过辨认在球面上获得正相反的对跖点(分列在边的两侧相对的点)。

在当地，投影平面具有球面几何所有的特性，但有不同的总体特性，特别是他是无定向的。

球面乃是空间中最完美匀称的曲面。

两个半径相等的球面可以用一个平移把它们叠合起来，而两个半径不相等的球面所相差者就是放大或缩小这种相似变换，由此可见本质性的球面几何可以归纳到单位半径的球面来研讨。

再者，在古典天文学的研讨中，观察星星的方向可以用单位球面上的一个点来标记它，而两个方向之间的角度（亦即方向差）则相应于单位球面上两点之间的球面距离(spherical distance) 。

这也就是为什么古希腊天文学和几何学总是合为一体的，而且古希腊的几何学家对于球面三角学(spherical trigonometry)的投入程度要远远超过他们对于平面测量学的兴趣，因为「量天的学问」才是他们所致力去理解者；它的确比丈量土地、计量财产等更引人入胜。

从现代的观点来看，球面几何乃是空间几何中蕴含在正交子群的部分，而向量几何则是空间几何中蕴含在平移子群的部分，而且两者又密切相关、相辅相成，例如向量运算都是正交协变的(orthogonal covariant)，所以向量代数又是研讨球面几何的简明有力的利器。

七、球面幾何和球面三角學項武義▪單位球面的基本性質▪球面三角學球面乃是空間中最完美勻稱的曲面。

兩個半徑相等的球面可以用一個平移把它們疊合起來，而兩徑不相等的球面所相差者就是放大或縮小這種相似變換，由此可見本質性的球面幾何可以歸納到半徑的球面來研討。

再者，在古典天文學的研討中，觀察星星的方向可以用單位球面上的一個點記它，而兩個方向之間的角度（亦即方向差）則相應于單位球面上兩點之間的球面距離 (spher distance) 。

這也就是為什麼古希臘天文學和幾何學總是合為一體的，而且古希臘的幾何學家對面三角學 (spherical trigonometry) 的投入程度要遠遠超過他們對于平面測量學的興趣，因為天的學問」才是他們所致力去理解者；它的確比丈量土地、計量財產等更引人入勝，是不？從現代的觀點來看，球面幾何乃是空間幾何中蘊含在正交子群的部分，而向量幾何則是空間幾何含在平移子群的部分，而且兩者又密切相關、相輔相成，例如向量運算都是正交協變的 (ortho covariant)，所以向量代數又是研討球面幾何的簡明有力的利器。

單位球面的基本性質設O為球面的心，而單位球面S2(1) 則是空間中所有和O點的距離為 1 的點所成的點集，它是以O為其定點的正交子群的一個軌道 (orbit) 。

(i)反射對稱性：設Π是一個過球心O點的平面，則顯然有保持O點不動。

由的性可見它把和O點相距為 1 的點變換成和O點相距為 1 之點，所以再者，在S2(1) 上的定點子集就是這一個大圓 (great circle)，我們將把限制在S2(1) 上的變換叫做以大圓為定點子集的球面反射對稱。

(ii)旋轉對稱性：設是一條過球心O點的直線，它和球面S2(1) 的交點是球面上的兩個互頂的點A, A' （一如南、北兩極）；換言之，球面上兩點A, A' 互為對頂 (antipodal)件是以球心為其中點。

在空間以為軸的旋轉之下，球心是固定不動的；同見S2(1) 也是它的一個不變子集，而它限制在球面上的變換乃是一個以對頂點 {A,A'} 為點子集的球面旋轉對稱（如日常地球所作者就是一個以南北極為其定點子集的旋轉）。

球面極坐標：設 {N,S} 是單位球面上給定的兩個互相對頂之點，在以 {N,S} 為定點子集的球面旋轉之下，每「緯度」保持不變，而其「經度」則隨著轉角而增加，如 [圖 7-1] 所示。

設P是球面上相異于極點者，令是過P點的那條經線 (longitude arc)，是選定的基準經線。

設r為N到球面距離，亦即這一段「經弧」的弧長，θ是轉到的（有向）轉角，則稱點對于以N為基點的球面極坐標 (spherical polar coordinates) 。

[ 圖 7-1 ]若在空間選取正交坐標系，以球心為原點，以為z-軸的方向，以為x-軸的方向，其中乃是基準經線的中點，則有：[註]：由直接的微分計算可得用上述弧長的微分式，不難証明經弧乃是球面上連結N, P兩點的最短曲線（亦稱測地線(geodesics)）。

【阿基米德定理】：半徑為R的球面面積等于[註]：阿基米德 (Archimedes, 287-212 B.C.) 是公認的古希臘時代偉大的科學家和幾何學家，生有很多卓越的貢獻；而他最引以自豪者，首推上述定理及其簡潔的証明，這也就是遵照他本人囑刻在他的墓碑上者。

証明：其証明的要點在于論証一個半徑為R的球面面積和一個高為 2R，半徑為R的圓柱面面積而在他的墓碑上所刻劃的，就是如 [圖 7-2] 所示把兩者放在相切同高的位置。

[ 圖 7-2 ]設想用一系列和柱面正交的平行平面，把兩個面都細分成很窄很窄的一圈圈。

設相鄰兩個平行面的距離是，則柱面上的窄條（或圈）的面積等于，而在球面上的相應窄圈，雖然其和長度會隨著θ而改變，但在非常、非常小的時候，它可以看成如 [圖 7-3] 所示的圓台面：[ 圖 7-3 ]其中環長度是，亦即其環長的平均值是，而側面的寬度則為，所以其的高度近似值也是（亦即可能的誤差肯定在這種量級）。

由此他就用 Eudoxus 所逼近原理証明了兩者的面積必然相等，而後者的面積顯然等于高為 2R，長為的長方形面積即。

□球面三角形面積公式：設A, B, C是球面上任取三點但不含對頂者，令, , 為連結于點與點之間的測地線之為球面三角形的三個邊。

我們將採用和平面三角學中相同的符號體系，以A, B, C在三個頂點的內角，及以a, b, c表示的各角對邊邊長。

在平面幾何中，一個形的三個內角和恆等于一個平角，這是邏輯等價于平行公理的基本事實，也是平面的平直性的一本表達；在球面三角形的情形下，三內角之和則恆大于一個平角，而下述[定理 7.1]証明在單位上的球面三角形，其內角和與π的差額（稱之為「角盈」）其實恰好等于其面積。

【定理 7.1】：在單位球面上，一個球面三角形的面積就是証明：如 [圖 7-1] 所示，由二個夾角為θ的經線所圍成的球面部分，其面積顯然和θ成正是球面對以N, S為定點的旋轉對稱性的直接推論）。

再者，當時，其面積等于（阿德定理）！所以上述以θ為夾角者（稱之為 spherical lune）的面積等于。

[ 圖 7-4 ]如 [圖 7-4] 所示，令A', B', C' 分別是A, B, C的對頂者。

用上述 spherical lune 的面積即得：由此可得亦即[註]：上述具有基本重要性的球面三角形面積公式其實就是阿基米德球面面積公式的局部化和精球面三角形的疊合條件及等腰三角形定理：設A, B是球面上任給兩點。

在空間中和A, B等距的點集是直線段的垂直平分面，它包含球心O，所以和A, B等距的球面上之點乃是這個大圓，而球面對于這個大圓的對稱將A, B互換。

用上述球面上的反射對稱即可推導出：(i)S.A.S. 也是球面三角形的疊合條件；(ii)球面等腰三角形的兩底角相等；反之，兩底角相等的球面三角形亦必為等腰。

再者，由上述兩點還可以同樣地推導出球面三角形也具有其他如 S.S.S. 和 A.S.A. 等疊合條件此值得一提的是 A.A.A. 也是球面三角形的一個疊合條件，我們可以用球面三角形中所特有的對係來推導它也是一個疊合條件。

設A, A' 互為對頂，則和A, A' 等距的球面上的點集就是和A,距離是的那個大圓，將以記之。

設是一個任給球面三角形，在下述三對對頂點, , ）之中，分別取其靠近A, B, C者，以A*, B*, C*記之，則稱為的對偶球面三角形（也是的對偶球面三角形）。

【引理 7.1】：令a, b, c和a*, b*, c*分別是和的各角對邊邊長，則有[ 圖 7-5 ]証明：我們只需要証明其中之一，其餘各式皆可同理類推。

由 [圖 7-5] 所示，在大圓上, ，故有【推論】： A.A.A. 也是一種球面三角形的疊合條件。

証明：設和的三角內角對應相等，由[引理 7.1]得知它們的對偶球面三和的三個邊長對應等長，所以是全等的，因此當然有三個對應內角相等。

再理 7.1]，即得和滿足 S.S.S. 全等條件。

□【引理 7.2】：設和的頂點共圓而且A, A' 同在的一側，則再者，上述之逆命題也成立。

[ 圖 7-6 ]証明：如 [圖 7-6(i)] 所示，, , 皆為等腰，所以其底角相等，設其分, , 。

則有同理亦有[圖 7-6(ii)] 的情況和逆命題的証明留作習題。

□【定理 7.2】(Lexell)：設球面三角形和具有相等的定向面積，而B', C'是B, C的對頂點，則B', C', A1, A2四點共圓。

[ 圖 7-7 ]証明：如 [圖 7-7] 所示：所以分別取A=A1和A2，再對和運用[引理 7.2]的逆命題，即得B', C', A1,圓。

□【習題】：(1)設P1, P2的球面極坐標分別是 (r1,0) 和 (r2,0)，而是一條一階可微-r2| 。

, , 。

試証其長度至少等于 |r1(2)若是一個半徑為R的球面三角形，試問和其面積之間的關係是麼？並試証你的主張。

(3)設和是滿足 S.A.S. 條件的兩個球面三角形，例如A1=A2, b1=b2, c試構造一系列球面上的反射對稱，它們的組合恰好把變換到。

(4)試用球面的反射對稱性証明等腰三角形的底角相等，而頂角平分線垂直平分底邊。

(5)試用上述 (3), (4) 所証得者，証明 S.S.S. 也是球面三角形的一種全等條件。