球面几何介绍及简单证明问题

球面几何介绍及简单证明问题
在现行的数学课标中，选修内容出现了一些关于球面几何的知识，中学作为初等几何的学习阶段，对高等几何的研究也很有必要，拓宽了视野，才能对问题有新的看法。

下面介绍一下球面几何涉及到的一些知识。

1 球面几何的概念
空间中和定点O 的距离等于定值r 的所有点P 构成的曲面，叫做以O 为球心，r 为半径的球面，我们用符号),(2r O S 表示，用集合的语言叙述就是：
}),({),(2r O P d P r O S ==：，
我们把以O 为球心，小于等于球半径r 的所有点构成的立体叫做球体，记作：
}),({),(3r O P d P r O D ==：
对于球面，我们还有如下结论：
（1）空间中不共面的四点确定一球面；
（2）半径为r 的球面面积为24r π，球体体积为
33
4r π； （3）球心和球的截面圆心的连线垂直于截面。

2 球面几何的基本性质
2.1 球面三角形与球极三角形的关系
球面三角形与它的球极三角形是球面几何研究中两个十分重要的图形，它们之间有十分重要的关系。

性质1 球面三角形ABC ∆与球极三角形***C B A ∆互为极对偶。

性质 2 设以C B A ∠∠∠，，和c b a ，，分别表示球面ABC ∆的三个角度和边长；***C B A ∠∠∠，，和***c b a ，，分别表示球极三角形***C B A ∆的三个角度和边长，则有：
π=+∠=+∠=+∠***c C b B a A （4.2.1.1）
π=+∠=+∠=+∠c C b B a A *** （4.2.1.2）
2.2 球面三角形的性质
性质3 在单位球面上的任意球面ABC ∆，其内角和减去π后的盈余恰好等于它的面积，即ABC S C B A ∆=-∠+∠+∠π。

推论1 π＞C B A ∠+∠+∠ (4.2.2.1)
推论2 对半径为r 的球面三角形而言，有
2r C B A S ABC ）（∠+∠+∠=∆ (4.2.2.2) 推论3 ππ3＜＜C B A ∠+∠+∠ （4.2.2.3） 性质4 在球面三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

性质5 球面三角形的任意两个内角和与另一个内角差小于π。

性质6 球面三角形的任意一个外角小于不相邻的两个内角之和而大于它们的差。

性质7 球面三角形的角平分线交于该三角形的内切圆的圆心。

性质8 球面三角形三边的垂直平分线，交于球面三角形的外接圆圆心。

性质9 在同一个球面三角形中对等边的角相等，反之，对等角的边也相等。

性质10在任意球面三角形中，对大角的边较大，反之，对大边的角也较大。

3 球面多边形的内角和
球面多边形的内角和是球面几何中的一个定理公式，中学生对球面几何知识的要求并不算高，在此由于篇幅有限，只作此大略介绍。

在单位球面上任给球面三角形ABC ∆，其面积为ABC S ∆，则三角形的三内角和为ABC S ∆+π，即
ABC S C B A ∆+=∠+∠+∠π。

（4.1.1） 球面三角形的内角和公式可以推广到球面凸多边形上去。

[4]
推论 在单位球面上任给球面凸n 边形n A A A A 321，其面积为S ，则该n 边形的n 个内角和为S n +-π)2(，即
S n A A A n +-=∠++∠+∠π)2(21 。

(4.1.2)
证明(用归纳法) 当3=n 时，它就是 4.1.1，球面三角形的内角和定理。

假设推论对于单位球面上的球面凸n 边形成立，现在考虑单位球面上的球面凸1+n 边形，设之为1321+n n A A A A A ，其面积为121+n A A A S 。

用大圆弧把1A 、3A 连接起来，并使得31A A 的弧长不超过π。

由于多边形是凸的，这时大圆弧31A A 一定位于凸多边形的内部。

于是原来的球面凸1+n 边形1321+n n A A A A A 被分成球面三角形321A A A ∆和球面凸n 边形
131+n n A A A A 。

设球面三角形321A A A ∆的顶点1A 所对应的三角形内角记为11A ∠，顶点3A 所对应的内角记为31A ∠，而球面凸n 边形131+n n A A A A 的顶点1A 所对应的球面多边形的内角记为12A ∠，顶点3A 所对应的球面多边形的内角记为32A ∠。

由前面的做法显然有
11211A A A ∠=∠+∠， 33231A A A ∠=∠+∠，
其面积有下列关系
1211313
21++=+∆n n A A A A A A A A A S S S 。

故由归纳假设知
.
}2)1[(]
)2[()()()()()(1211431321143212312111432312121121+++-+=+-++=∠++∠+∠+∠++∠∠+∠=∠++∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠++∠+∠∆++n n A A A A A A A A A A n n n
S n S n S A A A A A A A A A A A A A A A A A πππ
此即我们证明了结论成立。