球面曲线的性质及其应用
球面几何与立体几何详细解析与应用
球面几何与立体几何详细解析与应用球面几何与立体几何是数学中重要的分支，研究了球面和立体的性质、关系以及应用。
本文将详细解析球面几何与立体几何的知识，并探讨其在实际应用中的具体应用。
一、球面几何球面几何是研究球体表面上的点、直线、角度和距离等性质的一门数学学科。
球面是一个几何图形，具有独特的性质和特点，与平面几何有所不同。
1. 球面的定义与性质球面是由一个半径固定的圆在三维空间中绕着圆心旋转一周所形成的几何体。
球面上的每个点到圆心的距离都相等，这一性质被称为球面的半径。
2. 球面上的直线在球面上，直线是由球面上两点之间的最短路径组成的。
从球面的两个点出发，通过球面上的点绘制出的曲线即为球面上的直线。
3. 球面上的角度球面上的角度与平面几何中的角度有所不同。
球面上的角度是通过将球面上的两条弧用球心处的线段连接而形成的。
球面上的角度可以用弧度或角度来衡量。
二、立体几何立体几何是研究三维空间中立体图形的性质与关系的学科。
立体几何包括了点、线、面、体等元素的研究，对于我们理解和应用三维空间起着重要的作用。
1. 立体图形的分类与性质立体图形包括了诸如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等各种图形。
每种立体图形都具有特定的性质，比如正方体的六个面是相等的正方形，圆柱体的两个底面是圆等等。
2. 立体图形的表面积与体积对于立体图形而言，表面积和体积是两个重要的量。
表面积是指立体图形表面覆盖的总面积，而体积则表示立体图形所包含的三维空间的大小。
三、球面几何与立体几何的应用球面几何和立体几何在实际应用中有着广泛的应用，以下举几个实例：1. 地球上的测量与导航地球可以看作是一个近似球体，因此球面几何在地理测量和导航中具有重要的应用价值。
利用球面几何的原理，我们可以测定两个地点之间的距离、方位角以及最短路径等信息，为导航系统的开发提供了理论基础。
2. 建筑与工程设计在建筑与工程设计中，立体几何的知识被广泛应用。
比如，在房屋设计中，需要考虑各个部分的连接与布局，利用立体几何的原理，可以确保设计的合理性和空间利用率。
几何常见曲面以及用途
几何常见曲面以及用途几何中的曲面是指由曲线移动而产生的曲面。
几何常见的曲面有球面、圆锥曲面、圆柱曲面、双曲面、抛物面、椭球面、超曲面等。
每种曲面都有其独特的几何特性和应用领域。
首先，球面是最常见的曲面之一。
球面是以一个点为中心，到该点的距离相等的所有点组成的曲面。
球面在几何学中是最重要和最基本的曲面之一。
在现实生活中，球面具有广泛的应用，比如地球就是一个近似球面，球体在地理学中被用来描述地球的形状和表面特征。
此外，球面也广泛应用于建筑设计、光学、计算机图形学等领域。
第二，圆锥曲面是由一条直线沿着固定点不断旋转所生成的曲面。
具体来说，圆锥曲面是由一条生成线和一个顶点组成的，例如圆锥体的表面就是一个圆锥曲面。
在现实中，圆锥曲面广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
比如，高速公路的交叉口通常会设计成圆锥形状，以实现车辆的平稳转弯。
第三，圆柱曲面是由一条直线沿着与其垂直的固定直线不断平移所生成的曲面。
圆柱曲面可分为无限高圆柱曲面和有限高圆柱曲面两种。
无限高圆柱曲面在几何学中是最基本的曲面之一，有许多重要的应用。
在现实中，圆柱曲面广泛应用于建筑设计、工程制图等领域。
比如，很多建筑物的柱子、水管等都可以近似看作圆柱曲面。
第四，双曲面是一类重要的曲面，它由两个嵌入空间的直线族所生成。
双曲面具有许多独特的几何特性，如双曲面上的任意两点之间的最短曲线是双曲线。
双曲面广泛应用于物理学、工程学等领域。
比如，太阳能反射器就常常采用双曲面的形状，以实现对太阳光的聚集。
第五，抛物面是由一条直线沿着固定点不断平移所生成的曲面。
抛物面在几何学中具有重要的地位，有许多重要的应用。
比如，卫星天线常常采用抛物面的形状，以实现对信号的接收和发送。
第六，椭球面是由一个椭圆沿着两个垂直于其平面的固定直线不断旋转所生成的曲面。
椭球面在几何学和物理学中都有着重要的应用。
在几何学中，椭球面是椭球的表面，广泛应用于建筑设计、航空航天工程等领域。
球面的曲率性质教案
球面的曲率性质教案：球面作为一种常见的几何体，具有许多特殊的性质。
其中最基本的性质之一就是曲率，它在几何学和数学中都有广泛应用。
本教案将重点介绍球面的曲率性质，帮助学生正确理解该几何体的特殊性质。
一、曲率的定义在数学领域，曲率是几何体表面的弯曲程度，也是曲线的弯曲程度。
对于沿一条曲线行进的任何物体，曲率都是该曲线在某点处的半径的倒数。
而在球面上，曲率则是表征该几何体表面在某一点处逆时针方向旋转的最小弯曲的弧长和半径所构成的角度。
二、球面的曲率属性1、球面上任意两点间的最短路径是弧线。
2、在任意一点处与其相切的均为共面的所有切平面均相交于该点的法平面，并构成了该点的法曲率圆。
3、在球面上，所有切平面都通过球心。
4、球面上的任何一个切平面都是一个二维欧几里得空间。
5、在球面上，任何两个法曲率圆都完全相同。
6、球面的总曲率为正值，与球半径相等。
7、球面上的任何一条不是弧线的路径都比该点相切的局部弧线更弯曲。
8、如果沿着曲率圆作短弧行进，到达短弧的中点，曲率将遵循与曲线方向相反的方向。
三、曲率的应用球面的曲率性质不仅在几何学中有着广泛的应用，同时也在数学、物理学和工程学等多个领域中得到了广泛的应用。
1、GPS定位技术：GPS利用的是卫星发射的无线电信号和地面GPS设备的曲率属性，通过计算信号的传输时间和距离等来定位。
2、空气动力学：在飞行器设计中，必须考虑曲率属性，以便调整翼面形状和尾部设计等，从而提高飞行的安全性和效率。
3、数学和几何学领域：通过球面的曲率，研究者能够深入探讨世界的性质，了解到世界的构成和基本几何形状，从而得出一些复杂的数学模型。
结论：从以上内容可以看出，球面的曲率属性是一种非常重要且基本的几何学概念，它在几何学和数学领域都有广泛的应用。
在学习球面曲率的过程中，我们重点关注其曲率的定义和基本性质，帮助学生理解球面的唯一性、切平面和法曲率圆等关键概念，以便更好地应用于实际问题中。
常见曲面方程
常见曲面方程常见曲面方程曲面是三维空间中的一种图形，它可以用数学方程来描述。
在实际应用中，我们经常需要用到各种曲面方程来建立模型，进行计算和分析。
本文将介绍一些常见的曲面方程及其特点。
一、二次曲面1. 球面球面是以某个点为圆心，在空间中任意半径的圆所围成的几何体。
它的方程为：$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$$其中 $(a,b,c)$ 是球心坐标，$r$ 是半径。
球面具有以下特点：① 对称性：球面对称于以其圆心为中心的任意平面。
② 等距性：从球心到球面上任意一点的距离都相等。
③ 曲率：球面上任意一点处的曲率半径都相等。
2. 椭球面椭球面是一个类似于椭圆形状的三维几何体。
它的方程为：$$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}+\frac{(z-c)^2}{c^2}=1$$其中 $(a,b,c)$ 是椭球中心坐标，$a,b,c$ 分别是椭球在 $x,y,z$ 轴上的半轴长度。
椭球面具有以下特点：① 对称性：椭球面对称于以其中心为中心的任意平面。
② 等距性：从椭球中心到表面上任意一点的距离都相等。
③ 曲率：椭球面上不同点处的曲率半径不同。
3. 椭圆抛物面椭圆抛物面是一个类似于抛物线形状的三维几何体。
它的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$$其中 $a,b$ 分别是抛物线在 $x,y$ 轴上的半轴长度。
椭圆抛物面具有以下特点：① 对称性：椭圆抛物面对称于以其顶点为中心的平面，且对称轴与$z$ 轴平行。
② 焦点性质：椭圆抛物线具有焦点性质，即从焦点出发的光线经过反射后汇聚于另一个焦点。
③ 曲率：不同位置处曲率半径不同，但沿着其主轴方向曲率半径相等。
4. 双曲抛物面双曲抛物面是一个类似于双曲线形状的三维几何体。
它的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$$其中 $a,b$ 分别是双曲线在 $x,y$ 轴上的半轴长度。
高中数学中的解析几何中的球面
高中数学中的解析几何中的球面解析几何是数学中的一个重要分支，其中的球面是一个常见的几何图形。
本文将就高中数学中的解析几何中的球面进行探讨。
一、球面的定义和性质球面是以一个定点为球心，一个定数为半径所确定的空间图形。
球面上的每一个点到球心的距离都等于半径，这是球面的基本性质。
二、球面的方程和参数方程球面的方程可以用一元二次方程表示，其一般方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2其中，(a, b, c)为球心的坐标，r为半径。
这是球面的一般方程。
另外，球面还可以用参数方程来表示。
常见的参数方程有：x = a + r*sinθ*cosφy = b + r*sinθ*sinφz = c + r*cosθ其中，θ和φ分别是球面上的两个参数。
三、球面与其它几何图形的关系球面与直线的关系：若一条直线与球面相交，那么直线的方程必须满足球面方程。
球面与平面的关系：一个平面与一个球面相交得到的曲线被称为截折线，当平面与球面相切时，截折线就是一个点。
球面与球面的关系：两个球面的位置关系可以分为四种情况：相离、相切、相交和同心球。
四、球面的应用球面在现实生活中有着广泛的应用。
以下是球面在几个领域的具体应用：1. 天文学：地球可以近似看作一个球面，球面的性质和方程可以帮助我们研究地球的地理和气象现象。
2. 地图制作：地球的表面被投影到一个平面上来绘制地图，这就涉及到了球面与平面的关系，球面的几何性质也被用来进行地图的测量和计算。
3. 球体的表面积和体积：球面的性质可以帮助我们计算球体的表面积和体积，这在工程学和物理学中有着重要的应用。
4. 计算机图形学：计算机图形学中的三维建模和渲染需要用到球面的方程和参数方程，以及球面与其他几何图形的相交关系。
五、总结解析几何中的球面是一个重要的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
通过学习球面的方程和参数方程，以及与其他几何图形的关系，可以加深对解析几何的理解。
解析几何中的曲线与曲面
解析几何中的曲线与曲面在数学的几何学中，曲线和曲面算是比较基本的概念。
它们分别是二维和三维空间中的图形，而在解析几何中，这两个概念被用于描述函数和方程。
本文将对解析几何中曲线和曲面的定义、性质、分类和应用进行介绍和分析。
一、曲线的定义和性质在二维空间中，曲线被定义为一条连续的、有限的、平面上的线段。
而在三维空间中，曲线也被定义为一条连续的、有限的、在空间中的线段。
曲线的性质通常包括弧长、曲率和切线等。
1、弧长弧长是曲线上两点之间的距离之和，也可以被认为是曲线的长度。
在二维和三维空间中，根据弧长的计算，曲线可以被分为直线和曲线两类。
弧长可以表示为：2、曲率曲率是描述曲线弯曲程度的参数。
简单地说，曲率越大，曲线越弯曲。
曲率可以用以下公式计算：其中，r为曲率半径。
3、切线切线是曲线在任意一点处的切线。
切线的方向和曲线在该点处的切线方向一致。
在二维空间中，曲线的切线可以用导数表示。
在三维空间中，曲线的切线可以用切向量表示。
二、曲线的分类在解析几何中，曲线按照其方程和性质可以被分为多种类型，包括直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
以下分别对这些类型进行介绍。
1、直线直线是最简单最基本的曲线，由无数个点组成。
直线的方程一般为y=ax+b或y=kx，其中a、b、k均为实数。
2、圆圆是平面内到给定点距离相等的所有点的集合。
图像是一个半径为r的圆心为(a,b)的圆。
圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²。
3、椭圆椭圆是平面内到两个给定点距离之和为常数的所有点的集合。
图像呈现为一个狭长的圆形，由两个焦点确定。
椭圆的方程可以表示为(x/a)² + (y/b)² = 1。
4、抛物线抛物线是一种二次曲线，由平面上各点到定点距离与各点到定直线距离的差的平方成正比的轨迹。
抛物线图像特征是平面上一个开口朝上或朝下的弧形。
抛物线的方程可以表示为y=ax² + bx+c。
空间几何的球体与球面的性质与计算
空间几何的球体与球面的性质与计算球体和球面是空间几何中非常重要的概念，其性质与计算方法对于解决很多实际问题具有重要意义。
本文将探讨球体和球面的性质，并介绍一些常见的计算方法。
一、球体的性质球体是由空间中所有离一个固定点的距离相等于某一固定正实数的点组成的。
下面来介绍一些球体的性质：1. 圆心与球面上任意一点的连线是半径，半径的长度相等。
2. 球体上任意两点之间的最短距离是两点之间的弦长，该弦长小于等于2倍的球体半径。
3. 球体表面上的任意一条弧与球心之间的夹角是弧的两个端点与球心形成的夹角。
如果弧是一条扇形，则该夹角是扇形夹角。
4. 球体的表面积是所有球面上的点与球心之间的距离的和，记为S。
球体的表面积公式为：S = 4πr²，其中r为球体的半径。
5. 球体的体积是由球面上的点与球心之间的距离围成的区域的体积，记为V。
球体的体积公式为：V = (4/3)πr³。
二、球面的性质球面是球体的表面，也是一个二维的几何图形。
球面的性质如下：1. 球面上的任意两点之间的最短距离是两点之间的弧长，弧长小于等于2πr，其中r为球体的半径。
2. 在球面上，如果一个点与另外两个不在同一条圆经上的点相连，形成的是一个三角形。
球面上的三角形所有内角的和大于180°，且小于等于540°。
3. 球面的曲率是指球面曲线在某一点处的弯曲程度。
球面上的任意一点的曲率是相等的，且等于球体的半径的倒数。
三、球体和球面的计算方法1. 已知球体的体积，可以通过公式V = (4/3)πr³计算出球体的半径r。
2. 已知球体的表面积，可以通过公式S = 4πr²计算出球体的半径r。
3. 已知球体的半径r，可以通过公式V = (4/3)πr³计算出球体的体积。
4. 已知球体的半径r，可以通过公式S = 4πr²计算出球体的表面积。
对于球面的计算，可以利用球面上的弧长公式和扇形面积公式进行计算。
空间几何中的球面与球体的性质
空间几何中的球面与球体的性质空间几何是研究三维空间中图形的性质和相互关系的学科，其中球面和球体是较为常见的几何图形之一。
本文将探讨球面与球体的性质及其特点。
一、球面的性质球面是以一个定点为球心，与该点距离相等的所有点构成的集合。
在空间几何中，球面具有以下性质：1. 对称性：球面上的任意两点与球心的距离相等，这意味着球面具有中心对称性。
2. 等面积性：球面上的任意两个面元的面积相等。
这是因为球面是由等距离的点构成的，所以每个小面元的面积相等。
3. 最短路径性：球面上两点之间的最短路径即为它们所在的弧长。
这与地球上两个城市之间最短航线的原理是一致的。
4. 曲率相等性：球面上的任意一点处曲率都相等。
曲率是描述曲线弯曲程度的物理量，球面上的任意一点处曲率相等表明球面的曲率是均匀的。
二、球体的性质球体是由球面及其内部的所有点构成的几何体。
以下是球体的性质：1. 对称性：球体具有球面的对称性，即任意直径都经过球心，而任意切面都与球心相交于圆。
2. 体积计算：球体的体积可以通过体积公式V = 4/3πr³计算，其中r为球体的半径。
这个公式是通过积分推导得出的。
3. 表面积计算：球体的表面积可以通过表面积公式S = 4πr²计算，其中r为球体的半径。
4. 嵌套关系：球体可以相互嵌套，即一个球体可以被另一个球体包含。
这种嵌套关系在实际生活中常见，例如球体的层层叠加结构。
5. 切线关系：在球体上的任意一点，存在唯一的切平面与该点相切。
切平面与球面相切于一条直线，称为切线。
6. 球面切割：球体可以通过切割成两个或多个拼接的球面而得到。
这种切割操作常见于球体制作过程中，例如制作球体模型或球形物品。
综上所述，空间几何中的球面和球体具有许多独特的性质和特点。
球面具有对称性、等面积性、最短路径性和曲率相等性。
而球体则具有球面的对称性、体积计算公式、表面积计算公式、嵌套关系、切线关系以及球面切割等特点。
对于我们理解和应用空间几何有着重要的意义。
球面的第一第二基本形式
球面的第一第二基本形式球面的第一第二基本形式是描述球面上的曲线和曲面的性质的一种数学工具。
它们由球面的切平面和法线定义，并提供了关于曲线和曲面的度量性质的重要信息。
第一基本形式描述了球面上曲线的度量性质。
对于球面上的一条曲线，其第一基本形式可以表示为：ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2其中，ds^2表示曲线上的长度元素，du和dv是曲线参数u和v的微小变化，E，F和G是球面上的度量系数。
这些度量系数提供了曲线上切向量和法向量的长度和夹角信息。
第二基本形式描述了球面上曲面的度量性质。
对于球面上的一个曲面，其第二基本形式可以表示为：dN^2 = Ldu^2 + 2Mdudv + Ndv^2其中，dN^2表示曲面上的法向量的长度元素，du和dv是曲面参数u和v的微小变化，L，M和N是球面上的度量系数。
这些度量系数提供了曲面上法向量的长度和方向变化的信息。
球面的第一第二基本形式可以用来计算曲线和曲面上的曲率和曲率变化。
曲率度量了曲线或曲面在给定点处的弯曲程度。
根据第一第二基本形式，可以计算曲线和曲面上的主曲率和法曲率，从而了解它们在不同方向上的弯曲情况。
除了计算曲率，第一第二基本形式还可以用来计算曲线和曲面上的长度、面积和体积。
通过对度量系数进行积分，可以求得曲线和曲面的弧长、面积和体积。
这些信息对于物理学、工程学和几何学等领域的问题求解非常重要。
在实际应用中，球面的第一第二基本形式经常用于描述地球表面的地理曲线和地形曲面。
例如，地图上的等高线可以用第一基本形式来描述其曲线的曲率和曲率变化，从而提供地形变化的信息。
此外，球面的第一第二基本形式也广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和数值计算等领域。
球面的第一第二基本形式是研究球面上曲线和曲面性质的重要工具。
它们通过度量系数提供了曲线和曲面的度量性质，并可以用于计算曲率、长度、面积和体积等信息。
这些信息在各个领域的问题求解中都具有重要意义。
高等数学中的球面坐标与空间曲线积分
高等数学中的球面坐标与空间曲线积分在高等数学中，球面坐标和空间曲线积分是两个重要的概念。
球面坐标是一种在三维空间中描述点位置的坐标系统，而空间曲线积分则是一种计算曲线上向量场的积分的方法。
本文将分别介绍球面坐标和空间曲线积分的概念、性质和应用。
一、球面坐标球面坐标是一种常用于描述三维空间中点位置的坐标系统。
它由径向距离r、极角θ和方位角φ三个参数组成。
其中，径向距离r表示点到坐标原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，方位角φ表示点在xy平面上的投影与正x轴的夹角。
球面坐标的坐标轴为r、θ和φ轴。
球面坐标的转换公式为：x = r*sinθ*cosφy = r*sinθ*sinφz = r*cosθ球面坐标的优势在于它能够简洁地描述球对称问题，比如球体的体积、表面积等。
此外，球面坐标还常用于求解涉及球体的物理问题，如电场、磁场等。
通过转换到球面坐标系，可以简化问题的求解过程，提高计算效率。
二、空间曲线积分空间曲线积分是一种计算曲线上向量场的积分的方法。
它可以用于求解沿曲线的质量、电荷、能量等物理量的总量。
空间曲线积分的计算方法有两种：第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是将向量场沿曲线的切向量方向进行积分。
它的计算公式为：∫C F·ds = ∫C (F·T) ds其中，C表示曲线，F表示向量场，ds表示曲线元素，T表示曲线的切向量。
第二类曲线积分是将向量场沿曲线的法向量方向进行积分。
它的计算公式为：∫C F·dS = ∫C (F·N) dS其中，C表示曲线，F表示向量场，dS表示曲线元素，N表示曲线的法向量。
空间曲线积分的应用非常广泛。
例如，在电磁学中，可以利用空间曲线积分来计算电场、磁场沿导线的总量。
在流体力学中，可以利用空间曲线积分来计算流体沿管道的质量流量。
在工程学中，可以利用空间曲线积分来计算力沿弯曲杆件的总量。
三、球面坐标与空间曲线积分的关系球面坐标和空间曲线积分之间存在着密切的关系。
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球面曲线的性质与应用刘滨赫摘要本文是在前人工作的基础上，对前人条件的总结，归纳，改进，研究了球面曲线的充要条件，又给出了球面曲线的性质，进而又对一类特殊的球面曲线（球面曲线为闭曲线）进行了讨论并对球面曲线的应用做了一些简单的介绍.关键词球面曲线充要条件闭曲线1引言球面曲线的充要条件，一直为人们所关注.1963年Y C Wong 给出了一个充要条件，1971年S Breuer and D Gottlieb又给出一个充要条件.1972年Y ＣWong对1971年的文献的结果作了改进.1975年ＲＬＢishop又给出一个充要条件.然而这个充要条件不便于用来检验给定曲线是否为球面曲线.那么对于寻找一种容易判断的方法是有必要地.在对球面曲线充要条件研究的基础上，原来空间曲线的一些性质如曲率，挠率等在这种特殊的空间曲线上又有什么其他的结论？我们有必要给出.2.球面曲线的充要条件及性质曲率与挠率是描述曲线特征重要的两个量，而且容易求得，对于以前的那些充要条件，容易理解但不便于应用，那么接下来我们就通过曲线的曲率与挠率来给出曲线为球面曲线的条件及其推论并讨论球面曲线的性质.2.1球面曲线的充要条件引理2.1.1 设为中心在原点半径为R的球面上的C的弧长参数表示.选取C的单位切向量，单位半径向量，.称[(s)；(S)；]为曲线在S处的相对平行框架[4].用“”表示对弧长参数s的导数，用κ(s)，表示曲线C的曲率和挠率，则有证：因为，，俩边求导得到.t=0，令，则(，)为右旋的相互正交的三个单位向量.因为，令则，=，即得（2.1.1）下面的定理中设=(S)，0为弧长参数表示的类正则曲线.定理2.1.1 (s)为球面曲线的充要条件是存在常数R使得或者且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：必要性若X(S)为球面曲线，可设球心在原点，半径为R，设(s)为(s)的单位向量，令，，则由引理得到积分得(2.1.2) 由（2.1.1），（2.1.2）式得到由（2.1.1）式得故得充分性若，首先有κ(s)存在.使得κ()，则上式无意义.上边俩边对s求导，得到=0即令f(s)=则f.；==-令 (s)=(s)+则故(s)为常向量，且=故(s)在以C为中心半径为R的球面上定理2.1.2 (s)为球面曲线的充要条件是存在常数A，B，使得A且满足这条件的曲线在半径为的球面上.证：必要性若(s)为球面曲线，可设球心在原点半径为R，选取相对平行标架，由引理得到(2.1.3)(2.1.4) 积分(2.1.4)式得R (2.1.5)因为，可设，[(s),(s),(s)，(s)]为(s)在s处的Frenet标架，俩边求导得到-比较俩边系数，得(2.1.6)(2.1.7) 积分（2.1.7）式，得到(2.1.8) 由（2.1.6）式得=(2.1.8)式代入（2.1.6）式得(2.1.9) 由（2.1.3）式得(2.1.10)由（2.1.5）和（2.1.6）消去得（2.1.11）即其中 A=B=又（2.1.8）和（2.1.10）得充分性若存在常数A，B，使得A上式对任意，记求导，得到A即（）令f(s)=则f. (2.1.12)==- (2.1.13) 令(s)=(s)+应用（2.1.12），（2.1.13），得到故C(S)为常向量，为常数，(s)在以C(s)为中心半径为==的球面上.定理2.1.3 =(s)为球面曲线的充要条件是存在常数R，使得-R (2.1.14) 且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：必要性若X(S)为球面曲线，可设球心在原点半径为R，选取相对平行标架设[(s),(s),(s)，(s)]为(s)在s处的Frenet标架.由引理知则由引理得到比较俩边系数得到-R充分性若-R则-R俩边求导，得到-R令f(s)=则f.令则，故(s)为常向量，+=，即X(S)在以C为中心半径为R的球面上由定理2.1.3容易得到.推论 2.1.1 =(s)为球面曲线的充要条件是存在常数R，使得κR (2.1.15) 且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：在定理2.1.3的证明中，令，并注意可由f.和R=得到Rκ=推论2.1.2 X=X(S)为球面曲线的充要条件是存在常数A，B，使得（2.1.16）且满足这条件的曲线在半径为的球面上.证：将（2.1.14）展开且令-R推论 2.1.3 X=X(S)为球面曲线的充要条件是存在常数R，使得R (2.1.17) 且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：在（2.1.16）中，令即得（2.1.17）2.2.球面曲线的性质性质 2.2.1 类曲线=(s)为球面曲线则其曲率κ(s)和挠率满足（A）其中A，B为常数，且满足上式的曲线位于半径为的球面上.证明：设曲线=(s)位于半径为a(>0)的球面上，球心向径为(常向量)，则= (2.2.1) 设沿曲线的Frenet标架为（）将（2.2.1）俩端对s求导，得（）=0这说明（）与正交，因此（）与共面.若设顺着的正向看时，到的有向角为，则有此俩端对s求导，并利用Frenet公式，整理得(-a()+a()=由于是线性无关的，故有（1- a），()=0 （2.2.2）由（2.2.2）的第一式可见再由（2.2.2）的第二式有=0积分得(2.2.3) 其中为常数.将（2.2.3）代入（2.2.2）的第一式，得aΚ(S)即a(-(s)=1令A=a则有（A）且(球面半径)3 球面曲线为封闭曲线的条件和性质上面我们对球面曲线进行了讨论，那么球面曲线加上什么条件变为封闭曲线呢？该类曲线又有什么性质呢，接下来我们一起来探讨3.1 球面曲线为封闭曲线的条件准备工作考虑平面曲线)在球极投影逆映射下的像：=（），其中s，分别代表弧长参数，为切线方向角函数，单位球心为即.熟知有(3.1.1) 将此式对s求导并取模长，经直接计算可知= (3.1.2) 记为球面曲线所对应的函数使曲率且挠率，则已知(3.1.3) 引理 3.1.1 =-证明由3.3.1）（3.3.2）可得(x，y)=()=代入（3.1.3）易得===-=注引理 3.1.2取球面内法向，则的测地曲率证明由公式易得球面曲线封闭的条件设：：（-）是单位球面上的一条曲线，其曲率和挠率都是弧长周期函数，为正数，由[3]可知，所对应的函数周期函数，其中=，注意到引理1.2，亦为周期函数，若封闭，以为封闭周期，则任取一点为北极向南极切平面作球极投影所得平面曲线一定是封闭的，且适当选取弧长起点后有确定的方向函数和封闭周期L，其中s为的弧长参数.由平面闭曲线切线的旋转指标定理和平面曲线基本定理易知，的封闭条件等价于(3.1.4)其中为的切线的旋转指标，记满足（1）式的非常值光滑函数的全体为，则是以L为封闭周期（未必是最小周期）的平面闭曲线的方向角函数族.注意到和分别是和内在确定的量，且反之在刚性运动等意义下和分别唯一确定和，由引理3.1.1易得下述结论.定理 3.1.1设单位球面上具有弧长参数的曲线所对应的函数为，则封闭的充要条件是存在使（i）=(ii)=-注若球面不是单位的，则有类似结果.为简明起见，以后也总考虑单位球面曲线.3.2 球面闭曲线的性质预备知识定义一条空间闭曲线（C）: =(s)，0称为曲线（C）的总挠率（或全挠率）.一般地，空间闭曲线的总挠率的取值范围是：-设（C）是半径为R上的球面曲线，将（C）相似映射到单位球面（s）上，像曲线为（）.设（）：引理 3.2.1κ(c)=证()=｜｜，κ(c)=由于(3.2.1) 故κ(c)=引理3.2.2证，(s)=注意到，利用（3.2.1）式即得(s)=推论3.2.1（c）与（）有相同的总挠率.证由于相似映射是保形映射，所以俩球面上第一基本形式成比例，比例系数为R，因而曲线（c）的弧长=RS，d，所以有引理 3.2.3 单位球面上的曲线（），若，则，其中. （3.2.2）证设（）：，由于从而有=0上式俩段求导，注意到，=，有即1+=0 (｜｜=1)再对上式求导，得+利用弗雷内公式，化简后得-若令由于.=-，因而有+但是，单位球面上曲线的法曲率并由+= ，得其中因此，，有，.定理3.2.1 球面上正规闭曲线的总挠率等于零证：将球面曲线（c）作相似变换，变换到单位球面（s）上.象曲线记为（）.由引理3.2.2推论知，=设在整个闭曲线（）上，则恒为正或恒为负，此时===-由于=因而(κ(L)=κ(0)).设在闭曲线（）上一些点处，这时假定在0上有有限个这样的点，例如0=各点因而在开区间（）里不变号.若在闭区间[则该区间对应（）上的是一段测地线，即大圆弧，因而是一段平面曲线，故，有若在开区间（）上总大于零或小于零，则值固定，此时=-=0把各小区间上积分相加，得（）的总挠率定理3.2.1得证定理3.2.2 对于球面上任意闭曲线，有其中是曲线的挠率，κ是曲线的曲率.证：设有半径为R上的球面闭曲线（c），作相似映射，映射到单位球面（S）上，得闭曲线（）. 按引理3.2.1、3.2.2，有，又，(C)上曲线的弧长 d=Rds，故Rds=R再由引理3.2.3，所以=-命κ==-=-=0(κ(l)=κ(0))=0定理3.2.2得证4球面曲线的应用在我们生活的地球上,地球表面十分接近于一个球面.因此,在实际生活中,球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的应用.例如,大地(天体)测量、航空、卫星定位和镜面成像等方面都需要利用球面几何知识.在理论上,球面几何是一个与欧氏几何不同的几何模型,是一个重要的非欧几何的数学模型.球面几何在几何学的理论研究方面,具有特殊的重要作用.本讲重点讲述球面几何的一些基本知识,包括球面对称性与叠合公理、极与赤道、球面三角形的内角和以及球面三角形的正、余弦定理等.通过比较球面几何与欧氏平面几何的差异和联系,感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型.下一讲重点介绍球面几何在理论与实际中的应用,例如运用球面几何定理证明欧拉公式及正多面体的分类,球面几何理论在航空导航中的应用以及球面反射和镜面成像等.5 结束语几何学是由于人类生活的需要在人类的社会实践中产生的，因此它所研究的对象，也不外是与人类生活有关的现实世界的各种物体，他们的物理性质和化学性质千差万别，但它们都无例外的有一种共同的性质，那就是它们的形状，大小和相互位置关系，几何学就是研究现实世界物体的这种几何性质的科学.球面上的曲线属于欧氏几何的范畴，比较具体并且容易理解，单独的曲线和球面我们都有了系统和深入的研究，但是对于球面上的曲线知识体系还是不成系统的，鉴于这一点，本文从一般的空间曲线出发进而研究曲线在球面上的充要条件并讨论了球面曲线的性质，接着给出了一种特殊的球面曲线即球面上的闭曲线，相应的又对它进行了在球面上的条件即性质的研究.本文依照传统几何学中对几何对象研究的方法，旨在对球面上曲线的知识做系统的整理，为初学者的学习做一个铺垫，也为今后进一步研究球面曲线作出一点贡献.本文仍有许多不足之处，希望能够批评指正.参考文献[1]杨正清.球面曲线的充要条件.华南师范大学学报，1990年第1期.[2]王幼宁.刘继志.球面闭曲线和Jacobi定理.数学学报，第40卷第2期.[3]姜树民.球面曲线一个充要条件的初等证明.松辽学刊（自然科学版），1989年第2期.[4]梅向明.黄敬之.《微分几何》.高等教育出版社，2008年5月第四版.[5]韦煜.球面上闭曲线某些性质的讨论.黔南民族师专学报.第19卷第3 期.致谢我在写毕业论文期间，孟令江老师倾注了极大的心血悉心指导，在这里我首先对孟令江老师敬以衷心的感谢，感谢他的关心、指导和教诲．孟令江老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘！在整个论文写作过程中，孟令江老师总是耐心地给我讲解与论文内容相关的专业知识，细心地对论文进行修改．孟令江老师追求真理、献身科学、严于律己、宽以待人的崇高品质将永远激励我认真学习、努力工作！感谢与孟令江老师同一办公室的樊丽丽、杨景飞、李艳老师的关心和帮助．感谢我的学友和朋友们对我的关心和帮助!Some Properties of spherical CurveKong Fanxin Directed by Lecturer Fan LiliAbstract This paper has a summarize conclude improvemeent about the foregong conditions and studys the conditions and the properties of spherical curves .Then it gives a discussion about a special spherical curve(closed curve)Κey word Spherical Curve condition Closed curve。