平面直角坐标系中求面积( 全)
人教版初一数学下册平面直角坐标系中求三角形的面积
在直角坐标系中求图形的面积图形的面积可以利用相应的面积公式求得，但是在平面直角坐标系内的求面积问题，往往不直接给出边或高之类的条件，而是给出一些点的坐标。
我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积和一些不规则图形面积的问题，解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。
现对这类题目的解法举例说明如下：一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y 轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C （-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD ×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.。
平面直角坐标系求面积1
解题技巧专题：平面直角坐标系中的图形面积
——代几结合，突破面积及点的存在性问题
◆类型一直接利用面积公式求图形的面积
1．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的面积是()
A．2 B．4 C．8 D．6
第1题图第2题图2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)，则三角形ABC的面积为________．
◆类型二利用分割法求图形的面积
3．如图，在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(3，4)，C(0，2)，则四边形ABCO的面积为________．
4．观察下图，图中每个小正方形的边长均为1，回答以下问题：【方法14】
(1)写出多边形ABCDEF各个顶点的坐标；
(2)线段BC，CE的位置各有什么特点？
(3)求多边形ABCDEF的面积．
◆类型三利用补形法求图形的面积
5．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点．【方法14】
(1)写出三角形ABC各顶点的坐标；
(2)求出此三角形的面积．
◆类型四与图形面积相关的点的存在性问题
6．(2017·定州市期中)如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.
(1)求点B的坐标；
(2)求三角形ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
向量叉积求平面直角坐标系三角形面积
向量叉积求平面直角坐标系三角形面
积
在平面直角坐标系中，可以使用向量叉积来计算三角形的面积。
假设三角形的三个顶点分别是$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$，则可以将两个向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$表示为：
$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，$\overrightarrow{AC}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$
然后计算两个向量的叉积：
$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1) (x_3-x_1)|$
这个叉积的结果就是三角形的面积的两倍。
因此，三角形的面积可以表示为：
$S=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\dfrac{1}{2}| (x_2-x_1)(y_3-y_1)-(y_2-y_1)(x_3-x_1)|$
这个公式可以用于计算任意平面上的三角形面积，不仅限于直角坐标系。
需要注意的是，如果三角形的三个顶点共线，那么它的面积为0。
平面直角坐标系中的面积问题
∴OA=4， yB =3
∴ S△AOB
1 OA OB 2
=1 43 2
6 【典型例题】 类型 1 有一边在坐标轴上
∴ S△AOB
1 OA 2
yB
=1 43 2
6
例 1 如图 1，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(4，0)，B(-2，0)，C(2，4)，求△ ABC 的面积.
山东大学附属中学初二数学组 张永坤整理
【点拨】（1）“补”的思想；（2）三角形的面积公式：
“底乘高除以 2”.
图5
山东大学附属中学初二数学组 张永坤整理
例 6 如图 6，已知△ABC 中，A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求△ABC 的 面积.
图6 【分析】采用“补”的思想，将△ABC 补成一个正方形或者梯形. 【方法】
例 7 如图 7，以 OA 为边的△OAB 的面积为 2，试找出符合条件得且顶点是第一象 限格点的点 C，你能找出几个这样的点？
【分析】要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图 1 可知，△ABC 的边 AB 在 x 轴上，容易求得 AB 的长，而 AB 边上的高，恰好是 C 点到 x 轴的距离，也就是 C 点的纵坐标的绝对值.
解：∵A(4，0)，B(-2，0)，
∴AB=4-（-2）=6.
∵C 点坐标为(2，4)，
∴C 点到 x 轴的距离为 4，
【分析】明确底和高，以及利用平行线之间的距 离处处相等进行面积转化.【同底等高模型】
【方法】
图7
山东大学附属中学初二数学组 张永坤整理
例 8 如图所示，已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）. （1）在坐标系中描出各点，画出△ABC． （2）求△ABC 的面积； （3）设点 P 在坐标轴上，且△ABP 与△ABC 的面积相等，求点 P 的坐标． 【分析】（1）确定出点 A、B、C 的位置，连接 AC、 CB、AB 即可； （2）过点 C 向 x、y 轴作垂线，垂足为 D、E， S△ABC = S 四边形 DOEC -S△ACE -S△BCD -S△AOB； （3）当点 P 在 x 轴上时，由 S△ABP =4，求得：BP=8， 故此点 P 的坐标为（10，0）或（﹣6，0）；当点 P 在 y 轴 上时，S△ABP =4，解得：AP=4．所以点 P 的坐标为（0，5） 或（0，﹣3）． 【解答】 解：（1）如图所示：△ABC 即为所求．
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
例析平面直角坐标系中三角形面积的求法
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为〔－3，0〕，〔0，3〕，〔0，－1〕，你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC ＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-〔-1〕=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A〔4，1〕，B〔4，5〕，C〔-1，2〕，求三角形ABC的面积.分析：由A〔4，1〕，B〔4，5〕两点的横坐标一样，可知边AB与y轴平行，因而AB 的长度易求.作AB边上的高CD，那么D点的横坐标与A点的横坐标一样，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标一样，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，那么D点的横坐标为4，所以CD=4-〔-1〕=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，点A〔-3，-1〕，B〔1，3〕，C〔2，-3〕，你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想方法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形〔长方形〕的上下底〔长〕与其中一坐标轴平行，高〔宽〕与另一坐标轴平行.这样，梯形〔长方形〕的面积容易求出，再减去围在梯形〔长方形〕边缘局部的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，那么四边形ADEC为梯形.因为A〔-3，-1〕，B〔1，3〕，C〔2，-3〕，所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=〔AD+CE〕×DE-AD×DB-CE×BE=×〔4+6〕×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题〔提高篇〕“割补法〞的应用一、点的坐标，求图形的面积。
坐标系中如何求三角形的面积
坐标系中如何求三角形的面积
问题描述
在平面直角坐标系中，给定三角形的三个顶点坐标 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3,
y3)，如何通过坐标计算出这个三角形的面积呢？
基本原理
要计算三角形的面积，我们可以利用向量的知识来求解。
设向量AB为向量a，向量AC为向量b。
则向量a的坐标为 (x2 - x1, y2 - y1)，向量b的坐标为 (x3 - x1,
y3 - y1)。
具体步骤
1.计算向量a和向量b的叉乘，即 a × b = x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 -
x2y1 - x3y2。
2.三角形的面积等于叉乘结果的绝对值的一半，即 area = |a × b| / 2。
3.最终得出的结果即为这个三角形的面积。
例子
例子：
假设三角形ABC的三个顶点坐标为A(1, 2), B(4, 5), C(3, 7)。
计算过程如下：
向量a = AB = (4 - 1, 5 - 2) = (3, 3)
向量b = AC = (3 - 1, 7 - 2) = (2, 5)
叉乘结果为 a × b = 15 + 42 + 33 - 17 - 45 - 32 = 5 + 8 + 9 - 7 - 20 - 6 = -1
三角形的面积为 area = |-1| / 2 = 0.5
所以，三角形ABC的面积为0.5。
结论
通过向量的方法，我们可以方便地在坐标系中计算三角形的面积。
这种方法简
单直观，可以很好地应用于实际问题中。
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a
1
一、自主学习 1、（1）已知点P在x轴上，且到y轴的距离为2，
则 点P的坐标为(_-_2_,_0_)_(_2_,_0_) （2）已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则
点P的坐标为_(_4_,_3_)_(_-_4_,_3_)_(_4_,_-_3_)_(_-_4_,_-_3_)_ （3）若A（-1,0），B（4,0），则线段AB的长为_5___ （4）若A（0,5），B（0,3），则线段AB的长为__2___ （5）若A（-3，-2），B（-5，-2），则线段AB的长
B(6,2)
x
-2 2O 1 2 3 4 5
-1 -1 6 7 8
1
A(-1,-2)
D(6,-2)
-
2
a
17
题型四
❖与图形面积相关的点的存在 性问题
a
18
例1.已知，△ABC 三个顶点A、B、C的坐标分别为A（-2，4），B（2，
0），C（2，5）。
（1）在所给的平面直角坐标系xoy中画出△ABC，并求△ABC的面积。
∴ S四边形ABCD= S△AOD+ S梯形ABED+S△BEC
= 1 OD·AD+ 1 (BE+AD)·DE +1 ·EC ·BE
2
2
2
=
1 2
×1×4+ 1
2
×6×4+
1 2
×1×2
= 15
a
14
已知△ABC中，A(-1,-2),B(6,2),C(1,3), 求△ABC(1,3)
a
20
（2）点P在x轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标。
y
7
6
A
5 4
C
3
2
Pꞌ
1
P
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 01 2B3 4 5 6 7x
-2
-3
-4
-5
-6
a
19
-7
总结
平面直角坐标系中求面积
方法一：一边在坐标轴上三角形面积的求法 方法二：一边平行于坐标轴的三角形面积的求法 方法三：利用割补法求图形的面积 方法四：与图形面积相关的点的存在性问题
求四边形ABCO的面积。
A (1,4)
4
●
3
B (5,2)
F2
●
1
●
-5 -4 -3 -2 -1O
1D 2
-1
C (6,0)
●
x 3 4E 5 6
-2
-3
-4
a
13
解：过点A作AD⊥X轴于点D，过点B作BE⊥X轴于点E
则D(1,0) E(5,0)，由点的坐标可知
AD=4 BE=2 OD=1 DE=4 CE=1
3
2
1
B(6,2)
-2 -1O -1
1
2 3 4 56 7 8
x
A(-1,-2)-2
-3
a
15
y
5 F(-14,3) C(1,3)
3
方法1
E(6,3)
B(6,2)
-2 2O 1 2 3 4 5
-1 -1 6 7 8
1
A(-1,-2)
D(6,-2)
x
-
2
a
16
y
5
4
C(1,3)
3
方法2
E(6,3)
∴ S△ABC = 1 ·BC·AD= 1 ×6×5=15
2
2
a
7
练习. １．已知A(1,4),
B(-4,0),C(2,0). △ABC的面积是＿12＿＿．
y
A (1,4)
２.若BC的坐标不变,
B (-4,0) O
△ABC的面积为6,点A
y
的横坐标为-1,那么
A
点A的坐标为_(_-1,2)或(-1_,.-2)
坐标系xoy中画出△ABC，并求△ABC的面积。
y
7
6
A
5 4
C
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 01 2B3 4 5 6 7x
-2
-3
-4
-5
-6
a
11
-7
题型三
❖利用割补法求图形的面积
a
12
例1、探究展示
如图，四边形ABCO在平面直角坐标系中，
且A（1,4），B（5,2），Cy（6,0）， O（0,0），
2
1
A (4,0)
O
1
234
x
图（2）
a
5
2、如图所示，A(-4,-5),B(-2,0),C(4,0), 求△ABC的面积。
y
4
3
2
1
DB
C
●
●
-5 -4 -3 -2 -1O -1
12 345
x
-2
-3
-4
A●
-5
a
6
解：过点A作AD⊥X轴于点D
∵A(-4,-5)
∴D(-4,0)
由点的坐标可得 AD=5 BC=6
为__2___ （6）若A（3,2），B（3，-3），则线段AB的长为_5__
a
2
题型一
❖一边在坐标轴上三角形 面积的求法
a
3
问题1 如图（1）， △AOB的面积是多少？
y
4
B (0,3)
3
2
1
A (4,0)
O
1
234
x
图（1）
a
4
（2）这个△AOB的面积是多少，你会求吗？
y
4
B (3,3)
3
(-4,0B)
C (2,0x)
(2,0)
Cx
a
8
题型二
❖一边平行于坐标轴的三 角形面积的求法
a
9
例1：三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A（4，1），B（4，5），C（-1，2）， 求三角形ABC的面积.
a
10
例2.已知，△ABC 三个顶点A、B、C的坐标分别为A（-
2，4），B（2，0），C（2，5）。在所给的平面直角