2014届高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算教学案理新人教A版

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高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算课件新人教A版

(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
关闭
答案
知识梳理
-8-
知识梳理双基自测
12345
2.若 x,y∈R,有下列命题:
①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面;
②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb;
③若��=x��+y��,则 P,M,A,B 共面;
因为异面直线所成角的范围是
0,
π 2
,所以异面直线
AG 与
CE 所成角的余弦值为23.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点 1 空间向量的线性运算
例 1 如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设
��1=a,��=b,��=c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量:(1)��;(2)��1��;(3)�� + ��1.
122=√6187,则|��|=2√17.
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解析答案
知识梳理双基自测
知识梳理
12345
-10-
4.(教材习题改编P98T10)如图,在棱长为1的正方体ABCD-
A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则直线AM和CN所成角
的余弦值为
.
关闭
2 5
答案
知识梳理双基自测
考点1
考点2
考点3
-18-
对点训练 1 在三棱锥 O-ABC 中,M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC 的重心,用基向量��, ��, ��表示��, ��.

(课标通用)高考数学一轮复习第八章立体几何第6节空间向量及运算课件理

)
B．(－1，－3,2) D．( 2，－3，－2 2)
[解析]
[答案]
1 3 1 可知－2a＝－2，2，－1，选 C.
C
π 4．若向量 a＝(2,2,0)，b＝(1,3，z)，且〈a，b〉＝3，则实数 z＝( A. 22 C．± 22 ) B．5 D．± 5
[解析] ＝
π a· b ∵cos〈a，b〉＝cos3＝|a|· |b|
2×1＋2×3＋0×z 1 2 2 2 2 2 2＝2，∴z＝± 22. 2 ＋2 ＋0 × 1 ＋3 ＋z
C
[答案]
5．有下列命题： ①若 p＝xa＋yb，则 p 与 a， b 共面； ②若 p 与 a， b 共面， → → → 则 p＝xa＋yb；③若MP＝xMA＋yMB，则 P，M，A，B 共面； → → → ④若 P，M，A，B 共面，则MP＝xMA＋yMB. 其中真命题的个数是( A．1 C．3 ) B．2 D．4
a1b1＋a2b2＋a3b3 ⑤a· b＝________________.
⑥设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， → ＝______________________ (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 则AB ． ⑦cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 . 2 2 2 2 2 a2 ＋ a ＋ a · b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3
1．判断下列结论的正误． (正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( )
→ ＋BC → ＋CD →＋ (2)若 A， B， C， D 是空间任意四点，则有AB → ＝0.( DA ) )
(3)对于向量 a， b，若 a· b＝0，则一定有 a＝0 或 b＝0.(

高考数学一轮复习第八章立体几何8.6空间向量及其运算课件理

几何画板展示
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面.( √) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).( ×) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( ×) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ×) (5)若 A、B、C、D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( √ )
作，即a·ab·b＝
.|a||b|cos〈a，b〉
(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝ λ(a·b) ； ②交换律：a·b＝；b·a ③分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·.c 4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积
向量表示 a·b
跟踪训练2 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若
点M满足 O→M＝13(O→A＋O→B＋.O→C) (1)判断 M→A，M→B，M→C 三个向量是否共面；解答由题意知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， ∴O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C) 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， ∴M→A，M→B，M→C共面.
----→ → BD1 ·AC ----→ →
＝
| BD1 ||AC|
6 6.
即B→D1与A→C夹角的余弦值为
6 6.
思想与方法系列18
坐标法在立体几何中的应用
典例 (12分)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面 △ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，
N分别是A1B1，A1A的中点. (1)求B→N的模；

高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算教案理(含解析)

§8.6 空间向量及其运算2.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，通常规定0≤〈a ，b 〉≤π. 3.两条异面直线所成的角把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.4.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉； ②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a·a ，|a |＝x 2＋y 2＋z 2.(2)向量的坐标运算：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 数乘向量λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)共线a∥b (b ≠0)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3(b 与三个坐标平面都不平行)垂直 a⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1.共线向量与共面向量相同吗？提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？提示不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果. 题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面.( √ )(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ).( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( √ ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角.( × ) 题组二教材改编2.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( ) A.－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋cC.－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3.正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________. 答案2解析 |EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°) ＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为 2. 题组三易错自纠4.在空间直角坐标系中，已知A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3，2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直答案 B解析由题意得，AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， ∴AB →＝－3CD →， ∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5.已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________. 答案 2 6 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0， ∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______.答案 18解析 ∵P ，A ，B ，C 四点共面， ∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18. 题型一空间向量的线性运算例1 如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →； (2)MP →＋NC 1→.解 (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c . 思维升华用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.跟踪训练1 (1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点.用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案 12AB →＋12AD →＋AA 1→解析 ∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→. (2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( )A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) 答案 B解析 NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c ). 题型二共线定理、共面定理的应用例2 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点. (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH . 证明 (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面. (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1).(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解 (1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →， ∴MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1—→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→ ＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面. (2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1. 题型三空间向量数量积的应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点.(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值. (1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos60°＋a 2cos60°－a 2)＝0. ∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB . 同理可证MN ⊥CD .(2)设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r ·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2cos60°＋a 2cos60°－12a 2cos60° ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角.(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.跟踪训练3 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值. 解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1， ∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1.已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A.(0,3，－6)B.(0,6，－20)C.(0,6，－6)D.(6,6，－6)答案 B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20).2.在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 答案 A解析 a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3.已知向量a ＝(2m ＋1,3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于( ) A.32B.－2C.0D.32或－2 答案 B解析当m ＝0时，a ＝(1,3，－1)，b ＝(2,0,0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m，解得m ＝－2.4.在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为( ) A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0，－3)答案 C解析设P (0,0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3.5.已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( )A.5π6B.2π3C.π3D.π6 答案 D解析 ∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1,1,2)， ∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( ) A.3B.2C.1D.3－ 2 答案 D解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2.7.已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝________. 答案－9解析由题意知c ＝x a ＋y b ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.8.已知a ＝(x ,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，则c ＝________. 答案 (3，－2,2) 解析因为a ∥b ，所以x－2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，此时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2).9.已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________.答案平行解析如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ， PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c . 因此VA →＝32PM →＋32PN →， ∴VA →，PM →，PN →共面.又VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .10.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝3A 1B 1—→2；②A 1C →·(A 1B 1—→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确的序号是________.答案 ①②解析 ①中，(A 1A →＋A 1D 1—→＋A 1B 1—→)2＝A 1A →2＋A 1D 1—→2＋A 1B 1—→2＝3A 1B 1—→2，故①正确；②中，A 1B 1—→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确.11.已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →). (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.解 (1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面.(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面.∴点M 在平面ABC 内.12.已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2).(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95. 因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25. 13.(2018·本溪模拟)如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案 56解析连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA → ＝12b ＋12c －12a ， OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c . 又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16，y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56. 14.A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC中点，则△AMD 是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定答案 C解析 ∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形.15.已知O (0,0,0)，A (1,2,1)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________.答案 (1,1,2)解析由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1,1,2).16.如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点.(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值.(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ， ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos〈AC ′→，CE →〉＝AC ′→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

高考数学一轮复习第八章立体几何8.5空间向量及其应用获奖课件名师公开课

∴F
3 2
a.,
3 2
a
,
0
(1)证明:∵
A
F=
3, a
2
,=(3a,a
2
,
0a,aB),E
=(2a,30,-a),∴B C
=
(+
B C),又AF⊄平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
AF
1 BE
2
(2)证明:∵ AF=
3, a
2
, =(3-aa,,
2
0
a ,0C )D,
=(0,0,3-2a), E D
因为四边形ABCD是矩形,所以BC∥AD, 所以∠AQF是异面直线EF与BC所成的角. 在梯形ADEF中,因为DE∥AF,AF⊥FE,AF=AD=2,DE=1,所以DQ=AD=2,
∴∠AQF=30°.故异面直线EF与BC所成的角为30°. 解法二:∵AB⊥AD,平面ABCD⊥平面ADEF,且平面ABCD∩平面ADEF =AD,∴AB⊥平面ADEF,故AB,AF,EF两两垂直,以F为原点,AF,FE所在的直线分别为x轴,y轴,过点F平行于AB的直线为z轴,建立空间直角坐标系 F-xyz,如图.
l1、l2所成的角,则cos θ=|cos <a,b>|=| a b. |
| a || b |
解题导引导引一:延长AD,FE交于Q→利用线线平行得异面直线所成角→ 解三角形得结论导引二:证明三线互相垂直→建立空间直角坐标系→计算两直线的方向向量的夹角,得结论
解析解法一:延长AD,FE交于Q,如图.
过E作EH⊥DF于H,连接BH,则由(1)知EH⊥平面DAB, 所以∠EBH即为BE与平面DAB所成的角. 由AC=4,∠BAC=60°,得AB=AE=BE=2,所以EF= 3, 又DE=2,

专题8.6 空间向量及其运算(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)

【2014考纲解读】1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．【重点知识梳理】一、空间向量及其有关概念二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a,b〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0(a,b为非零向量)；(3)|a|2＝a2,|a|＝x2＋y2＋z2.2．向量的坐标运算三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量有无数多个,它们是共线向量．(2)在空间中,给定一个点A 和一个向量a ,那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．【规律总结】1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度,一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化．2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：(1)直线的方向向量：l 是空间一直线,A ,B 是直线l 上任意两点,则称AB 为直线l 的方向向量,与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.【随堂训练】1．若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0),n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5),n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1),n ＝(－1,0,－1) D ．a ＝(1,－1,3),n ＝(0,3,1)解析：选D 若l ∥α,则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2,B 中a ·n ＝1＋5＝6,C 中a ·n ＝－1, 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．已知a ＝(2,－1,3),b ＝(－1,4,－2),c ＝(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607D.6573.如图所示,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ＝a ,AD ＝b ,1AA ＝c ,则下列向量中与BM 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 解析：选A 1111()2BM BB B M AA AD AB =+=+- ＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .4.如图所示,已知空间四边形OABC ,OB ＝OC ,且∠AOB ＝∠AOC ＝π3,则cos 〈,OA BC 〉的值为( )A ．0 B.12 C.32D.225．平行六面体ABCD －A1B1C1D1中,向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60°,且|AB |＝1,|AD |＝2,|1AA |＝3,则|1AC |等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8解析：选A 设AB ＝a ,AD ＝b ,1AA ＝c ,则1AC ＝a ＋b ＋c , 1AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25, 因此|1AC |＝5.6．在正方体ABCD －A1B1C1D1中,P 为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O 为底面正方形ABCD 的中心,M,N 分别为AB,BC 的中点,点Q 为平面ABCD 内一点,线段D1Q 与OP 互相平分,则满足MQ ＝λMN 的实数λ的值有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【高频考点突破】考点一、空间向量的线性运算例1、 (1)如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点．化简A 1O →－12AB →－12AD →＝__________,用AB →,AD →,AA 1→表示OC 1→,则OC 1→＝__________；(2)向量a ＝(3,5,－4),b ＝(2,1,8),则2a ＋3b ＝__________,3a －2b ＝__________.【反思感悟】 (1)空间向量的坐标运算,关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系,并熟练掌握运算公式．(2)用不共面的向量表示某一向量时,关键是结合图形将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中,然后根据三角形法则或平行四边形法则,把未知向量用已知向量表示出来．【变式探究】如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AA 1→＝a ,AB →＝b ,AD →＝c ,M ,N ,P 分别是AA 1,BC ,C 1D 1的中点,试用a ,b ,c 表示下列各向量．(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.【解析】解：(1)AP →＝AD →＋DD 1→＋D 1P →＝AD →＋AA 1→＋12AB →＝c ＋a ＋12b .(2)A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1→＝(12AA 1→＋AD →＋12AB →)＋(12AD →＋AA 1→)＝32a ＋12b ＋32c .考点二共线向量定理、共面向量定理的应用例2、已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,求证： (1)E ,F ,G ,H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .【题后感悟】应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P ,A ,B )共线空间四点(M ,P ,A ,B )共面PA →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ,OP →＝OA →＋tAB →(t 为参数)对空间任一点O ,OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ,OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(t 为参数) 对空间任一点O ,OP →＝(1－x －y )OM →＋xOA →＋yOB →【变式探究】已知A ,B ,C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →,MB →,MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．考点三、空间向量的数量积及其应用例3、如图所示,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,CD 的中点,计算：(1)EF →·BA →； (2)EG 的长；(3)异面直线EG 与AC 所成角的大小．(3)由(2)知,EG →·AC →＝(－12a ＋12b ＋12c )·b＝－12a·b ＋12b 2＋12c·b ＝12,∴cos 〈EG →,AC →〉＝EG →·AC →|EG →|·|AC →|＝1222×1＝22.故异面直线EG 与AC 所成的角为45°.【题后感悟】 (1)当题目条件有垂直关系时,常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时,常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是α∈⎝⎛⎦⎤0，π2,θ∈[0,π],所以cos α＝|cos θ|＝|a ·b ||a ||b |； (3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形,也可依据|a |＝a 2转化为向量求解．【变式探究】已知空间四边形ABCD 中,AB ⊥CD ,AC ⊥BD ,试用向量法证明AD ⊥BC .考点四空间向量的坐标运算例4、已知向量a ＝(1,－3,2),b ＝(－2,1,1),点A (－3,－1,4),B (－2,－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ,使得OE →⊥b (O 为原点)? 【解】 (1)∵a ＝(1,－3,2),b ＝(－2,1,1),【题后感悟】 (1)求向量的数量积的方法： ①设向量a ,b 的夹角为θ,则a ·b ＝|a ||b |cos θ； ②若a ＝(x 1,y 1,z 1),b ＝(x 2,y 2,z 2), 则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.根据已知条件,准确选择上述两种方法,可简化计算． (2)求向量模的方法： ①|a |＝a 2；②若a ＝(x ,y ,z ),则|a |＝x 2＋y 2＋z 2.【变式探究】已知空间中三点A (－2,0,2),B (－1,1,2),C (－3,0,4),设a ＝AB →,b ＝AC →. (1)若|c |＝3,且c ∥BC →,求向量c 的坐标；(2)若m (a ＋b )＋n (a －b )与2a －b 垂直,求m ,n 应满足的关系式．【解析】解：(1)由条件得a ＝AB →＝(1,1,0),b ＝AC →＝(－1,0,2),【方法技巧】1．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度,一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化．2．利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理难度,可以避开一些较复杂的线面关系,但复杂的代数运算也容易导致出错．因此,在解决问题时,可以灵活的选用解题方法,不要生搬硬套．【经典考题精析】（2013·天津卷）如图1－3所示,四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD＝CD＝1,AA1＝AB＝2,E为棱AA1的中点．(1)证明：B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26.求线段AM的长．图1－1解析：方法一：如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B 1(0,2,2),C 1(1,2,1),E(0,1,0)．(3)AE →＝(0,1,0),EC 1→＝(1,1,1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有AM →＝AE →＋EM →＝(λ,λ＋1,λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．B 1C 1平面A 1B 1C 1D 1,所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5,B 1C 1＝2,EC 1＝3,从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21,所以在△B 1EC 1中,B 1C 1⊥C 1E.又CC 1,C 1E平面CC 1E,CC 1∩C 1E ＝C 1,所以B 1C 1⊥平面CC 1E,又CE 平面CC 1E,故B 1C 1⊥CE.【当堂巩固】1．已知O ,A ,B ,C 为空间四个点,又OA →,OB →,OC →为空间的一个基底,则 ( ) A ．O ,A ,B ,C 四点不共线B ．O ,A ,B ,C 四点共面,但不共线 C ．O ,A ,B ,C 四点中任意三点不共线D ．O ,A ,B ,C 四点不共面答案 D解析 OA →,OB →,OC →为空间的一个基底,所以OA →,OB →,OC →不共面,但A,B,C 三种情况都有可能使OA →,OB →,OC →共面．2．已知a ＝(λ＋1,0,2),b ＝(6,2μ－1,2λ),若a ∥b ,则λ与μ的值可以是( )A ．2,12B ．－13,12C ．－3,2D ．2,2答案 A解析由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3. 如图所示,PD 垂直于正方形ABCD 所在平面,AB ＝2,E 为PB 的中点,cos 〈DP →,AE →〉＝33,若以DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则点E 的坐标为 ( )A ．(1,1,1) B.⎝⎛⎭⎫1，1，12 C.⎝⎛⎭⎫1，1，32D ．(1,1,2)答案 A解析设PD ＝a (a >0),则A (2,0,0),B (2,2,0),P (0,0,a ),E ⎝⎛⎭⎫1，1，a2, ∴DP →＝(0,0,a ),AE →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，a 2, ∵cos 〈DP →,AE →〉＝33,∴a 22＝a2＋a 24·33,∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．4．如图所示,已知P A ⊥平面ABC ,∠ABC ＝120°,P A ＝AB ＝BC ＝6,则PC 等于 ( )A ．6 2B ．6C ．12D ．1445．有下列命题：①若p ＝xa ＋yb ,则p 与a ,b 共面； ②若p 与a ,b 共面,则p ＝xa ＋yb ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →,则P ,M ,A 、B 共面； ④若P ,M ,A ,B 共面,则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析其中①③为真命题．6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→,N 为B 1B 的中点,则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 答案 A7. 如图所示,已知空间四边形OABC ,OB ＝OC ,且∠AOB ＝∠AOC ＝π3,则cos 〈OA →,BC →〉的值为( )A ．0 B.12 C.32D.22答案 A解析设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,由已知条件〈a ,b 〉＝〈a ,c 〉＝π3,且|b |＝|c |,OA →·BC →＝a·(c －b )＝a·c －a·b＝12|a||c |－12|a||b |＝0, ∴cos 〈OA →,BC →〉＝0.8．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直,且a －4b 与7a －2b 垂直,则〈a ,b 〉＝________.9. 如图所示,已知二面角α—l —β的平面角为θ ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,AB 在平面β内,BC 在l 上,CD 在平面α内,若AB ＝BC ＝CD ＝1,则AD 的长为________．10．已知a ＝(1－t,1－t ,t ),b ＝(2,t ,t ),则|b －a |的最小值为________．答案355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0),∴|b －a |＝1＋t2＋2t －12＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95, ∴当t ＝15时,|b －a |取得最小值355.11. 在四面体O —ABC 中,OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE →＝______________(用a ,b ,c 表示)．12．如图,已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心,且G 为AM 上一点,且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B 、G 、N 三点共线．13．直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中,AC ＝BC ＝AA ′,∠ACB ＝90°,D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．。

(苏教版)高考数学一轮复习第八章立体几何第五节空间向量的运算及应用教案理(解析版)

1．空间向量及其有关概念2．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.(2)向量的坐标运算：[小题体验]1．已知a ＝(2,3,1)，b ＝(－4,2，x )，且a ⊥b ，则|b|＝________. 答案：2 62．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝________. 答案：6573．已知直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的法向量n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥平面α，则x 的值为________．解析：因为线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝± 2. 答案：± 21．共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误认为是共面向量． [小题纠偏]1．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ＋μ＝________. 解析：因为a ∥b ，所以b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝k λ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12，所以λ＋μ＝±52.答案：±522．若AB ―→＝λCD ―→＋μCE ―→，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是________．解析：因为AB ―→＝λCD ―→＋μCE ―→，所以AB ―→，CD ―→，CE ―→共面，所以AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内．答案：平行或直线AB 在平面内3．(2019·无锡检测)已知平面α的法向量为n ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为m ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则实数k 的值为________．解析：由α⊥β，得m ·n ＝－2－8－2k ＝0，解得k ＝－5. 答案：－5考点一空间向量的线性运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AA 1―→＝a ，AB ―→＝b ，AD ―→＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP ―→；(2)A 1N ―→； (3)MP ―→＋NC 1―→.解：(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP ―→＝AA 1―→＋A 1D 1―→＋D 1P ―→＝a ＋AD ―→＋12D 1C 1―→＝a ＋c ＋12AB ―→＝a ＋c ＋12b.(2)因为N 是BC 的中点，所以A 1N ―→＝A 1A ―→＋AB ―→＋BN ―→＝－a ＋b ＋12BC ―→＝－a ＋b ＋12AD ―→＝－a ＋b ＋12c .(3)因为M 是AA 1的中点，所以MP ―→＝MA ―→＋AP ―→＝12A 1A ―→＋AP ―→＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ，又NC 1―→＝NC ―→＋CC 1―→＝12BC ―→＋AA 1―→＝12AD ―→＋AA 1―→＝12c ＋a ，所以MP ―→＋NC 1―→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c. [谨记通法]用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．考点二共线、共面向量定理的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．若A (－1,2,3)，B (2,1,4)，C (m ，n,1)三点共线，求m ＋n 的值．解：AB ―→＝(3，－1,1)，AC ―→＝(m ＋1，n －2，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得AC ―→＝λAB ―→. 即(m ＋1，n －2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λ，n －2＝－λ，－2＝λ，解得λ＝－2，m ＝－7，n ＝4.所以m ＋n ＝－3.2．如图所示，已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→(0≤k ≤1)．判断向量MN ―→是否与向量AB ―→，AA 1―→共面．解：因为AM ―→＝kAC 1―→，BN ―→＝k BC ―→，所以MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝kC 1A ―→＋AB ―→＋k BC ―→ ＝k (C 1A ―→＋BC ―→)＋AB ―→ ＝k (C 1A ―→＋B 1C 1―→)＋AB ―→ ＝kB 1A ―→＋AB ―→＝AB ―→－kAB 1―→＝AB ―→－k (AA 1―→＋AB ―→) ＝(1－k )AB ―→－kAA 1―→，所以由共面向量定理知向量MN ―→与向量AB ―→，AA 1―→共面．[由题悟法]应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较[即时应用]如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为3的菱形，∠ABC ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3.F 在棱P A 上，且AF ＝1，E 在棱PD 上．若CE ∥平面BDF ，求PE ∶ED 的值．解：取BC 的中点G ，连结AG ，因为四边形ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，所以AG ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ，故以A 为原点，分别以AG ―→，AD ―→，AP ―→为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz .则D (0,3,0)，F (0,0,1)，B ⎝⎛⎭⎫332，－32，0，P (0,0,3)，C⎝⎛⎭⎫332，32，0，DF ―→＝(0，－3，1)，DB ―→＝⎝⎛⎭⎫332，－92，0，PD ―→＝(0,3，－3)，CP ―→＝⎝⎛⎭⎫－332，－32，3，设平面BDF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋z ＝0，332x －92y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝3，所以n ＝(3，1,3)．设PE ―→＝λPD ―→＝(0,3λ，－3λ)，则CE ―→＝CP ―→＋PE ―→＝⎝⎛⎭⎫－332，－32＋3λ，3－3λ，因为CE ∥平面BDF ，所以n ·CE ―→＝0，解得λ＝12.所以PE ∶ED ＝1.考点三利用向量证明平行与垂直问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 为BB 1上的一点，且EB 1＝1，点D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ；(2)平面EGF ∥平面ABD .证明：(1)以点B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，设BA ＝a ，则A (a,0,0)，所以BA ―→＝(a,0,0)，BD ―→＝(0,2,2)，B 1D ―→＝(0,2，－2)，因为B 1D ―→·BA ―→＝0＋0＋0＝0，B 1D ―→·BD ―→＝0＋4－4＝0，所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD . 又BA ∩BD ＝B ，所以B 1D ⊥平面ABD .(2)由(1)知，E (0,0,3)，G ⎝⎛⎭⎫a2，1，4，F (0,1,4)，则EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，1，EF ―→＝(0,1,1)，因为B 1D ―→·EG ―→＝0＋2－2＝0，B 1D ―→·EF ―→＝0＋2－2＝0，所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .又EG ∩EF ＝E ，所以B 1D ⊥平面EGF . 由(1)可知，B 1D ⊥平面ABD ，所以平面EGF ∥平面ABD .[由题悟法]1．利用向量法证明平行问题的类型及方法 (1)证明线线平行：两条直线的方向向量平行． (2)证明线面平行：①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． (3)证明面面平行：两个平面的法向量平行． 2．利用向量法证明垂直问题的类型及方法(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0. (2)证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)证明面面垂直：①其中一个平面与另一个平面的法向量平行； ②两个平面的法向量垂直．[即时应用]如图，四边形ABEF 与四边形ABCD 是两个全等的正方形，且平面ABEF 与平面ABCD 互相垂直，M ，N 分别是AC 与BF 上的点，且CM ＝BN .求证：(1)MN ⊥AB ；(2)MN ∥平面CBE .证明：(1)设正方形ABEF 的边长为1.CM ―→＝λCA ―→，则BN ―→＝λBF ―→. 取一组向量的基底为{BA ―→，BE ―→，BC ―→}，记为{a ，b ，c}．则|a|＝|b|＝|c|＝1，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.所以MN ―→＝MC ―→＋CB ―→＋BN ―→＝－λCA ―→＋CB ―→＋λBF ―→ ＝－λ(a －c)－c ＋λ(a ＋b)＝λb ＋(λ－1)c ，所以MN ―→·BA ―→＝[λb ＋(λ－1)c]·a ，＝λ(b ·a)＋(λ－1)(c ·a) ＝λ×0＋(λ－1)×0＝0. 所以MN ―→⊥BA ―→，即MN ⊥AB . (2)法一：由(1)知MN ⊥AB . 又AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，BE ∩BC ＝B . 所以AB ⊥平面CBE . 又MN ⊄平面CBE . 所以MN ∥平面CBE .法二：由(1)知，MN ―→＝λb ＋(λ－1)c ＝λBE ―→＋(λ－1)BC ―→. 所以MN ―→与平面CBE 共面．又MN ⊄平面CBE . 所以MN ∥平面CBE .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝________.解析：由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．答案：(0,6，－20)2．(2019·汇龙中学检测)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 和平面α的位置关系为________．解析：因为a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)，所以n ＝－2a ，即a ∥n.所以l ⊥α. 答案：l ⊥α3．(2018·睢宁中学检测)已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN ―→＝________.解析：如图所示，连结ON ，AN ，则ON ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)＝12(b ＋c)，AN ―→＝12(AC ―→＋AB ―→)＝12(OC ―→－2OA ―→＋OB ―→)＝12(－2a ＋b ＋c)＝－a ＋12b ＋12c ，所以MN ―→＝12(ON ―→＋AN ―→)＝－12a ＋12b ＋12c.答案：－12a ＋12b ＋12c4．若点C (4a ＋1,2a ＋1,2)在点P (1,0,0)，A (1，－3,2)，B (8，－1, 4)所确定的平面上，则a ＝________. 解析：由题意得P A ―→＝(0，－3,2)，PB ―→＝(7，－1,4)，PC ―→＝(4a,2a ＋1,2)，根据共面向量定理，设PC ―→＝x P A ―→＋y PB ―→，则(4a,2a ＋1,2)＝x (0，－3,2)＋y (7，－1,4)＝(7y ，－3x －y ，2x ＋4y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝7y ，2a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－133，y ＝83，a ＝143.答案：1435．若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________.解析：因为α∥β，所以u 1∥u 2，所以－36＝y －2＝2z ，所以y ＝1，z ＝－4，所以y ＋z ＝－3. 答案：－36．(2019·滨海检测)已知空间三点A (0,2,3)，B (2,5,2)，C (－2,3,6)，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为________．解析：∵AB ―→＝(2,3，－1)，AC ―→＝(－2,1,3)．∴AB ―→·AC ―→＝－4＋3－3＝－4，|AB ―→|＝22＋32＋－12＝14，|AC ―→|＝－22＋12＋32＝14.∴cos ∠BAC ＝AB ―→·AC ―→| AB ―→|·|AC ―→|＝－414×14＝－27.∴sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝357.故以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积S ＝|AB ―→|·|AC ―→|·sin ∠BAC ＝14×14×357＝6 5.答案：6 5二保高考，全练题型做到高考达标1．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点．若AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的一个法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．(填序号)解析：∵AB ―→·AP ―→＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，∴AB ―→⊥AP ―→，即AP ⊥AB ，故①正确．∵AP ―→·AD ―→＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，∴AP ―→⊥AD ―→，即AP ⊥AD ，故②正确．又AB ∩AD ＝A ，∴ AP ⊥平面ABCD ，故AP ―→是平面ABCD 的一个法向量，故③正确． ∵BD ―→＝AD ―→－AB ―→＝(2,3,4)，AP ―→＝(－1,2，－1)， ∴2－1≠32≠4－1， ∴ AP ―→与BD ―→不平行，故④错误．答案：①②③2．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(x,1,2)，且a ·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为________．解析：因为a ·b ＝x ＋2＝3，所以x ＝1，所以b ＝(1,1,2)．所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a|·|b|＝32×6＝32.所以a 与b 的夹角为π6.答案：π63．(2019·盐城中学检测)已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0，1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )，因为AB ―→＝(0,1，－1)，AC ―→＝(1,0，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x －z ＝0，令x ＝1，得m ＝(1,1,1)．因为m ＝－n ，所以m ∥n ，所以α∥β. 答案：α∥β4．已知正三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，将此三角形沿DE 翻折，当AE ⊥BD 时，二面角A DE F 的余弦值等于________．解析：不妨设GD ＝GE ＝1，则GA ＝GF ＝3，AE ＝BD ＝2，由已知得∠AGF 即为二面角A DE F 的平面角，设其为θ.则AE ―→·BD ―→＝(GE ―→－GA ―→)·(BF ―→＋FG ―→＋GD ―→)＝(GE ―→－GA ―→)·(2GE ―→－GF ―→－GE ―→)＝(GE ―→－GA ―→)·(GE ―→－GF ―→)＝GE ―→2－GE ―→·GF ―→－GA ―→·GE ―→＋GA ―→·GF ―→＝1－0－0＋3·3cos θ＝1＋3cos θ＝0，所以cos θ＝－13，即当AE ⊥BD 时，二面角A DE F 的余弦值等于－13.答案：－135．(2019·南京调研)如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．解析：AC 1―→2＝(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→)2＝AB ―→2＋AD ―→2＋AA 1―→2＋2AB ―→·AD ―→＋2AB ―→·AA 1―→＋2AD ―→·AA 1―→＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝50＋20＋15＝85，即|AC 1―→|＝85.答案：856．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．解析：由题意知AB ―→·AC ―→＝0，|AB ―→|＝|AC ―→|，又AB ―→＝(6，－2，－3)，AC ―→＝(x －4,3，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x －4－6＋18＝0，x －42＝4，解得x ＝2. 答案：27．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是CD ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN ＝________.解析：连结PD ，因为M ，N 分别为CD ，PC 的中点，所以MN ＝12PD ，又P (0,0,1)，D (0,1,0)，所以PD ＝02＋－12＋12＝2，所以MN ＝22. 答案：228．已知向量AB ―→＝(1,5，－2)，BC ―→＝(3,1,2)，DE ―→＝(x ，－3,6)．若DE ∥平面ABC ，则x 的值是________．解析：∵DE ∥平面ABC ，∴存在实数m ，n ，使得DE ―→＝m AB ―→＋n BC ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3n ，－3＝5m ＋n ，6＝－2m ＋2n ，解得x ＝5.答案：59．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．解：因为∠ACD ＝90°，所以AC ―→·CD ―→＝0.同理可得AC ―→·BA ―→＝0.因为AB 与CD 成60°角，所以〈BA ―→，CD ―→〉＝60°或〈BA ―→，CD ―→〉＝120°，又BD ―→＝BA ―→＋AC ―→＋CD ―→，所以|BD ―→|2＝|BA ―→|2＋|AC ―→|2＋|CD ―→|2＋2BA ―→·AC ―→＋2BA ―→·CD ―→＋2AC ―→·CD ―→＝3＋2×1×1×cos 〈BA ―→，CD ―→〉．所以当〈BA ―→，CD ―→〉＝60°时，|BD ―→|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA ―→，CD ―→〉＝120°时，|BD ―→|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.10．如图，在多面体ABC A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊12BC ，二面角A 1 AB C 是直二面角．求证：(1)A1B 1⊥平面AA 1C ；(2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：因为二面角A 1 AB C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形，所以AA 1⊥平面ABC .又因为AB ＝AC ，BC ＝2AB ，所以∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB ，所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，设AB ＝2，则A (0,0,0)，B 1(0,2,2)，A 1(0,0,2)，C (2,0,0)，C 1(1,1,2)．(1) A 1B 1―→＝(0,2,0)，A 1A ―→＝(0,0，－2)，AC ―→＝(2,0,0)，设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1A ―→＝0，n ·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0.取y ＝1，则n ＝(0,1,0)．所以A 1B 1―→＝2n ，即A 1B 1―→∥n.所以A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)易知AB 1―→＝(0,2,2)，A 1C 1―→＝(1,1,0)，A 1C ―→＝(2,0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·A 1C 1―→＝0，m ·A 1C ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1,1)．所以AB 1―→·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以AB 1―→⊥m.又AB 1⊄平面A 1C 1C ，所以AB 1∥平面A 1C 1C .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，CC 1＝5，E 是棱CC 1上不同于端点的点，且CE―→＝λCC 1―→.当∠BEA 1为钝角时，则实数λ的取值范围为________．解析：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,3,0)，C 1(0，3,5)，B (2,3,0)，A 1(2,0,5)．因为CE ―→＝λCC 1―→，所以E (0,3,5λ)．从而EB ―→＝(2,0，－5λ)，EA 1―→＝(2，－3,5－5λ)．当∠BEA 1为钝角时，cos ∠BEA 1＜0，所以EB ―→·EA 1―→＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，解得15＜λ＜45. 答案：⎝⎛⎭⎫15，452．(2019·海门中学检测)如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为________．解析：由题意知CD ，CB ，CE 两两垂直，所以以C 为原点，以CD ，CB ，CE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设M 点的坐标为(x ，y,1)，AC ∩BD＝O ，连结OE ，则O ⎝⎛⎭⎫22，22，0，又E (0,0,1)，A (2，2，0)，所以OE ―→＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，1，AM ―→＝(x －2，y －2，1)，因为AM ∥平面BDE ，AM ⊂平面ACEF ，平面BDE ∩平面ACEF ＝OE ，所以OE ∥AM ，所以⎩⎨⎧ x －2＝－22，y －2＝－22即⎩⎨⎧ x ＝22，y ＝22，所以M ⎝⎛⎭⎫22，22，1.答案：⎝⎛⎭⎫22，22，1 3．如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .证明：(1)以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．于是AP ―→＝(0,3,4)，BC ―→＝(－8，0,0)，所以AP ―→·BC ―→＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，所以AP ―→⊥BC ―→，即AP ⊥BC .(2)由(1)知AP ＝5，又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，所以AM ―→＝35AP ―→＝⎝⎛⎭⎫0，95，125，又BA ―→＝(－4，－5,0)，所以BM ―→＝BA ―→＋AM ―→＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125，则AP ―→·BM ―→＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0，所以AP ―→⊥BM ―→，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，且BC ∩BM ＝B ，所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC .又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .。

高三数学大一轮复习 8.6空间向量及其运算教案理新人教A版

§8.6空间向量及其运算2014高考会这样考 1.考查空间向量的线性运算及其数量积；2.利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；3.考查空间向量基本定理及其意义．复习备考要这样做 1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积．1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量．(4)共面向量：平行于同一个平面的向量．2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.推论如图所示，点P在l上的充要条件是OP→＝OA→＋t a①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB→＝a，则①可化为OP→＝OA→＋tAB→或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→.(2)共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP→＝xMA→＋yMB→或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝__1__.(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )，a⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.[难点正本疑点清源]1．空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．比如：(1)定义式：a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉或cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |，用于求两个向量的数量积或夹角；(2)非零向量a ，b ，a⊥b ⇔a·b ＝0，用于证明两个向量的垂直关系；(3)|a |2＝a·a ，用于求距离等等． 2．用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底{a ，b ，c }；(2)用a ，b ，c 表示相关向量； (3)通过运算完成证明或计算问题．1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________．答案－13解析 ∵a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)， ∴(a ＋b )·(a －b )＝－20－5＋12＝－13. 2．下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意一点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC→ (其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确．．．的所有命题的序号为__________．答案 ②③④解析 ①中四点恰好围成一封闭图形，正确； ②中当a 、b 同向时，应有|a |＋|b |＝|a ＋b |； ③中a 、b 所在直线可能重合；④中需满足x ＋y ＋z ＝1，才有P 、A 、B 、C 四点共面． 3．同时垂直于a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)的单位向量是____________________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23解析设与a ＝(2,2,1)和b ＝(4,5,3)同时垂直b 单位向量是c ＝(p ，q ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＋r 2＝1，2p ＋2q ＋r ＝0，4p ＋5q ＋3r ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝13，q ＝－23，r ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－13，q ＝23，r ＝－23，即同时垂直a ，b 的单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23，23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23.4．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是 ( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c答案 A解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →) ＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .5. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 与A 1D 、AC 都垂直 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面答案 B解析设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，－13，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC . 题型一空间向量的线性运算例1三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示MG→，OG→.思维启迪：利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．解MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.探究提高用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．如图所示，ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是平行四边形．若AE→＝12EC→，A1F→＝2FD→，若AB→＝b，AD→＝c，AA1→＝a，试用a，b，c表示EF→.解如图，连接AF ，则EF →＝EA →＋AF →.由已知ABCD 是平行四边形，故AC →＝AB →＋AD →＝b ＋c ， A 1D →＝A 1A →＋AD →＝－a ＋c .由已知，A 1F →＝2FD →，∴AF →＝AD →＋DF → ＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →＝c －13(c －a )＝13(a ＋2c )，又EA →＝－13AC →＝－13(b ＋c )，∴EF →＝EA →＋AF →＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13(a －b ＋c )．题型二共线定理、共面定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．思维启迪：对于(1)只要证出向量BD →与EH →共线即可；对于(2)只要证出EG→＝EF→＋EH→即可；对于(3)，易知四边形EFGH为平行四边形，则点M为线段EG与FH的中点，于是向量OM→可由向量OG→和OE→表示，再将OG→与OE→分别用向量OC→，OD→和向量OA→，OB→表示．证明(1)连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知EH→＝12BD→，同理FG→＝12BD→，所以EH→＝FG→，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG → ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋OB →＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OC →＋OD → ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．探究提高在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a ＝λb 关系，即可判定两直线平行．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为BC边上的中点，求证：A 1B ∥平面AC 1D .证明设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ，则BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→ ＝a ＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ，BA 1→＝AC 1→－2AD →，∵A 1B ⊄平面AC 1D ，∴A 1B ∥平面AC 1D . 题型三空间向量数量积的应用例3 已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．思维启迪：利用两个向量的数量积可以求向量的模和两个向量的夹角．解 (1)由题意可得：AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →| ＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin〈AB →，AC →〉＝32， ∴以AB →，AC →为边的平行四边形的面积为 S ＝2×12|AB →|·|AC →|·sin〈AB →，AC →〉＝14×32＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3－2x －y ＋3z ＝0x －3y ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1，∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．探究提高 (1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算；(3)通过数量积可以求向量的模.如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. (1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.|AC1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6，∴|AC1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC→|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.空间向量运算错误典例：(12分)如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点，N是C 1D 1的中点，点Q 在CA 1上，且CQ ∶QA 1＝4∶1，设AB → ＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，用基底{a ，b ，c }表示以下向量： (1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →.易错分析解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算，特别是减法运算理解不清，如把CA 1→误认为是AC →－AA 1→；另一个错误是向量的数乘表示不准，如把CQ →＝45CA 1→，误认为CQ →＝34CA 1→.规范解答解如图连接AC ，AD 1. (1)AP →＝12(AC →＋AA 1→)＝12(AB →＋AD →＋AA 1→) ＝12(a ＋b ＋c )．[3分] (2)AM →＝12(AC →＋AD 1→)＝12(AB →＋2AD →＋AA 1→) ＝12(a ＋2b ＋c )．[6分] (3)AN →＝12(AC 1→＋AD 1→)＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)]＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→)＝12(a ＋2b ＋2c ) ＝12a ＋b ＋c .[9分] (4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45(AA 1→－AC →) ＝15AC →＋45AA 1→＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c .[12分] 温馨提醒 (1)空间向量的加减法运算和数乘是表示向量的基础；(2)空间任一向量用一组基底表示是唯一的；(3)空间向量共线和两直线平行是不同的. 方法与技巧1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．失误与防范1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b ＝b·a ，a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c 成立，(a·b )·c ＝a·(b·c )不一定成立．2．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．A 组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则 ( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面答案 D解析 OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，所以OA →，OB →，OC →不共面，但A ，B ，C 三种情况都有可能使OA →，OB →，OC →共面．2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是 ( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2 答案 A解析由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3. 如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1,1,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12C.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，32D ．(1,1,2)答案 A解析设PD ＝a (a >0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，a 2，∴DP →＝(0,0，a )，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，a 2，∵cos〈DP →，AE →〉＝33，∴a 22＝a2＋a 24·33，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．4．如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于 ( )A ．6 2B ．6C ．12D ．144 答案 C解析因为PC →＝PA →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144. 所以|PC →|＝12.二、填空题(每小题5分，共15分)5. 在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝12OA →＋12OD →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 6．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________.答案－2或255解析由已知得89＝a·b |a||b |＝2－λ＋45＋λ2·9， ∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.7．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)、B (10，－1,6)、C (x,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为________．答案 2解析由题意知AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →|，可解得x ＝2.三、解答题(共22分)8． (10分)如图，已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD的重心，且G 为AM 上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B 、G 、N 三点共线．证明设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B 、G 、N 三点共线．9． (12分)已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．解 (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝－12＋02＋22＝5，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)方法一 ∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)．k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， ∴k ＝2或k ＝－52，∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k的值为2或－52.方法二由(2)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA→＋yMB →. 其中真命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析其中①③为真命题．2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 答案 A解析以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 3. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )A ．0 B.12C.32D.22答案 A解析设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a·(c －b )＝a·c －a·b ＝12|a||c |－12|a||b |＝0， ∴cos〈OA →，BC →〉＝0.二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.答案 60°解析由条件知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a·b ＝0.两式相减，得46a·b ＝23|b |2，∴a·b ＝12|b |2. 代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |＝|b |.∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝12|b |2|b |2＝12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.5. 如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，AB ⊥BC ， BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案 3－2cos θ解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ，即AD 的长为3－2cos θ.6．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．答案 355解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝1＋t 2＋2t －12 ＝5⎝⎛⎭⎪⎫t －152＋95，∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值355. 三、解答题7． (13分)直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

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8.6 空间向量及其运算考纲要求1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得______．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使________．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得______________．其中，{a，b，c}叫做空间的一个______．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的一个有序实数组{x，y，z}，使OP＝____________.2．两个向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则______叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定____≤〈a，b〉≤____.若〈a，b〉＝____，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积．两个非零向量a，b的数量积a·b＝______________.(3)向量的数量积的性质(e是单位向量)：①a·e＝|a|______________；②a⊥b⇔a·b＝____；③|a|2＝a·a＝____；④|a·b|____|a||b|.(4)向量的数量积满足如下运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝______(交换律)；③a·(b＋c)＝____________(分配律)．3．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a±b＝____________________；λa＝________________(λ∈R)；a·b＝________________；a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝____；a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；|a|2＝a·a⇒|a|＝a12＋a22＋a32(向量模与向量之间的转化)；cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a12＋a22＋a32b12＋b22＋b32.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2.1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值为( )．A ．1B ．15C ．35D ．753．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )．A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,24．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________．5．已知a ＝(1,2，－2)，b ＝(0,2,4)，则a ，b 的夹角的余弦值为__________．一、空间向量的线性运算【例1－1】如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设1AA ＝a ，AB ＝b ，AD ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 分别表示以下各向量：(1)AP ；(2)1A N ；(3)MP ＋1NC .【例1－2】已知O 是空间中任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA ＝2x BO ＋3y CO ＋4z DO ，则2x ＋3y ＋4z ＝__________.方法提炼空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导．请做演练巩固提升1二、空间向量的数量积【例2】已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设AB ＝a ，AC ＝b ， (1)若|c |＝3，且c ∥BC ，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(3)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．方法提炼1．两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，这是与空间向量的加、减、数乘等线性运算最大的区别．2．利用两空间向量的数量积运算公式，可以求向量的模、求两个向量的夹角、证明两个向量垂直等．请做演练巩固提升3三、空间向量的坐标运算【例3－1】已知：a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．【例3－2】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，AA 1的中点．(1)求|BN |；(2)求cos 〈1BA ，1CB 〉的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M . 方法提炼空间向量的坐标运算使向量的运算摆脱了形的制约，可以将空间元素的位置关系转化成数量关系，将逻辑推理转化成数量计算，可以化繁为简，因此是处理空间问题的一种重要工具和方法．请做演练巩固提升2正确构建空间直角坐标系【典例】(12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求OD 的坐标；(2)设AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值．规范解答：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt△BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD sin 30°＝32. OE ＝OB －BD cos 60°＝1－12＝12.∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即OD 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(6分)(2)依题意，OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ＝(0，－1,0)，OC ＝(0,1,0)， ∴AD ＝OD －OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ＝OC －OB ＝(0,2,0)．(8分)由AD 和BC 的夹角为θ，得cos θ＝AD BC AD BC⋅＝－32×0＋(－1)×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋(－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32202＋22＋02＝－105. ∴cos θ＝－105.(12分) 答题指导：解答空间向量的计算问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误； (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化．另外，平时要重视运算的训练，强化计算速度及准确度的训练以及熟练掌握向量运算的方法．1．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的比为2，现用基向量OA ，OB ，OC 表示向量OG ，设OG＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别是( )．A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝132．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )．A ．－2B ．－143C ．145D ．23．如图，在30°的二面角α－l －β的棱上有两点A ，B ，点C ，D 分别在α，β内，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．4．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB 取最小值时，点Q的坐标是__________．5．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)a ＝λb (2)p ＝x a ＋y b (3)p ＝x a ＋y b ＋z c 基底 x OA ＋y OB ＋z OC2．(1)∠AOB 0 π π2(2)|a||b|cos 〈a ，b 〉 (3)①cos 〈a ，e 〉 ②0 ③a 2④≤(4)②b·a ③a·b ＋a·c3．(1)(a 1±b 1，a 2±b 2，a 3±b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 0 基础自测1．A 解析：①错，向量a ，b 所在的直线可能重合；②错，向量a ，b 可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量；④错，a ，b ，c 要求不共面．2．D 解析：k a ＋b ＝(k －1，k,2),2a －b ＝(3,2，－2)． ∵(k a ＋b )⊥(2a －b )，∴3(k －1)＋2k －4＝0，解得k ＝75.3．A 解析：∵a ∥b ，∴2μ－1＝0，∴μ＝12，排除C ，D 两项．代入A ，B 选项验证可得，λ＝2成立． 4．(5,13，－3) 解析：设D (x ，y ，z )，则AB ＝DC ，∴(－2，－6，－2)＝(3－x,7－y ，－5－z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－2，7－y ＝－6，－5－z ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴D (5,13，－3)．5．－215 5 解析：∵a ·b ＝1×0＋2×2＋(－2)×4＝－4，且|a |＝12＋22＋(－2)2＝3，|b |＝0＋22＋42＝25，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－43×25＝－215 5.考点探究突破【例1－1】解：(1)AP ＝1AA ＋11A D ＋1D P ＝a ＋c ＋12b . (2)1A N ＝1A A ＋AB ＋BN ＝－a ＋b ＋12c .(3)MP ＋1NC ＝1DA ＋11A D ＋1D P ＋NC ＋1CC ＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c . 【例1－2】－1 解析：∵A ，B ，C ，D 四点共面， ∴OA ＝m OB ＋n OC ＋p OD ，且m ＋n ＋p ＝1.由条件知OA ＝(－2x )OB ＋(－3y )OC ＋(－4z )OD ， ∴(－2x )＋(－3y )＋(－4z )＝1. ∴2x ＋3y ＋4z ＝－1.【例2】解：(1)∵c ∥BC ， ∴c ＝k BC ，k ∈R .又∵BC ＝(－2，－1,2)， ∴可设c ＝(－2k ，－k,2k )．又∵|c |＝4k 2＋k 2＋4k 2＝3|k |＝3， ∴k ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．(2)∵a ＝AB ＝(1,1,0)，b ＝AC ＝(－1，0,2)， ∴a ·b ＝－1，|a |＝2，|b |＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010.(3)∵k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∵k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，解得k ＝2或k ＝－52.【例3－1】解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为cos θ＝5－12＋338·38＝－219.【例3－2】解：如图所示，建立以C 为原点的空间直角坐标系C －xyz ，(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)，则|BN |＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴1BA ＝(1，－1,2)，1CB ＝(0,1,2)． ∴1BA ·1CB ＝3，|1BA |＝6，|1CB |＝5， ∴cos〈1BA ，1CB 〉＝1111BA CB BA CB ＝3010.(3)证明：依题意得C 1(0,0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，∴1C M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 又1A B ＝(－1,1，－2)， ∴1A B ·1C M ＝－12＋12＋0＝0.∴1A B ⊥1C M ，即A 1B ⊥C 1M . 演练巩固提升1．D 解析：由题图可知OG ＝OM ＋MG ，而MG ＝23MN ，MN ＝MA ＋AB ＋BN＝12OA ＋OB －OA ＋12BC ＝－12OA ＋OB ＋12(OC －OB ) ＝－12OA ＋12OB ＋12OC .OG ＝12OA ＋23111222OA OB OC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭＝16OA ＋13OB ＋13OC . ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13.2．D 解析：a －λb ＝(λ－2,1－2λ，3－λ)．由a ⊥(a －λb )得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.3．3－ 3 解析：∵BD ⊥AB ，CA ⊥AB ， ∴AC 与BD 的夹角为30°. ∵|CD |＝|CA ＋AB ＋BD |，∴|CD |2＝|CA ＋AB ＋BD |2＝|CA |2＋|AB |＋|BD |2＋2CA ·AB ＋2AB ·BD ＋2CA ·BD＝3＋2|CA |·|BD |cos 150°＝3－ 3.∴|CD |＝3－ 3. 4．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：设OQ ＝λOP ＝(λ，λ，2λ)，则QA ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．∴QA ·QB ＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23. ∴当λ＝43时，QA ·QB 取最小值为－23.此时，OQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，即Q 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 5．解：记AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12. (1)|1AC |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＝6， ∴|1AC |＝6，即AC 1的长为 6.(2)1BD ＝b ＋c －a ，AC ＝a ＋b ， ∴|1BD |＝2，|AC |＝3，1BD ·AC ＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1. ∴cos〈1BD ，AC 〉＝11BD AC BD AC⋅＝66. ∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.。