同济高等数学第六版上册第三章ppt

第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔( Rolle )定理第一节二、拉格朗日( Lagrange )中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章费马(fermat)引理一、罗尔( Rolle )定理,)(0有定义在x U 且)(0x f '存在,)()(0x f x f ≤)(≥或0)(0='x f 证:设,)()(,)(0000x f x x f x U x x ≤∆+∈∆+∀则)(0x f 'xx f x x f x ∆-∆+=→∆)()(lim 000=)0(-→∆x )(0x f -')0(+→∆x )(0x f +'0≥0≤0)(0='x f )(x f y =证毕x yO 0x罗尔（Rolle ）定理)(x f y =满足:(1) 在区间[a , b ] 上连续(2) 在区间(a , b ) 内可导(3) f ( a ) =f ( b ),ξ使.0)(='ξf 证:，上连续在因],[)(b a x f 故在[ a , b ]上取得最大值M 和最小值m .若M =m , 则,],[,)(b a x M x f ∈≡因此.0)(,),(='∈∀ξξf b a 在( a , b ) 内至少存在一点ξxy a b )(x f y =O若M >m , 则M 和m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,)(a f M ≠则至少存在一点,),(b a ∈ξ使,)(M f =ξ.0)(='ξf 注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. ⎩⎨⎧=<≤=1,010,)(x x x x f 则由费马引理得]1,1[)(-∈=x x x f ]1,0[)(∈=x x x f x 1y O x 1y 1-O x 1yO ξx y a b )(x f y =O 不连续在]1,0[不可导在)1,0()1()0(f f ≠例如,使2) 定理条件只是充分的.本定理可推广为)(x f y =在( a , b ) 内可导, 且=+→)(lim x f a x )(lim x f b x -→在( a , b ) 内至少存在一点,ξ.0)(='ξf 证明提示:设证F (x ) 在[a , b ] 上满足罗尔定理.=)(x F a x a f =+,)(bx a x f <<,)(b x b f =-,)(例1.证明方程0155=+-x x ,15)(5+-=x x x f .3)1(,1)0(-==f f ,0)(0=x f ,,)1,0(011x x x ≠∈)1(5)(4-='x x f ),1,0(,0∈<x 有且仅有一个小于1 的正实根.证:1) 存在性.则)(x f 在[0 , 1 ] 连续,且由介值定理知存在,)1,0(0∈x 使即方程有小于1 的正根.0x 2) 唯一性.假设另有,0)(1=x f 使在以)(x f 10,x x 为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,x x ∴至少存在一点,ξ.0)(='ξf 使但矛盾,故假设不真!设二、拉格朗日中值定理)( ξϕ'(1) 在区间[ a , b ] 上连续)(x f y =满足:(2) 在区间( a , b ) 内可导至少存在一点,),(b a ∈ξ使.)()()(a b a f b f f --='ξ思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,)(x ϕ在[a , b ] 上连续,在(a , b )内可导,且证:问题转化为证=)(x ϕ)(x f x ab a f b f ---)()()(a ϕ由罗尔定理知至少存在一点,),(b a ∈ξ,0)(='ξϕ使即定理结论成立.,)(b ϕ=a b b f a a f b --=)()(0)()()(=---'a b a f b f f ξ证毕x y a b )(x f y =O ξx y a b a f b f --=)()(),(,)()()(b a a b a f b f f ∈--='ξξ拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论: 若函数在区间I 上满足,0)(≡'x f 则)(x f 在I 上必为常数.)(x f 证:在I 上任取两点,)(,2121x x x x <上用拉在],[21x x 格朗日中值公式, 得0=)()(12x f x f -))((12x x f -'=ξ)(21x x <<ξ)()(12x f x f =∴由的任意性知,21,x x )(x f 在I 上为常数.)10()(0<<∆∆+'=∆θθx x x f y ,,00x x b x a ∆+==令则ξ例2.证明等式.]1,1[,2πarccos arcsin -∈=+x x x 证:设,arccos arcsin )(x x x f +=上则在)1,1(-=')(x f 由推论可知C x x x f =+=arccos arcsin )((常数) 令x = 0 , 得.2π=C 又,2π)1(=±f 故所证等式在定义域上成立.]1,1[-自证:),(∞+-∞∈x ,2πcot arc arctan =+x x 211x -211x--0≡经验:欲证I x ∈时,)(0C x f =只需证在I 上,0)(≡'x f ,0I x ∈∃且.)(00C x f =使例3.证明不等式证:设,)1ln()(t t f +=上满足拉格朗日在则],0[)(x t f 中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1><+<+x x x xx =-)0()(f x f )1ln(x +x x <<+=ξξ0,1ξ+1x <+x x 1x <)0()1ln(1><+<+x x x xx xx f <<-'ξξ0,)0)((因此应有三、柯西(Cauchy)中值定理0)()()()()()(='-'--ξξf F a F b F a f b f )(ξϕ'分析:)(x f 及(1) 在闭区间[ a , b ] 上连续(2) 在开区间( a , b ) 内可导(3)在开区间( a , b ) 内至少存在一点,),(b a ∈ξ使.)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--满足:)(x F 0)(≠'x F )()(a F b F -))((a b F -'=ηb a <<η0≠问题转化为证)()()()()()()(x f x F a F b F a f b f x ---=ϕ构造辅助函数证:作辅助函数)()()()()()()(x f x F a F b F a f b f x ---=ϕ)()()()()()()()(b a F b F b F a f a F b f a ϕϕ=--=,),(,],[)(内可导在上连续在则b a b a x ϕ且,),(b a ∈ξ使,0)(='ξϕ即由罗尔定理知, 至少存在一点.)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,))(()()(b a a b f a f b f ∈-'=-ξξ ),(,))(()()(b a a b F a F b F ∈-'=-ξξ两个ξ不一定相同错!上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--)(ξF )(a F )()(t f y t F x ==)(a f )(b F )(b f )()(d d t F t f x y ''=注意:弦的斜率切线斜率x y O)0()1(f f -)0()1(F F 例4. 设)].0()1([2)(f f f -='ξξξξ2)(01)0()1(f f f '=--ξ=''=x x x f )()(2,)(2x x F =,)1,0(,]1,0[)(内可导在上连续在x f 至少存在一点),1,0(∈ξ使证:问题转化为证设则)(,)(x F x f 在[0, 1] 上满足柯西中值定理条件, 因此在( 0 , 1 ) 内至少存在一点ξ,使)(ξf '=)(ξF '01-ξ2即)]0()1([2)(f f f -='ξξ证明ξξξ11ln cos 1ln lne 1ln sin lne sin --=)e ,1(,)()()1((e))1((e)∈''=--ξξξF f F F f f 例5.试证至少存在一点)e ,1(∈ξ使.ln cos 1sin ξ=ξln cos 1sin =证:法1用柯西中值定理.xx F x x f ln )(,ln sin )(==则f (x ) ,F (x ) 在[ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,令因此ξξξ11ln cos ξln cos ==1sin 即分析:例5.试证至少存在一点)e ,1(∈ξ使.ln cos 1sin ξ=法2 令x x f ln sin )(=则f (x ) 在[ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件,,e),1(∈ξ使)(='ξf x ln cos =')(x f ⋅-1sin x1ξln cos 1sin =因此存在⋅x 1xln 1sin ⋅-内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbf=xxF=)()()(afbf=xxF=)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理4412-34ξ=12-思考与练习1. 填空题1) 函数4)(x x f =在区间[1, 2] 上满足拉格朗日定理条件, 则中值._____=ξ2) 设有个根, 它们分别在区间341530)(='x f )4,3(,)2,1(,)3,2(上.,)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 方程2.设],π,0[)(C x f ∈且在)π,0(内可导, 证明至少存在一点,)π,0(∈ξ使.cot )()(ξξξf f -='提示:由结论可知, 只需证0cos )(sin )(=+'ξξξξf f 即[]0sin )(='=ξx x x f 验证)(x F 在]π,0[上满足罗尔定理条件.设x x f x F sin )()(=3.若)(x f 可导, 试证在其两个零点间一定有)()(x f x f '+的零点.提示: 设,,0)()(2121x x x f x f <==欲证:,),(21x x ∈∃ξ使0)()(='+ξξf f 只要证0)()(='+ξξf f ξe ξe 亦即])(e [='=ξx xx f 作辅助函数,)(e )(x f x F x=验证)(x F 在],[21x x 上满足罗尔定理条件.4.思考: 在⎩⎨⎧=≠=0,00,sin )(12x x x x f x ],0[x ),0(,)0)(()0()(x x f f x f ∈-'=-ξξ即x x12sin ξξ1sin 2(=,)cos 1x ξ-),0(x ∈ξxx 111sin sin 2cos -=∴ξξξ当,0+→ξ+→0x 时.0cos 1→ξ问是否可由此得出?0cos lim 1=+→x x 不能!因为)(x ξξ=是依赖于x 的一个特殊的函数.因此由上式得表示x 从右侧以任意方式趋于0 .+→0x 应用拉格朗日中值定理得上对函数备用题求证存在,)1,0(∈ξ.0)()(='+ξξξf f n 使1.设]1,0[可导，且,0)1(=f 在连续，)1,0()(x f 证: 设辅助函数)()(x f x x n=ϕ,)1,0(∈ξ因此至少存在显然)(x ϕ在上满足罗尔定理条件,]1,0[=')(ξϕ即)()(='+ξξξf f n 使得)()(1ξξξξf f n nn '+-0=0)0(,0)(=<''f x f 设证明对任意0,021>>x x 有)()()(2121x f x f x x f +<+证：210x x <<)()()(1221x f x f x x f --+12)(x f ξ'=0))((121<-''=ξξξf x )()()(2121x f x f x x f +<+∴,(2122x x x +<<ξ2.不妨设[][])0()()()(1221f x f x f x x f ---+=)(21ξξξ<<)011x <<ξ11)(x f ξ'-三、其他未定式二、∞∞型未定式一、型未定式00第二节洛必达法则第三章)()(lim x g x f 微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化00( 或型)∞∞)()(limx g x f ''本节研究:洛必达法则一、0)(lim )(lim )1==→→x F x f ax ax )()(lim )3x F x f a x ''→存在(或为)∞)()(lim)()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→,)()()()2内可导在与a U x F x f0)(≠'x F 且定理1.型未定式(洛必达法则)( ξ在x , a 之间)证:无妨假设,0)()(==a F a f 在指出的邻域内任取,a x ≠则)(,)(x F x f 在以x, a 为端点的区间上满足柯0)(lim )(lim )1==→→x F x f ax ax 故)()()()()()(a F x F a f x f x F x f --=)()(ξξF f ''=)()(limx F x f a x →∴)()(lim ξξF f a x ''=→)()(lim x F x f a x ''→)3定理条件: 西定理条件,)()(lim )3x F x f a x ''→存在(或为)∞,)()()()2内可导在与a U x F x f)(≠'x F 且推论1.定理1 中a x →换为下列过程之一:,+→a x ,-→a x ,∞→x -∞→x 推论2. 若)()(lim x F x f ''满足定且型仍属)(,)(,0x F x f ''理1条件, 则)()(lim )()(lim x F x f x F x f ''=)()(limx F x f ''''=条件2) 作相应的修改, 定理1 仍然成立.,+∞→x )()(lim)()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→洛必达法则例1. 求.123lim 2331+--+-→x x x x x x 解:原式型0023=注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1-→x x x 166lim 1=→x ≠332-x 1232--x x lim1→=x 洛266lim 1-=→x x x 洛例2. 求.arctan lim12πxx x-∞+→解: 原式 ∞+→=x lim型00221lim xxx +=∞+→1=211x+-21x-11lim 21+=∞+→xx 思考:如何求nn n12πarctan lim-∞→( n 为正整数) ?型∞∞洛二、∞∞型未定式∞==→→)(lim )(lim )1x F x f ax ax )()(lim)3x F x f a x ''→存在(或为∞))()(lim x F x f a x →定理2.)()(lim x F x f a x ''=→(洛必达法则),)()()()2内可导在与a U x F x f)(≠'x F 且说明:定理中a x →换为之一,条件2) 作相应的修改, 定理仍然成立.,+→a x ,-→a x ,∞→x -∞→x ,+∞→x例3.求.)0(ln lim >+∞→n xxn x 解:原式11lim-+∞→=n x x xn n x xn 1lim +∞→=0=例4. 求解:(1) n 为正整数的情形.原式0=x n x x n λλe lim 1-+∞→=x n x x n n λλe )1(lim 22-+∞→-=.)0(e lim >>+∞→λλ, 0n xx nx 型∞∞型∞∞洛x n x n λλe!lim +∞→== 洛洛例4. 求.)0(elim >>+∞→λλ, 0n xx nx (2)n 不为正整数的情形.n x 从而x nx λe <x kx λe x k x λe1+<由(1)e lim elim 1==++∞→+∞→x k x x kx xx λλ0elim =∴+∞→x n x xλ用夹逼准则<k x 1+<k x存在正整数k , 使当x > 1时,例4..)0(0e lim >>=+∞→λλ, 0n x x n x .)0(0ln lim >=+∞→n xx n x 例3. 说明:1) 例3 , 例4 表明+∞→x 时,,ln x 后者比前者趋于∞+更快.例如,x x x 21lim ++∞→21lim x x x +=+∞→x x x 21lim +=+∞→事实上x x x 21lim ++∞→11lim 2+=+∞→xx 1=)0(e >λλx ,)0(>n x n 用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.3) 若,)()()(lim 时不存在∞≠''x F x f .)()(lim)()(limx F x f x F x f ''≠例如,xxx x sin lim++∞→1cos 1lim xx ++∞→≠)sin 1(lim xxx ++∞→1=极限不存在不能用洛必达法则!即三、其他未定式:,0∞⋅,∞-∞,00,1∞型∞解决方法:通分转化00∞∞∞⋅0取倒数转化∞1∞取对数转化例5. 求).0(ln lim 0>+→n x x nx 型∞⋅0解:原式n x x x -→+=ln lim 0110lim --→-=+n xx x n 0=)(lim 0n xn x -=+→∞-∞洛型∞-∞.)tan (sec lim 2πx x x -→解: 原式)cos sin cos 1(lim 2πx x x x -=→x x x cos sin 1lim 2π-=→x xx sin cos lim 2π--=→0=例6. 求通分转化00∞∞∞⋅0取倒数转化∞1∞取对数转化∞-∞洛例7.求.lim 0xx x +→型0解:xx x +→0lim xx x ln 0elim +→=0e =1=利用例5通分转化00∞∞∞⋅0取倒数转化∞1∞取对数转化∞-∞例8. 求.sin tan lim 20xx xx x-→解: 注意到xx ~sin 原式30tan lim x x x x -=→22031sec lim xx x -=→2203tan lim x xx →=xx 22tan 1sec +=31=型00洛例3=nn 1n nln 1e1→例9. 求.)1(lim-∞→n n n n 2111lim-+∞→-xx xx 原式＝法1. 直接用洛必达法则.型0⋅∞下一步计算很繁!21 lim -∞→=n n 法2. 利用例3结果.)1(lim 121-=∞→nn n n 1e ln 1-n n21lim -∞→=n n nnln 121ln lim nn n ∞→=0=u u ~1e -原式例3内容小结洛必达法则型0,1,0∞∞型∞-∞型∞⋅0型00型∞∞gfg f 1=⋅fg f g g f 1111⋅-=-fg gf ln e=分析:203cos 1lim xx x -=→30 lim xx →=3.=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0原式x sin ～x 1cos lim 0=→x x x x sin -222103lim xx x →=x cos 1-～221x61=61xx x x x x 20sin )sin (cos lim -=→洛二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用应用目的－用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式第三章公式①称为的n 阶泰勒公式.)(x f 公式②称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒(Taylor)中值定理:内具有的某开区间在包含若),()(0b a x x f 1+n 直到阶的导数,),(b a x ∈时, 有=)(x f )(0x f ))((00x x x f -'+200)(!2)(x x x f -''++n n x x n x f )(!)(00)(-+)(x R n +①其中10)1()(!)1()()(++-+=n n n x x n fx R ξ②则当)0(之间与在x x ξ公式③称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时, 泰勒公式可写为+=)(x f )(0x f ))((00x x x f -'+200)(!2)(x x x f -''+n n x x n x f )(!)(00)(-+])[(0n x x o -+])[()(0nn x x o x R -=注意到③④*可以证明:阶的导数有直到在点n x x f 0)(④式成立特例:(1) 当n = 0时, 泰勒公式变为=)(x f )(0x f ))((0x x f -'+ξ(2) 当n = 1时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理=)(x f )(0x f ))((00x x x f -'+20)(!2)(x x f -''+ξ可见≈)(x f )(0x f ))((00x x x f -'+201)(!2)()(x x f x R -''=ξ误差=)(x f )(0x f ))((00x x x f -'+ +10)1()(!)1()(++-++n n x x n f ξ200)(!2)(x x x f -''+n n x x n x f )(!)(00)(-+f d )0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ)0(之间与在x x ξ称为麦克劳林( Maclaurin )公式.,00=x 则有=)(x f )0(f x f )0('+ +1)1(!)1()(++++n n x n x f θ2!2)0(x f ''+n n xn f !)0()(+在泰勒公式中若取=)(x f )(0x f ))((00x x x f -'+ +10)1()(!)1()(++-++n n x x n f ξ200)(!2)(x x x f -''+n n x x n x f )(!)(00)(-+)0(之间与在x x ξ≈)(x f )0(f x f )0('+ +,)()1(M x f n ≤+则有误差估计式1!)1()(++≤n n x n M x R 2!2)0(x f ''+n n x n f !)0()(+若在公式成立的区间上由此得近似公式,)10(<<=θθξx 记二、几个初等函数的麦克劳林公式xx f e )()1(=,e )()(xk x f =),2,1(1)0()( ==k fk xe ∴1=x +!33x+ +!n x n+)(x R n +!22x +其中=)(x R n !)1(+n )10(<<θ1+n x xθe =)(x f )0(f x f )0('+ +1)1(!)1()(++++n n x n x f θ2!2)0(x f ''+n n x n f !)0()(+麦克劳林公式)10(<<θ。