《随机振动》读书报告

《随机振动理论》读书报告1 引论在工程中，一个具体系统的振动往往是很复杂的。

它同时受着许多因素的影响，其中有的因素是确定性的、可以估计的。

也有的因素是随机的、无法估计的．因此一切实际系统的振动都具有一定的随机性。

也就是说严格地讲，一切实际的振动都是随机振动．只是当对问题解答的精度要求不高，可以略去次要的随机因素的影响时，就把问题简化为确定性的。

在确定性的分析中，如果结构的初始状态、动力特性以及外加荷载都是已知的、确定的，那么由结构的运动方程就可以得到结构的确定性响应。

但在实际中，外加荷载、初始条件以及结构本身都具有随机性，因此可采用三类随机微分方程来分析这些问题：(1)第一类随机微分方程只有初始条件是随机的。

这一类问题首先起源于统计物理学和动力学理论。

近年来在工程力学、化学动力学等领域中起着重要的作用。

例如空间弹道分析就含有随机初值问题。

(2)第二类随机微分方程的特点是随机元素只出现在方程的非齐次项或输入项(外荷载项)。

单自由度系统在地震地面加速度作用下的运动方程：)()()()(t X m t kY t Y c t Y m g-=++ (3)第三类随机微分方程是指有随机系数的微分方程。

这种方程的研究是近年来才开始。

因为在研究实际工程技术和物理问题时。

由于系统本身的不确定性和复杂性，不可避免地给数学模式带来不确定性的因素，因此，采用随机系数的微分方程是很自然的，而且亦是合理的。

例如这类方程会出现在非均匀介质中波的传播和物理、工程、生物领域中不完全确定系统的动力学问题中。

研究随机振动的目的，是研究结构在随机激励下随机响应的概率特性；从工程观点来看，其最终目的分析结构系统在随机激励下，研究结构在其使用期内的功能和可靠度。

所以，在随机振动理论分析中，将荷载(外加激励)系统作为随机过程加以模型化，并用概率论来定量评价结构(机械)系统具有何种程度的可靠度(安全度)。

2 概率论的若干基本知识通常把具有某种特定性质的对象的全体称为集合，简称集。

其中每一个属于这种“集”的对象，称为集的一个元素。

概率古典定义：设在一个试验，有也只有N 个可能发生的情况，并且每个情况都是等可能。

其中恰恰有u 个情况具有性质A ，则A 的概率为u/A ，记作P(A)=u/A ，0≤P(A)≤1。

随机变量、概率分布函数和概率密度函数 随机变量：离散型、连续型 概率分布函数)()(x X P x F X ≤= （2.1）概率密度函数当)(x F X 连续可导时，定义概率密度函数xx F x x F dx x dF x p X X x X X ∆-∆+==→∆)()(lim )()(0 （2.2） 按定义：⎰+∞∞-==+∞1)()(du u p F X X ；⎰∞-=xX X du u p x F )()(0)()(=-∞=+∞X X P P联合分布的随机变量联合概率分布函数概率分布函数和概率密度函数的概念可以推广到两个或两个以上随机变量的情况。

在求解实际问题中我们往往需要知道两个或更多个随机变量的联合性质。

首先研究两个随机变量的情况。

设X 1及X 2分别为时刻t 1及t 2时的随机激振力。

X 1及X 2的联合性质由联合概率分布函数描述如下：条件分布和统计独立性1)如果两个随机变量X 及Y 为离散型，则在条件Y=y 下X=x 的概率为：)(/),()|(|y P y x P y x P Y XY Y X =2)对于连续型的两个随机变量:)(/),()|(|y P y x P y x P Y XY Y X =定义P y (y)=0时，P X|Y (x,y)=0。

3)独立性的定义对于离散型随机变量X 及Y ，如果X 独立于Y 则有)()|(|x P y x P X Y X =。

对于连续型随机变量X 及Y ，如果X 独立于Y 则有)()|(|x P y x P X Y X =。

得到：)()(),(y P x P y x P Y X XY = 期望值设X 为一随机变量，若该式有定义⎰+∞∞-∞<dx x p x X )(（即积分保持有限），则X 的期望值定义为[]⎰+∞∞-=dx x xp X E X )(。

（集合平均或统计平均）对于随机变量函数)(X f Y =的期望值定义为)]([)(x f E Y E =，该结果可以推广到多维随机变量函数，若多维积分保持有限，即⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-∞<n n Xn X X dx dx dx x x x p f ...)...(...2121 (21)则有：⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-=n n x x x n n dx dx dx x x x P x x x f x x x f E n ...)...()...(...)]...([2121 (212121)矩一阶矩（即期望）：[]⎰+∞∞-==dx x xp X E X X )(μ；二阶矩：[]⎰+∞∞-==dx x p x X E X X )(2)2(2μ；n 阶矩：[]⎰+∞∞-==dx x p x X E X n n Xn)()(μ；联合（m ＋n ）阶矩：[]⎰⎰+∞∞-+∞∞-+==212121)(21),(2121dx dx x x p x x X X E X X nm n m X X n m μ；中心矩若取一定值x 0，则概率密度函数相对于x 0的n 阶矩为：⎰+∞∞--dx x p x x X n )()(0若取x 0=[]X X E μ=：n 阶中心矩：[]⎰+∞∞--=-=dx x p x X E X n X n X nx )()()(μμσ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=1)()()(00dx x p dx x p x X X X x μσ ⎰+∞∞-=-=0)()(11dx x p x X X x μσ方差：⎰+∞∞--=-=-=222222)(][])[(][)()(X X X x x E x E x E dx x p x μμσ标准方差：22)(][X x x E μσ-= (m+n)阶联合中心矩：[]⎰+∞∞---=--21212121),()()()()(212121dx dx x x p x x X X E X X n X m X nX m X μμμμ对于两个随机变量1X 和2X 的情况，定义协方差12X X Κ为：[]1212121212()()X X X X X X E X X E X X μμμμ⎡⎤--=-⎣⎦＝Κ协方差的标准形式（随机变量1X 和2X 的相关系数）：121212X X X X X Xρσσ=Κ特征函数定义：设X 为一连续型实随机变量，取指数函数e i θ，其中θ为实数，再取他的数学期望，特征函数为，()e e ()i x i xX M E p x dx θθθ+∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎰()M θ是()X p x 的Fourier 变换。

考虑到实际上()1X p x dx +∞-∞=⎰，即()X p x 满足绝对可积条件，则由Fourier 逆变换，可得1()e ()2i xX p x M dx θθπ+∞--∞=⎰ 因此，()M θ和()X p x 是组成一Fourier 变换对。

由特征函数()M θ的Maclaurin 级数展开式，可得1()()1!n ni i M E X n θθ∞=⎡⎤=+⎣⎦∑，说明一个随机变量概率分布的完整描述需要无穷多个矩。

对数特征函数利用对数特征函数的主值1()ln ()[]!ni i M Kn x n θθ∞==∑式中0[]((())|nnn nd k x in m d θθθ-==为x 的n 阶累积量（半不变量）。

122333[][][][()][][]3K x E x K x E x K x E x μμσμσμ===-==-- Fourier 变换 正变换()()e i t X x t dt ωω+∞--∞=⎰逆变换1()()e 2i t x t X d θωωπ+∞--∞=⎰3 随机过程基本概念随机过程是一个所有可能出现的样本函数()n x t ，n →∞的集合；一个随机过程()X t ，对于固定的t 是一个随机变量。

一簇随机变量1()X t ，2()X t ，，()n X t ，t T ∈的总体定义了随机过程()X t 。

一个随机过程等价于一个随机变量的无限集。

随机变量的数学定义：如果对t T ∈的每个有限集{}12,,,n t t t ，有相应的随机变量集合11()X X t =，22()X X t =，，()n n X X t =，它们有联合概率分布函数(){}1211122,,,n X X X n n n n n F x x x t P X x X x X x =≤≤≤，(1,2,)n = 则这簇联合分布函数定义了一个随机过程()X t ，t T ∈。

这簇联合分布函数必须满足下面Kolmogorov 相容条件。

1）对于m 〉n ，()()12121122111122,,,,...,,,,,,,,,,,...,,m n X X X n n n n m m X X X n n F x t x t x t x t x t F x t x t x t ++=2) ()()121221122112,,,,...,,,,,,...,,ni i inX X X n n XX X i i i i in in F x t x t x t F x tx t x t =随机过程可以有三种描述方式： 1、幅域：随机过程的概率特征，“矩”；2、时域：一个随机过程在任意不同时刻取值得相关性，“相关函数”；3、频域：随机过程的频率结构，“功率谱密度函数”。

随机过程的期望、矩及特征函数设X(t)、Y(s)为两个随机过程，,t s T ∈，设f(x(t)) 及f(x(t)).y(t) 两个随机过程函数，可得[](()()(,)E f X t f x p x t dx +∞-∞=⎰[](().()(,)(,,,)E f X t y s f x y p x t y s dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰令f(x(t))=x n (t)随机过程()X t 在时刻t 的n 阶矩：()()(,)nnnXt E X t x p x t dx μ+∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎰ 当1n =时表示均值函数，1()(,)X t xp x t dx μ+∞-∞=⎰当2n =时表示均方值函数，22()(,)X t x p x t dx μ+∞-∞=⎰令()()()t x t t ημ=-()X t 在时刻t 的n 阶中心矩：[()](()())(())(,)n n X x E t E X t t x t p x t dx ημμ+∞-∞⎡⎤=-=-⎣⎦⎰随机过程自相关函数、互相关函数 1、自相关函数定义一个随机过程X(t)在两个不同时刻t1和t2的联合矩()()121212112212(,)()(),,,n m n mn m t t E X t X t x x p x t x t dx dx μ+∞+∞+-∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎰⎰当n=m=1时有自相关函数[]()121212112212(,)()(),;,XX t t E X t X t x x p x t x t dx dx φ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰定义自协方差函数[]()1211221122112212(,)(()())(()())(())(()),;,XX X X x x t t E X t t X t t x t x t p x t x t dx dx μμμμ+∞+∞-∞-∞=--=--⎰⎰Κ自相关系数函数121212(,)(,)()()XX XX X X t t t t t t ρσσ=Κ2、互相关函数3、设X(t)、Y(t)为两个随机过程，互相关函数为[]()121212(,)()(),;,XY t t E X t Y t xyp x t y t dxdy φ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰互协方差函数[]()1211221212(,)(()())(()())(())(()),;,XY X Y x y t t E X t t Y t t x t y t p x t y t dxdyμμμμ+∞+∞-∞-∞=--=--⎰⎰Κ互相关系数函数121212(,)(,)()()XY XY X Y t t t t t t ρσσ=Κ基本性质1、对称性1221(,)(,)XX XX t t t t φφ=；1221(,)(,)XY YX t t t t φφ=1221(,)(,)XX XX t t t t =ΚΚ；1221(,)(,)XY YX t t t t =ΚΚ2、由Schwarz 不等式可以得到，2121122(,)(,)(,)XX XX XX t t t t t t φφφ≤；2121122(,)(,)(,)XY XX YY t t t t t t φφφ≤ 3、设()X t 及()Y t 为二个随机过程，有112212(,)(,)2(,)0XX YY XY t t t t t t ++≥ΚΚΚ4、一个随机过程加上一个确定性函数之后，并不改变它的协方差函数。