江苏省盐城中学2018届高三考前热身2试题及答案解析

江苏省盐城中学2018届高三考前热身2数学试题一、填空题1．已知集合}31|{<<-=x x M ，}12|{<<-=x x N ，则=N M ． 2．设复数z 满足5)2)(2(=--i i z ，则=z ．3．某中学有高中生3500人，初中生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为 ． 4．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ．5．已知2tan =θ，则=θθcos sin ．6．应半径为2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为 cm ．7．从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ．8．已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，P 为椭圆上一点，且221c PF =⋅，则此椭圆离心率的取值范围是 ．9．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知142=a a ，73=S ，则=5S ． 10．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的 盒子，则盒子容积的最大值为 3cm ．11．已知正实数b a ,满足111=-++ba b a ，则b a 23+的最小值为 ． 12．若斜率互为相反数且相交于点)1,1(P 的两条直线被圆O ：422=+y x 所截得的弦长之比为26，则这两条直线的斜率之积为 ． 13．在△ABC 中，AC AB ⊥，tAB 1=，t AC =，P 是△ABC 所在平面内一点，若||||AC AB AP =△PBC 面积的最小值为 ． 14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=0,30,4)(2x xx x x x f ，若函数b x x f x g +-=3|)(|)(有三个零点，则实数b的取值范围为 ． 二、解答题15．已知向量)1,(cos ),2,(sin θθ==，且,共线，其中π2(0,)θ∈. （1）求)4tan(πθ+的值；（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，20πϕ<<，求ϕ的值.16.在如图多面体中，⊥AE 底面BEFC ，BC EF AD ////，BC EF AD BE 21===，G是BC 的中点.（1）证明：//AB 平面DEG ； （2）证明：⊥EG 平面BDF .17．如图，在P 地正西方向km 8的A 处和正东方向km 1的B 处各一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F .为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF .设)20(παα<<=∠EPA .（1）为减少周边区域的影响，试确定F E ,的位置，使PAE ∆与PFB ∆的面积之比最小； （2）为节省建设成本，试确定F E ,的位置，使PF PE +的值最小.18．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆22221:b a y x C +=+为椭圆C 的“伴随圆”.已知椭圆C 的离心率为23，且经过点)1,0(.（1）求实数b a ,的值；（2）若过点),0(m P （0>m ）的直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且l 被椭圆C 的伴随圆1C 所截得的弦长为22，求实数m 的值.19．已知函数),,(2131)(,)(23R c b a cx bx ax x g c e x f x∈++=-=. （1）若0<ac ，求证：函数)(x g y =有极值；（2）若0==b a ，且函数)(x f y =与)(x g y =的图象有两个相异交点，求证：1>c .20．已知数列{}n a 中，⎪⎩⎪⎨⎧-+==+)(3)(31,111为偶数为奇数n n a n n a a a n n n .（1）是否存在实数λ，使数列}{2λ-n a 是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；（2）若n S 是数列}{n a 的前n 项和，求满足0>n S 的所有正整数n .数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲已知AB 为圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是APB ∠的平分线，E 是下半圆的中点.求证：直线PC 经过点E .B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00a b M 满足：i i i a Ma λ=，其中)2,1(=i i λ是互不相等的实常数，)2,1(=i a i 是非零的平面列向量，11=λ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112a ，求矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知两个动点Q P ,分别在两条直线x y l =:1和x y l -=:2上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，],0[πθ∈，记+=，求动点M 的轨迹的普通方程.D ．选修4—5：不等式选讲已知0,0>>b a ，证明：2222229)1)((b a b a ab ab b a ≥++++.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．22．一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的E D C B A ,,,,五种商品有购买意向.已知该网民购买B A ,两种商品的概率均为43，购买D C ,两种商品的概率为32，购买E 种商品的概率为21.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. （1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望.23．设n 个正数n a a a ,,,21 满足*21(N n a a a n ∈≤≤≤ 且)3≥n . （1）当3=n 时，证明：321213132321a a a a a a a a a a a a ++≥++； （2）当4=n 时，不等式4321214143432321a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥+++也成立，请你将其推广到n *(N n ∈且)3≥n 个正数n a a a ,,,21 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.【参考答案】一、填空题1．)1,1(- 2．i 32+ 3．100 4．19 5．52 6．3 7．32 8．]22,33[ 9．431 10．14411．53+ 12．9-或91- 13．23 14．]0,41()6,(---∞ 二、解答题15．解：（1）∵//，∴0cos 2sin =-θθ，即2tan =θ ∴)4tan(πθ+32121tan 1tan 1-=-+=-+=θθ（2）由（1）知2tan =θ，又)2,0(πθ∈，∴55cos ,552sin ==θθ， ∴ϕϕθcos 53)cos(5=-∴ϕϕθϕθcos 53)sin sin cos (cos 5=+，即ϕϕϕcos 53sin 52cos 5=+， ∴ϕϕsin cos =，即1tan =ϕ 又<0ϕ2π<，∴4πϕ=.16.证明：（1）∵BC EF EF AD //,//， ∴BC AD //又∵CD Bc 2=，G 是BC 的中点， ∴BG AD //，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴DG AB //.（2）连接GF ，四边形ADFE 是矩形， ∵AE DF //，⊥AE 底面BEFC ， ∴⊥DF 平面BCFE ，⊂EG 平面BCFE ， ∴EG DF ⊥∵BG EF //，BE EF =， ∴四边形BGFE 为菱形， ∴EG BF ⊥，又F DF BF = ，⊂BF 平面BFD ，⊂DF 平面BFD ， ∴⊥EG 平面BDF .17．解：（1）在PAE Rt ∆中，由题意可知α=∠APE ，8=AP ，则αtan 8=AE所以αtan 3221=⨯=∆AE PA S APE 同理在PBF Rt ∆中，1,==∠PB PFB α，则αtan 1=BF ， 所以αtan 2121=⨯=∆BF PB S PBF 故PAE ∆与PEB ∆的面积之和为8tan 21tan 322tan 21tan 32=⨯≥+αααα，当且仅当ααtan 21tan 32=，即81tan =α时，取“=”故当1=AE km ，8=BF km 时，PAE ∆与PEB ∆的面积之和最小. （2）在PAE Rt ∆中，由题意可知α=∠APE ，则αcos 8=PE 同理在PBF Rt ∆中，α=∠PFB ，则αsin 1=PF 令αααsin 1cos 8)(+=+=PF PE f ，20πα<<， 则ααααααααα223322cos sin cos sin 8sin cos cos sin 8)('-=-=f ， 令0)('=αf ，得21tan =α，记21tan 0=α，， 当),0(0αα∈时，0)('<αf ，)(αf 单调减； 当)2,(0παα∈时，0)('>αf ，)(αf 单调增；所以21tan =α时，)(αf 取得最小值，此时4218tan =⨯=⋅=αAP AE ，2tan ==αBPBF 所以当AE 为km 4，且BF 为km 2时，PF PE +的值最小.18. 解：（1）记椭圆C 的半焦距为c ， 由题意，得1=b ，23=a c ，222b ac += 解得1,2==b a（2）由（1）知椭圆C 的方程为1422=+y x ，圆1C 的方程为522=+y x 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为m kx y +=，即0=+-m y kx因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y （*）有且只有一组解由（*）得0448)41(222=-+++m kmx x k从而0)44)(41(4)8(222=-+-=∆m k km 化简得2241k m +=① 因为直线l 被圆522=+y x 所截得的弦长为22， 所以圆心到直线l 的距离325=-=d ，即31||2=+k m ②由①②，解得9,222==m k .因为0>m ，所以3=m . 19. 解：（1）cx bx ax x g ++=232131)(得c bx ax x g ++=2)('， ∵0<ac ，∴042>-=∆ac b 且0≠a∴函数)('x g 有两个零点，则可设为))(()('βα--=x x a x g ，（βα<） ∴若321x x x <<<<βα，则0)(')(',0)(')('3221<⋅<⋅x g x g x g x g ∴)(x g 有极值.（2）由cx c e x =-，得0=--c cx e x，记c cx e x h x --=)(，则c e x h x-=)('，由函数)(x f y =与)(x g y =的图象有两个相异交点知函数)(x h 有两互异零点 若)(,0)('0x h x h c >⇒≤单调递增，则)(x h 最多1个零点，矛盾 ∴0>c ，此时，令0)('=x h ，则c x ln =，列表：∴0ln )(ln )(min <-==c c c h x h ，∴1>c .20. 解：（1）设λ-=n n a b 2，因为λλλλλ---++=--=++++n n n n n n n a a n a a a b b 222122221)12(31λλλλ--+=--++-=n n n n a a a n n a 2222131)12()6(31 若数列}{2λ-n a 是等比数列，则必须有q a a n n =--+λλ22131（常数）， 即01)1()31(2=+-+-λq a q n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-01)1(031λq q ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔2331λq ， 此时0612313123121≠-=-+=-=a a b 所以存在实数23=λ，使数列}{2λ-n a 是等比数列. （2）由（1）得}{n b 是以61-为首项，31为公比的等比数列 故232-=n n a b 1)31(61--=n n )31(21⋅-=，即23)31(212+⋅-=n n a 由)12(31122-+=-n a a n n ，得2156)31(21)12(331212+-⋅-=--=--n n a a n n n ， 所以96)31(296])31()31[(211212+--=+-+-=+--n n a a n n n n n ，)()()(2124321n n n a a a a a a S ++++++=-n n n n 92)1(6])31()31(31[22++⋅-+++-= 2)1(3)31(631)31(22+--==+--=n n n n n 显然当*N n ∈时，}{2n S 单调递减，又当1=n 时，0372>=S ，当2=n 时，0984<-=S ，所以当2≥n 时，02<n S ； n n a S S n n n n 6325)31(2322212+--=-=-， 同理，当且仅当1=n 时，012>-n S综上，满足0>n S 的所有正整数n 为1和2.附加题21.A 证明：连结OE BE AE ,,，则090=∠=∠BOE AOE因为APE ∠是圆周角，AOE ∠同弧上的圆心角 所以04521=∠=∠AOE APE 同理可得045=∠BPE ，所以PE 是APB ∠的平分线又PC 也是APB ∠的平分线，APB ∠的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合，所以直线PC 经过点E .21.B 解：由题意，21,λλ是方程0)(2=-=--=ab b a f λλλλ的两根 因为11=λ，所以1=ab又因为222a Ma λ=，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111002λb a ，从而⎩⎨⎧==22λλb a 所以122==ab λ因为21λλ≠，所以12-=λ，从而1-==b a ，故矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=0110M 21.C 解：设),(y x M ，则⎩⎨⎧-=+=θθθθcos sin cos sin y x ， 两式平方相加得222=+y x 又],0[),4sin(2),4sin(2πθπθπθ∈-=+=y x ， 所以]2,1[],2,1[-∈-∈y x所以动点M 轨迹的普通方程为222=+y x （]2,1[,-∈y x ）.21.D 证明：因为0,0>>b a 所以03332222>=⋅⋅≥++ab ab b a ab b a 0313132222>=⋅⋅≥++ab b a ab b a ab所以2222229)1)((b a b a ab ab b a ≥++++.22. 解（1）记“该网民购买i 种商品”为事件5,4,=i A i ，则 812132324343)(5=⨯⨯⨯⨯=A P ，31214343)321(32213232)431(43)211(32324343)(12124=⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯-⨯+-⨯⨯⨯⨯=C C A P ， 所以该网民至少购买4种商品的概率为24113181)()(45=+=+A P A P . 答：该网民至少购买4种商品的概率为2411. （2）随机变量η的可能取值为0,1,2,3,4,52881)211()321()321()431()431()0(=-⨯-⨯-⨯-⨯-==ηP ， 28811)321()321()431()431(21)211()431()431()321(32)211()321()321()431(43)1(1212=-⨯-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯-⨯-⨯==C C P η28847)211()321()431(4321)321()321()431(4321)431()431(32)321()211()431()431(3232)211()321()321(4343)2(12121212=-⨯-⨯⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯⨯⨯-⨯+-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯-⨯⨯==C C C C P η 288978131288472881128811)5,4,3,2,1,0(1)3(=-----==-==ηηP P ， 31)()4(4===A P P η， 81)()5(5===A P P η. 所以随机变量η的概率分布列为故31081531428897328847228811128810=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ηE . 23.（1）证明：因为n a （*N n ∈且3≥n ）均为正实数，左-右21=)2(21)2(21)2(332113223211321213321a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -++-++-+ 0)22(21)22(21)22(21323113223211321321231=-⨯+-⨯+-⨯≥a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a所以原不等式321213132321a a a a a a a a a a a a ++≥++成立. （2）解：归纳的不等式为：n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥+++++--- 21211112432321（*N n ∈且3≥n ） 记)(21211112432321n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a F +++-+++++=--- ， 当*N n ∈且3≥n 时，由（1）知，不等式成立；假设当k n =（*N k ∈且3≥k ）时，不等式成立，即0)(21211112432321≥+++-+++++=---k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a F 则当1+=k n 时，))(()()1()11(0)()1()11()(111111111112121111111211121111111212111111124323211+--++++-+-+-+++-++++---++-+-=-+-+-+≥-+-+-+=---+++=++++-++++++=k k k k k k k k k kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a q a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a F 因为,1k k a a ≥-2,21111111=+≤+≥+++++-k k k k k k k k a a a a a a a q a a 所以01≥+k F ，所以当1+=k n ，不等式成立综上所述，不等式n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥+++++--- 21211112432321（*N n ∈且3≥n ）成立.。