高考数学大一轮复习 第二章 第4课 函数的概念及其表示法要点导学

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第二章第4课函数的概念及其表示法要点导学要点导学各个击破函数的概念判断下列对应是否为函数:(1) x→y,y=x2+2x+1,x∈R;(2) x→y,这里y4=x,x∈R,y∈R;(3) A={(x,y)|x,y∈R},对任意的(x,y)∈A,(x,y)→x+y.[思维引导]判断标准:根据给出的定义域和对应法则,看自变量x在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应.[解答](1) 对于任意一个实数x,y=x2+2x+1都被x唯一确定,所以当x∈R时,y=x2+2x+1是函数.(2) 考虑输入值1,即当x=1时,输出值为y,由y4=1,得y=±1,这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应),所以y4=x不是函数.(3) 由于集合A不是数集,所以此对应法则一定不是函数.[精要点评]判断对应关系是否为函数关系,从三个角度入手:(1) 定义域是否为数集;(2) 定义域中每个值是否使解析式都有意义;(3) 由解析式算出的数是否唯一.函数的三要素(2014·江苏模拟)下列各组函数中,表示同一函数的是.(填序号)①f(x)=x-1,g(x)=2xx-1;②f(x)=|x|,g(x)=2 (x);③33x;④24x.[思维引导]判断两个函数是否为同一函数,要从定义域、值域和对应关系三个方面考虑. [答案]③[解析]①f(x)=x-1的定义域为R ,g(x)=2xx-1的定义域为{x|x≠0},定义域不同,所以不是同一函数;②f(x)=|x|的定义域为R,g(x)=2(x)的定义域为{x|x≥0},定义域不同,所以不是同一函数;③f(x)=x,g(x)=33x=x,所以是同一函数;④f(x)=2x,g(x)=24x=2|x|≥0,对应法则和值域都不同,所以不是同一函数.求函数的解析式(1) 已知f(x+1)=x+2x,求f(x);(2) 设f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x);(3) 已知f1x-x⎛⎫⎪⎝⎭=x2+21x+1(x>0),求f(x).[思维引导]求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式,可用待定系数法;如果已知复合函数f[g(x)]的表达式求f(x),常用换元法.[解答](1) 设x+1=t(t≥1),则x=t-1,代入f(x+1)=x+2x,得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1(x≥1).(2) 根据题意,可设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,故a2=4,ab+b=3,解得a2,b1=⎧⎨=⎩或a-2,b-3.=⎧⎨=⎩所以f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.(3) 因为f1x-x⎛⎫⎪⎝⎭=21x-x⎛⎫⎪⎝⎭+3,当x>0时,x-1x∈R,所以f(x)=x2+3.[精要点评]在采用整体换元法求解时,一定要注意所换的元的取值范围,不但要从式子形式上确定其取值范围,还要注意题目的限制条件.(1) (2014·江苏模拟)已知f1x⎛⎫⎪⎝⎭=x2+5x,求f(x)的解析式;(2) 已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);(3) (2014·保定模拟)已知f 21x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=x+3,求f(x)的解析式. [解答](1) 令t=1x (t ≠0),则x=1t ,所以f(t)=21t +5t .故f(x)=25x 1x +(x ≠0).(2) 设f(x)=ax+b(a ≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,解得a=2,b=7,所以f(x)=2x+7.(3) 令t=2x +1(t ≠1),则x=2t-1,所以f(t)=2t-1+3=3t-1t-1,所以f(x)=3x-1x-1(x ≠1).如图,有一块半径为R 的半圆形钢板,计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状,它的下底AB 是☉O 的直径,且上底CD 的端点在圆周上,写出梯形的周长y 关于腰长x 的函数关系式,并求出它的定义域.(例4)[思维引导]本题只要将上底用腰长x 表示即可.[解答]由题意得AB=2R,点C,D 在☉O 的半圆周上,设腰长AD=BC=x,作DE ⊥AB,垂足为E,连接BD,易知∠ADB 是直角.由Rt △ADE ∽Rt △ABD,得AD 2=AE ·AB,即AE=2x 2R .所以CD=AB-2AE=2R-2x R .所以y=2R+2x+2x2R-R⎛⎫ ⎪⎝⎭.即y=-2xR+2x+4R.由22x0,x0,2Rx2R-0,R⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩解得0<x<2R.所以y=-2xR+2x+4R,x∈(0,2R).[精要点评]由实际问题求函数解析式,实质是将函数值用自变量表示出来,其关键是根据题意寻找等量关系,在图形问题中,要充分根据图形的特点建立等式,当然定义域问题一定要注意自变量的取值范围.(2014·北京卷)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:min)满足函数关系式p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图所示记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,求最佳的加工时间.(变式)[解答]由图形可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数p=at2+bt+c的图象上,所以9a3b c0.7,16a4b c0.8,25a5b c0.5,++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.22 15 t-4⎛⎫⎪⎝⎭+1316,因为t>0,所以当t=154=3.75时,p取最大值,故最佳加工时间是3.75 min.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:km/h)是车流密度x(单位:辆/km)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/km时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/km时,车流速度为60 km/h.研究表明:当20≤x ≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1) 当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式.(2) 当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/h)f(x)=x·v(x)可以达到最大?并求出最大值.(精确到1辆/h)[规范答题](1) 由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60.当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,由已知得200a b0,20a b60,+=⎧⎨+=⎩解得1a-,3200b.3⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (4分)故v(x)=60,0x20,1(200-x),20x200.3≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩(6分)(2) 依题意并由(1)可得f(x)=60x,0x20,1x(200-x),20x200.3≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩(8分)当0≤x≤20时,f(x)为单调增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;当20≤x≤200时,f(x)=13x(200-x)≤21x(200-x)32+⎡⎤⎢⎥⎣⎦=100003, (10分)当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值100003.综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/km时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/h.(14分)1. 判断下列对应是否为从集合A到B的函数:(1) A={1,2,3,4,5},B={0,2,4,6,8},x∈A,f:x→2x;(2) A=R,B=R,x∈A,f:x→y,y=|x|;(3) A=[0,+∞),B=R,x∈A,f:x→y,y2=x.[解答](1) A中元素5在B中无元素与之对应,故(1)不是函数;(2) 满足函数的定义,故(2)是函数;(3) 当输入值x=1时,输出值y=-1或1,这里一个输入值与两个输出值对应,故(3)不是函数.2. 下列各组函数中,表示相同函数的是.(填序号)①1u1-u+1v1-v+;②2 x③21-x∈[-1,1];④x1+x-12x-1.[答案]①[解析]①中两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.②中由于2x两个函数的对应法则不同,故它们不是同一函数.③中两个函数的对应法则不同,故它们不是同一函数.④中两个函数的定义域不同,故它们不是同一函数.3. 已知函数x-1若f(a)=3,则实数a=.[答案]104. (2014·江苏模拟)某种产品的购买量x(单位:t)与单价y(单位:t)之间满足一次函数关系,如果购买1 000t,每吨800元,购买2 000t,每吨700元,那么一客户购买400t,单价应为元. [答案]860[解析]设y=kx+b,则有8001000k b,7002000k b,=+⎧⎨=+⎩解得k=-110,b=900,所以y=-110x+900,当x=400时,y=860.所以单价应为860元.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第7-8页).。