步步高苏教版高考数学理科一轮配套课件7.1不等关系与一元二次不等式

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7-1苏教版2019高三一轮复习课件不等式的性质与一元二次不等式

2
12 3 －x＋1＝x－2 ＋4＞0，
6 所以 m＜ 2 . x －x＋1 6 因为函数 y＝ 2 ＝ x －x＋1 6 m＜7即可．所以，m
6 的取值范围是 mm＜7.
6 6 12 3在[1,3]上的最小值为7，所以只需 x－＋ 2 4
基础诊断
考点突破
规律方法 (1)比较大小常用的方法：
①作差法；②作商法；③函数的单调性法．
(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．
基础诊断
考点突破
c c 【训练 1】设 a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：①a＞b；②ac ＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．其中正确结论的序号是______． 1 1 c c 解析由不等式性质及 a＞b＞1 知a＜b，又 c＜0，所以a＞b， ①正确；构造函数 y＝xc，∵c＜0，∴y＝xc 在(0，＋∞)上是减函数，又 a＞b＞1，∴ac＜bc，知②正确； ∵a＞b＞1，c＜0，∴a－c＞b－c＞1， ∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，知③正确．答案 ①②③
基础诊断
考点突破
1 解得 a＝－1 或 (舍去)， 3 ∴a＝－1，b＝－3.∴f(x)＝－x2＋2x＋3， ∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3＜0， 1 3 得 4x ＋4x－3＞0，解得 x＞2或 x＜－2.
2
答案
1 3 x|x> 或x<－ 2 2
基础诊断考点突破
规律方法
含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方
程)根的大小，对参数进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行

新步步高高考数学北师大理一轮复习第章不等式 1 不等关系与不等式课件

A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<an
C.m≤n
D.m<n
解析答案
(2)设a>0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，则P与Q的大小关系是__P_>_Q____. 解析由题意可知a>1. ∴(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，∴a3－1>a2－1， ∴loga(a3－1)>loga(a2－1)，即P>Q.
11.已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( ) A.若 a>b，则 ac2>bc2 B.若ac>bc，则 a>b C.若 a3>b3 且 ab<0，则1a>1b D.若 a2>b2 且 ab>0，则1a<1b
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
12.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( A )
跟踪训练2
若 a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论：①ad>bc；②ad＋bc<0；③a－c>b－d； ④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是( )
解析答案
题型三不等式性质的应用
例 3 已知 a>b>0，给出下列四个不等式：
①a2>b2；②2a>2b－1；③ a－b> a－ b；④a3＋b3>2a2b.

2021年高考数学(江苏版)一轮配套课件：§7.1 一元二次不等式 .ppt

方法 2 分式不等式的解法
解分式不等式的关键是先将给定不等式移项、通分,整理成一边为商
式,另一边为0的形式,再等价转化成整式不等式(组)的形式进行求解.
(1)
f g
((xx>))0⇔f(x)·g(x)>0;
(2) f (x≥) 0⇔
g(x)
f (x) g(x) 0, g(x) 0.
例2 不等式 1≤ 的1 解集为
解析 A={x|x2<4}={x|-2<x<2},
B= x
|=1
x
4={3x|-3<xx|<xx1}13.
0
(1)A∩B={x|-2<x<1}.
(2)因为2x2+ax+b<0的解集为B={x|-3<x<1},所以-3和1为方程2x2+ax+b=0
的两根.
故

b
2
a 2
3 1,
所以
31,
a 4, b 6.
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/14
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.

高考数学大一轮复习第七章不等式 7.1 不等式的性质与一元二次不等式课件理

D.随x值的变化而变化
解析(jiě xī) f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，则f(x)>g(x).
12/13/2021
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
第四十一页，共六十一页。
解析答案
3.若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列(xiàliè)不等式中正确的是
性质对称性传递性可加性
可乘性
12/13/2021
性质内容 a>b⇔_b_<_a_ a>b，b>c⇒_a_>_c_ a>b⇔_a_＋__c_>_b_＋_c__
a>b
⇒a_c_>_b_c_
c>0
a>b
⇒a_c_<_b_c_
c<0
第五页，共六十一页。
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
注意c的符号
同向可加性同向同正可乘性
⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|， ∵a<b<0，∴|b|<|a|成立(chénglì)，故选C.
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第三十一页，共六十一页。
解析答案
(2)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围(fànwéi)是___(－__4_,_0_).
解析 ∵－1<x<3，－1<y<3， ∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4. 又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4,0).
其中所有正确(zhèngquè)结论的序号是
A.①

【步步高】高三数学大一轮复习 7.1不等关系与不等式名师课件理苏教版

【例 1】已知－π2<α<β<π2，求 α＋2 β，α－2 β的取值范围．
思维启迪解析探究提高
不等式性质的应用是本题的突破点．
题型分类·深度剖析
题型一
不等式性质的应用
【例 1】已知－π2<α<β<π2，求 α＋2 β，α－2 β的取值范围．
思维启迪解析探究提高
解因为－π2<α<β<π2，所以－π4<α2<π4，－4π<β2<π4.
题型分类·深度剖析
题型三
不等式与函数、方程的综合问题
思维启迪解析
探究提高
【例 3】已知 f(x)是定义在
(－∞，4]上的减函数，是否存
在实数 m ，使得 f(m －

sin x)≤f

1＋2m－74＋cos2x对
定义域内的一切实数 x 均成
立？若存在，求出实数 m 的取
值范围；若不存在，请说明
m－4≤sin x，即m－ 1＋2m＋12≥－sin x－122.
题型分类·深度剖析
题型三
不等式与函数、方程的综合问题
思维启迪解析
探究提高
【例 3】已知 f(x)是定义在
(－∞，4]上的减函数，是否存
在实数 m ，使得 f(m －

sin x)≤f

1＋2m－74＋cos2x对
题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012·四川)设 a，b 为正实数．现有下列命题： ①若 a2－b2＝1，则 a－b<1；②若1b－1a＝1，则 a－b<1；③若| a－
b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中的真命题有 ________．(写出所有真命题的编号)

【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)7.1 不等关系与一元二次不等式文档

§7.1 不等关系与一元二次不等式1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. 2.两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b <0⇔a < b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab ＝1⇔a ＝ ba b<1⇔a 0).3.不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ， a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ， a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0(n ∈N ，n ≥2). 4.“三个二次”的关系1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( × ) (2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ ) (3)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( √ )(4)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (6)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0. ( × ) 2.设a 1bB.1a －b >1aC.|a |>－bD.－a >－b答案 B解析由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a不成立. 3.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A.(2,3)B.(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a <0即为x 2－5x ＋6<0，解集为(2,3).4.若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是________. 答案 [1,4]解析可判断k ＝0或k <0均不符合题意，故k >0.于是原不等式即为k (x －k 2＋4k )(x －4)<0⇔(x －k 2＋4k )(x －4)<0，依题意应有3≤k 2＋4k≤5且k >0，∴1≤k ≤4.5.(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________. 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0－x 2－4x ，x <0不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－x 2－4x >x解得：x >5，或－5<x <0.题型一不等式的性质及应用例1 (1)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb；②a c log a (b －c ). 其中所有正确结论的序号是( )A.①B.①②C.②③D.①②③(2)(2012·四川)设a ，b 为正实数.现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a ＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1；④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)思维启迪利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设条件. 答案 (1)D (2)①④ 解析 (1)∵a >b >1，∴1a <1b .又c <0，∴c a >cb，故结论①正确；函数y ＝x c (c <0)为减函数，又a >b ，∴a c log b (b －c )>log a (b －c )，故③正确. ∴正确结论的序号是①②③.(2)①中，a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝1，a ，b 为正实数，若a －b ≥1，则必有a ＋b >1，不合题意，故①正确. ②中，1b －1a ＝a －b ab ＝1，只需a －b ＝ab 即可.如取a ＝2，b ＝23满足上式，但a －b ＝43>1，故②错.③中，a ，b 为正实数，所以a ＋b >|a －b |＝1，且|a －b |＝|(a ＋b )(a －b )|＝|a ＋b |>1，故③错. ④中，|a 3－b 3|＝|(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)| ＝|a －b |(a 2＋ab ＋b 2)＝1.若|a －b |≥1，不妨取a >b >1，则必有a 2＋ab ＋b 2>1，不合题意，故④正确.思维升华判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.(1)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A.a 0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是( )A.①④B.②③C.①③D.②④答案 (1)C (2)C解析 (1)易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89>1，所以b >a ；a c ＝5ln 22ln 5＝log 2532>1，所以a >c .即c <a 0，所以1a ＋b<0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0. 故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误. 由以上分析，知①③正确. 题型二一元二次不等式的解集例2 求下列不等式的解集： (1)－x 2＋8x －3>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.思维启迪 (1)可利用求根公式得到方程－x 2＋8x －3＝0的解，再求不等式的解集；(2)含参数a ，要进行分类讨论.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}. (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}.思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.(1)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________.(2)不等式x －12x ＋1≤0的解集为________.答案 (1)(－2,3) (2)(－12，1]解析 (1)由题意，知－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋13＝－b a－12×13＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2.则不等式2x 2＋bx ＋a <0即2x 2－2x －12<0，其解集为{x |－2<x <3}.(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤02x ＋1≠0(*)由(*)解得－12<x ≤1.题型三不等式恒成立问题例3 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.思维启迪 (1)分m ＝0和m ≠0讨论，m ≠0可结合图象看Δ的条件； (2)可分离参数m ，利用函数最值求m 的范围. 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法：方法一令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]. 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}.方法二因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可. 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a的取值范围.解因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立.即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立.而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. 所以，实数a 的取值范围是{a |a >－3}.转化与化归思想在不等式中的应用典例：(10分)(1)(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________.(2)已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为________. 思维启迪 (1)考虑函数f (x )、方程f (x )＝0和不等式的关系； (2)可把不等式看作关于a 的一次不等式. 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22. 又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x＋2>0即可，联立方程解得x<1或x>3.答案(1)9(2){x|x<1或x>3}温馨提醒本题解法中利用了转化与化归思想.(1)中利用“三个二次”之间的联系，将不等式、函数、方程之间相互转化；(2)中将已知不等式看作关于a的一次不等式，体现了主元与次元的转化.利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则.方法与技巧1.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.2.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法的主要步骤为作差——变形——判断正负.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形.4.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式的解法进行求解.失误与防范1.不等式的性质应用要准确，尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时，一定要搞清符号.2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.3.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集是R还是∅，要注意区别.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A.a>b＋1B.a>b－1C.a2>b2D.a3>b3答案 A解析由a>b＋1，得a>b＋1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b＋1，因此，使a>b成立的充分而不必要的条件是a>b＋1.2.(2013·陕西)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有()A.[－x ]＝－[x ]B.[2x ]＝2[x ]C.[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D.[x －y ]≤[x ]－[y ]答案 D解析特殊值法.令x ＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A 错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B 错；令x ＝1.5，y ＝0.5，[x ＋y ]＝2，[x ]＋[y ]＝1＋0＝1，故C 错. 3.已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝⎛⎭⎫12x x -2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A.p ≥q B.p >qC.p <qD.p ≤q答案 A 解析 p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号.因为x 2－2≥－2，所以q ＝⎝⎛⎭⎫12x x -2≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取等号.所以p ≥q . 4.(2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A.{x |x <－1或x >－lg 2}B.{x |－1<x <－lg 2}C.{x |x >－lg 2}D.{x |x <－lg 2} 答案 D解析由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.5.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是 ( )A.{a |0<a <4}B.{a |0≤a <4}C.{a |0<a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}答案 D解析由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4. 二、填空题6.已知a <0，－1”连接) 答案 ab >ab 2>a解析由－1ab 2>a .7.函数y ＝x 2＋x －12的定义域是____________. 答案 (－∞，－4]∪[3，＋∞)解析由x 2＋x －12≥0得(x －3)(x ＋4)≥0，∴x ≤－4或x ≥3.8.已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________. 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析由题意，知Δ＝4－4×1×(k 2－1)<0，即k 2>2，∴k >2或k <－ 2.三、解答题9.若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是{x |12<x <2}. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集.解 (1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2. (2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为(－3，12). 10.(1)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >y y ＋b. (1)解方法一 (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y ).方法二 ∵x <y <0，∴x －y <0，x 2>y 2，x ＋y <0.∴(x 2＋y 2)(x －y )<0，(x 2－y 2)(x ＋y )<0，∴0<(x 2＋y 2)(x －y )(x 2－y 2)(x ＋y )＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy<1， ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y ).(2)证明 x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ). ∵1a >1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b >a >0，又∵x >y >0，∴bx >ay >0，∴bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，∴x x ＋a >y y ＋b.B 组专项能力提升(时间：30分钟)1.若a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( )A.(－∞，－a )∪(5a ，＋∞)B.(－∞，5a )∪(－a ，＋∞)C.(5a ，－a )D.(a ，－5a )答案 B解析由x 2－4ax －5a 2>0得(x －5a )(x ＋a )>0，∵a <0，∴x <5a 或x >－a .2.设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 {m |m ≤－32或m ≥32} 解析依据题意得x 2m2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1). 在x ∈[32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立. 当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 3.设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________.答案 (－1，23) 解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )，∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝－f (1)<－1.∴2a －3a ＋1<－1⇔3a －2a ＋1<0⇔(3a －2)(a ＋1)<0， ∴－1<a <23.4.求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围.解将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去.(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4. 5.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8 (0≤x ≤5)10.2 (x >5)，假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？解依题意得G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝R (x )－G (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8 (0≤x ≤5)8.2－x (x >5). (1)要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤5－0.4x 2＋3.2x －2.8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x >58.2－x >0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤5x 2－8x ＋7<0或5<x <8.2⇔⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤51<x <7 或5<x <8.2⇔1<x ≤5或5<x <8.2⇔1<x <8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内.(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.所以当工厂生产400台产品时，盈利最大，此时只需求x ＝4时，R (4)4＝2.4(万元/百台) ＝240(元/台).所以工厂生产400台产品时盈利最大，此时每台产品的售价为240元.。

【步步高】高考数学大一轮复习 7.2一元二次不等式及其解法名师课件理苏教版

＋34m－6，x∈[1,3]. 当 m>0 时， g(x) 在 [1,3]
上是增函数，
所以 g(x)max ＝ g(3)⇒7m －6<0，
例 2 (2) 若对于 x∈[1,3] ， f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解析
思维升华
所以 m<67，所以 0<m<67；
当m＝0时，－6<0恒成立；
跟踪训练2 (1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_[_－__1_,_4_]_.
解析 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
(2)已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为_(_－__∞__，__1_)_∪__(3_，__＋__∞__)_. 解析把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则由f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0，且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程解得x<1或x>3.
当 m<0 时， g(x) 在 [1,3] 上
是减函数，
所以 g(x)max ＝ g(1)⇒m － 6<0，所以m<6，所以m<0.
例 2 (2) 若对于 x∈[1,3] ， f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
解析
思维升华
综上所述：m 的取值范围是
6 {m|m<7}. 方法二因为 x2－x＋1＝

高考理科数学一轮复习课件不等关系与一元二次不等式

模拟测试卷及答案解析
• 答案解析 • 1.【分析】本题考查基本不等式求最值，属于基础题。将
$\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$与$a + b = 1$相乘，利用基本不等式即可求解。 • 【解答】$\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = (\frac{1}{a} + \frac{4}{b})(a + b) = 5 + \frac{b}{a} + \frac{4a}{b} \geqslant 5 + 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{4a}{b}} = 9$ ，当且仅当$\frac{b}{a} = \frac{4a}{b}$即$a = \frac{1}{3},b = \frac{2}{3}$时取等号，故答案为9。
模拟测试卷及答案解析
2.【分析】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题。将不等式化为标准形式后，根据判别式即可求解。
【解答】由题意可知，不等式$mx^{2} + mx - 1 > 0$对一切实数$x$均不成立，即不等式$mx^{2} + mx - 1 leqslant 0$对一切实数$x$均成立。当$m = 0$时，不等式变为$-1 leqslant 0$，显然成立；当 $m neq 0$时，由$left{ begin{matrix} m < 0 m^{2} - 4m < 0 end{matrix} right.$解得$-4 < m < 0$。综上，实数$m$的取值范围是$-4 < m leqslant 0$。
用数轴上的两个点表示区间的两个端点，并用圆括号或方括号表示开闭
情况。例如，(a,b)表示开区间，{a}表示单点集，[a,b]表示闭区间，

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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾理清教材
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础突破疑难
题号
1 2
答案
(1) ×(2) √ (3) √ (4) √ (5) × (6) ×
④中，|a3－b3 |＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.
若|a－b|≥1，不妨取 a>b>1，则必有 a2＋ab＋b2>1，不合题意，故 ④正确.
题型分类·深度剖析
题型一
思维升华
不等式的性质及应用
判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反
例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或 0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.
又 a>b>1，∴ac<bc，故②正确.
∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1.
∵a>b>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，
即 logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确.
题型分类·深度剖析
题型一不等式的性质及应用
(2)①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b 为正实数，
数学
苏（理）
§7.1 不等关系与一元二次
不等式
第七章不等式、推理与证明
基础中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号
知识回顾理清教材
>、<、≥、≤、≠
连结两个数或代数式以表示
它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式 . 2.两个实数比较大小的方法 a－ b>0⇔ a > b (1)作差法a－ b＝ 0⇔ a ＝ b a－ b<0⇔ a 0；③a－ >b a b a a＋b ab 1 －；④ln a2>ln b2 中，正确的不等式的序号是__________. b b 2ln 3 解析 (1)易知 a，b，c 都是正数，＝＝log89>1， a 3ln 2 a 5ln 2 所以 b>a；＝2ln 5＝log2532>1，所以 a>c.即 c<a<b. c 1 1 (2)由 < <0，可知 b<a<0. a b 1 1 ①中，因为 a＋b<0，ab>0，所以 <0， >0. ab a＋b
解析
①③④ (2,3) [1,4]
3
4
5
(－1， 2－1)
题型分类·深度剖析
题型一不等式的性质及应用
【例 1】 (1)设 a>b>1，c<0，给出下列三个结论： c c ① > ；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c). a b 其中所有正确结论的序号是________. (2)(2012· 四川)设 a，b 为正实数.现有下列命题： 1 1 2 2 ①若 a －b ＝1，则 a－b<1；②若－＝1，则 a－b<1；③若 b a | a－ b |＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
(a， b∈ R)；
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾理清教材
a>1⇔a > b b a (2)作商法＝ 1⇔a ＝ b b a <1⇔a 0).
基础知识·自主学习
要点梳理
3.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒ a>c ； (3)可加性：a>b⇔a＋ c > b＋c，a>b，c>d⇒a＋ c > b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac > bc，a>b>0， c>d>0⇒ac > bd； (5)可乘方：a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥ 1)； n n (6)可开方：a>b>0⇒ a > b (n∈N，n≥2).
若 a－b≥1，则必有 a＋b>1，不合题意，故①正确. 1 1 a－b ②中，－＝＝1，只需 a－b＝ab 即可. b a ab 2 4 如取 a＝2，b＝3满足上式，但 a－b＝3>1，故②错.
③中，a，b 为正实数，所以 a＋ b>| a－ b|＝1，
且|a－b|＝|( a＋ b)( a－ b)|＝| a＋ b|>1，故③错.
知识回顾理清教材
基础知识·自主学习
要点梳理
4.“三个二次”的关系判别式 Δ＝ b2－ 4ac Δ>0 Δ＝ 0 Δ<0
知识回顾理清教材
二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2 ＋ bx＋ c＝ 0(a>0) 的根
有两相异实根 x1， x2(x1<x2)
有两相等实根 b 没有实数根 x1＝ x2＝－ 2a
题型分类·深度剖析
题型一
思维启迪条件.
解析
不等式的性质及应用
利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设
1 1 (1)根据不等式的性质构造函数求解. ∵a>b>1，∴ < . a b c c 又 c<0，∴ > ，故①正确. a b 构造函数 y＝xc.∵c<0，∴y＝xc 在(0，＋∞)上是减函数.
题型分类·深度剖析
ln 2 ln 3 ln 5 跟踪训练 1 (1)若 a＝，b＝，c＝，则 a、b、c 的大 2 3 5 c<a0；③a－ >b a b a a＋b ab 1 －；④ln a2>ln b2 中，正确的不等式的序号是__________. b 1 1 故有 < ，即①正确； a＋b ab