11.3不等式的性质
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中一种重要的表示不等关系的数学语句，它与等式相对应。
研究不等式的性质和解法对于理解数学知识、解决实际问题具有重要意义。
本文将探讨不等式的性质以及一些常见的解法，并为读者提供一些实用的技巧。
一、不等式的基本性质不等式的基本性质包括传递性、对称性和加法、减法、乘法性质。
1. 传递性：如果 a > b 且 b > c，则有 a > c。
这种性质使得不等式在运算过程中具有连续性，方便我们研究和解决问题。
2. 对称性：如果 a > b，则有 b < a。
不等式在进行对称变换时可以改变不等式符号的方向，但不等式仍然成立。
3. 加法、减法性质：如果 a > b，则有 a + c > b + c，a - c > b - c。
不等式在加法和减法运算中，可以将数加减到两边，不等关系仍然成立。
4. 乘法性质：如果 a > b 且 c > 0，则有 ac > bc，如果 c < 0，则有 ac < bc。
不等式在乘法运算中可以将等式两边乘以正数，或者乘以负数并改变不等关系的方向。
二、解一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，解这类不等式的方法和解方程类似。
以下是解一元一次不等式的步骤：1. 将不等式中的所有项移到一边，使不等式变为“不等于0”的形式。
2. 如果不等式两边乘以负数，则需要改变不等式的方向。
3. 对于一元一次不等式，在不等式两边同时加上同一个数或者乘以同一个正数时，不等式的不等关系不变。
4. 求解出不等式的解集。
例如，解不等式2x - 5 > 7，按照上述步骤进行解答：1. 将不等式变为“不等于0”的形式：2x - 5 - 7 > 0。
2. 对不等式两边同时加上同一个数：2x - 12 > 0。
3. 不等式两边同时除以正数2：x - 6 > 0。
4. 求解出不等式的解集：x > 6。
不等式的性质
不等式的性质不等式是数学中一种重要的关系表达方式。
它描述了数值大小之间的关系，常用于解决优化问题、证明数学定理等。
在学习不等式的过程中，我们需要了解不等式的性质，这有助于我们更好地理解和应用不等式。
1. 不等式的传递性不等式的传递性是指，如果一个不等式A > B成立并且B > C成立，那么A > C 也一定成立。
同样地，如果A < B成立并且B < C成立，那么A < C也一定成立。
传递性在解决不等式问题时起到了重要的作用。
通过利用不等式的传递性，我们可以将一个复杂的不等式问题转化为一系列简单的不等式问题，从而更容易求解。
2. 不等式的加法性和减法性不等式的加法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A + C > B + C也一定成立。
类似地，不等式的减法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A - C > B - C也一定成立。
加法性和减法性使得我们可以在不等式两边加上或减去相同的数，从而得到等效的不等式，方便我们进行问题的变形和求解。
3. 不等式的乘法性和除法性不等式的乘法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A * C >B * C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A * C < B * C也一定成立。
乘法性使得我们可以在不等式两边乘以正数或负数，从而改变不等式的方向。
需要注意的是，当乘以负数时，不等式的方向会颠倒。
除法性是乘法性的逆运算。
不等式的除法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A / C > B / C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A / C < B / C也一定成立。
乘法性和除法性在求解不等式时起到了重要的作用。
它允许我们在不改变不等式的基本性质的情况下，对不等式进行一些操作，从而得到更简单的形式。
苏科版数学七年级下册11.3《不等式的性质》说课稿
苏科版数学七年级下册11.3《不等式的性质》说课稿一. 教材分析苏科版数学七年级下册11.3《不等式的性质》这一节主要介绍了不等式的性质。
在教材中，通过具体的例子引导学生探究不等式的性质，让学生通过观察、思考、归纳等过程，掌握不等式的性质，并能够运用性质解决问题。
教材内容由浅入深，由具体到抽象，既注重了学生的参与，又培养了学生的思维能力。
二. 学情分析在教学之前，我们需要了解学生的学习情况。
七年级的学生已经掌握了基本的代数知识，对不等式有一定的了解，但对其性质的认识还不够深入。
此外，学生的思维能力和探究能力正处于发展阶段，需要通过引导和激励来提高他们的学习兴趣和参与度。
三. 说教学目标根据教材和学情分析，本节课的教学目标如下：1.让学生理解不等式的性质，并能够运用性质解决问题。
2.培养学生的观察能力、思考能力和归纳能力。
3.提高学生的学习兴趣，促进学生的积极参与和合作交流。
四. 说教学重难点教学重点：不等式的性质及其运用。
教学难点：不等式性质的推理和运用。
五. 说教学方法与手段为了提高教学效果，本节课将采用以下教学方法和手段：1.情境导入：通过具体的例子，引发学生的兴趣和思考。
2.小组讨论：引导学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力。
3.归纳总结：引导学生观察、思考和归纳，培养学生的思维能力。
4.练习巩固：通过适量的练习题，巩固所学知识。
5.教学辅助手段：利用多媒体课件，生动展示不等式的性质，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个具体的例子，引入不等式的性质的概念。
2.探究不等式的性质：引导学生观察、思考和归纳不等式的性质，让学生通过小组讨论，共同得出结论。
3.性质的运用：通过一些具体的例子，让学生运用不等式的性质解决问题，巩固所学知识。
4.练习巩固：布置一些练习题，让学生独立完成，检查对不等式的性质的理解和掌握程度。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调不等式的性质及其运用。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中常见的表达式，描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。
解不等式是数学中常见的问题之一，研究不等式的性质和解法有助于我们更好地理解数学问题。
本文将介绍不等式的基本性质和常用的解法。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b且b<c，则有a<c。
这意味着当不等式链中存在多个不等关系时，可以通过传递性判断其中任意两个数之间的大小关系。
2. 不等式的加法性质：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b，则有a+c<b+c。
这意味着可以在不等关系的两侧同时加上相同的数，不等关系的方向不会改变。
3. 不等式的乘法性质：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b且c>0，则有ac<bc；如果a<b且c<0，则有ac>bc。
这意味着可以在不等关系的两侧同时乘上相同的正数或负数，不等关系的方向可能会改变。
二、不等式的解法1. 加减法解法：使用加减法解不等式时，需要保持不等式链的方向不变。
例如，对于不等式2x-5>7，我们首先可以将5加到两侧得到2x>12，然后再将不等式链两侧同时除以2，得到x>6。
2. 乘除法解法：使用乘除法解不等式时，需要根据乘除数的正负来确定不等式链是否需要翻转。
例如，对于不等式-3x<9，我们首先可以将不等式两侧同时除以-3，但由于除以负数需要改变不等关系的方向，所以不等式应变为x>-3。
3. 绝对值不等式的解法：对于绝对值不等式，有时候可以根据绝对值的定义进行分类讨论。
例如，对于不等式|2x-1|<3，我们可以将其分解为两个不等式2x-1<3和2x-1>-3，然后分别求解得到x<2和x>-1，最终得到-1<x<2的解集。
4. 平方不等式的解法：对于一元二次不等式，可以根据不等式系数的正负和零点位置进行讨论。
不等式的性质
不等式的性质不等式是数学中一种重要的数值关系表达形式，它描述了数值之间的大小关系。
在解决各种实际问题以及数学推理中，不等式具有广泛的应用。
本文将介绍不等式的基本概念和性质。
一、不等式的基本概念不等式是指两个数或者两个代数式之间的关系，用符号 "<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）或者"≥"（大于等于）表示。
例如，对于两个实数a和b，我们可以表示为a < b， a > b，a ≤ b 或a ≥ b。
其中，"<" 和 ">" 表示严格不等关系，"≤" 和"≥" 表示非严格不等关系。
二、不等式的性质1.传递性：如果 a < b，b < c，则有 a < c。
同样，如果 a > b，b > c，则有 a > c。
这表明不等式具有传递性，可以通过链式推理得出更复杂的不等式关系。
2.加法性质：如果 a < b，那么对于任意的实数c，a + c < b + c。
同样地，如果 a > b，那么 a + c > b + c。
加法性质指出，在不等式两边同时加上（或减去）同一个数时，不等号的方向不变。
3.乘法性质：如果 a < b 且 c > 0，那么 ac < bc。
同样地，如果 a > b且 c < 0，那么 ac > bc。
乘法性质指出，在不等式两边同时乘以正数时，不等号的方向不变；但是当乘以负数时，不等号的方向会颠倒。
4.取反性质：如果 a < b，则 -a > -b。
同样地，如果 a > b，则 -a < -b。
取反性质说明不等式两边同时取反时，不等号的方向也会发生改变。
5.绝对值性质：对于任意实数a，有a ≤ |a| 和 -a ≤ |a|。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
苏科版七年级下11.3 不等式的性质
11.3 不等式的性质一、知识点归纳不等式的性质概括起来就是两句话：加减法与等式的计算规则一样；乘除法需要注意符号，同乘（除）“－”时不等式改变方向。
（一）性质1：不等式的两边同加上（减去）同一个数或者同一个整式，不等号的方向不变。
也就是说加减法不等式和等式的计算方法一样。
例1：化简下列不等式（1）14x +＜ （2）a a b x +＜3-解：（1）14x +＜11x +-＜4-1 同减一个数1，此步骤可省x ＜3（2）a a b x +＜3-a-a a b-a x +＜3- 同减一个整式a ，此步骤可省a b x ＜2-（二）性质2：不等式的两边同乘（除）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边同乘（除）同一个负数，不等号的方向改变。
例2：化简下列不等式（1）28x ＜ （2）39x -＜ （3）a 3a x ＜解：（1）28x ＜2822x ＜ 同除以2，符号不变，此步骤可省 4x ＜ （2）39x -＜3933x ---＞ 同除以﹣3，符号改变，此步骤可省 3-x ＞ （3）a 3a x ＜ 不知道a 的正负，需要分类讨论a ＞0时，a 3a x a a＜ 同除以a ，a ＞0，符号不变，此步骤可省 3x ＜ 0a ＜时，a 3a x a a＞ 同除以a ，a ＜0，符号改变，此步骤可省 x 3＞ 不等式两边同乘以0，两边结果都是0，就成等式了。
（三）不等式两边同号，两边同取倒数，不等号改变。
如：（1）23->- 两边都是负的1123-<- 两边取倒数，不等号改变（2）23< 两边都是正的1123> 两边取倒数，不等号改变 （3）若a 、b 、c 、d 都是正实数，a c b d> b d a c > 两边取倒数，不等号改变 此题涉及到分式，了解就行。
二、练习与提高此题涉及到分式，了解就行。
1. （2012江苏常州2分）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a c b d <，给出下列四个不等式：①a c a+b c+d <；②c a c+d a+b <；③d b c+d a+b <；④b d a+b c+d<。
不等式的性质证明
不等式的性质证明不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数、两个算式或两个函数之间的大小关系。
在数学研究和实际问题中，不等式的性质具有重要的意义。
本文将深入探讨不等式的基本性质，并进行相应的证明。
一、不等式的基本性质1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。
即如果一个数小于另一个数，而另一个数又小于另一个数，那么第一个数一定小于第三个数。
证明：设a < b，b < c，用反证法。
假设a ≥ c，那么由于a < b，根据传递性得知b ≥ c，与b < c矛盾。
故假设不成立，得证。
2. 加法性：对于任意的实数a、b、c，若a < b，则有a + c < b + c。
即两个不等式的同侧同时加上一个相同的数，不等号的方向不变。
证明：设a < b，用反证法。
假设a + c ≥ b + c，那么由于a < b，根据传递性得知a + c < b + c，与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
3. 乘法性：对于任意的实数a、b和正数c，若a < b且c > 0，则有ac < bc。
即两个不等式的同侧同时乘上一个正数，不等号的方向不变；若c < 0，则有ac > bc，即两个不等式的同侧同时乘上一个负数，不等号的方向反向。
证明：设a < b，用反证法。
假设ac ≥ bc，若c > 0，则由于a < b，根据乘法性得知ac < bc，与假设矛盾；若c < 0，则有ac > bc，同样与假设矛盾。
故假设不成立，得证。
二、不等式中的常见定理及证明1. 加法定理：对于任意的实数a，b和c，若a < b，则有a + c < b + c。
证明：设a < b，令d = b - a，根据传递性得知0 < d。
由于c > 0，根据乘法性可得0 < c × d。
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-a一定小于a吗？为什么？
初 苏 科 一 八 下 数 不 学 等 式 备 性 质 课 组–a___-b
＜ (2) 6a____6b ＞
(3)
＜
(4) a-b____0
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2.判断下列各题的推导是否正确？为什么？
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；
(2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b；
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3.在不等式5>3 两边同时加上或减去2， 在横线上填上“<”或“>”号。 > 5+2_____3+2 > 5-2______3-2
4.自已写一个不等式，在它的两边同时 加上、减去同一个数，看看有什么样 的结果？
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(4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2；
(5)因为3＞2，所以3a＞2a．
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3、已知a＜0，用“＜”或“＞”号填空：
＜ -1； (1)a+2 ______ ＜ 2； (2)a-1 ______ ＜ 0； (3)3a______
a ＞ (4) ______0; 4
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初中数学七年级下册 （苏科版）
11.3 不等式性质
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1、水果店的小王从水果批发市场购进 100千克梨和84千克苹果，你能用 “<”或“>”号连接梨和苹果的进货 > 量吗？ 100千克________84千克 2、几天后，小王卖出梨和苹果各a千 克，你能用“<”或“>”号连接梨和 苹果的剩余量吗？ > 100-a________84-a
2 ＜3
2＜3
2
2
×
（-5）____3 ＞
×
（-5）
×
×
（-0.5）_____ ＞ 3
(-0.5)
你发现了什么？
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不等式的性质2
不等式的两边都乘以（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变； 不等式的两边都乘以（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变；
（1）x-6＜y-6 (2) 3x＜3y (3) -2x＜-2y
不成立 不成立 成立 成立 成立 不成立
（4） x+9＞y+9
（5）2x+1＞2y+1
（6）-3x-1＞-3y-1
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在下列各题横线上填入不等号，使不等式成 立．并说明是根据哪一条不等式基本性质． (1)若a-3＜9，
＞ (5)a2_____0; ＜ ； (7)a-1______0
＜ (6)a3______0
＞ ． (8)|a|______0
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将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式
（1）x－5＞－1; 解：
(1)根据不等式的性质1， 两边都加上5，得 （3）3x＜－9. x＞－1+5 即x＞4;
（2）-2x＞3 52 （3）2x- 1＜ 6 （4）-x ＜
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将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式
(1) 3x 2 2 x 3
1 4 （2） x 3 3
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（2）－2x＞3;
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将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式
（1）x－5＞－1; 解： （2）－2x＞3; （3）3x＜－9.
(2)根据不等式的性质2， 两边都除以－2，得
x＜－
3 2
;
初 苏 科 一 八 下 数
将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形 式： （1）x－5＞－1; 解：
不 学 等 式 备 性 质 课 组
（2）－2x＞3; （3）3x＜－9.
(3)根据不等式的性质1， 两边都除以3，得 x＜－3.
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将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形
式：
（1）x - 5＞-1
x＞4
x＜－1.5
x ＜1.5
5 x ＞－ 6
＜ ； 则 a ______12 ＞ -10； 则 a______ ＞ 则 a ______-4 ；
(2)若-a＜10，
(3)若
a 4
＞ -1,
2 ＜ 0； (4)若 a ＞ 0， 则 a _______ 3
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1.（口答）已知a＜b,用“＜”或“＞”号 填空：
不等式的性质1
不等式的两边都加上(或都减去)同一个 数或同一个整式，不等号的方向不变.
a>b
a+c>b+c 或a-c>b-c
(
)
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完成下列填空：
2 ＜3
2＜3 2＜3
2
2 2
×
5 ____ ＜ 3
×
5
×
×
＜ 0.5 ____3
0.5
×
（-1）____3 ＞ ×（-1）
a>b，c>0 a>b，c<0
ac>bc ac<bc
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1.不等式的两边都乘0，结果怎样？
2.不等式的性质与等式的性质有什么 相同点和不同点？
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已知x ＞ y，下列不等式一定成立吗？