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第五讲 相交弦定理
解 : 设半径为r, PC PD PA PB (PO r)(PO r) PA PB
10.92 r 6 (6 8) 2 r 34.81 r 5.9
2
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C
A B
P
O
D
结束 铃
[应用举例]
例4.如图, 线段AB和圆O交于点 C、D, AC BD, AE、BF分别切圆O 与E、F. 求证: AE BF.
弦的一半是它分直径所 成的两条线 段的比例中项.
D A O
图1
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P
B C A
D
O P
B C
图2
下页 结束 铃
[知识要点]
PT PA PB.(图3) 1.切割线定理 :从圆外一点引圆的
2
切线和割线, 切线长是这点到割线与 从圆外一点引圆的两条 割线, 推论 : 推论:PA PB PC PD.(图4) 圆交点的两条线段长的 比例中项. 这一点到每条割线与圆 的交点的两 条线段长的积相等.
相交弦定理圆幂定理一知识要点二应用举例三课堂小结四练习作业五作业答案例3例1例2例4上页下页铃结束返回首页长的积相等
相交弦定理、圆幂定理
一、知识要点 二、应用举例
例1 例2 例3 例4
三、课堂小结 四、练习作业 五、作业答案
[知识要点]
PB ห้องสมุดไป่ตู้C PD(图1) 圆内的两条相交弦, 1.相交弦定理 :PA 被交点分成的两条线段 长的积相等. 如果弦与直径垂直相交 , 那么 2 推论 : 推论:PC PA PB(图2)
B O A
图3
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P D O B
图4
《相交线》PPT教学课文课件
3. 邻补角与补角的区别： (1)互为邻补角是互为补角的特殊情况. 互为邻补角的两个
角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备两角相邻 的位置关系. (2)一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有多个.
感悟新知
例 1 如图5.1-1，直线AB，CD，EF相交于点O，请找出图 中∠ AOC，∠ EOB 的邻补角. 解题秘方：根据邻补角 定义的“两要素”找已 知角的邻补角.
相交线
感悟新知
知识点 1 邻补角
1. 相交线：只有一个公共点的两条直线是相交线，这个公 共点叫交点. 特别提醒： (1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系； (2)两条直线相交有且只有一个交点.
感悟新知
2. 邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向 延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
感悟新知
2. 性质：对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角.
感悟新知
特别解读 对顶角的位置关系和数量关系： ●位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线. ●数量关系：对顶角相等.
感悟新知
例2 如图5.1-2，直线AE 与CD 相交于点O，OC 平分 ∠ AOB.
感悟新知
(1)请找出图中∠ 3 的对顶角； 解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角； 解：∠ 3 的对顶角是∠ 2；
感悟新知
(2)若∠ 3=25°，求∠ 1 的度数. 解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数. 解：由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 3=25°， 因为OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25°.
感悟新知
2-1. [中考·安顺] 如图，直线a，b相交于点O，如果∠ 1+ ∠ 2=60°，那么∠ 3 是( A ) A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
角除具备两角互补这一数量关系外，还要具备两角相邻 的位置关系. (2)一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有多个.
感悟新知
例 1 如图5.1-1，直线AB，CD，EF相交于点O，请找出图 中∠ AOC，∠ EOB 的邻补角. 解题秘方：根据邻补角 定义的“两要素”找已 知角的邻补角.
相交线
感悟新知
知识点 1 邻补角
1. 相交线：只有一个公共点的两条直线是相交线，这个公 共点叫交点. 特别提醒： (1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系； (2)两条直线相交有且只有一个交点.
感悟新知
2. 邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向 延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
感悟新知
2. 性质：对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角.
感悟新知
特别解读 对顶角的位置关系和数量关系： ●位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线. ●数量关系：对顶角相等.
感悟新知
例2 如图5.1-2，直线AE 与CD 相交于点O，OC 平分 ∠ AOB.
感悟新知
(1)请找出图中∠ 3 的对顶角； 解题秘方：根据对顶角的位置特征找对顶角； 解：∠ 3 的对顶角是∠ 2；
感悟新知
(2)若∠ 3=25°，求∠ 1 的度数. 解题秘方：根据对顶角的数量关系求未知角的度数. 解：由对顶角相等，得∠ 2= ∠ 3=25°， 因为OC 平分∠ AOB，所以∠ 1= ∠ 2=25°.
感悟新知
2-1. [中考·安顺] 如图，直线a，b相交于点O，如果∠ 1+ ∠ 2=60°，那么∠ 3 是( A ) A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
相交弦定理精品PPT教学课件
AB是过点P的一条弦。设圆的半径为r,OP=d
求证：PA*PB= PA •PB r2d2
B
C
D
O
P
A
1. 例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC 交⊙O于C．
2. 求证：PC2＝PA·PB
C
A
P
B
O
D
12
2020/12/6
例4：已知：线段a、b（a＞b） a 求作：线段c，使c2=ab
b
探索尝试多种作法
课堂练习（口答）
1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于
C GA
⊙O内一点G，则有GC×GDG=B×GA , B
D
(2) 如图，弦AB垂直于⊙O直径
MN于Q，MN：QN=5：1，
AB=8，10
M
则MN= ，ຫໍສະໝຸດ 14A QN
B 2020/12/6
课堂练习（口答）
(3)⊙O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两 部分，CD被AB分为3：1两部分，则这 两部分长6分别是2 cm和 cm.
式子：AP×PB=CP ×PD成立,我们应该怎 样用推理的方法证明这一结论呢?
A
D
O PB
C
4
2020/12/6
A
D
O PB
C
D
A
P
O
B
C
D
A
P
O
B
C
同学们，你们现在可以写出证明吗？
5
2020/12/6
证明：连结AC、BD
D
A
P
O
B
∠A= ∠D ∠C= ∠B
C
=> △PAC∽△PDB => PA∶PD=PC∶PB
求证：PA*PB= PA •PB r2d2
B
C
D
O
P
A
1. 例3、如图：在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC 交⊙O于C．
2. 求证：PC2＝PA·PB
C
A
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B
O
D
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2020/12/6
例4：已知：线段a、b（a＞b） a 求作：线段c，使c2=ab
b
探索尝试多种作法
课堂练习（口答）
1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于
C GA
⊙O内一点G，则有GC×GDG=B×GA , B
D
(2) 如图，弦AB垂直于⊙O直径
MN于Q，MN：QN=5：1，
AB=8，10
M
则MN= ，ຫໍສະໝຸດ 14A QN
B 2020/12/6
课堂练习（口答）
(3)⊙O中，弦CD把AB分成4cm和3cm两 部分，CD被AB分为3：1两部分，则这 两部分长6分别是2 cm和 cm.
式子：AP×PB=CP ×PD成立,我们应该怎 样用推理的方法证明这一结论呢?
A
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O PB
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同学们，你们现在可以写出证明吗？
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证明：连结AC、BD
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B
∠A= ∠D ∠C= ∠B
C
=> △PAC∽△PDB => PA∶PD=PC∶PB
相交弦定理[上学期] 浙教版(PPT)3-1
![相交弦定理[上学期] 浙教版(PPT)3-1](https://img.taocdn.com/s3/m/4f2d7c415727a5e9856a61da.png)
若两条弦中有一条弦变成直径，而另一条弦
与它垂直时，你又能得到什么新的结论？
推论：如果弦与直径垂直相交，
那么弦的一半是它分直径所成的
Ｃ
两条线段的比例中项．
Ａ 相交弦定理及推论说明，经过
Ｏ•
┍
Ｐ
Ｂ
圆内一定点作圆的弦可以作无
Ｄ
数条，但是这些弦被定点内分
的两条线段的乘积是一个确定
的值．
二、教学过程 (1)复习:
在相似三角形中,见过如下几个基本图形
A A
C
A
D
E BE
B
Байду номын сангаас
┍ DC
B
C
D
△ADE∽ △ABC △ABE∽ △DCE △BDA∽ △ADC
AD:AB＝AE:AC AE:DE＝BE:CE AD2 BD • CD
改变。在8年，布瓦尔（AlexisBouvard）出版了天王星的轨道表，随后的观测显示出与表中的位置有越来越大的偏差，使得布瓦尔假设有一个摄动体存在。 在8年约翰·柯西·亚当斯计算出会影响天王星运动的第八颗行星轨道，并将计算结果皇家天文学家乔治·艾里，他问了亚当斯一些计算上的问题，亚当斯虽然草 拟了答案但未曾回复。在8年，法国工艺学院的天文学教师奥本·勒维耶，在得不到同行的支持下，以自己的热诚独立完成了海王星位置的推算。但是，在同 一年，约翰·赫歇耳也开始拥护以数学的方法去搜寻行星，并说服詹姆斯·查理士着手进行。在多次耽搁之后，查理士在8年7月勉强开始了搜海王星（红弧） 完成一个围绕太阳运行的轨道（中心）海王星（红弧）完成一个围绕太阳运行的轨道（中心）寻的工作；而在同时，勒维耶也说服了柏林天文台的约翰·格弗 里恩·伽勒搜寻行星。当时仍是柏林天文台的学； 老域名：：老域名购买 ；生达赫斯特（Heinrichd'Arrest）表示正好完成了勒维耶预测天 区的最新星图，可以做为寻找新行星时与恒星比对的参考图。在8年9月日晚间，海王星被发现了，与勒维耶预测的位置相距不到°，但与亚当斯预测的位置 相差°。事后，查理士发现他在8月时已经两度观测到海王星，但因为对这件工作漫不经心而未曾进一步的核对。由于有民族优越感和民族主义的影响，使得 这项发现在英法两国余波荡漾，国际间的舆论最终迫使勒维耶接受亚当斯也是共同的发现者。然而，在998年，史学家才得以重新检视天文学家奥林·艾根 （OlinEggen）遗产中的海王星文件（来自格林威治天文台的历史文件，明显是被奥林·艾根窃取近三十年，在他逝世之后才得重见天日），在检视过这些文 件之后，有些海王星（卫星上看）海王星（卫星上看）史学家认为亚当斯不应该得到如同勒维耶的殊荣[]。发现之后的一段时间，海王星不是被称为天王星 外的行星就是勒维耶的行星。伽雷是第一位建议取名的人，他建议的名称是Janus（罗马神话中看守门户的双面神）。在英国，查理士将之命名为Oceanus； 在法国，阿拉贡（Arago）建议称为勒维耶，以回应法国之外强烈的抗议声浪。法国天文年历当时以赫歇耳称呼天王星，相对于以勒维耶称呼这颗新发现的行 星。同时，在分开和独立的场合，亚当斯建议修改天王星的名称为乔治，而勒维耶经由经度委员会建议以Neptune（海王星）作为新海王星海王星(张)行星的 名字。斯特鲁维（Struve）在8年月9日于圣彼得堡科学院挺身而出支持勒维耶建议的名称。很快
相交弦定理课件
相交弦定理的证明
相交弦定理的证明可以通过应用两弧之间的关系以及圆内角和弧度的关系来推导得出。
相交弦定理的应用
相交弦定理可以用于解决各种几何问题，如计算未知角度、弦长以及解决实 际问题。
实例1：计算未知角度
已知
角A的度数为30°
已知
角B的度数为40°
求解
角C和角D的度数
实例2：计算未知弦长
已知
圆的半径为5cm
已知
弦AB的角度为60°
求解
弦AB的长度
实例3：解决实际问题
已知
一个轮胎上两个相交的弦的角度分别为50°和70°
求解
两条弦的长度
已知
轮胎的半径为30cm
结论和要点
相交弦定理是解决圆内角度和弦长问题的重要工具，应用广泛且具有实际价 值。
相交弦定理ppt课件
相交弦定理是一个关于圆的几何定理，用于求解未知角度和弦长，具有广泛 的应用价值。
什么是相交弦定理
相交弦定理是指在一个圆内，两个相交的弦所对的弧的两个角度之积等于另 一对相交的弦所对的弧的两个角度之积。
相交弦定理的公式
设AB、CD为两条相交的弦，分别对应的角为∠A
新培优数学选修课件第章相交弦定理
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半。
三角函数与解三角形
01
三角函数
正弦、余弦、正切等三角函数在圆中的定义及性质，如正弦值等于对边
比斜边等。
02
解三角形
利用三角函数及圆的性质解决与三角形有关的问题，如求三角形的面积
、角度等。
03
三角形的内心与外心
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心
相交弦定理是关于圆的两条相交弦的性质定理，即圆内的两条相 交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理的证明方法
通过相似三角形或者圆的性质进行证明，理解证明过程有助于加深 对定理的理解。
相交弦定理的应用
在几何题目中，相交弦定理常用于求解与圆有关的线段长度或角度 问题。
复习建议：如何巩固所学知识
1 2
回顾课堂笔记和教材
重新阅读课堂笔记和教材，加深对相交弦定理的 理解。
做相关练习题
通过做大量的练习题，熟练掌握相交弦定理的应 用。
3
与同学讨论
与同学一起讨论相交弦定理的相关问题，互相学 习，互相帮助。
思考题与练习题：检验学习效果
01
02
03
思考题
思考相交弦定理在实际生 活中的应用场景，提高学 习兴趣。
练习题
通过做练习题，检验自己 对相交弦定理的掌握程度 ，查漏补缺。
拓展题目
尝试解决一些与相交弦定 理相关的拓展题目，提高 自己的解题能力。
THANKS
感谢观看
相交弦定理的应用举例
通过具体的例题，展示相交弦定理在 解决实际问题中的应用，加深学生对 定理的理解和掌握。
在同圆或等圆中，同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半。
三角函数与解三角形
01
三角函数
正弦、余弦、正切等三角函数在圆中的定义及性质，如正弦值等于对边
比斜边等。
02
解三角形
利用三角函数及圆的性质解决与三角形有关的问题，如求三角形的面积
、角度等。
03
三角形的内心与外心
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心
相交弦定理是关于圆的两条相交弦的性质定理，即圆内的两条相 交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
相交弦定理的证明方法
通过相似三角形或者圆的性质进行证明，理解证明过程有助于加深 对定理的理解。
相交弦定理的应用
在几何题目中，相交弦定理常用于求解与圆有关的线段长度或角度 问题。
复习建议：如何巩固所学知识
1 2
回顾课堂笔记和教材
重新阅读课堂笔记和教材，加深对相交弦定理的 理解。
做相关练习题
通过做大量的练习题，熟练掌握相交弦定理的应 用。
3
与同学讨论
与同学一起讨论相交弦定理的相关问题，互相学 习，互相帮助。
思考题与练习题：检验学习效果
01
02
03
思考题
思考相交弦定理在实际生 活中的应用场景，提高学 习兴趣。
练习题
通过做练习题，检验自己 对相交弦定理的掌握程度 ，查漏补缺。
拓展题目
尝试解决一些与相交弦定 理相关的拓展题目，提高 自己的解题能力。
THANKS
感谢观看
相交弦定理的应用举例
通过具体的例题，展示相交弦定理在 解决实际问题中的应用，加深学生对 定理的理解和掌握。
相交弦定理
相交弦定理和圆有关的比例线段─相交弦定理及推论(1)复习:在相似三角形中,见过如下几个基本图形△ADE∽△ABC△ABE∽△DCE△BDA∽△ADCAD:AB＝AE:ACAE:DE＝BE:CE二、教学过程在⊙Ｏ内取一点Ｐ，过点Ｐ作⊙Ｏ的两条弦ＡＢ，ＣＤ，点Ｐ分弦ＡＢ和ＣＤ为四条线段，你能证明ＰＡ•ＰＢ＝ＰＣ•ＰＤ吗？连结ＡＣ，ＢＤ，∠Ａ＝∠Ｄ，∠Ｃ＝∠Ｂ∴△ＰＡＣ∽△ＰＤＢ∴ＰＡ•ＰＢ＝ＰＣ•ＰＤ∴ＰＡ:ＰＤ＝ＰＣ:ＰＢ由圆周角定理的推论，得（2）新课：相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．已知：ＡＢ和ＣＤ交于⊙Ｏ内一点Ｐ，求证：ＰＡ•ＰＢ＝ＰＣ•ＰＤ另一种描述:圆的弦相交于圆内一点,各弦被这一点内分成的两条线段长的乘积相等．在一条线段上的一个点，将这条线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点．若两条弦中有一条弦变成直径，而另一条弦与它垂直时，你又能得到什幺新的结论？推论：如果弦与直径垂直相交，那幺弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．相交弦定理及推论说明，经过圆内一定点作圆的弦可以作无数条，但是这些弦被定点内分的两条线段的乘积是一个确定的值．例１：已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为１２cm 和１６cm 两段，第二条弦的长为３２cm，求第二条弦被交点分成的两段的长．解：设第二条弦被交点分成的一段长xcm,则另一段长为(32-x)cm,根据相交弦定理，有解得∴另一段的长为32-8=24 或32-24=8∴第二条弦被交点分成的两段长分别为8cm，24cm 用设未知数，列方程来解几何问题，此时相交弦定理所表达的等式就是方程．１．如图：AP=3cm,PB=5cm,CP=2.5cm,求CD.练习2.如图：O 是圆心，CP⊥AB,AP=4cm,PD=2cm,求OP已知：ＡＢ和ＣＤ交于内一点Ｐ，求证：ＰＡ•ＰＢ＝ＰＣ•ＰＤ相交弦定理作业：课本第117 页第４题已知：⊙Ｏ的弦CD 平分AB ,交点为E,(2)若AB=12cm,CD=13cm,求CE 和DE 的长(1) 求证：BE 是CE,DE 的比例中项．小结：谢谢。
5.1.1相交线教学课件
B
2
1
3 4O
D
A
C
2
B
A
1
3 4O
D
两直线相交形成四个角中，有一条
公共边，另一条边互为反向延长线，这 样的两个角互为邻补角.
两直线相交形成四个角中，一个角 的两边分别是另一个角两边的反向延长 线，这样的两个角互为对顶角．
C
2
B
邻补角的两个角
A
1
3 4O
D
之间具有怎样的数量
关系？对顶角呢？ ∵ ∠1＋∠2＝1800
∠2＋∠3＝1800
1、邻补角互补 （邻补角定义）
2、对顶角相等
∴ ∠1＝∠3 （同角的补角相等）
∠1＝∠3 （对顶角相等）
1、∠1和∠2是对顶角吗？为什么？
1
a
2
图（1）
1 2a 图（3）
1
2a
图（2） b
1 2a 图（4）
2、如图， ∠1= ∠2， ∠2与∠3的关系是___互__为__邻__补__角__, ∠1与∠3的关系是__互__为__补__角_.
相交 在同一平面内
平行
手中的剪刀可以抽象出什么 几何图形？
观察在此图形中还有哪些其 它几何图形？
∠1与∠2
B
∠1与∠3
C
2
∠1与∠4
1
3பைடு நூலகம்4O
∠2与∠3
D
A
∠2与∠4
∠3与∠4
活动要求:
1、独立思考，将这六对角按照某一标
准进行分类
2、组内交流，说说 你们分类的原则和 C 分类的结果
1
32
名称 特征 性质
有一公共
对顶角 顶点
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例2 如图，P是⊙O内的一点，AB是过点P的一条弦。设 ⊙O的半径为 r ，OP= d . 求证：PA ·PB= r2 －d2
证明：作过点P的直径CD，则， PC= r + d ,PD= r – d 。 由相交弦定理，得 PA ·PB=PC ·PD =（r+d) (r–d)
= r2 – d2
练习4。如图，AB是⊙O的一条弦，点P在AB上，已知 PB=6，AB=8．5 ，OP=3，求⊙O的半径。
6.7相交弦定理
小沙中学 傅纪恩
如图：⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，若PA=4，PB=2， 只 要你说出PC的任何一个值，我就能说出PD的长度！！！ 让我们试一下。
已知：弦AB和CD相交于⊙ O内一点P
求证：PA ·PB=PC ·PD
证明：连接AC，BD ∵ ∠A= ∠ D， ∠ C= ∠ B
∴ △PAC∽ △ PDB ∴ PA ·PB=PC ·PD
相交弦定理：圆内的两条 相交弦，被交点分成的两 条线段长的积相等
例1 如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，且PC=PD， PA=3，BP=1。求CD的长
解：由相交弦定理，得 PA ·PB=PC ·PD
∵ PC=PD ∴ PC ·PD=PC2
AM ·BM=CN ·DN
E M
B
C NF D
练习3 如图，M是⊙O1与 ⊙O2 的公共弦AB上的一点， CE，DF 分别是⊙O1 ，⊙O2 的弦，他们相交于点M。 求证：MD ·MF=ME ·MC
证明：由相交弦定理，得 ME ·MC=MA ·MB MD ·MF=MA ·MB ∴ MD ·MF=ME ·MC
=PA ·PB=3×1=3
∴ PC=
∴ CD=2
练习1： 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，P为 垂足，已知AB=6，CD=4 ，求AP,BP（ AP ＞BP ）。
解：设AP=X，则BP= 6 － X
由相交弦定理得 ： AP ·BP=CP ·DP ∵AB⊥CD
∴CP=DP= CD=2
∴ AP ·BP=CP2 =（2 ∴ X ( 6 － X )=8
X 2 － 6 X+ 8 =0
）2 =8
X1=2， X2=4 ∵ AP ＞BP ∴AP =4，BP=2
练习2，如图，⊙O的弦AB，CD分别与弦EF交于M，N 两点，且EM=FN。求证：AM ·BM=CN ·DN
证明：
EM=FN
EM+MN=FN+MN
A
EN=FM AM ·BM=EM ·FM CN ·DN =FN ·EN
割线与圆的两个交点间的两条线段长的乘积等于定值” 是真命题吗？
PA · PB=PC · PD=PE · PF=…… A
C F
P E
B
D
D 解：作过点P的直径CD，
AB=8．5， PB=6，PA=2 ． 5， 设⊙O的半径为 r ，. PD= r + 3 ,PC= r – 3 。 由
=（r+3) (r–3) = r2 – 9 即 2﹒5×6= r 2 – 9
r=2
想一想：“过圆内一点任意引圆的一条割线，这点到