第13课时直通中考

第一部分 系统复习知能提升第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的应用一、选择题1.(2013·湖南株洲)二次函数y ＝2x 2＋mx ＋8的图象如图所示，则m 的值是( )A ．－8B ．8C ．±8D ．6解析：由图可知，抛物线与x 轴只有一个交点，∴Δ＝m 2－4×2×8＝0.解得m ＝±8.∵对称轴为直线x ＝－m2×2＜0，∴m ＞0.∴m 的值为8.答案：B2.(2012·天津)若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1≠x 2，有下列结论：①x 1＝2，x 2＝3；②m ＞－14；③二次函数y ＝(x －x 1)(x －x 2)＋m 的图象与x 轴交点的坐标为(2,0)和(3,0)．其中，正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 化为一般形式得x 2－5x ＋6－m ＝0.∵方程有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴b 2－4ac ＝(－5)2－4(6－m )＝4m ＋1＞0.解得m ＞－14.故结论②正确；∵一元二次方程实数根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝6－m .而结论①中x 1＝2，x 2＝3，只有在m ＝0时才能成立，故结论①错误；二次函数y ＝(x －x 1)(x －x 2)＋m ＝x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＋m ＝x 2－5x ＋(6－m )＋m ＝x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)，令y ＝0，得(x －2)(x －3)＝0.解得x ＝2或3.∴抛物线与x 轴的交点为(2,0)或(3,0)，故结论③正确．综上所述，正确的结论有2个：②③.答案：C3.(2012·四川资阳)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是( )A ．－1＜x ＜5B ．x ＞5C ．x ＜－1且x ＞5D ．x ＜－1或x ＞5解析：由图象得，对称轴是x ＝2，其中一个点的坐标为(5,0)．∴图象与x 轴的另一个交点坐标为(－1,0)．利用图象可知，ax 2＋bx ＋c ＜0的解集即是y ＜0的解集．∴x ＜－1或x ＞5.答案：D4.(2011·江苏无锡)如图，抛物线y ＝x 2＋1与双曲线y ＝kx 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式kx＋x 2＋1＜0的解集是( )A ．x ＞1B ．x ＜－1C ．0＜x ＜1D ．－1＜x ＜0解析：∵抛物线y ＝x 2＋1与双曲线y ＝k x 的交点A 的横坐标是1，∴x ＝1时，kx ＝x 2＋1.再结合图象当0＜x ＜1时，k x ＞x 2＋1，∴－1＜x ＜0时，|k x |＞x 2＋1.∴kx ＋x 2＋1＜0.∴关于x的不等式kx＋x 2＋1＜0的解集是－1＜x ＜0.答案：D 二、填空题5.(2013·湖北黄石)若关于x 的函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为________．解析：令y ＝0，则kx 2＋2x －1＝0.∵关于x 的函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，∴关于x 的方程kx 2＋2x －1＝0只有一个根．①当k ＝0时，2x －1＝0，即x ＝12，∴原方程只有一个根．∴k ＝0符合题意；②当k ≠0时，Δ＝4＋4k ＝0，解得k ＝－1.综上所述，k ＝0或－1.答案：0或－16.(2012·浙江绍兴)教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.解析：令函数解析式y ＝－112(x －4)2＋3中，y ＝0时，解得x 1＝10，x 2＝－2(舍去)．∴铅球推出的距离是10m.答案：107.(2013·浙江衢州)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种________棵橘子树，橘子总个数最多．解析：假设果园增种x 棵橘子树，那么果园共有(x ＋100)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，∴这时平均每棵树就会少结5x 个橘子，则平均每棵树结(600－5x )个橘子．∵果园橘子的总产量为y ，∴则y ＝(x ＋100)(600－5x )＝－5x 2＋100x ＋60000.∴当x ＝－b 2a ＝－1002×(－5)＝10(棵)时，橘子总个数最多．答案：10 三、解答题8.(2012·山东青岛)在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y (个)与销售单价x (元/个)之间的对应关系如图所示：(1)试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w (元)与销售单价x (元/个)之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．分析：(1)观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；(2)销售利润＝每个许愿瓶的利润×销售量；(3)根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．解：(1)y 是x 的一次函数，设y ＝kx ＋b ， ∵图象过点(10,300)，(12,240)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10k ＋b ＝300，12k ＋b ＝240，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－30，b ＝600.∴y ＝－30x ＋600.当x ＝14时，y ＝180；当x ＝16时，y ＝120.∴点(14,180)，(16,120)均在函数y ＝－30x ＋600图象上． ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－30x ＋600； (2)w ＝(x －6)(－30x ＋600)＝－30x 2＋780x －3600， ∴w 与x 之间的函数关系式为 w ＝－30x 2＋780x －3600；(3)由题意，得6(－30x ＋600)≤900.解得x ≥15. w ＝－30x 2＋780x －3600图象的对称轴为 x ＝－b 2a ＝－7802×(－30)＝13.∵a ＝－30＜0，∴抛物线开口向下． 当x ≥15时，w 随x 增大而减小．∴当x ＝15时，w 最大＝1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．9.(2012·辽宁锦州)某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x 元时(x 为正整数)，月销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围； (2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？分析：(1)根据题意知一件玩具的利润为(30＋x－20)元，月销售量为(230－10x)，然后根据月销售利润＝一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式；(2)把y＝2520时代入y ＝－10x2＋130x＋2300中，求出x的值即可；(3)把y＝－10x2＋130x＋2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．解：(1)根据题意，得y＝(30＋x－20)(230－10x)＝－10x2＋130x＋2300，自变量x的取值范围是0＜x≤10且x为正整数；(2)当y＝2520时，得－10x2＋130x＋2300＝2520.解得x1＝2，x2＝11(不合题意，舍去) .当x＝2时，30＋x＝32(元)，∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．(3)根据题意，得y＝－10x2＋130x＋2300＝－10(x－6.5)2＋2722.5.∵a＝－10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5.∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30＋x＝36，y＝2720(元)．当x＝7时，30＋x＝37，y＝2720(元)．∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．10.(2013·湖北咸宁)为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500.(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？(2)设李明获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？分析：(1)把x＝20代入y＝－10x＋500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；(2)由利润＝销售价－成本价，得w＝(x－10)(－10x＋500)，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；(3)令－10x2＋600x－5000＝3000，求出x 的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．解：(1)当x ＝20时，y ＝－10x ＋500＝－10×20＋500＝300,300×(12－10)＝300×2＝600，即政府这个月为他承担的总差价为600元． (2)依题意，得w ＝(x －10)(－10x ＋500) ＝－10x 2＋600x －5000＝－10(x －30)2＋4000， ∵a ＝－10＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值4000. ∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000.(3)由题意，得－10x 2＋600x －5000＝3000. 解得x 1＝20，x 2＝40.∵a ＝－10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知，当20≤x ≤40时，w ≥3000. 又∵x ≤25，∴当20≤x ≤25时，w ≥3000. 设政府每个月为他承担的总差价为p 元， ∴p ＝(12－10)×(－10x ＋500)＝－20x ＋1000. ∵k ＝－20＜0，∴p 随x 的增大而减小． ∴当x ＝25时，p 有最小值500.∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．1．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3解析：∵二次函数的解析式是y ＝x 2－3x ＋m (m 为常数)，∴该抛物线的对称轴是x ＝32.又∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(2,0)，∴关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根分别是x 1＝1，x 2＝2.答案：B2．如图，一次函数y1＝kx＋n(k≠0)与二次函数y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象相交于A(－1,5)，B(9,2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为()A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9解析：由图形可以看出，抛物线y2＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y1＝kx＋n(k≠0)的交点的横坐标分别为－1,9.当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内(包括两交点)，即－1≤x≤9.答案：A3．如图，小浩从二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象中得到如下信息：①ab＜0 ；②4a＋b＝0 ；③当y＝5时只能得x＝0；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝10有两个不相等的实数根．你认为其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝2，∴b＝－4a.∴b＞0，b＋4a＝0.∴①②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴(0,5)和(4,5)是抛物线上两对称点．∴x＝0或4时，y＝5.∴③错误；∵抛物线的顶点坐标为(2,9)，∴y的最大值为9.∴ax2＋bx＋c≤9.∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝10无实数解．∴④错误．答案：B4．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：①抛物线与x轴的一个交点为(3,0); ②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．解析：根据图表，当x ＝－2，y ＝0时，根据抛物线的对称性，当x ＝3时，y ＝0，即抛物线与x 轴的交点为(－2,0)和(3,0)；∴抛物线的对称轴是直线x ＝3－52＝12.根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x ＝12时，函数有最大值，而不是x ＝0或1对应的函数值6，并且在直线x ＝12的左侧，y 随x 增大而增大．∴①③④正确，②错．答案：①③④5．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx .小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需________秒．解析：设在10秒时到达A 点，在26秒时到达B ，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A ，B 关于对称轴对称．∵从A 到B 需要16秒，∴从A 到D 需要8秒．∴从O 到D 需要10＋8＝18秒．∴从O 到C 需要2×18＝36秒．答案：366．(1)请在坐标系中画出二次函数y ＝x 2－2x 的大致图象；(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x 2－2x ＝1的根在图上近似的表示出来(描点)；(3)观察图象，直接写出方程x 2－2x ＝1的根．(精确到0.1)解析：(1)确定顶点坐标和函数图象与x轴，y轴交点，作出图形；(2)方程x2－2x＝1的根就是二次函数y＝x2－2x的函数值为1时的横坐标x的值；(3)观察图象可知交点即为方程的根．解：(1)如图，y＝x2－2x＝(x－1)2－1，作出顶点，作出与x轴的交点，用平滑的曲线连接三点画出函数图象；(2)正确作出点M，N；(3)写出方程的根为－0.4,2.4.7．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m 时，水面CD的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到拱桥最高点O时，禁止车辆通行)，试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？分析：(1)结合题意和图所示的直角坐标系，我们可以得到D(5，－h)，B(10，－h－3)，即可求出抛物线的解析式；(2)根据时间和车到桥的距离即可求出车安全过桥的最低速度．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2(a 不等于0)，拱桥最高点O 到水面CD 的距离为h米．则D (5，－h )，B (10，－h －3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧25a ＝－h ，100a ＝－h －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，h ＝1.∴抛物线的解析式为y ＝－125x 2.(2)水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25＝4(小时)；货车按原来速度行驶的路程为40×1＋40×4＝200＜280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥． 设货车速度提高到x 千米/时， 当4x ＋40×1＝280时，x ＝60.∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时．。