关于Young's不等式证明的一个注记
关于一个不等式及其几何意义的若干注记
个问 题的一个一般性解法 � � 边长来解释呢 回 答是肯定的 这可以 通过在直角坐标系中的 不等式 证明如下
2 2 2 2
两个具有公共直角边的直角三角形 构成的另一个三角形的边
长关系容易做到 为直观起见 几种情 形的几何解释按如下图 + -� + � ��
2 � 形所示 -2
= = =
� 2+
2
+� 2+
拓宽到 � �
, 因 为 该 不等 式
� 2 的右端 与 无 关 � 就 是说 当 � 要 使 - � 2 2 +� -� + � 只须 � � � � � >5 + � � � + 2+ 2 � 10 确 定后 �对 任意的 � � 该不等 式成 立 � 因 此 � 我们 可以 2 2 � � � � 即 可 � 这 是 因 为 � � � � + 2 + 2 = � �
2
设 � � +( +表� 示全体正实数的集合 ) 证明 则 A B = � 2+ 2 ,A C = � 2+ � � � � OA = ,OC = ,OB = ,
,
� � CB = � 2+ 2 -� 2+ 2 � 简单 的问题
该不等 式表明 三角形 A CB 的两 边长 A B
与
这是一 个很普通的不等式证明� 这也是一 个看上去似很 A C 之差的绝 对值小于第三边之长 B C 然而 � 也正是这 � 样一个看上去似很简单的问题 � 关于这个问题 的解决 文献 2 3 4 分 别给出了 不等式 � � � � � � 里面却 蕴藏着一些很有趣的现象 � 尤其是它的 � 几何意义的两 证明和几何意义解释 他们的解法和解释大同小异 都没有突 种截然 不同的解释 � 引起人 们对该问题的关注 � 笔者认为 对 破问题的条件要求 和 以上的解法与解释基本一样 这一问 题 很有研究讨论的 � � 必要 因此 不揣简陋 � � 针对这个问 � ( 二 ) 该问题 条件 � � � � � � � � � + 可以 放宽推 广到 � 题提出 几条意见 以供讨论 下面以注记的形式 � � � � � � � 写出对该问 这从上面对不等式的证明过程中不 难看出 那 么当 � 此 不等式的几何意义是否也可以按 两个具有公共直角边 的直角三角形构成的另一个三角形 两条边长之差小于另一条 � 题的 一些看法 时 (一 ) 为便 于对问题 的深入讨 论和行文 叙述 首先给 出这
young不等式积分形式证明
young不等式积分形式证明要证明Young不等式的积分形式，我们首先回顾一下Young不等式的一般形式。
Young不等式陈述如下，对于非负实数a, b和p, q满足1/p + 1/q = 1，有ab ≤ (a^p)/p + (b^q)/q。
现在我们将证明Young不等式的积分形式。
假设f(x)和g(x)是在区间[a, b]上的非负可积函数。
我们想要证明积分形式的Young不等式，对于任意的p, q > 1，有。
∫[a, b] f(x)g(x) dx ≤ (1/p)∫[a, b] (f(x))^p dx +(1/q)∫[a, b] (g(x))^q dx。
首先，我们考虑当f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续时的情况。
我们可以利用Hölder不等式来证明积分形式的Young不等式。
根据Hölder不等式，对于连续函数f(x)和g(x)，有。
∫[a, b] f(x)g(x) dx ≤ (∫[a, b] (f(x))^p dx)^(1/p) (∫[a, b] (g(x))^q d x)^(1/q)。
接下来，我们考虑一般情况，即f(x)和g(x)在区间[a, b]上只是可积函数而不一定连续。
我们可以利用逼近的方法来证明积分形式的Young不等式。
具体来说，我们可以找到一列连续函数f_n(x)和g_n(x)，它们分别逼近f(x)和g(x)，并且满足f_n(x)g_n(x) ≤ (f_n(x))^p/p + (g_n(x))^q/q。
然后利用逼近的性质，我们可以得到。
lim(n→∞) ∫[a, b] f_n(x)g_n(x) dx ≤ (1/p)∫[a, b](f(x))^p dx + (1/q)∫[a, b] (g(x))^q dx。
最后，由于f_n(x)和g_n(x)是连续函数，我们可以利用它们的积分形式的Young不等式来得到积分形式的Young不等式对于可积函数f(x)和g(x)成立。
young不等式的证明及应用
Young不等式是一个非常有用的数学不等式，它有着广泛的应用。
它是由英国数学家Alfred Young在1912年提出的。
Young不等式可以表示为：
∑_{i=1}^n f(x_i) ≤ (∑_{i=1}^n f(x_{i+1}))^c
其中，f(x)是一个单调递减的函数，c是一个正数。
Young不等式的证明是用反证法证明的。
假设Young不等式不成立，即
∑_{i=1}^n f(x_i) > (∑_{i=1}^n f(x_{i+1}))^c
由于f(x)是单调递减的函数，则有
f(x_i) ≥ f(x_{i+1})
由此，有
∑_{i=1}^n f(x_i) ≥ ∑_{i=1}^n f(x_{i+1})
进一步得出
∑_{i=1}^n f(x_i) ≥ (∑_{i=1}^n f(x_{i+1}))^c
与假设矛盾，证明Young不等式成立。
Young不等式有着广泛的应用，它可以用来证明一些重要的数学定理，如Kolmogorov三个不等式定理，Hoeffding不等式，Gronwall不等式等。
它也可以用来证明某些重要的最优化问题，如线性规划问题，最大流最小割问题等。
此外，它还被广泛应用到计算机科学，统计推断，信号处理等领域中。
总之，Young不等式是一个非常有用的数学不等式，它有着广泛的应用，被广泛应用到各个领域中。
关于Осколков不等式的注记
K状o B c o o
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〔 2 〕 研 究 了 ( 5 ) 的 精确 性 问题
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高二数学不等式证明方法知识点
最新高二数学不等式证明方法知识点
数学是高中生学好高中的重要构成部分，学好直接影响
着高中三年理综的成绩。
下边是查词典数学网为大家分享的
高二数学不等式证明方法知识点。
一、不等式的性质
两个实数a与b之间的大小关系
不等式的性质
(乘法单一性)
绝对值不等式的性质
假如a0，那么
(3)|ab|=|a||b|.
(5)|a|-|b||ab||a|+|b|.
(6)|a1+a2++an||a1|+|a2|++|an|.
二、不等式的证明
不等式证明的依照
不等式的性质(略)
重要不等式：①|a|0;(a-b)20(a、bR)
②a2+b22ab(a、bR，当且仅当a=b时取=号)
不等式的证明方法
比较法：要证明ab(a0(a-b0)，这类证明不等式的方法叫做比较法.
用比较法证明不等式的步骤是：作差变形判断符号.
第1 页
综合法：从已知条件出发，依照不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式建立，这类证明不等式的方法叫做综合法.
剖析法：从欲证的不等式出发，逐渐剖析使这不等式建立的充足条件，直到所需条件已判断为正确时，进而判定原
不等式建立，这类证明不等式的方法叫做剖析法.
证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学概括法等.
第2 页。
柯西-施瓦茨不等式的两种证明方法
柯西-施瓦茨不等式的两种证明方法嘿，咱今儿个就来聊聊柯西-施瓦茨不等式的两种证明方法。
这可是数学里挺有意思的一块儿呢！先来说第一种证明方法哈，就好像是搭积木，一块一块稳稳地往上垒。
咱得从一些基本的概念和定理出发，一步一步地推导过去。
你想啊，就跟走路似的，得踏踏实实地踩好每一步，才能走到目的地不是？通过巧妙地运用一些已知的条件和规则，嘿，慢慢地就把这个不等式给证出来啦！就问你神奇不神奇！再看第二种证明方法，那简直就是另辟蹊径啊！就好比在一片茂密的森林里找到一条别人都没发现的小路。
这种方法独特又新颖，能让你眼前一亮。
你会惊叹，哎呀，原来还可以这样啊！它从一个特别的角度切入，就像一把钥匙，“咔嚓”一下就把难题给解开了。
你说这数学世界是不是特别奇妙？柯西-施瓦茨不等式就像是一座神秘的城堡，而这两种证明方法就是通往城堡的不同道路。
有时候啊，在数学的海洋里遨游，真的会让人陶醉其中呢！第一种证明方法就像是精心雕琢的艺术品，每一个步骤都那么精致，那么恰到好处。
它需要我们细心地去分析、去推理，不能有一丝马虎。
而第二种证明方法呢，则像是一场冒险，充满了未知和惊喜，让我们在探索的过程中不断有新的发现。
想象一下，如果没有这些巧妙的证明方法，我们怎么能更好地理解和运用柯西-施瓦茨不等式呢？它们就像是为我们打开知识大门的钥匙啊！难道不是吗？所以啊，大家可千万别小瞧了这两种证明方法，它们可是数学宝藏中的两颗璀璨明珠呢！不管是在理论研究还是实际应用中，都有着举足轻重的地位。
它们让我们对数学的奥秘有了更深的理解和感悟，让我们更加热爱这神奇的数学世界。
总之呢，柯西-施瓦茨不等式的这两种证明方法各有千秋，都值得我们好好去品味、去钻研。
让我们一起在数学的海洋里继续畅游，去发现更多的精彩吧！。
不等式证明常用技巧总结
不等式的证明一、常用方法：作差、作商法；分析、综合法；换元法；构造函数法；反证法；放缩法；归纳法； （分析综合法）.,2,0,022ab c c a ab c c b a c b a -+<<--+>>>求证：已知二、不等式证明中常用技巧：1.加减常数 求函数)1(11≠-+=x x x y 的值域。
2.巧变常数 已知210<<x ，求函数y ＝x （1－2x ）的最大值。
3.分离常数 已知25≥x ，求4233)(2-+-=x x x x f 的最值。
4.巧用常数 若+∈R y x ,且满足1164=+y x ，求x ＋y 的最小值。
5.统一形式 已知+∈R c b a ,,，求)11)((c b a c b a ++++的最小值。
6.轮换对称 .,,222ac bc ab c b a c b a ++>++证：是互不相等的实数，求若. 7.重要不等式 16)(16,02≥-+>>b a b a b a 求证： 8.逆向运用公式型.22121,1,,≤+++=+∈+b a b a R b a 求证：且已知 （提示：将2121++b a ，转换成211211+⋅+⋅b a ，然后运用公式2b a ab +≤） 如何巧用常数： 1..22311,12,0,0+≥+=+>>ba b a b a 则且若 2..9111,1,,,≥++=++∈+cb ac b a R c b a 求证：且已知 3..91111,1,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∈+b a b a R b a 求证：且已知 4..311,,222≥++=++z y x z y x z y x ，则均为正数，且已知5..23,,≥+++++b a c a c b c b a z y x 均为正数，求证：已知 ().29111)()((21111)(111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a a c c b a c c b b a b a a c c b c b a b a b a c a c a c b c b c b a b a c a c b c b a ）不等式证明中的放缩法 1..121111212*<++++<≥∈nn n n N n ，求证：，且已知 2..333221222*<++++∈n n N n ，求证：已知.2)111(2)1()1(2)1()1(21)1(2212）（≥--=---=-+-=-+-<+==k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k3. 设n ∈N ，求证：(2)引进辅助式，设比较两式的对应因式可知。
young不等式例题
young不等式例题
Young不等式（Young's Inequality）是数学分析中的一个重要不等式，它在研究函数的性质以及解决一些实际问题中有广泛的应用。
以下是一个Young不等式的例题：
例题：
设a,b>0 且p,q>1 且p1+q1=1。
证明：ab≤pap+qbq。
证明：
考虑函数f(x)=ex−1−x，其中x>0。
首先，计算f′(x)：
f′(x)=ex−1−1。
由于ex−1 是增函数，当x>1 时，f′(x)>0；当x<1 时，f′(x)<0。
因此，f(x) 在x=1 处取得最小值。
所以，f(x)≥f(1)=0。
这给出：
ex−1≥x当x>0(1)。
将 (1) 应用到pap 和qbq，我们得到：
epap−1≥pap 和eqbq−1≥qbq。
将这两个不等式相乘，得到：
epap+qbq−2≥pap⋅qbq。
由于p1+q1=1，所以pap+qbq=ab。
因此：
eab−2≥ab。
考虑到eab−2 的增长速率快于ab，特别是当ab>0 时，我们得到：
ab≤pap+qbq。
当且仅当a=b 时取等号。
这就完成了证明。
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・ 收稿 日期 ：０ ７一ｏ ２０ ４一ｌ ７
维普资讯
高等数学研究
２０ ０ ７年 １ １月
＋）于（ 一ａ＝ ６ 一）。此 ｃ。 。 厂６ ， ∞由 Ｆ， Ｆ２ ￡ ）一。。＝因当≤ ≤ ＜（时 ， 。 （ ） ） （ ， ）
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文 玉 （ 东 学 数 与 算 系 广州 １ ２） ０ 己 广 商 院 学 计 科学 ５ ３ ００
摘
要 给 出 Ｙ ｕｇｓ ｏｎ ’不等式的新证明和一个注记．
关键词 Ｙ ｕ ｇ 不等式 数学分析 习题课教学 ｏ ｎ’ ｓ
中图分类号
０ ７ １８
Ｙｕ ｇｓ ｏ ｎ ＇不等 式被许 多 “ 数学分 析 ”教 材选 为习题 ， 并安 排在 学 习“ 定积 分 的基 本 概念 与积 分 条 件” 定 积分的基本性质” 和“ 之后 ，积分基本定理” “ 之前 ， 见教材［ ］ 习题 的目的是用学过 的知识 １．
维普资讯
Ｖ Ｌ１ ， ｏ６ ｏ ０ Ｎ ．
Ｎ ｖ ，０ ７ ｏ． ２０
Ｓ Ｕ Ｉ ＳＩ Ｏ Ｌ Ｇ Ｔ Ｅ Ｔ Ｃ Ｔ Ｄ Ｅ Ｎ Ｃ Ｌ Ｅ Ｅ ＭＡ Ｈ ＭＡ Ｉ Ｓ
高等数学研究
பைடு நூலகம்２ ９
关于 Ｙ ｕｇ ｏ ｎ ｇ不 等 式 证 明的一 个 注记 ’
等号成立当且仅当 ｂ＝厂ａ ． ． ） （
在 文 ［ ］的证 明情 形 ２中 ， 义 了变上 限函数 ２ 定
Ｆ０ ｃ（ ＋ 厂（ ｄ—ｂ （） 厂 ） ｃ ） ａ， ｙｙ
用到 Ｆ （ ）＝， ａ ａ （ ）一ｂ这个 内容到此还没有讲 ， ， 给教学带来一些麻烦 ， 我们避开变上限函数的导 数 这一 知识 点 ， 明这一 不等 式． 证 定理 ２ Ｙ ｕ ｇ 不等式 ） 若 Ｙ＝， 是 ［ ， （ ｏｎ ’ Ｓ （） ｃ ＋∞） 上单调连续增函数 ， 其反函数记为 ： 厂 Ｙ ， （ ）则
ｌ ｅ ＩＸ （ — ＋ Ｌ 一 ｉ） ｉ （） 一 ， ｍ ｆ ｉ ） ． Ｘ１ （ ） － ］＝ ｌ （ ） 一 Ｌ＂Ｉ］ ａ 。 一 （ 。 —ｆｃ． ｉｅ Ｉ Ｘ —．ｉ） ＝ ｆ ） ｃ ｃ ｂ ｃ． ｍ ｆｉ ，－ （ ￣ （ ｆ ）＝ （）
情 ２ ≠ ） 辅 函 Ｆ。 ｃ ） ）（ｄ—ａ一（ ） 于 ０ 形 ： 口 作 助 数 （ Ｊ ＋ 厂 ｙ ｙ ６ｃｃ ・ 。。［ ６ ・ ） ’） ｆ） 对 ，∈ ，
ｆ ）＋）ｙ，ｆ６一ｃ： ｄ （ ） ） ０ 厂 ）一－ ６ ） （， （
推 Ｊ ） Ｊｃ－ ） ≥ ｂ ｃ ） 知 号 立 且 当 ＝ ） 毕 出 ＋ （ｆ（ ｄ 。— （． 等 成 当 仅 ｂ 。 证 ・ ｃ ， ） ｙｙ ｆ 易 ｃ ・
参考文献
［ ］陈纪修 ， １ 於崇华 ， 金路 数学分析 （ 上册 ）一面向 ２ 世 纪课程教材 ［ ． ｌ Ｍ］ 北京 ： 高等教育 出版社． ９９：８ ． １９ ２ ３ ［ ］陈纪修等． ２ 数学分析习题全解指南 （ 上册 ） Ｍ］北 京： ［ ． 高等教育 出版社．０ ５ ２ ０．
给出证 明，２ ［ ］中给出了命题与解答． 定理 １２（ ｏｎ ’不等式） 若 Ｙ＝ （ ） Ｏ ａ 上连续单调增 函数 ， （ ）＝０ 其反 函数 【 Ｙｕｇ ｓ ， 是［ ，］ 且厂０ ，
记 为 ＝厂 Ｙ ， （ ） 则
Ｊ（ ＋ 厂（ ｄ≥ ｂ ， ０ ） ） 上 ） ａ ｂ ・ 厂 ｙ ｙ ，０ ≥