广义相对论02相对论课件

§1.3 矢量的平移和仿射联络1.矢量的平移设P 点有协变矢量()T P μ，它平移至Q 点后相应的矢量为()T P Q μ→。

作为线性理论，平移引起的改变()T P μδ应正比于()T P μ，且正比于位移量μdx ,则()()()()T P T P Q T P P T dx λνμμμμνλδ=→-=Γ. 这里的比例系数()P λμνΓ叫做P 点的仿射联络。

由于()T P Q μ→在Q 点仍具有矢量性质，应有将Qx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂μα在P 点作泰勒展开（∵要统一用P 点的量来表述）： 2.仿射联络（affine connection ）定义比例系数λμνΓ为仿射联络，其坐标变换公式为：∵νλλμνμμΓ+=→dx )p (T )p ()P (T )Q p (T∴νλλμνμμ''Γ'+'=→'x d )p (T )p ()p (T )Q p (T 又 )Q p (T dx x x x x x x x )Q p (T 2→⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂'∂'∂'∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂=→'αββννμαμαμ 故 αλνμααλνβμσασβλμν∂'∂'∂'∂∂+∂'∂'∂∂'∂∂Γ=Γ'x x x x x x x x x x x 2 显然，只要仿射联络λμνΓ满足此变换公式，则矢量的平移便可保持其矢量性不变。

不同点的张量便建立了一种联系——仿射联络。

同样可得逆变矢量的平移公式 3.仿射联络的性质（i ）λμνλμνλμν≡Γ-ΓT II I——（1，2）阶张量（ii ）)(21)(λνμλμνλμνΓ+Γ≡Γ——对称联络 （iii ）)(21][λνμλμνλμνΓ-Γ≡Γ——反（对）称联络——挠率张量 （iv ）()[]λλλμνμνμνΓ≡Γ+Γ§1.4 张量的协变微商（普通）微商（导数）定义：对张量场，不同点的张量差必须在引入联络后才能保持其张量性质不变。

（i ）标量场T 坐标变换后，有这表明,T μ是协变矢量。

即 （ii ）矢量场设在空间P 、Q 两点有矢量(),()T P T Q μμ则对其协变微商为： 又注意到即;,T T T λμνμνμνλ=-Γ对逆变矢量μT有 ;T T T μμμλννλν=+Γ 注意到μT 的任意性，故有例：①求二阶协变张量的协变微商，λμν;T不同点的函数差与不同点的坐标差之比的极限解：已知，一阶张量的协变微分公式，取一缩并 注意到 νT 的任意性，故有 同理有 还可以证明：1）;0μνλδ=2）[;][,][]A A A λμνμνμνλ=-Γ 3）当采用对称联络时，有§1.5 测地线方程①定义：平直空间的直线，两点间的最短连线弯曲空间的直线：两点间的最短连线——测地线（例如球面上的大圆线（经纬线） ②测地线方程平直空间的直线方程为对n 维空间的曲线由n 个参量式描述： 则曲线上任一点的切矢定义为令P ，Q 为曲线μx 上的两相邻点，其坐标分别为μx ，μμ+dx x则P 点的切矢为()A P μ，Q 点的切矢为)Q (A μ若P 点的切矢移至Q 点后与原Q 点的切矢平行，则该曲线就叫做测地线，即故有测地线方程：λλ=λλΓ+λμβαμαβμd dx )(f d dx d dx d x d 22 —— 测地线方程 为了简化此方程，可作一变换（见P19） 则测地线方程可简化为σ——仿射参量 §1.6曲率张量刻划空间弯曲程度的几何量之一：曲率张量 设一逆变矢量（一阶逆变张量）μT ， 对其作两次协变微分： 考察其差?TT;;;;=-μντμτν 0=⎧⇒⎨=⎩普通微分协变微分？ 即 μααντλαλνματανματατμαναμτανμντμντΓ-Γ+Γ+Γ+Γ+=;,,,,;T T T T T T T T而 ;,,,,;T T T T T T T μμμαμαμαμαλαμτντνατνατναντανλττνα=+Γ+Γ+Γ+ΓΓ-Γ∴;;,,;()()()T T T T T μμμμαμαμαλααμνττναντατνατλνανλτνττνα-=Γ-Γ+ΓΓ-ΓΓ-Γ-Γ将上式右方第二括号内的指标α↔λ，则有令曲率张量则有;;;()T T R T T μμμαααμνττναντνττνα-=--Γ-Γ对对称联络（无挠联络）： 故有（在无挠空间）可见，在弯曲空间，张量的协变微分的顺序是不能任意交换的（即沿不同方向的微分顺序将导致不同的结果）。

仿此可得对无挠 性质：空间平直的充要条件是曲率张量及挠率张量的所有分量为零。

第二章 黎曼几何在仿射空间中引入度规场和不变距离，就构成了黎曼空间。

§2.1黎曼空间和度规张量 1．黎曼空间设空间中两点的距离为dsμνg ——度规张量——反映空间的性质广义相对论中的任务之一就是要找出不同空间的μνg 欧氏空间：（取直角坐标）——黎曼空间特例∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛=μν100010001g 若取球坐标，ϕ=θ==321x ,x ,r x 闵氏空间：（黎曼空间特例）则 222222dz dy dx dt c ds +++-=2．度规张量μνg 反映空间的性质。

若μνg 为则空间是平坦的，否则是非平坦的，（以上的欧氏空间、闵氏空间均为平坦的）一般黎曼空间是非平坦的。

§2.2张量指标的升降度规张量不仅可以反映空间的性质，而且可以用来升降张量的指标（即将逆变量↔协变量）： 一个矢量的长度可写为§2.3克里斯朵夫（Christoffel ）联络①定义：能保持平移矢量长度不变的对称联络——克氏联络 ②表达式：且有0g ;=λμν——即黎曼空间度规张量的协变微分为零。

局域惯性系广义相对论中所讨论的空间通常都是无挠的黎曼空间（即联络为对称的）定义：在空间任一点P 的邻域内，若其联络0=Γλμν则该领域叫做一个局域惯性系。

∵0g g g g ,;=Γ-Γ-=ανλμααμλανλμνλμν若 0=Γ=Γανλαμλ 则有0g ,=λμν——μνg 为常数——平坦空间可以定义惯性系！定理：对无挠的黎曼空间，若在坐标x μ下P 点的联络为)p (λμνΓ，则总可找到一坐标变换μμ→x ~x ，使得§2.4黎曼空间中的测地线①曲线的固有长度⎰=pp 0ds s ds —为不变距离②测地线 由测地线方程将参量λ用固有长度参量代替，则s 的切矢为 于是测地线方程写为左=βαμαβμΓ+u u dsdu 右=μu )s (f∴ 有 )u u dsdu ()u ()s (f 1βαμαβμ-μΓ+= 又 αμαααμμ==u u dsdx dx du ds du , αμαμαβμαβαμαμ=Γ+=⇒u u u )u u u u (u )s (f ;,注意到 ∴ f(s)=0 ——s 为仿射参量故测地线方程为——黎曼空间的测地线方程§2.5黎曼空间的曲率张量①性质 由于在黎曼空间联络是对称的（克氏联络），故有性质：（i ） ρλνμρλμν-=R R（ii ） 0R R R =++ρνλμρμνλρλμν (iii) ρλνμρλμν-=R R (μν反称) (iv) λρμνρλμν-=R R （λρ,反称）(v)μνρλρλμν=R R （ρλ与μν对称） (vi)0R R R ρλμνρμνλρνλμ++=（λμν反称）②爱因斯坦张量 (i) 里契（Ricci ）张量R R g R g R g R R R λλαλαλαμνμνλαμνλνλαμλνμαμννμ≡===⇒=（对称）(ii) 爱因斯坦张量——里契标量（坐标曲率）§2.6 毕安基恒等式§2.7 李微商李微商——张量场在映射意义下的微商映射——一种对应操作（将空间中一点对应到另一点）设 μμμμεξ+=→x x ~x ——无穷的映射ε——无穷小量，)x (μμξ=ξ——无穷小映射生成元 定义：张量T （x ）的李微商可表示为 式中， )Q P (T ⇒表示在映射下的张量平移；PQ 为空间中映射的对应点①标量场)x (ϕ，定义则 ,,lim lim ()()()00Q P dx x μμξμμϕϕϕϕϕξεεεε-Ω===→→ ②矢量场)x (k μ设 p)d dx ()x (k λ=μμ式中，过P 点的曲线为()x μλ 则映射把()P x μ对应到)x (Q μμεξ+ 则 'dx PPμμ≡定义()x k P Q d μμδλ⇒=则有,,()()()dx dx k P Q k P k P d d μσμμμμασαεξεξλλ⇒=+=+故有,lim lim ()()()()()00k Q k P Q k Q k P k x k μμμμμμαξαξεεεε-⇒-Ω==-→→ 易得：李微商取决于被微商的张量和映射的无穷小生成元，李微商不需要联络。

例：计算度规张量的李微商，并将普通微商改为协变微商§2.8 等度规映射和凯林（Killing ）矢量场若（无穷小）映射使得空间两点（P,Q ）的距离平方不变，即 则这种映射叫做等度规映射，其对应的（无穷小）生成元μξ叫killi ng矢量。

∵ λλμνμνμνεξ+=')p (g )p (g )p (g ,又λμλμμεξ+=δdx dx x , ∴ ,,,()()()()g p x x g g dx dx dx dx μνλμμλνντμνμνμνλλτδδεξεξεξ'=+++又 ()()g p x x g p dx dx μνμνμνμνδδ'= 由νμεdx dx 的任意性，故有 即 0g ξμνΩ= 或 ;;0νμμνξξ+=可见，度规张量的李导数（李微商）为零。

第三章 相对论性的引力理论广义相对论理论是一个协变的引力理论。

它包含两个部分。

一部分是等效原理，它说明有引力场存在的时空构成弯曲的黎曼空间，空间度规起着引力势的作用。

另一部分是爱因斯坦引力场方程，它指明空间度规即引力势对物质分布的依赖关系。

§3-1 引力质量与惯性质量的等同性惯性质量与引力质量 牛二：a m F I =I m --惯性质量, 反映物体保持原有运动状态本领的量度。

牛万： 2g rM Gm F =引g m —引力质量, 反映物体具有引力大小的量度。

☆ 考虑自由落体：g m a m g I = g ——地球重力加速度—伽俐略比萨斜塔实验☆牛顿摆（金，银等）：☆厄阜（s o tv o E &&&&匈牙利中学教师）扭摆： 因此，实验结果支持 g I m m =§3-2 等效原理1908年，爱因斯坦以g I m m =为基础提出等效原理。