2016高考数学一轮复习 8-4 直线 平面垂直的判定与性质课件 新人教A版
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《直线、平面垂直的判定及其性质》新课程高中数学高三一轮复习课件
∴OQ 平面PAE,∴OQ⊥BC.
连接BO并延长交AC于F.
∵PA⊥平面ABC,BF 平面ABC,
∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC, ∴BF⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BF⊥PC.
连接BQ并延长交PC于M,连接MF. ∵Q为△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,
∵AB 平面EAB,∴AB⊥CD.
学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面. 若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰 三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.
举一反三
1. （2010·淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正 方形，DF⊥平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证： GN⊥AC.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直
(1)定义:如果直线 与l 平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平l
面α互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫 做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段, 垂线段的长度叫做点到平面的距离. (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直 线垂直. (3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与 这个平面垂直. (4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂 直于这个平面. (5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
举一反三
2. 如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面 ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求 证:OQ⊥平面PBC.
连接BO并延长交AC于F.
∵PA⊥平面ABC,BF 平面ABC,
∴PA⊥BF.又∵O是△ABC的垂心,∴BF⊥AC, ∴BF⊥平面PAC.
∵PC 平面PAC,∴BF⊥PC.
连接BQ并延长交PC于M,连接MF. ∵Q为△PBC的垂心,∴PC⊥BM.∵BM∩BF=B,
∵AB 平面EAB,∴AB⊥CD.
学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面. 若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰 三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.
举一反三
1. （2010·淮安模拟）如图，在三棱柱BCE-ADF中，四边形ABCD是正 方形，DF⊥平面ABCD，N是AC的中点，G是DF上的一点.求证： GN⊥AC.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直
(1)定义:如果直线 与l 平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平l
面α互相垂直.这条直线叫做平面的垂线,这个平面叫做直线的垂面,交点叫 做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段, 垂线段的长度叫做点到平面的距离. (2)性质:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直 线垂直. (3)判定定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与 这个平面垂直. (4)推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂 直于这个平面. (5)性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
举一反三
2. 如图所示,P是△ABC所在平面外一点,且PA⊥平面 ABC,若O、Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求 证:OQ⊥平面PBC.
高考数学(理)人教A课件85直线平面垂直的判定与性质
(1)已知直线a,b,c;若a⊥b,b⊥c,则a∥c.( × )
(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( × )
(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.
( √ )
(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一
个平面.( × )
(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.
点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③
AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号
是
.
关闭
①因为AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA,所以AE⊥BC,故①正确;②因为
AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB,又AF⊥PB,EF⊂平面AEF,所以
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
思考证明线面垂直的常用方法有哪些?
-12-
考点1
考点2
考点3
证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,
∴PA⊥CD,
又AC⊥CD,且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.∵AE⊂平面PAC,
∴CD⊥AE.
-13-
考点1
考点2
(3)性质:①a∥b,b⊥α⇒a⊥α,②α∥β,a⊥β⇒a⊥α.
(4)α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l⇒l⊥γ.(客观题可用)
2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形
底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直
径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线
段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.
(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( × )
(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.
( √ )
(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一
个平面.( × )
(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.
点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③
AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号
是
.
关闭
①因为AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA,所以AE⊥BC,故①正确;②因为
AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB,又AF⊥PB,EF⊂平面AEF,所以
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
思考证明线面垂直的常用方法有哪些?
-12-
考点1
考点2
考点3
证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,
∴PA⊥CD,
又AC⊥CD,且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.∵AE⊂平面PAC,
∴CD⊥AE.
-13-
考点1
考点2
(3)性质:①a∥b,b⊥α⇒a⊥α,②α∥β,a⊥β⇒a⊥α.
(4)α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l⇒l⊥γ.(客观题可用)
2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形
底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直
径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线
段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.
高考数学第一轮复习 第七篇 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 理 新人教A版
知识(zhī shi)与方 法回顾
技能与规律探究
知识梳理 辨析感悟
探究 一 直线与平面垂直的 判定和性质
探究二 平面与平面垂直的 判定与性质
探究三 平行、垂直关系的 综合问题
探究四 线面角、二面角 的求法
经典题目再现
第一页，共26页。
例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3 例4 训练4
1．直线(zhíxiàn)与平面 垂直
需证线面垂直
而 BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面 BCC1B1， ∴AB⊥平面 BCC1B1，而 B1C⊂平面 BCC1B1，
需证线线垂直
∴AB⊥B1C，而 AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面 ABC1. 需证线面垂直
∴B1C⊥平面 ABC1，而 B1C⊂平面 B1CD，
∴平面 ABC1⊥平面 B1CD.
∴AE⊥平面 PCD. 而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD∵. PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A，∴AB⊥平面 PAD，
而 PD⊂平面 PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
第八页，共26页。
直线与平面垂直的判定和性质
考 点
证明线面垂直的方法：
又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD，
所以 CE∥平面 PAD.
第十四页，共26页。
平行、垂直关系(guān xì)的综 合问题
审题路线
证（2） 因为 E，F 分别为 PB, AB 的中点， (2)证明 AB⊥EF
所以 EF∥PA.又 AB⊥PA,且 EF,PA 共面，⇒证明 AB⊥FG
所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG.
⇒证明 AB⊥平面 EFG
技能与规律探究
知识梳理 辨析感悟
探究 一 直线与平面垂直的 判定和性质
探究二 平面与平面垂直的 判定与性质
探究三 平行、垂直关系的 综合问题
探究四 线面角、二面角 的求法
经典题目再现
第一页，共26页。
例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3 例4 训练4
1．直线(zhíxiàn)与平面 垂直
需证线面垂直
而 BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面 BCC1B1， ∴AB⊥平面 BCC1B1，而 B1C⊂平面 BCC1B1，
需证线线垂直
∴AB⊥B1C，而 AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面 ABC1. 需证线面垂直
∴B1C⊥平面 ABC1，而 B1C⊂平面 B1CD，
∴平面 ABC1⊥平面 B1CD.
∴AE⊥平面 PCD. 而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD∵. PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A，∴AB⊥平面 PAD，
而 PD⊂平面 PAD，
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.
第八页，共26页。
直线与平面垂直的判定和性质
考 点
证明线面垂直的方法：
又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD，
所以 CE∥平面 PAD.
第十四页，共26页。
平行、垂直关系(guān xì)的综 合问题
审题路线
证（2） 因为 E，F 分别为 PB, AB 的中点， (2)证明 AB⊥EF
所以 EF∥PA.又 AB⊥PA,且 EF,PA 共面，⇒证明 AB⊥FG
所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG.
⇒证明 AB⊥平面 EFG
高考数学一轮总复习课件：直线、平面垂直的判定及性质
∵A1C1⊥BB1，A1O⊥BB1，A1C1∩A1O＝A1， ∴BB1⊥平面A1OC1， 又C1O⊂平面A1OC1，∴BB1⊥C1O. 由题可知A1B1＝A1C1＝B1C1＝2 2， 在△A1OB1中，A1O⊥OB1，∠A1B1B＝45°，A1B1＝2 2， ∴A1O＝B1O＝2.
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
在△B1OC1中，∵C1O⊥OB1，B1O＝2，B1C1＝2 2， ∴C1O＝2. ∴OC12＋OA12＝A1C12，∴OC1⊥OA1， ∵BB1⊥C1O，A1O⊥C1O，BB1∩A1O＝O，∴C1O⊥平面 ABB1A1， 又C1O⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1. 【答案】 略
①证明：平面PBD⊥平面PBC； ②求点D到平面PBC的距离．
【解析】 ①证明：如图，因为PD⊥DC，AD⊥DC， 所以二面角P－DC－A的平面角为∠PDA＝90°，则PD⊥平面 ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC. 又在平面四边形ABCD中，BD＝ AB2＋AD2 ＝ 2 2， 过B作BE⊥CD，由题意得，E为CD中点，又D为PA中点， 所以PD＝AD＝CE＝DE＝2， 又DE＝AB， 所以BE＝AD＝2，BC＝ CE2＋BE2＝2 2，所以BC2＋BD2＝DC2， 即BD⊥BC，而PD∩BD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， 故BC⊥平面PBD，因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.
又因为F为AC的中点， 所以OF∥CC1且OF＝12CC1. 因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE＝12CC1. 所以BE∥OF且BE＝OF.
所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE. 因为AB＝CB，F为AC的中点，所以BF⊥AC，所以 OE⊥AC. 因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BF，所以OE⊥AA1. 又AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A， 所以OE⊥平面ACC1A1. 因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.
高考数学一轮复习第八章立体几何第4讲直线平面平行的判定及性质理新人教A版
答案
角度2 用线面平行证明线线平行 例3 如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面 BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.
(1)求证：BC∥EF； (2)求三棱锥B－DEF的体积．
解 (1)证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，则a∥b或a与b异面，故A错误；对于B， 利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；对于C，若 a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错误；对于D，由a ∥α，b∥α，得a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错误．
解析
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
答案 D
解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平 行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.
答案
解析
2．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是 ()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案 B 解析 由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A 错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂ α，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交，故D错误．
(1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． 3利用面面平行的性质定理α∥β，a⊂α⇒a∥β. (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
即时训练 3．(2019·长春一调)如图所示，E 是以 AB 为直径的半圆弧上 异于 A，B 的点，矩形 ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面．
角度2 用线面平行证明线线平行 例3 如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面 BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.
(1)求证：BC∥EF； (2)求三棱锥B－DEF的体积．
解 (1)证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，则a∥b或a与b异面，故A错误；对于B， 利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；对于C，若 a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错误；对于D，由a ∥α，b∥α，得a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错误．
解析
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
答案 D
解析 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平 行，那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β.故选D.
答案
解析
2．已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是 ()
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案 B 解析 由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A 错误；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂ α，故C错误；若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与α相交，故D错误．
(1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)． 3利用面面平行的性质定理α∥β，a⊂α⇒a∥β. (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
即时训练 3．(2019·长春一调)如图所示，E 是以 AB 为直径的半圆弧上 异于 A，B 的点，矩形 ABCD 所在平面垂直于该半圆所在的平面．
高中数学面面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质新人教A版必修
另一个 二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )． A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 解析 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面 HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂 直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二 面角HDGF的大小不确定． 答案 D
法二
在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线，在 β 内作直线 n
垂直于 β 与 γ 的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ. ∴m∥n.又 n⊂β，∴m∥β.又 m⊂α，α∩β＝l， ∴m∥l.∴l⊥γ.
【变式 2】 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC.求证：BC⊥AB.
面面垂直 线面垂直
例4 , a , a , 判断a与 位置关系 α 解：设 l
在α内作直线b⊥l
β l b b 又a a // b b l a
bl
b a // a
答案 2
6．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于 四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平 面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证：AE⊥SB，AG⊥SD. 证明 因为SA⊥平面ABCD， 所以SA⊥BC. 又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB， 又AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE. 因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE. 又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC， 所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.
答：二面角的平面角与其顶点的位置无 任何关系,只与二面角的张角大小有关。
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
当两个半平面重合时,平面角为0 °, 当两个半平面合成一个平面时,平面角为180 °
法二
在 α 内作直线 m 垂直于 α 与 γ 的交线，在 β 内作直线 n
垂直于 β 与 γ 的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ. ∴m∥n.又 n⊂β，∴m∥β.又 m⊂α，α∩β＝l， ∴m∥l.∴l⊥γ.
【变式 2】 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥平面 PBC.求证：BC⊥AB.
面面垂直 线面垂直
例4 , a , a , 判断a与 位置关系 α 解：设 l
在α内作直线b⊥l
β l b b 又a a // b b l a
bl
b a // a
答案 2
6．如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于 四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平 面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证：AE⊥SB，AG⊥SD. 证明 因为SA⊥平面ABCD， 所以SA⊥BC. 又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB， 又AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE. 因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE. 又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC， 所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.
答：二面角的平面角与其顶点的位置无 任何关系,只与二面角的张角大小有关。
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
当两个半平面重合时,平面角为0 °, 当两个半平面合成一个平面时,平面角为180 °
高考数学(人教A版理科)一轮复习课件94第四节直线平面垂直的判定及其性质
【素养立意】 本题要求证的结论是线段BM与EN的大小关系及位置关系,我们可以假定相交, 那么需要找到它们所确定的平面,进而通过已知条件进行逻辑推理论证.
【解析】选B.连接BD,则点N在BD上且为BD中点. 因为直线BM,EN都是平面BED内的直线,且不平行,即直线BM,EN是相交直线.设 正方形ABCD的边长为2a,则由题意可得:DE=2a,DM=a,D2 N= a,D2 B=2 a,根据 余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BD2E=9a2-4 a2cos∠BDE,EN2 DE2+DN2- 2DE·DNcos∠BDE=62 a2-4 a2cos∠BDE,所以BM≠EN.
所以n⊥l.
3.(必修2 P69 探究改编)在△ABC中,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,则图中直角三角 形的个数是________.
【解析】因为∠ABC=90°,故△ABC是直角三角形;因为PA⊥平面ABC,所以 PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面 PAB,所以BC⊥PB,故△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形. 答案:4
4.平面与平面垂直 垂线 交线
5.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的_两__个__半__平__面__所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作 _垂__直__于__棱__的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( ) (2)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. ( ) (3)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( ) (4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α. ( ) (5)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ( ) (6)如果两个平面所成的二面角为90°,则这两个平面垂直.( )
高考数学一轮复习第八章立体几何8.5直线平面垂直的判定与性质课件理新人教A版
必考部分
第八章性质
考纲展示► 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形 的位置关系的简单命题．
考点 1 直线与平面垂直的判定 与性质
直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线 l 与平面 α 内的__任__意__一__条___直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
所以 CE∥DH.
又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD，
所以 CE∥平面 PAD.
证法二：连接 CF.
因为 F 为 AB 的中点，所以 AF＝12AB. 又 CD＝12AB，所以 AF＝CD.
又 AF∥CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形． 因此 CF∥AD.
又 CF⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
∴OE＝ 32，CE＝43. ∴VE－BCD＝13S△CEO·BD ＝13·12OE·CE·BD ＝16× 32×43×2 2＝287.
考点 2 平面与平面垂直的 判定与性质
平面与平面垂直的判定定理与性质定理
垂线
交线
l⊂β l⊥α
α⊥β l⊂β α∩β＝a
l⊥a
定理的应用：注意由平面到空间的思维的变化． (1)已知直线 a，b，c，若 a⊥b，b⊥c，则 a 与 c 的位置关系 为_____平 __行 __、 __相 __交 __或 __异 __面 _________．
两条相交直线
平行
a，b⊂α a∩b＝O
l⊥a l⊥b
a⊥α b⊥α
(1)[教材习题改编]下列命题中不正确的是( A )
A．如果平面 α⊥平面 β，且直线 l∥平面 α，则直线 l⊥
第八章性质
考纲展示► 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形 的位置关系的简单命题．
考点 1 直线与平面垂直的判定 与性质
直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线 l 与平面 α 内的__任__意__一__条___直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
所以 CE∥DH.
又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD，
所以 CE∥平面 PAD.
证法二：连接 CF.
因为 F 为 AB 的中点，所以 AF＝12AB. 又 CD＝12AB，所以 AF＝CD.
又 AF∥CD，所以四边形 AFCD 为平行四边形． 因此 CF∥AD.
又 CF⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
∴OE＝ 32，CE＝43. ∴VE－BCD＝13S△CEO·BD ＝13·12OE·CE·BD ＝16× 32×43×2 2＝287.
考点 2 平面与平面垂直的 判定与性质
平面与平面垂直的判定定理与性质定理
垂线
交线
l⊂β l⊥α
α⊥β l⊂β α∩β＝a
l⊥a
定理的应用：注意由平面到空间的思维的变化． (1)已知直线 a，b，c，若 a⊥b，b⊥c，则 a 与 c 的位置关系 为_____平 __行 __、 __相 __交 __或 __异 __面 _________．
两条相交直线
平行
a，b⊂α a∩b＝O
l⊥a l⊥b
a⊥α b⊥α
(1)[教材习题改编]下列命题中不正确的是( A )
A．如果平面 α⊥平面 β，且直线 l∥平面 α，则直线 l⊥
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解析
根据题意可知平面 A1BD⊥平面
A1ACC1 且两平面的交线是 A1O，所以 过点 P 作交线 A1O 的垂线 PE，则 PE⊥平面 A1BD，所以∠A1OP 或其补 角就是直线 OP 与平面 A1BD 所成的角 α.设正方体的边长 为 2， 则根据图形可知直线 OP 与平面 A1BD 可以垂直． 当 点 P 与点 C1 重合时可得 A1O＝OP＝ 6，A1C1＝2 2，所 1 1 2 2 以 × 6× 6×sin α＝ ×2 2×2，所以 sin α＝ ； 2 2 3
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
规律方法
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面
垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b， a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)； ⑤面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂 直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 解析 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则
平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，
n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
答案 D
4．(2014· 四川卷)如图，在正方体ABCD－
因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.
又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.
(3)解 过点E作EM⊥PD，垂足为M， 连接AM，如图所示． 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面 PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.
答案
45°
考点一
直线与平面垂直的判定与性质
【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD， CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD， ∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本
思想．
【训练 1】 (2014· 山东卷)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，AP⊥平面 PCD，AD∥ 1 BC，AB＝BC＝ AD，E，F 分别为线 2 段 AD，PC 的中点．
求证：(1)AP∥平面BEF； (2)BE⊥平面PAC. 证明 (1)设AC∩BE＝O，
第4讲
最新考纲
直线、平面垂直的判定与性质
1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发
点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判 定定理，并能够证明相关性质定理；2.能运用线面垂直、面
面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简
单命题．
知 识 梳 理
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义 任意 如果一条直线l与平面α内的 _____直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．
(2)平面EFG⊥平面EMN.
证明 (1)法一 取PA的中点H， 连接EH，DH. 因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，
1 且 EH＝ AB. 2 1 又 AB∥CD，CD＝ AB， 2 所以EH∥CD，且EH＝CD.
因此四边形DCEH是平行四边形．
所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD， CE⊄平面PAD， 因此，CE∥平面PAD.
因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC， 所以BE⊥平面PAC.
考点二
平面与平面垂直的判定与性质
【例2】 如图，在四棱锥P－ABCD中， AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，
AB＝2CD，E，F，G，M，N分别
为PB，AB，BC，PD，PC的中点． 求证：(1)CE∥平面PAD；
法二
连接 CF.因为 F 为 AB 的中
1 点，所以 AF＝ AB. 2 1 又 CD ＝ AB ，所以 AF ＝ CD ，又 2 AF∥CD， 所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD. 又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，
所以EF∥PA.
α ⊥β
如果两个平面互 相垂直，则在一 性质 个平面内垂直于 交线 的直 定理 它们_____ 线垂直于另一个 平面 3. 直线与平面所成的角
α ⊥β _____ α ∩β ＝a __________ ⇒l⊥α l ⊥ a ______ l⊂β ______
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐
∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，
∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C， ∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
因此∠AME是二面角APDC的平面角．
由已知，可得∠CAD＝30°. 设AC＝a，可得
2 3 21 2 PA＝a，AD＝ a，PD＝ a，AE＝ a. 3 3 2
在 Rt△ADP 中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA· AD， 2 3 PA·AD a· 3 a 2 7 则 AM＝ ＝ ＝ a. PD 7 21 a 3 AE 14 在 Rt△AEM 中，sin∠AME＝ ＝ . AM 4 所以二面角 APDC 的正弦值为 14 . 4
规律方法
(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直
的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在
一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一 步转化为线线垂直．
【训练2】 (2014· 江苏卷)如图，在三棱
锥P－ABC中，D，E，F分别为棱 PC，AC，AB的中点．已知
A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．
设点P在线段CC1上，直线OP与平面 A1BD所成的角为α，则sin α的取值范 围是
A. C. 3 ，1 3 B.
(
6 ，1 3
)
6 2 2 ， 3 3
2 2 D. ，1 3
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 ( ) × )√
(1)直线l与平面α 内无数条直线都垂直，则l⊥α . (2)若直线a⊥平面α ，直线b∥α ，则直线a与b垂直． (
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直
于另一个平面．
α ⊥β .
(
(
) ×
) ×
又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD. 又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD. (2)因为E，F分别为PB，AB的中点， 所以EF∥PA. 又AB⊥PA，所以AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG. 又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG， 因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点， 所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB. 因此MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN， 所以平面EFG⊥平面EMN.
(2)判定定理与性质定理 文字语言 如果一条直线与一 个平面内的______ 两条相 判定 交直线 都垂直，则 _______ 定理 该直线与此平面垂 直 图形语言 符号语言 l⊥ a ______ ______ l⊥ b a∩b＝O a⊂α ______ b⊂α ______
(4)若平面α 内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则
2．设平面α 与平面β 相交于直线m，直线a在平面α 内，直线b
在平面β 内，且b⊥m，则“α ⊥β ”是“a⊥b”的
( ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A．充分不必要条件 C．充分必要条件 解析
若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个
(2)证明：AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A－PD－C的正弦值． (1)解 在四棱锥P－ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P－ABCD中，
连接 OF，EC.由于 E 为 AD 的中 1 点，AB＝BC＝ AD，AD∥BC， 2
所以AE∥BC，AE＝AB＝BC， 因此四边形ABCE为菱形， 所以O为AC的中点． 又F为PC的中点，因此在△PAC中，可得AP∥OF.
又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC， 所以四边形BCDE为平行四边形， 因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD， 所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.
PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：(1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 证明 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以 DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.