第五章 测量误差的基本知识PPT课件
合集下载
第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
第5章-测量误差的基本知识(091023)
[例6-8]
∴ m A = ± 1.64 = ±1.28(m)
已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测得倾角 α=15°00′00″±30″ 2 ′ m D = [(c o s α ) ⋅ m D ′ ] 2 求：水平距离D 及其中误差 m + [( D ′ ⋅ s in α ) α ] 2 解：1.函数式 D = D′ cos α , ρ 2.全微分 = [(c o s 1 5 o ) ⋅ 0 .0 5 ] 2 dα dD′ = (cos α ) dD′ + ( D′ ⋅ sin α ) o 3 0 ′′ 2 + [(5 0 ⋅ s in 1 5 ) ] ρ ρ 3.化为中误差
四、线性函数 线性函数 Z = K1 X 1 ± K 2 X 2 ± ⋅ ⋅ ⋅ ± K n X n ，则有
mZ = ± K1 m X1 + K 2 m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + K n m X n
2 2 2 2 2 2
[例6-5] 设对某一个三角形观测了其中α、β两 个角，测角中误差分别为mα=±3.5″，mβ =±6.2″， 现按公式γ=180°-α-β求得γ角，试求γ角的中 = 误差mγ。 解：
2 2 2 2 mZ = m X1 + m X 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + m X n
n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观 测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差， 与观测值个数n的平方根成正比，即 m = m n
Z
m读 ≈ ±2mm [例6-4] 已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为 (包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)， 若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n 站所得高差闭合差的容许误差。
第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
第5章 测量误差的基本知识
第5章
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
第5章 测量误差的基本知识NEW
河海大学测绘科学与工程系
偶然误差的四个特性
1.有界性：
在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；
2.集中性：
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
3.对称性：
绝对值相等的正负误差出现的机会相等；
4.抵偿性：
偶然误差的算术平均值趋近于零，即：
lim 1 2 n lim 0
来源：这主要是由于粗心大意或各种干扰引起。如瞄错目标、读错大数，操作错 误、测量环境的异常变化、仪器故障等。 特点：无规律，单个误差具有离群的特征，粗差值大大超过系统误差或偶然误差。
如何处理粗差？ Ⅰ 加强观测者的责任心，培养细致的业务作风 Ⅱ 闭合差检验，剔除孤值 Ⅲ 近代平差中的抗差估计、粗差探测方法等
当观测值真值已知时的中误差计算
--理论上可用标准差来计算
方差：中误差的平方
D
2
lim n
n
lim n
2 n
标准差：
D lim n
n
lim n
2 n
实际测量中，观测个数 n 是有限的，由有限个观测值的偶然误差 求得的标准差的近似值（估值）为中误差，用 m 表示。
m 1 2 2 2 ... n2 2
4.抵偿性：
偶然误差的算术平均值趋近于零，即：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
频率直方图
误差概率分布曲线
直方图
k n
d△
(频率/组距)
k/n(频率)
－△
+△
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 -1.4 -1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0 1.4
偶然误差的四个特性
1.有界性：
在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；
2.集中性：
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
3.对称性：
绝对值相等的正负误差出现的机会相等；
4.抵偿性：
偶然误差的算术平均值趋近于零，即：
lim 1 2 n lim 0
来源：这主要是由于粗心大意或各种干扰引起。如瞄错目标、读错大数，操作错 误、测量环境的异常变化、仪器故障等。 特点：无规律，单个误差具有离群的特征，粗差值大大超过系统误差或偶然误差。
如何处理粗差？ Ⅰ 加强观测者的责任心，培养细致的业务作风 Ⅱ 闭合差检验，剔除孤值 Ⅲ 近代平差中的抗差估计、粗差探测方法等
当观测值真值已知时的中误差计算
--理论上可用标准差来计算
方差：中误差的平方
D
2
lim n
n
lim n
2 n
标准差：
D lim n
n
lim n
2 n
实际测量中，观测个数 n 是有限的，由有限个观测值的偶然误差 求得的标准差的近似值（估值）为中误差，用 m 表示。
m 1 2 2 2 ... n2 2
4.抵偿性：
偶然误差的算术平均值趋近于零，即：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
频率直方图
误差概率分布曲线
直方图
k n
d△
(频率/组距)
k/n(频率)
－△
+△
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 -1.4 -1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0 1.4
第5章 误差基本知识
②仪器构造本身也有一定误差。
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
例如：
水准仪的视准轴与水准轴不平行，则测量结果中含有i 角 误差或交叉误差。
水准尺的分划不均匀，必然产生水准尺的分划误差。
3
2、人的原因
观测者感官鉴别能力有一定的局限性。观测者的习惯 因素、工作态度、技术熟练程度等也会给观测者成果带来 不同程度的影响。
3、外界条件
例如：外界环境如温度、湿度、风力、大气折光等因素 的变化，均使观测结果产生误差。 例如：温度变化使钢尺产生伸缩阳光曝晒使水准气泡偏 移，大气折光使望远镜的瞄准产生偏差，风力过大使仪器安置 不稳定等。 人、仪器和外界环境通常称为观测条件； 观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测。
⑤ 随着 n 的增大，m 将趋近于σ 。
17
必须指出： 同精度观测值对应着同一个误差分布，即对应着同一个标 准差，而标准差的估计值即为中误差。 同精度观测值具有相同的中误差。 例3: 设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了10次 观测，求得每次观测所得的三角形内角和的真误差为
第一组： +3″, -2″, -4″,+2″,0″,-4″,+3″, +2″, -3″, -1″； 第二组： 0″, -1″, -7″,+2″,+1″,+1″,- 8″, 0″, +3″, -1″.
2
n
lim
n
n
13
•
从5-3式可以看出正态分布具有前述的偶然误差特性。即:
1.f(△)是偶函数。即绝对值相等的正误差与负误差求得 的f(△)相等，所以曲线对称于纵轴。这就是偶然误差的第三 特性。 • 2.△愈小，f(△)愈大。当△=0时，f(△)有最大值; 反之， △愈大，f(△)愈小。当n→±∞时，f(△) →0,这就是偶然误 差的第一和第二特性。 • 3.如果求f(△)二阶导数并令其等于零，可以求得曲线拐 点横坐标： △拐=± • 如果求f(△)在区间± 的积分，则误差出现在区间内 的相对次数是某个定值 ，所以当 愈小时，曲线将愈陡峭， 即误差分布比较密集；当 愈大时，曲线将愈平缓，即误差 分布比较分散。由此可见，参数 的值表征了误差扩散的特 征。
测量误差基本知识PPT课件
大量的偶然误差具有统计性，或称之为 具有概率论的规律。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
第五章 测量误差
（2）水准路线高差的中误差
如果在这段水准路线当中一共观测了n站，则总高 差为： 设每站的高差中误差均为m站 ，则 mh = 取3倍中误差为限差，则普通水准路线的容许误差为： m容= 3
2.水平角观测的误差分析
用DJ6经纬仪进行测回法观测水平角，那么用盘左 盘右观测同一方向的中误差为±6” ，即 =±6”。 假设盘左瞄准A点时读数为A左，盘右瞄准A时读数 为A右，那么瞄准A方向一个测回的平均读数应为
求真误差的方差： 由方差的性质可得：
中误差为标准差σ的估计值，而标准差的平方就等 于方差，故
二、线性函数
1、倍数函数 设有函数 Z=Kx 式中 x—直接观测值，其中误差为mx； K—常数 Z—观测值x的函数 若对x作n次同精度观测，其真误差列为 设对应的函数的真误差列为 。 观测值与函数间的真误差关系式为：
三、非线性函数 设有非线性函数 z=f（x1、x2、…、xn） 式中，x1、x2、…、xn为独立观测值，其相应的中
误差分别为m1、m2、…、mn，对其全微分得到
四、误差传播定律的应用 1.水准测量的误差分析
（1）一个测站的高差中误差 每站的高差为：h=a-b；a、b为水准仪在前后水准 尺上的读数，读数的中误差m读，m读≈±3mm，则 每个测站的高差中误差为
二、中误差（均方差）
1.测量工作中，用标准差来衡量观测的精度，我 们称之为中误差，用ｍ表示。 设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立 观测，观测值为:l1,l2,…,ln,其真误差为Δ １,
Δ ２,…,Δ n ,则真误差的方差
式中当ｎ→∞，E(Δ ) ＝ 0 ，根据数学期望的定义 E(Δ 2)就是Δ 2的算术平均值。
将上式平方，得 按上式求和，并除以n，得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
三项又称为观测条件
5.1.2 测量误差分类
1.系统误差 — 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差
处理方法
钢尺尺长误差ld 计算改正
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7
测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：
|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
4、相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
§5.1 测量误差及其分类
◆测量与观测值
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
5.1.1 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） lX
● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l（j 观测值与观测值之差） ● 测量误差的来源
2 平均误差
在相同的观测条件下，一组独立的真误差设为
△1，△2，…，△n，则平均误差的定义式为
lim
(5.5)
• 式中 为真误差的n绝n对值；n为观测次数。
当观测次数为有限时，平均误差的估值为 n
上例两组观测的平均误差为
1425 0432.6
560112.6" 5
我国统一采用中误差作为衡量精度的指标。
3.几个概念: ● 准确度(测量成果与真值的差异） ● 精（密）度（观测值之间的离散程度）
● 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） ● 测量平差（求解最或是值并评定精度）
5.1.3 偶然误差的统计特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
(抵偿性)：
li m 1 2 nli m 0
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
§5.2 衡量精度的指标
5.2.1 精度
所谓精度，是指对某一个量的多次观测 中，其误差分布的密集或离散的程度。
在相同的观测条件下，所测得的一组观 测值，虽然它们的真误差不相等，但都对 应于同一误差分布，故这些观测值彼此是 等精度的。
二 衡量精度的指标
1、中误差（标准差）
方差的定义
设对某一未知量X进行了n次等精度观测， 其观测值为l1, l2，……， ln，相应的真 误差为Δ1,Δ2，……，Δn
Δi = li – X
方差的定义为：Dlim (n )
n
中误差（标准差）
y f() 1 e222
2
y 较小
较
大
上式中， 2 称为方差：
例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
解： K1=—01.00—02 =5—00—10 ； K2= —02.00—02 = —101—000 K2<K1，所以距离S2精度较高。
§5.3 算术平均值及其中误差
▓ 观测值的算术平均值(最或是值) ▓ 用观测值的改正数v计算观测值的 中误差 (即:白塞尔公式)
第五章 测量误差的基本知识
本章共分5节，主要介绍了测量误差 的分类和处理方法、算术平均值和精度评 定的标准、误差传播定律。本章的重点内 容是：误差的定义、分类、特性、影响及 其处理方法，算术平均值原理、最或然误 差及其特性，中误差的定义、用真误差和 最或然误差计算中误差，误差传播定律、 带权平均值及其中误差。
钢尺温度误差lt 计算改正
水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
……
……
● 系统误差可以消除或减弱。
(计算改正、观测方法、仪器检校)
2.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
5.3.1 观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)
对某未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,··· 则该量的算术平均值为：
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
误差分布表
误差分布图
◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出 偶然误差的四个特性： 偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)；
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(单峰性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
( 4 )2 ( 2 )2 0 ( 4 )2 ( 3 )2
m 1
3 .0 5
m 2( 6)2 ( 5 )2 5 0 ( 1 )2 ( 1 )2 3 .5
因为第一组误差较小，故其观测精度较高。
m1=3.0是第一组观测值的中误差； m2=3.5是第二组观测值的中误差。
m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：
表示的 x=
离散程度
2lim 2 1 2 2 2 nli[m 2]
n
n
n n
称为标准差：
lim[2]lim[ ]
n n
n n
例：有两组观测值，各组分别为等精度观测， 它们的真误差分别为 第一组：+4″,-2.0″,0,-4″,+3″; 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″ (各组中真误差个数应大于10)。 由(5.4)得两组的中误差分别为
3、容许误差(极限误差)
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
率为：
P()f()d
1
2
e2m区间内的概率为：
k m
P(km )
1
e2m22d
km 2m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3
三项又称为观测条件
5.1.2 测量误差分类
1.系统误差 — 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差
处理方法
钢尺尺长误差ld 计算改正
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7
测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：
|容|=3|m| 或 |容|=2|m|
4、相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
§5.1 测量误差及其分类
◆测量与观测值
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
5.1.1 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） lX
● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l（j 观测值与观测值之差） ● 测量误差的来源
2 平均误差
在相同的观测条件下，一组独立的真误差设为
△1，△2，…，△n，则平均误差的定义式为
lim
(5.5)
• 式中 为真误差的n绝n对值；n为观测次数。
当观测次数为有限时，平均误差的估值为 n
上例两组观测的平均误差为
1425 0432.6
560112.6" 5
我国统一采用中误差作为衡量精度的指标。
3.几个概念: ● 准确度(测量成果与真值的差异） ● 精（密）度（观测值之间的离散程度）
● 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） ● 测量平差（求解最或是值并评定精度）
5.1.3 偶然误差的统计特性
举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内
角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
(抵偿性)：
li m 1 2 nli m 0
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
§5.2 衡量精度的指标
5.2.1 精度
所谓精度，是指对某一个量的多次观测 中，其误差分布的密集或离散的程度。
在相同的观测条件下，所测得的一组观 测值，虽然它们的真误差不相等，但都对 应于同一误差分布，故这些观测值彼此是 等精度的。
二 衡量精度的指标
1、中误差（标准差）
方差的定义
设对某一未知量X进行了n次等精度观测， 其观测值为l1, l2，……， ln，相应的真 误差为Δ1,Δ2，……，Δn
Δi = li – X
方差的定义为：Dlim (n )
n
中误差（标准差）
y f() 1 e222
2
y 较小
较
大
上式中， 2 称为方差：
例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
解： K1=—01.00—02 =5—00—10 ； K2= —02.00—02 = —101—000 K2<K1，所以距离S2精度较高。
§5.3 算术平均值及其中误差
▓ 观测值的算术平均值(最或是值) ▓ 用观测值的改正数v计算观测值的 中误差 (即:白塞尔公式)
第五章 测量误差的基本知识
本章共分5节，主要介绍了测量误差 的分类和处理方法、算术平均值和精度评 定的标准、误差传播定律。本章的重点内 容是：误差的定义、分类、特性、影响及 其处理方法，算术平均值原理、最或然误 差及其特性，中误差的定义、用真误差和 最或然误差计算中误差，误差传播定律、 带权平均值及其中误差。
钢尺温度误差lt 计算改正
水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距)
经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)
……
……
● 系统误差可以消除或减弱。
(计算改正、观测方法、仪器检校)
2.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
5.3.1 观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)
对某未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,··· 则该量的算术平均值为：
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
误差分布表
误差分布图
◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出 偶然误差的四个特性： 偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)；
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(单峰性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
( 4 )2 ( 2 )2 0 ( 4 )2 ( 3 )2
m 1
3 .0 5
m 2( 6)2 ( 5 )2 5 0 ( 1 )2 ( 1 )2 3 .5
因为第一组误差较小，故其观测精度较高。
m1=3.0是第一组观测值的中误差； m2=3.5是第二组观测值的中误差。
m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：
表示的 x=
离散程度
2lim 2 1 2 2 2 nli[m 2]
n
n
n n
称为标准差：
lim[2]lim[ ]
n n
n n
例：有两组观测值，各组分别为等精度观测， 它们的真误差分别为 第一组：+4″,-2.0″,0,-4″,+3″; 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″ (各组中真误差个数应大于10)。 由(5.4)得两组的中误差分别为
3、容许误差(极限误差)
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
率为：
P()f()d
1
2
e2m区间内的概率为：
k m
P(km )
1
e2m22d
km 2m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3