1812杭二中高三月考数学试卷

杭州二中2018学年第一学期高三年级12月月考数学试题答案与解析选择题部分(共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}，，21|1|≤≤-=-==x x B x y x A 则=B A （）A.{}21|≤x x ＜ B.{}10|≤≤x x C.{}21|≤≤x x D.{}20|≤≤x x （答案提供：杭州黄超）【答案】：C2.已知y x 、都是实数,则“y x ≤”是“y x ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（答案提供：杭州黄超）【答案】：D3.下列函数中,既是偶函数又在区间()∞+，0上单调递增的函数为（）A.1-=x y B.x y 2log = C.x y = D.2x y -=（答案提供：杭州黄超）【答案】：C4.过点(1,3)且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A.012=-+y x B.052=--y x C.072=+-y x D.250x y +-=（答案提供：杭州黄超）【答案】：D5.若y x 、满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤-≥+0220201y x y x 则y x z +=的最大值是（）A.-5 B.1 C.2 D.4（答案提供：杭州黄超）【答案】：D6.函数()x e x f x ln ∙=的大致图象为（）（答案提供：杭州黄超）【答案】：A7.各项都是正数的等比数列{}n a 中,13221a a a 、、成等差数列,则5443a a a a ++的值为（）A.215+ B.215- C.251- D.251215-+或（答案提供：杭州黄超）【答案】：B8.若正实数y x 、满足()，y x y x ln ln 2ln +=+则y x +2取最小值时,=x （）A.5B.3C.2D.1（编辑与解析提供：绍兴徐浙虞）【答案】B【解析】由()ln 2ln ln x y x y +=+可得()20,0x y xy x y +=>>，即211x y+=，故()2122259y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =取相等，代入求得3x =，选B.9.已知21e e 、为不共线的单位向量,()，，R k e k e b ∈+==2143若对任意的向量均有43≥-成立,则向量21e e 、夹角的最大值是（）A.3π B.32π C.43π D.65π（编辑与解析提供：绍兴徐浙虞）【答案】B【解析】因为a b a b -≥- ，又因为4a b -≥ 恒成立，故min 4a b -≥ ，即4a b -≥ ，可求2b ≥ ，即()222232cos 1cos sin 4b k k k θθθ=+⋅+=++≥ ，所以sin 2θ≥，即233ππθ≤≤，选B.10.若方程()xa x a ax x 4422223-=++-有四个不相等的正根,则实数a 的取值范围是（）A.23>a B.22>a C.2322<<a D.2323<<-a （编辑与解析提供：浙江绍兴金春江）【答案】A 【解析】方程32242(2)4x ax a x a x-++=-有四个不相等的正根等价于方程43222(2)440x ax a x ax -++-+=有四个不相等的正根等价于()22222x ax x -+=有四个不相等的正根等价于22x ax -+=，22x ax -+=各有两个正根由22x ax -+=两个正根，可得00a a ∆>⎧⎪⇒>⎨>⎪⎩同理可得22x ax -+=两个正根，可得a >综合可得a >，故选A非选择题部分(共110分)二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.=9log 3_______，若，3log 4=a 则=a 2_______.（答案提供：绍兴魏莹莹）【答案】：212.函数()x x f -=11的定义域为________，值域为__________.（答案提供：绍兴魏莹莹）【答案】：∞（-,1），+∞（0，）13.已知，，R b a ∈复数i a z -=且bi i z +=+11(i 为虚数单位),则=ab _____，=z _____.（答案提供：绍兴魏莹莹）【答案】：6-14.若()()，απαπ+=-sin 32cos 则=αtan _______，=α2tan _______.（答案提供：绍兴魏莹莹）【答案】：13-，34-15.已知关于x 的不等式012<-+mx x 的解集是{}，n x x <<-2|则=+n m _____.（编辑与解析提供：浙江绍兴金春江）【答案】2m n +=【解析】由题意得221n m n -+=-⎧⎨-=-⎩，解得3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2m n +=16.设点P ()y x ，是圆C:012222=+-++y x y x 上任意一点,若a y x y x --+++-212为定值,则实数a 的取值范围为_____________.（编辑与解析提供：春晖中学林国夫）【答案】(,3-∞-【解析】问题等价于：对任意的,x y 满足222210x y x y ++-+=，恒有20x y a --≥，从而()min 2a x y ≤-.由于22222210(1)(1)1x y x y x y ++-+=⇔++-=，则设1cos ,x θ=-+1sin y θ=+，则22cos sin 2132cos sin x y θθθθ-=---=-+-，从而3a ≤-.故实数a的取值范围为(,3-∞--.17.已知()，a x x x f ++=22若函数()()()x f x f f y -=有且有3个零点,则实数a 的取值集合是___________.（编辑与解析提供：春晖中学林国夫）【答案】{0}【解析】设()t f x =，则()()()y f f x f x =-的零点即为()()()f f x f x =的根.设方程()f t t =的根为12,t t ，则()()()f f x f x =的根即为方程12(),()f x t f x t ==的根的和.考虑到()()()f f x f x =的根只有3个，从而12(),()f x t f x t ==的根的个数的情况为2个和1个.不妨设1()f x t =有两个根，2()f x t =只有一个根.则222()20f x t x x a t =⇔++-=只有一个根，从而1x =-为其根，且，故21t a =-又是方程2()0f x x x x a =⇔++=的根，从而2(1)(1)0a a a -+-+=，故20a =，即0a =.综合上述实数a 的取值集合为{0}.三、解答题(本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(本题满分14分)已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>+=200sin πϕωϕω，，A x A x f 的部分图象如图所示:(1)求函数()x f 的解析式；(2)若锐角α满足，58122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-παf 角β满足()135sin =-βα求βsin 的值。

（答案提供：金华林意）【答案】（1）)62sin(2)(π+=x x f ；（2）6563-或653319.(本题满分15分)已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，数列{}n b 的前n 项和，n n S n 52+=满足.1266144b a b a ==，(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设，n n a c 2log =求数列{}n c 前n 项和.n T （答案提供：金华林意）【答案】（1）23)2(-=n n a ，42+=n b n ；（2）232n n T n -=20.(本题满分15分)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是，、、c b a 已知B p C A sin sin sin =+且.412b ac =(1)当145==b p ，时,求c a 、的值；(2)若角B 为锐角,求p 的取值范围。

(编辑与解析：宁波汪灿泉)【答案】2（I ）11,4114a a c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩（II）2p <<【解析】（1）5114,411144a a c a c c ac ⎧=+=⎧⎧⎪=⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎨=⎪⎪⎪==⎩⎩⎪⎩（2）2231cos 3(,2),022220cos 1p B p p p B ⎧=+⎪⇒∈>⇒<<⎨⎪<<⎩21.(本题满分15分)已知数列{}n a 满足，，nn a a a 411111-==+其中.*N n ∈(1)设122-=n n a b 求证:数列{}n b 是等差数列,并求出{}n a 的通项公式；(2)设，14+=n a c n n 数列{}2+n n c c 的前n 项和为，n T 是否存在正整数，m 使得11+<m m n c c T 对于*N n ∈恒成立,若存在,求出m 的最小值；若不存在,请说明理由。

(编辑与解析提供：宁波汪灿泉)【答案】（1）12n n a n+=（2）3（{}1111214222222121212121212(1)141,1,222241111111,2()2(1...)(2)2324211112(1)324121(1)33,4n n n n n n n n nn n n n n n n n m m a b b a a a a a a n b AP a b b n a n c c c T n n n n n n n n n m m T m m c c ++++-=-=-=-=-------+⇒==⇒=⇒====-⇒=-+-++-+++=+---<+++<⇐≥⇒≥*min 4,3m N m ≤-∈⇒=22.(本题满分15分)设函数()()x a x x x f 221ln 2+-+=的两个极值点分别为，、n m 且.R a n m ∈<，(1)求()()n f m f +的取值范围；(2)若，21-+≥e e a 求()()m f n f -的最大值(其中e 为自然对数的底数).(编辑与解析提供：慈溪中学苗孟义)【答案】（1）(,3)-∞-；（2）1122e e-+【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=，依题意，方程2(2)1=0x a x -++有两个不等的正根,m n (其中m n <)．故2(2)40,20,a a ⎧+->⎨+>⎩所以0a >，且2m n a +=+，1mn =.所以22211()()ln ()(2)()[()2](2)()22f m f n mn m n a m n m n mn a m n +=++-++=+--++21(2)132a =-+-<-，故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-．（2）当2a≥时，21(2)2a e e +≥++．若设(1)n t t m =>，则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+==++≥++．于是有11t e t e +≥+，即1()(1)0t e te--≥，得t e ≥.222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=--+-222211111ln ()ln ()ln ()ln ()2222n n n m n n m n m t t m m mn m m n t-=--=-=-=--构造函数11()ln ()2g t t t t=--(其中t e ≥)，则222111(1)()(1)022t g t t tt -'=-+=-<．所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e ≤=-+．故()()f n f m -的最大值是1122e e-+．。