高三理数一轮讲义：4.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(练习版)
江苏版高考数学一轮复习：专题4.5函数y=Asinωx+φ的图象及其应用讲解附答案.doc
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】专题4.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及其应用【考纲解读】内容要求备注A B C基本初等函数Ⅱ（三角函数）、三角恒等变换函数)sin(ϕω+=xAy的图象与性质√1.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．2．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期．3．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题．【直击考点】题组一常识题1．把函数y＝sin x的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4，则原函数的解析式是____________．【解析】将函数y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4的图像向左平移π2个单位长度得y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π2＋π4的图像，即原函数为y＝sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋3π4.3．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．【解析】因为函数图像经过点(0，1)，所以将点(0，1)的坐标代入函数解析式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.又因为|φ|<π2，所以φ＝π6.题组二常错题4．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．5．设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx2cosωx2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是____________．【解析】f (x )＝sinωx2cosωx 2＝12sin ωx ，若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，故ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.6．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m ＝________．【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，得函数图像的对称轴为直线x ＝π8.故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3，即m ＝－1或m ＝－5. 题组三 常考题7． 将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期后，所得图像对应的函数为________．【解析】函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期即π3个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x .8．已知函数f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx 的最小正周期为π，则ω的值是________.【解析】f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，所以T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2.【知识清单】考点1 求三角函数解析式 1．()sin y A x ωϕ=+的有关概念()sin y A x ωϕ=+()0,0A ω>>， [)0,x ∈+∞表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A2T πω=12f T ωπ== x ωϕ+ ϕ2．用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x ϕω-2ϕπωω-+πϕω- 32ϕπωω-+2πϕω-x ωϕ+2π π 32π 2π()sin y A x ωϕ=+ 0A－A3. 由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 4.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 考点2 三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像; 把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y f x ωω=>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像. 2.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用 1. x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. 2．对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．3. )若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.4. ()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 【考点深度剖析】本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1 求三角函数解析式【1-1】已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】π3【1-2】如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||2πϕ≤）与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，74PM =， 则A 的值为 .【答案】14【解析】由题意设(),0Q a 、()0,R a -，()0a >，则,22a a M ⎛⎫-⎪⎝⎭，有两点间距离公式得，【思想方法】1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1) A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2) h 的确定：根据图象的最高点和最低点，即h ＝最高点＋最低点2；(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由2T πω= (0ω>)来确定ω；(4) 求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时,,A h ω已知)或代入图像与直线y h =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【温馨提醒】求ϕ时一般把图像上的一个最值点代入． 考点2 三角函数图象的变换【2-1】函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为________．第（9）题【答案】sin(2)6y x π=-【解析】【2-2】函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ＞0，2||πω<）的图象如图所示，为得到x x g 3sin )(=的图象，则只要将)(x f 的图象向 平移 个单位．【答案】右，【解析】由图知，函数)(x f 的周期32)4125(4πππ=-=T ，1=A ，3=∴ω，)3sin()(ϕ+=∴x x f ， 易求得点)0,12(π在函数)(x f 的图像上，0)123sin(=+⨯∴ϕπ，又2||πω<，4πϕ-=∴， )43sin()(π+=∴x x f ，将函数)43sin()(π+=x x f 的图象向右平移12π个单位长即得x x g 3sin )(=的图象.【思想方法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则即可,值得注意点是,要得到函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到,而不是平行移动ϕ个单位． 考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用 【 3-1】设()()()=sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且对任意实数x 都有()()4f x f π≤，则()f x 的单调减区间是 .【答案】)(],43,4[Z k k k ∈++ππππ【 3-2】若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 . 【答案】35(,]44【解析】∵函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值， ∴35222πππω<≤，∴3544ω<≤. 【思想方法】(1)奇偶性：()k k Z ϕπ=∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；()2k k Z πϕπ=+∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数．(2)周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小周期为2||T πω=. (3)单调性：根据sin y t =和t x ωϕ=+的单调性来研究，由22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈得单调增区间；由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈得单调减区间．(4)对称性：利用sin y x =的对称中心为(,0) k k Z π∈求解，令,x k k Z ωϕπ+=∈，求得x . 利用sin y x =的对称轴为2x k ππ=+ (k Z ∈)求解，令,2x k k Z πωϕπ+=+∈得其对称轴．【温馨提醒】对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调区间.【易错试题常警惕】由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度。
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
/目录
01
目录
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）
（A＞0，ω＞0）
振幅
周期
频率
A
2
T＝
ω
1
ω
f＝ ＝
T 2
相位
初相
ωx＋φ
φ
目录
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找
区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
1.如图，函数y＝ 3tan 2 +
△DEF的面积为
（
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
π
6
的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则
）
解析：A 在y＝ 3tan 2 +
π
6
中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝
π
π
0，解得x＝ － （k∈Z），故E
,0
6
2
12
12
D. −
5π
,0
12
.
A.8π
π
−
2 6
1
图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，则所得函数的最
2
）
B.4π
C.2π
解析：C 所得函数解析式为y＝sin
π
−
6
D.π
，周期为2π.
目录
1
3
4.函数y＝ sin
3
2
1
答案：
2020年高考数学(文)一轮复习专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(讲)(原卷版)
D．
f
(x)
在 (
2
,
)
单调递增
36
考点二 由图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【典例 2】【2019 年高考天津卷】已知函数 f (x) Asin( x )( A 0, 0,| | ) 是奇函数，将
y f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x ．若
的解析式为
（）
A．
f
x
sin
2x
6
C．
f
x
sin
4x
π 6
考点三 三角函数的实际应用
B．
f
x
sin
2x
π 6
D．
f
x
sin
4x
π 6
【典例 3】（河北省衡水市 2019 届调研） 如图，某地夏天从 8～14 时用电量变化曲线近似满足函数 y
D．把
C1
上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 个单位长度，得
2
12
到曲线 C2
【方法技巧】三角函数图象变换的两个要点
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函
常规方法
数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中 只变换其自变量 x，如果 x 的系数不是 1，则需把 x 的系数提取后再确定平移的
高考数学一轮复习： 专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(讲)
专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．把函数y ＝sin x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则原函数的解析式是____________．【解析】将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π4的图像，即原函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.3．已知简谐运动f (x )＝2sin π3x ＋φ|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．【解析】因为函数图像经过点(0，1)，所以将点(0，1)的坐标代入函数解析式可得2sin φ＝1，即sinφ＝12.又因为|φ|<π2，所以φ＝π6.题组二 常错题4．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．5．设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx2cosωx2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是____________．【解析】f (x )＝sinωx2cosωx 2＝12sin ωx ，若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，故ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.6．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m ＝________．【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，得函数图像的对称轴为直线x ＝π8.故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3，即m ＝－1或m ＝－5. 题组三 常考题7． 将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期后，所得图像对应的函数为________．【解析】函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期即π3个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x .8．已知函数f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx 的最小正周期为π，则ω的值是________.【解析】f (x )＝2sin ωx2cosωx2＋cos ωx ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，所以T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2.【知识清单】考点1 求三角函数解析式 1．的有关概念2．用五点法画一个周期内的简图()sin y A x ωϕ=+sin y A x =+用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 由的图象求其函数式：已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 4.利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得. 考点2 三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像; 把函数向右平移个单位，得到函数的图像; 把函数向上平移个单位，得到函数的图像; 把函数向下平移个单位，得到函数的图像. 伸缩变换:把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+A ωϕ,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =()0ϕ>()0ϕ<ϕ()sin y x ϕ=+1ω0ω>()sin y x ωϕ=+A 0A >()sin y A x ωϕ=+()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=+()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=-()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=+()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=-()y f x =1ω()()01y fx ωω=<<()y f x =1ω()()1y f x ωω=>把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像; 把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像. 2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到. 考点3 函数的图像与性质的综合应用 1. 的递增区间是，递减区间是. 2．对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为． 3. )若为偶函数，则有;若为奇函数则有.4. 的最小正周期都是. 【考点深度剖析】()y f x =A ()()1y Af x A =>()y f x =A ()()01y Af x A =<<sin y x =()sin y x ωϕ=+()0ω>x sin y x =()0ϕ>()0ϕ<ϕ1ω0ω>()sin y x ωϕ=+sin y x =1ω0ω>x 0ϕ>0ϕ<ωϕ||()sin y x ωϕ=+sin() y x ωϕ=+sin y x ω=0ϕ>0ϕ<ϕω()sin y A x ωϕ=+x y sin =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈sin()y A x ωφ=+cos()y A x ωφ=+sin )y A x ωϕ=+（()2x k k Z πωϕπ+=+∈x ()x k k Z ωϕπ+=∈()k x k Z πϕω-=∈(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭sin()y A x ωϕ=+()2k k Z πϕπ=+∈()k k Z ϕπ=∈()sin()f x A x ωϕ=+2||T πω=本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1 求三角函数解析式【1-1】已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】π3【1-2】如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点、、满足，，为的中点，， 则的值为 .【答案】14【解析】由题意设、，，则，有两点间距离公式得，()sin()f x A x ωϕ=+0A >0ω>||2πϕ≤P Q R (1,0)P 4PQR π∠=MQR 2PM =A (),0Q a ()0,R a -()0a >,22a a M ⎛⎫-⎪⎝⎭【思想方法】1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝最高点－最低点2；(2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝最高点＋最低点2；(3) 的确定：结合图象，先求出周期，然后由 ()来确定；(4) 求，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为 (即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【温馨提醒】求时一般把图像上的一个最值点代入． 考点2 三角函数图象的变换【2-1】函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为________．()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>A A h h ωT 2T πω=0ω>ωϕ,,A h ωy h =ϕ()sin y A x k ωϕ=++x ϕω-0x ωϕ+=x ϕω=-ϕx 002x k ωϕπ+=+x x ϕ()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><()y f x =6π第（9）题【答案】【解析】【2-2】函数（其中A ＞0，）的图象如图所示，为得到的图象，则只要将的图象向 平移 个单位．【答案】右，【解析】由图知，函数的周期，，，， 易求得点在函数的图像上，，又，， ，将函数的图象向右平移个单位长即得的图象.【思想方法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的变换”的原则即可,值得注意点是,sin(2)6y x π=-)sin()(ϕω+=x A x f 2||πω<x x g 3sin )(=)(xf )(x f 32)4125(4πππ=-=T 1=A 3=∴ω)3sin()(ϕ+=∴x x f )0,12(π)(x f 0)123sin(=+⨯∴ϕπ2||πω<4πϕ-=∴)43sin()(π+=∴x x f )43sin()(π+=x x f 12πx x g 3sin )(=,x y ,x y要得到函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到,而不是平行移动个单位． 考点3 函数的图像与性质的综合应用 【 3-1】设的最小正周期为，且对任意实数都有，则的单调减区间是 .【答案】【 3-2】若函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是 . 【答案】【解析】∵函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值， ∴，∴. 【思想方法】(1)奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．(2)周期性：存在周期性，其最小周期为. (3)单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间． sin() y x ωϕ=+sin y x ω=0ϕ>0ϕ<ϕωϕ()sin y A x ωϕ=+()()()=sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫+++><⎪⎝⎭πx ()()4f x f π≤()f x )(],43,4[Z k k k ∈++ππππ()2sin f x x ω=(0)ω>(0,2)πω35(,]44()2sin f x x ω=(0)ω>(0,2)π35222πππω<≤3544ω<≤()k k Z ϕπ=∈sin()y A x ωϕ=+()2k k Z πϕπ=+∈sin()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+2||T πω=sin y t =t x ωϕ=+22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈(4)对称性：利用的对称中心为求解，令，求得.利用的对称轴为 ()求解，令得其对称轴．【温馨提醒】对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调区间.【易错试题常警惕】由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度。
高三一轮复习题组函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用(有详细答案)
§4.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1． y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2. 如下表所示.3. 函数y1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)这五个点．( × )(2)将y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋π4)．( × )(3)y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π2个单位得到的．( √ ) (4)y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π4－k π)，k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ )(6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )2． 把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 ( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4答案 A解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，x ＝－π2是其图象的一条对称轴方程．3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.5． 已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ (|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为__________． 答案 6，π6解析 由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝12，又|φ|<π2，得φ＝π6；而此函数的最小正周期为T ＝2π÷⎝⎛⎭⎫π3＝6.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维启迪 将f (x )化为一个角的一个三角函数，由周期是π求ω，用五点法作图要找关键点．解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ 解 (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象． 题型二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 思维启迪 (1)根据周期确定ω，据f (0)＝3和|φ|<π2确定φ；(2)由点(0,1)在图象上和|φ|<π2确定φ，再根据“五点作图法”求ω.答案 (1)D (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程． 解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )．题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的应用例3 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x .∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6，∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 思维升华 利用函数的图象确定解析式后，求出y ＝f (x )＋f (x ＋2)，然后化成一个角的一个三角函数形式，利用整体思想(将ωx ＋φ视为一个整体)求函数最值．(1)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s答案 (1)A (2)D解析 (1)∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝π2.∵图象与直线y ＝2的两个交点的横坐标为 x 1、x 2且|x 2－x 1|min ＝π， ∴2πω＝π，ω＝2. (2)T ＝2π2π＝1，∴选D.三角函数图象与性质的综合问题典例：(12分)(2013·山师附中模拟)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期．(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维启迪 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin(x ＋π3)[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[10分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2][11分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]答题模板解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步：构造f (x )＝a 2＋b 2(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)． 第三步：和角公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． 第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．方法与技巧1． 五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2． 由图象确定函数解析式由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点． 3． 对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)． 失误与防范1． 由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，则平移时要把x前面的系数提出来．2． 复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度答案 A解析 y ＝cos(2x ＋π3)＝sin[π2＋(2x ＋π3)]＝sin(2x ＋5π6)．故要得到y ＝sin(2x ＋5π6)＝sin 2(x ＋5π12)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度．2． 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是 ( )A ．[－7π12，5π12]B ．[－7π12，－π12]C ．[－π12，7π12]D ．[－π12，5π12]答案 D解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.3． 将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是 ( )A.π12B.π6C.5π6D.7π12答案 D解析 图象F ′对应的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ， 则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ， 令k ＝1时，φ＝7π12，故选D.4． 设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ( )A.23B.43C.32D ．3答案 C解析 由函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍．又ω>0， ∴2πω·k ＝4π3，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ωmin ＝32. 5． 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是 ( )A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞)B ．(－∞，－92]∪[32，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－32]∪[32，＋∞)答案 D解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知－π3ω≥π2，即ω≤－32.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－32]∪[32，＋∞)．二、填空题6． 已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________________________________________________________. 答案143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0， 得ω＝143.7． 若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于________． 答案 －1或－5解析 依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是当x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，解得m ＝－5或m ＝－1.8． 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃. 答案 20.5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)， x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 三、解答题9． (2013·天津)已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，π2上是减函数．又f (0)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝22，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2. 10．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2.(1)求ω的值和函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，求此时函数f (x )的值域． 解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin(2ωx －π6)－12，由f (x )的周期T ＝2π2ω＝π2，得ω＝2，∴f (x )＝sin(4x －π6)－12，由2k π－π2≤4x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π12＋k π2≤x ≤π6＋k π2(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间是 [－π12＋k π2，π6＋k π2](k ∈Z )． (2)由题意，得cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又∵0<x <π，∴0<x ≤π3，∴－π6<4x －π6≤7π6，∴－12<sin(4x －π6)≤1，∴－1<sin(4x －π6)－12≤12，∴f (x )的值域为(－1，12]．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1. 电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安答案 A解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6， 当t ＝1100秒时，I ＝－5安．2． 函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24答案 A解析 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点(π6，1)，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12. 3． 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________________. 答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 4． 已知函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a (a ∈R ，a 为常数)．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)若函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位后，得到函数g (x )的图象关于y 轴对称，求实数m 的最小值．解 (1)f (x )＝sin(2x ＋π6)＋sin(2x －π6)－cos 2x ＋a＝3sin 2x －cos 2x ＋a ＝2sin(2x －π6)＋a .∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，故所求函数f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．(2)函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位后得g (x )＝2sin[2(x ＋m )－π6]＋a 要使g (x )的图象关于y 轴对称，只需2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )．即m ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以m 的最小值为π3.5． (2012·湖南)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间． 解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， 所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，0在函数图象上， 所以A sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0. 又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝⎛⎭⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .。
高考数学一轮复习 专题4-5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(测)
【2019最新】精选高考数学一轮复习专题4-5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用（测）班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 【山东省2018年普通高校招生（春季）】若由函数的图像变换得到的图像，则可以通过以下两个步骤完成:第一步，把图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得图像沿轴（）A. 向右移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 同左平移个单位【答案】A【解析】分析：根据图像平移“左正右负”以及平移量为确定结果.详解：因为，所以所得图像沿轴向右平移个单位,选A.2.【2018届湖北省5月冲刺】已知函数（，）的部分如图所示，将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D3.【2018届广东省××市考前冲刺演练】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值是（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】分析：首先利用三角函数关系式的平移变换，进一步利用正弦型函数的性质的应用，即可求出结果.详解：函数的图象向左平移个单位长度，得到，由于函数的图象经过点，所以，所以或，解得或，当时，或，由于，所以，故选B.4.【2018届河南省安阳35中核心押题卷一】要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A. 向左平移个周期B. 向右平移个周期C. 向左平移个周期D. 向右平移个周期【答案】D【解析】分析：将两个函数的函数名变为同名，故由诱导公式可得函数，再由，进而可得要得到函数的图像，只需将的图像向右移个单位.再结合的周期为，可得只需将函数的图像向右平移个周期，就可得函数的图像.详解：由诱导公式可得函数， ，所以要得到函数的图像，只需将的图像向右移个单位.因为函数的周期为.所以只需将函数的图像向右平移个周期.故选D.5.将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g( x) 的图象，则 g( x) 的解析式为( )() 2sin +36x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭4πA. B ． () 2sin +134x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭() 2sin 134xg x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．D ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A6.【2018届四川省××市第七中学三诊】将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】分析：根据函数的图象变换规律，求得解析式，再利用正弦函数的单调性列不等式可得的单调递增区间.7.【2018届四川省××市高考模拟试卷（一）】已知函数,函数的最大值是2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于直线对称，则下列判断正确的是( )A. 要得到函数的图象，只需将的图像向左平移个单位B. 时，函数的最小值是-2C. 函数的图象关于直线对称D. 函数在上单调递增【答案】D【解析】分析：由题意，可求的周期，利用周期公式可求，且的图象关于直线对称，，可得，，又，解得，可得解析式利用正弦函数的图象和性质即可判断求解．详解：由题，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，∴函数的周期，又的图象关于直线对称，可得，，解得A.将的图像向左平移个单位，得到，故A错；B. 时，，函数的最小值不等于-2，故B错；C. 函数的图象关于直线即对称，故C错误；故选D．8.【2018届山西省××市三模】已知函数的一个对称中心是，且，要得到函数的图象，可将函数的图像（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】A【解析】分析：结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．详解：∵函数f （x ）=2cos （x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=k π+，k∈Z，故可取φ=﹣，f （x ）=2cos （x ﹣），满足f （1）＞f （3），故可将函数y=2cosx 的图象向右平移个单位，得到f （x ）=2cos （x ﹣）的图象，故选：A ．9．【2018湖北省部分重点中学高三起点】如图是函数y ＝Asin(ωx ＋φ) 在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x(x ∈R)的图象上所有的点A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变【答案】D【解析】由图可知,又,,又，,，所以为了得到这个函数的图象，只需将 的图象上的所有向左平移个长度单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变) 即可. 故选D.10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）()sin()f x A x ωϕ=+0A >0ω>||2πϕ<（A ）的图象关于直线对称()f x 23x π=-（B ）的图象关于点对称()f x 5(,0)12π-（C ）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象2cos 2y x x-2π()f x （D ）若方程在上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是()f x m =[,0]2π-(2,-【答案】D【解析】.又.显然，所以.4(),2312T πππω=-=∴=2,1223πππϕϕ⨯+=∴=2A =()2sin(2)3f x x π=+对（A ），的图象的对称轴方程为，故不关于直线对称，错.()f x ()122k x k Z ππ=+∈23x π=-对（B ），由得，所以的图象的对称中心为，所以不关于点对称，错.23x k ππ+=()26k x k Z ππ=-∈()f x (,0)()26k k Z ππ-∈5(,0)12π-对（C ），函数，将它的图象向左平移个单位得，故错.2cos 2y x x -2sin(2)6x π=-2π52sin[2()]2sin(2)()266y x x f x πππ=+-=+≠ 对（D ），由得，结合函数的图象可知，时，方程在上有两个不相等的实数根，故正确.02x π-≤≤22333x πππ-≤+≤2sin y x =2()33x ππ-≤≤2m -<≤()f x m =[,0]2π-二、填空题：本大题共7小题，共36分．11.【2018届××市西南大学附中第四次月考】已知的部分图象如图所示，则__________．【答案】【解析】分析：根据已知条件求出函数的解析式后，再求值．详解：由题意，，（），∵，∴，，，∴，∴．故答案为．12.【2018届××市人大附中二模】将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若最小正周期为，则__________．【答案】【解析】,右移得到,最小正周期为,故.13.【2018届××市××区二模】将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则__________,__________.【答案】14.【2018届湖南省××市三模】 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则θ=_______.()()sin (0,)2f x A x πωφωφ=+><()f x 512π()g x ()g x ,6πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,2- 【答案】3π【解析】 函数的部分图象如图所示，()()sin (0,)2f x A x πωφωφ=+><则，解得，所以，即，1372,212122T A πππ==-=T π=2w =()()2sin 2f x x φ=+ 当时， ，解得，3x π=2sin 2033f ππφ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3πϕ=所以，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数向右平移个单位后得到函数的通项，()f x 512π()g x 即，()52sin 22cos2123g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦若函数在区间上的值域为，则，所以．()g x ,6πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,2-2,3k k Z πθπ=+∈3πθ= 15.【2018届安徽省××市一模】将函数图像上所有点向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数图像．若，且在上单调递减，则__________．【答案】3【解析】函数图像上所有点向左平移个单位得，再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，因为，所以为一个对称中心，即 = ，因为在上单调递减，所以即16.【2018届××市××区3月一模】函数（）的部分图象如图所示，则__________；函数在区间上的零点为_________． ()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ>><=ω()f x ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】 2712π 17.设函数，给出以下四个论断：()()ππsin (0,)22f x x ωϕωϕ=+>-<< ①它的图象关于直线 对称； ②它的图象关于点 对称；π12x =π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭③它的周期是 ； ④它在区间 上是增函数.ππ,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.【答案】两个正确的命题为（1）①③②④；（2）②③①④.【解析】（1）的证明如下：由③，的周期为 ，则 ()f x π()()2,sin 2f x x ωϕ==+ 由①，的图象关于直线 对称，则()f x π12x =()()ππππππ2π,,sin 21222233k k Z f x x ϕϕϕ⎛⎫⨯+=+∈-<<∴==+ ⎪⎝⎭ 由于,所以的图象关于点对称，即②成立.π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭由于 在上为增函数，即④成立.πππ,020,633x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()f x ∴,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．一半径为4m 的水轮(如图),水轮圆心O 距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P0)开始计时. (1)将点P 距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数；(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过4m.【答案】（1）；（2）在水轮转动的一圈内，有5s 的时间点P 距水面的高度超过4m.()2ππ4sin 20156h t t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：(1)建立适当的平面直角坐标系，利用三角函数的定义得到函数关系式；(2)利用三角函数的性质进行求解.试题解析：（1）建立如图所示的平面直角坐标系． 依题意，如图6πϕ=易知在内所转过的角为，OP st 42π2π6015t t ⨯= 故角是以为始边， 为终边的角，2π156t π-Ox OP故点的纵坐标为，P 2π4sin 156t π⎛⎫-⎪⎝⎭故所求函数关系式为； ()2ππ4sin 20156h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭ （2）令24sin 24156t ππ⎛⎫-+>⎪⎝⎭,2522,61566k t k k Z ππππππ+<-<+∈ ∴在水轮转动的一圈内，有5s 的时间点P 距水面的高度超过4m. 19.【2018届安徽省××市三模】已知函数.(Ⅰ)求函数图象的对称轴方程；(Ⅱ)将函数图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.【答案】(1);(2).【解析】分析：(Ⅰ)利用二倍角的正弦公式、诱导公式以及两角差的正弦公式将函数化为，利用，可解得函数图象的对称轴方程；(Ⅱ)将函数图象向右平移个单位，可得，因为，∴，利用正弦函数的性质结合正弦函数的图象可得函数的值域.详解： (Ⅰ) .令，解得.∴函数图象的对称轴方程为.(Ⅱ)易知.∵，∴，∴，∴，即当时，函数的值域为.20．【2018届四川省××市第七中学模拟】已知函数的最大值为1.()2sin22f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（1）求函数的周期与单调递增区间；()f x（2）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.()f x 6π()g x ()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1）见解析；（2）最大值，最小值.()g x 13-【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数周期公式求周期，根据正弦函数单调性列不等式解单调递增区间；（2）先根据图像平移得解析式，再根据正弦函数图像求在区间上的最大值和最小值.()g x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦试题解析：（1）∵()2sin2sin22f x x x a x x a π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭∴，21a += ∴1a =- 其周期为T π=（2）∵将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，()f x 6π()g x ∴()22sin 212sin 216633g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵，∴0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2252,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴当时， ， 取最大值22233x ππ+=2sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()g x 1 当时， ， 取最小值.23232x ππ+=2sin 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()g x 3- 21．【2018届山东省××市第八中学东校区1月月考】已知函数在上具有单调性，且.()()2cos 22sin 064f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x T（2）将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，()f x 4π()g x 求在上的最大值和最小值.()g x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1) (2) 时， 时， T π=12x π=-min y =4x π=max y =【解析】试题分析：先化简（1）由f （x ）在上具有单调性，可得，结合f ，即可求得值，得到函数解析式，由周期公式求得周期；（2）利用函数的图象平移求得函数的解析式，再由x 的范围求得函数在上的最大值和最小值．()f x 2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23T π≥16π⎛⎫= ⎪⎝⎭ω ()f x ()g x ()g x ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦试题解析：（1）,()3cos 2sin2sin 1cos 2=sin2166222f x x x x x x πππωωωωω⎛⎫⎛⎫=-++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭216x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵，∴，∴，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 136ωππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2,362k k Z ωππππ+=+∈ ∴∵，∴，∴在上单调，∴，即，∴， ，∴，又，∴， ，∴.61k ω=+0ω>()16k k Z >-∈()f x 23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2332T πππ-=≤23T π≥2613k ππ≥+112k ≤11612k -<≤k Z ∈0k =1ω=T π= （2）由（1）知，将的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位，得到的图象，所以,∵，∴，∴，∴当，即时， ，当，即时， .()216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()y f x =4π23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭44x ππ-≤≤222x ππ-≤≤52636x πππ-≤-≤232x ππ-=-12x π=-min y =236x ππ-=4x π=max 2y = 22.【2018届黑龙江省大庆铁人中学高三期中】已知函数f(x)＝sin 2x －cos2x.12(1)求f(x)的周期和最小值；(2)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），再把所得图像上的所有点向上平移个单位，得到函数g(x)的图像，当时，求g(x)的值,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】(1) f(x)的最小正周期为π，最小值为－. (2)22+1,12⎛⎤⎥⎝⎦(2)由条件可知g(x)＝sin （x －）.3π 当时，有x －∈（， ），从而sin （x －）∈,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3π6π23π3π1,12⎛⎤⎥⎝⎦故g(x)在区间上的值域是.,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎤⎥⎝⎦。
2025年高考数学一轮复习-4.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用【课件】
√
解析：选B.函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象，再将 图象上所有点向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.故选B.
2.(2022·高考全国卷甲)将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到曲线 ，若 关于 轴对称，则 的最小值是( )
4.5 函数 <m></m> 的图象及应用
课标要求
考情分析
1.了解 的实际意义，能借助图象理解参数 , , 的意义，了解参数的变化对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
考点考法： 的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是 的图象与性质的综合应用是考查的热点，题型多以选择题为主，难度中等.核心素养：逻辑推理、直观想象、数学建模
【用一用】
1.(2023·河南开封高三阶段练习)已知函数 图象的一条对称轴为直线 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
解析：选B.因为 ,所以 ，解得 ，又 ，所以当 时， 取得最小值3.故选B.
√
2.(2023·北京第五中学通州校区高三阶段练习)若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为___________________.
√
4.已知函数 的部分图象如图所示，则 ___.
2
解析：设 的最小正周期为 ，根据题图可知， ,所以 ，故 .
1.函数 的图象平移的规律为“左加右减，上加下减”.
2.由 到 的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长度.
3.函数 的对称轴由 确定;对称中心由 确定其横坐标.
A. B. C. D.
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高考数学一轮复习： 专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(测)
专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用一、填空题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移_____个单位 【解析】由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可 2. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝3．(·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为【解析】把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为【解析】将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z【解析】根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.【答案】32【解析】观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.8．(·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________． 【答案】 5【解析】由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－12＝ 5.9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.【答案】2210．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 【答案】143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.二、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ) 0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．12．(·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？ 解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60， 又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60.由题设知t ＝0时y ＝10， 将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2，因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)．(2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85，即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。
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第5节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用最新考纲 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知识梳理1.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0 π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ) 0 A0 －A0 2.函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径[微点提醒]1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y＝A sin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D .2，4π，－π33.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为_______________.4.(2019·永州模拟)函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象大致是( )5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π36.(2018·长沙模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.规律方法 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.⎛2π确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·石家庄调研)若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2B.32C.23D.12考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，0(k ∈Z )规律方法 1.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式2.y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12 (2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 多维探究角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值.规律方法 1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求： ①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间；③函数f (x )图象的对称轴和对称中心.[思维升华]1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.2.由图象确定函数解析式解决由函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.[易错防范]1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.3.求函数y＝A sin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝A sin t的值域.逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得用，相辅相成.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98πB.1972πC.1992πD.100π类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32 C.23≤ω≤3 D.32≤ω≤3 类型3 三角函数的对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.评析 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1. (2016·全国Ⅱ卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π32.(2019·洛阳期中)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( ) A.－3π4B.－π4C.π4D.5π43.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3B.4C.5D.64.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( )A.5π24B.7π24C.5π12D.7π12二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.7. (2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.8.已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________________. 三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. ⎛⎫π(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·合肥调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A.－2 B.－1 C.－ 2 D.－ 312.已知函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则f (x 1＋x 2)＝( )A.2B.1C.－1D.－213.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________.14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.。