最优控制 (101)
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最优控制第一章课件 (2)
简单描述
•·
确定目标函数，通常是最小化某个性能指标，如时间、 成本等。
确定一个系统在一维空间中的最优运动路径，使得某个 性能指标达到最优。例如，在生产线上，需要控制机器 的速度以达到最大的生产效率。 定义系统的状态变量和动态方程。
应用最优控制算法，如极值原理、庞特里亚金极大值原 理等，求解最优控制策略。
THANKS
感谢观看
最优控制问题的分类
总结词
最优控制问题可以根据不同的标准进行分类，如线性与非线性、确定性与不确定 性、连续时间与离散时间等。
详细描述
根据系统动态特性的不同，可以分为线性系统和非线性系统；根据是否存在不确 定性，可以分为确定性和不确定性系统；根据时间变量的不同，可以分为连续时 间和离散时间系统。
最优控制问题的数学模型
龙格-库塔方法
一种高阶数值方法，通过构造一 系列的差分方程来逼近最优控制 方程，具有更高的计算精度和稳 定性。
梯度法
梯度法的基本思想是利用目标函数的梯度信息，通过迭代的方式逐步逼近最优解 。在最优控制问题中，梯度法可以用于求解状态和控制变量的最优解。
梯度法的优点是计算简单、收敛速度快，但需要足够好的初始点才能保证收敛到 全局最优解。
最优控制第一章课件
• 引言 • 最优控制的基本概念 • 最优控制的基本原理 • 最优控制的数值解法 • 案例分析
01
引言
主题简介
01
介绍最优控制的基本概念和背景 ，包括其在工程、经济、金融等 领域的应用。
02
简要说明最优控制理论的发展历 程和主要成果。
课程目标
掌握最优控制的基本 原理和方法。
实际应用的最优控制问题
择合适的性能指标和优化 算法。
将最优控制理论应用于实际工程问题中，解决实际生产 和生活中的控制问题。例如，汽车自动驾驶、无人机飞 行控制、机器人路径规划等。 针对具体问题，建立实际系统的数学模型。
•·
确定目标函数，通常是最小化某个性能指标，如时间、 成本等。
确定一个系统在一维空间中的最优运动路径，使得某个 性能指标达到最优。例如，在生产线上，需要控制机器 的速度以达到最大的生产效率。 定义系统的状态变量和动态方程。
应用最优控制算法，如极值原理、庞特里亚金极大值原 理等，求解最优控制策略。
THANKS
感谢观看
最优控制问题的分类
总结词
最优控制问题可以根据不同的标准进行分类，如线性与非线性、确定性与不确定 性、连续时间与离散时间等。
详细描述
根据系统动态特性的不同，可以分为线性系统和非线性系统；根据是否存在不确 定性，可以分为确定性和不确定性系统；根据时间变量的不同，可以分为连续时 间和离散时间系统。
最优控制问题的数学模型
龙格-库塔方法
一种高阶数值方法，通过构造一 系列的差分方程来逼近最优控制 方程，具有更高的计算精度和稳 定性。
梯度法
梯度法的基本思想是利用目标函数的梯度信息，通过迭代的方式逐步逼近最优解 。在最优控制问题中，梯度法可以用于求解状态和控制变量的最优解。
梯度法的优点是计算简单、收敛速度快，但需要足够好的初始点才能保证收敛到 全局最优解。
最优控制第一章课件
• 引言 • 最优控制的基本概念 • 最优控制的基本原理 • 最优控制的数值解法 • 案例分析
01
引言
主题简介
01
介绍最优控制的基本概念和背景 ，包括其在工程、经济、金融等 领域的应用。
02
简要说明最优控制理论的发展历 程和主要成果。
课程目标
掌握最优控制的基本 原理和方法。
实际应用的最优控制问题
择合适的性能指标和优化 算法。
将最优控制理论应用于实际工程问题中，解决实际生产 和生活中的控制问题。例如，汽车自动驾驶、无人机飞 行控制、机器人路径规划等。 针对具体问题，建立实际系统的数学模型。
最优控制理论
智能优化方法
对于越来越多的复杂控制对象，一方面，人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标；另一方面，上述各种优化方法，都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。 近年来，智能式的优化方法得到了重视和发展。 (1)神经网络优化方法 人工神经网络的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在优化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性，提出了Hopfield单层离散模型；Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模型。1986年，Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应，实现了硬件模拟；Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型，并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。 根据神经网络理论，神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点，这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化，网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动，最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数（或增广能量函数）的极小点，优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统，则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。 与一般的数学规划一样，神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点，如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合，减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。 由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题，因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。 (2)遗传算法 遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传，根据“优胜劣汰”原则，使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下，遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的，并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解，避免只得到局部最优解。这样可以为我们提供更多有用的参考信息，以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的，避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展，在控制领域中将发挥越来越大的作用。 目前的研究表明，遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题，具有较大的优势。 (3)模糊优化方法 最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。 自从Bellman和Zadeh在 70年代初期对这一研究作出开创性工作以来，其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。 模糊优化方法与普通优化方法的要求相同，仍然是寻求一个控制方案（即一组设计变量），满足给定的约束条件，并使目标函数为最优值，区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题，模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件，但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件（如几何约束、性能约束和人文约束等）中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类：一类是给出模糊解（fuzzysolution）；另一类是给出一个特定的清晰解（crispsolution）。必须指出，上述解法都是对于模糊线性规划（fuzzylinearprogramming）提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划（fuzzynonlinearprogramming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。 在控制领域中，模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合，通过改进学习算法、遗传算法，按给定优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数
对于越来越多的复杂控制对象，一方面，人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标；另一方面，上述各种优化方法，都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。 近年来，智能式的优化方法得到了重视和发展。 (1)神经网络优化方法 人工神经网络的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在优化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性，提出了Hopfield单层离散模型；Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模型。1986年，Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应，实现了硬件模拟；Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型，并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。 根据神经网络理论，神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点，这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化，网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动，最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数（或增广能量函数）的极小点，优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统，则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。 与一般的数学规划一样，神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点，如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合，减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。 由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题，因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。 (2)遗传算法 遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传，根据“优胜劣汰”原则，使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下，遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的，并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解，避免只得到局部最优解。这样可以为我们提供更多有用的参考信息，以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的，避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展，在控制领域中将发挥越来越大的作用。 目前的研究表明，遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题，具有较大的优势。 (3)模糊优化方法 最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。 自从Bellman和Zadeh在 70年代初期对这一研究作出开创性工作以来，其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。 模糊优化方法与普通优化方法的要求相同，仍然是寻求一个控制方案（即一组设计变量），满足给定的约束条件，并使目标函数为最优值，区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题，模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件，但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件（如几何约束、性能约束和人文约束等）中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类：一类是给出模糊解（fuzzysolution）；另一类是给出一个特定的清晰解（crispsolution）。必须指出，上述解法都是对于模糊线性规划（fuzzylinearprogramming）提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划（fuzzynonlinearprogramming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。 在控制领域中，模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合，通过改进学习算法、遗传算法，按给定优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数
最优控制
四、最优控制在控制领域中的应用
模拟退火算法 1983年,Kirkpatrick与其合作者提出了模拟退火(SA)的方法,它是求解单目标 多变量最优化问题的一项Monte-Caula技术。该法是一种物理过程的人工模 拟,它基于液体结晶或金属的退火过程。液体和金属物体在加热至一定温度 后,它们所有的分子、原子在状态空间D中自由运动。随着温度的下降,这些 分子、原子逐渐停留在不同的状态。当温度降到相当低时,这些分子、原子 则重新以一定的结构排列,形成了一个全部由有序排列的原子构成的晶体结 构。模拟退火法已广泛应用于生产调度、神经网络训练、图像处理等方面。
三、最优控制的研究方法
古典变分法:古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取值常常 三、最优控制的研究方法
古典变分法:
古典变分法是研究泛函求极值的一种数字方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中,控制函数的取 值常常受到封闭性的边界限制,如方向舵只能在2个极限值范围内转动,电动 机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此,古典变分法的应用范 围十分有限。
二、最优控制问题的一般性描述
实际上，终端约束规定了状态空间的一个时变或非时变的集合，此满足终 端约束的状态集合称为目标集M，并可表示为：
M {x(t f ) | x(t f ) Rn , N1[ x(t f ), t f ] 0, N2[ x(t f ), t f ] 0}
为简单起见，有时将上式称为目标集。
三、最优控制的研究方法
极小值原理:
极小值原理是对分析力学中古典变分法的推广,能用于处理由于外力源的 限制而使系统的输入（即控制）作用有约束的问题。极小值原理的突出 优点是可用于控制变量受限制的情况,能给出问题中最优控制所必须满足 的条件。如高夯、汪更生、楼红卫等人论述了多种类型的抛物型方程和 退化拟线性、半线性椭圆方程的极小值原理。
最优控制的应用案例
最优控制的应用案例最优控制（Optimal Control）是一种在经济、工程、物理学和数学等诸多学科领域都很流行的算法和技术，它能通过系统模型与数学方程来分析系统的运动特性及行为，使系统能达到最佳控制状态，以满足特定的目标。
最佳控制技术可以有效地应用于包括信息处理、机器人控制、航天、控制网络、交通管制、供应链管理等领域，帮助企业提高产品质量，改善生产效率。
举一个比较流行的应用案例，航天制导系统的研发，最优控制可以帮助产品开发者们构建最优的制导系统，在考虑到各种条件和影响因子的情况下确定系统出现问题的可能性及解决的最佳方案。
通过将基于时变的力学模型与非线性的边界和动力学建模结合来实现更准确的动态模型，它可以保证航天器的健康运行和有效运行。
最优控制另一个应用案例就是机器人控制，它可以通过数学模型来推断机器人的动作，并让机器人以最快的速度做出正确的反应，以达到最佳的结果，从而提高工作效率。
通过对机器人的各个装载物流控制进行深入分析，最优控制可以给予机器人准确的动作指令，确保它做出正确而有效的操作，帮助机器人达到最佳工作状态。
最优控制广泛应用于交通管理领域，它可以通过模型与数学方程来构建出实时状态及演变趋势，并确保道路交通有效及平稳。
最优控制模型会通过计算最小化交通负载，提高行车路线的灵活性，并加强交通运行的安全性。
通过关注交通流动的非线性特性，将交通流量模型与控制系统相结合，使行车时变得更有序，并且能够自动适应多种情况。
通过最优控制技术，企业可以获得良好的生产结果和高效的安全控制。
此外，最优控制也可以解决供应链管理中的相关难题，以保证物流的有效运营、库存的有效控制、货物的及时交付等，从而确保企业可以顺利地生产和运营，为消费者提供优质的服务和产品。
最优控制特点
切换一次，设切换
2t
时间为ts，则令
0
为了求出ts，必须
首先找出状态在
1
平面上的转移轨线。
0
1
ts
tf
t
t
由 则：
设u=1，则
其中
如图(a)所示，为一组抛物线， 当K=0时经过原点[pos]
X2 s
0
t
p
若u=-1，则
X2 N
o
X1
T u=-1
为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点[NOT]
j =1，2…r
u 最优控制 *(t)是使
为极小，则：
＋１ －１ 不定
u*(t) +1
-1
奇异
t
可见：当 当
时， 时，
有确定值，正常情况 不定， 奇异情况
我们仅研究正常情况
u*(t)写成符号函数sgn{ }形式
则
j =1，2…r
向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}
=-sgn{
}
⑶根据规范方程：
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
一般:对于实际系统
有最优解
有唯一解
最优解
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是
控制向量约束条件: 末端状态：
g：p ×1维函数向量
目标函数：
: 自由
问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态， 目标函数J 为最小
❖ 步骤：应用最小值原理进行问题的求解
最优控制第2章 极小值原理
(1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
x&(t) =
∂H ∂λ
=
f [ x(t), u(t), t]
λ& = − ∂H
∂x
2015-03-24
10
(2) 在最优状态x*和最优控制u*上哈密顿函数取极小值：
H
(
x
*
(t ),
u
*
(t ),
λ*(t),
t)
=
min
u∈U
H[x
*
(t ),
u(t ),
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20
u
*
(t
)
=
⎧ −1, ⎪⎨−0.5λ2
(t
λ2 (t ), | λ2
)> (t)
2 |≤
2
(∗)
⎪⎩ 1, λ2 (t) < −2
由伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 得到：
求解得到：
λ&1(t) = 0, λ&2 (t) = −λ1(t)
λ1(t) = c1, λ2 (t) = −c1t + c2 本例tf自由，因此H函数在最优终端时刻 t*f满足横截条件:
e t −1 H
=
λT
f
(.)
=
λ1(− x1
+
u)
+
λ2 x1
由极小值原理，最优控制应使哈密顿函数取极小值：
H ( x* , u* , λ* , t ) = min H[ x* , u, λ* , t] u∈U
= -m1≤uin≤1{λ1(− x1* + u) + λ2 x1* }
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最优控制
最优控制学院专业班级姓名学号1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
钱学森1954年所着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。
最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
最优控制理论-主要方法解决最优控制问题的主要方法解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。
最优控制的特点、实例..
为了实现快速拦截并尽可能地节省燃料可综合考虑这两种要求取性能指标为除实现拦截外还要使规定的性能指标为最小此即在性能指标a意义下的最优拦截问上面的具体实例可抽象为共同的数学模型其中受控系统数学模型一般可以表示为
最优控制
——与其他控制方法的区别
最优控制
Optimal Control
最优控制是从大量实际问题中提炼出来的，它尤其与 航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。 我国的探月计划： 绕月工程：2007年以前发射人造月球卫星“嫦娥一号” ； 落月工程：2012年发射携带月球车的登月软着陆器； 回月工程：2020年前完成采集月球样品工作。 最优控制问题研究的主要内容是：怎样选择控制规律 才能使控制系统的性能和品质在某种意义下为最优。
“自适应”(Adaptive)最初来源于生物系统，指生物变更自 己的习性以适应新的环境的一种特征。人体的体温、血压等 系统都是典型的自适应系统； 前苏联学者Tsypkin在《学习系统的理论基础》一书中引 用了马克.吐温的一段话来说明自适应：“一只猫在烧热的灶 上烫了一次，这只猫再也不敢在灶上坐了，即使这只灶是冷 的。”说明了自适应过程的机械性； “自适应控制”这个名词出现在20世纪50年代。 “大百科” 中定义：能在系统和环境的信息不完备的情况下改变自身特 性来保持良好工作品质的控制系统，称为自适应控制系统。
自适应系统的原理框图
干扰v(t)
参考输入r(t)
控制器
控制量u(t)
被控对象
输出量y(t)
自适应器
自适应系统主要由控制器、被控对象、自适应器及反馈 控制回路和自适应回路组成。
鲁棒控制 —— 以静制动 最优控制 —— “没有更好只有最好” 自适应控制 —— 以变制变
上面的具体实例可抽象为共同的数学模型，其中受控系统 数学模型一般可以表示为：
最优控制
——与其他控制方法的区别
最优控制
Optimal Control
最优控制是从大量实际问题中提炼出来的，它尤其与 航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。 我国的探月计划： 绕月工程：2007年以前发射人造月球卫星“嫦娥一号” ； 落月工程：2012年发射携带月球车的登月软着陆器； 回月工程：2020年前完成采集月球样品工作。 最优控制问题研究的主要内容是：怎样选择控制规律 才能使控制系统的性能和品质在某种意义下为最优。
“自适应”(Adaptive)最初来源于生物系统，指生物变更自 己的习性以适应新的环境的一种特征。人体的体温、血压等 系统都是典型的自适应系统； 前苏联学者Tsypkin在《学习系统的理论基础》一书中引 用了马克.吐温的一段话来说明自适应：“一只猫在烧热的灶 上烫了一次，这只猫再也不敢在灶上坐了，即使这只灶是冷 的。”说明了自适应过程的机械性； “自适应控制”这个名词出现在20世纪50年代。 “大百科” 中定义：能在系统和环境的信息不完备的情况下改变自身特 性来保持良好工作品质的控制系统，称为自适应控制系统。
自适应系统的原理框图
干扰v(t)
参考输入r(t)
控制器
控制量u(t)
被控对象
输出量y(t)
自适应器
自适应系统主要由控制器、被控对象、自适应器及反馈 控制回路和自适应回路组成。
鲁棒控制 —— 以静制动 最优控制 —— “没有更好只有最好” 自适应控制 —— 以变制变
上面的具体实例可抽象为共同的数学模型，其中受控系统 数学模型一般可以表示为：
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1 n ˆ d j 1 [ k jn j 1 y (t )] r j 1 dt
（5-131）
由此得反馈回路的传递函数
1 ˆ n 1 ˆ ˆ F ( s ) (k nn s k 2 n s k1n ) r
（5-132）
18
2013-11-19
图 5-8 是最优输出调节器系统的结构图，图中采用了拉 普拉斯变换表示法。
[C T (t )Q (t )C (t )]T C T (t )Q T (t )C (t ) C T (t )Q (t )C (t )
(5-108)
C T (t )Q (t )C (t ) 也都是对称的。 即矩阵 C (T f ) FC (T f ) 和
T
6
2013-11-19
若Q(t ) 是半正定的，则对所有y (t ) ， y T (t )Q (t ) y (t ) 0 。 因 此 ， 若 y (t ) C (t ) x (t ) ， 则 对 所 有 C ( t ) x ( t ) ，
根据矩阵C (t ) 的结构形式，输出y (t ) 或是局部地反映状态
x (t ) 的信息，或是完整地反映状态x (t ) 的信息，但无论是哪一
种情形，其先决条件是受控系统应是可观测的，不然的话， 根本无法构成最优控制。
关于线性时不变系统当T f 时的输出调节器问题，参 照控制规律 5-2，可以推出下面的控制规律：
x (t ) A(t ) x (t ) B (t )u (t ) y (t ) C (t ) x (t )
（5-105）
其控制u (t ) 不受约束。假定系统（5-105）完全可观测。寻找 控制u (t ) ，使下列性能指标最小：
1 T 1 Tf T J 2 y (T f ) Fy (T f ) [ y (t )Q (t ) y (t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 2 t0
事实上，状态 x (t ) 在每一瞬间的值，既包含有预示未来 状态所需的全部信息，又包含有确定输出所需的全部信息， 而输出向量则仅仅反映出状态向量各分量的线性组合，它无 法提供为支配未来进程所需的全部信息。 最优控制应是状态x (t ) 的函数。
11
2013-11-19
y 从工程实践上来说，可利用的信息是观测值 (t ) 。
定矩阵，它们都是对称的，则最优控制存在、唯一，且由下 式确定：
u (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) x (t )
(5-112)
2013-11-19
8
其中 n n 对称矩阵 K (t ) 是下列黎卡提矩阵微分方程的解：
K (t ) K (t ) A(t ) AT (t ) K (t ) K (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t ) C T ( t )Q (t )C (t )
ˆ ˆ ˆ k nn n 1 k2n k1n s ( an 1 ) s ( a1 ) s (a0 ) 0 （5-134） r r r
n
可见由于引进了输出调节器，改变了系统极点的分布状况， 从而达到使性能指标（5-130）最小的目的。
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2013-11-19
例
同理可证C T (T f ) FC (T f ) 是半正定的。
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2013-11-19
控制规律 5-3 输出调节器问题的解
已知线性可观测系统
x (t ) A(t ) x (t ) B (t )u (t ) y (t ) C (t ) x (t )
(5-109) (5-110)
和性能指标
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Q 因此，要是我们能证明当矩阵F 和 (t ) 都是半正定时，
矩阵 C T (T f ) FC (T f ) 和 C T (t )Q (t )C (t ) 也都是半正定的，从而 建立起 J1 和J 2 之间的对应关系，那么输出调节器问题也 就转化成等效的状态调节器问题，于是状态调节器问 题的所有研究成果，都可以推广到输出调节器问题中 来。
（5-107）
把 J 2 的表达式（5-107）和 J1 的表达式（5-5）加以比较， 可见它们的结构形式相同，其唯一差别是：在 J1 中的矩阵 F 和 Q (t ) ， 在 J2 中 分 别 换 成 了 C T (T f ) FC (T f ) 和
C T (t )Q (t )C (t ) 。
1 J1 xT (T f ) Fx (T f ) 2 1 Tf T t [ x (t )Q(t ) x(t ) u T (t ) R(t )u (t )]dt 2 0
给定二阶系统的状态方程和输出方程 x1 (0) x10 x1 (t ) x2 (t ) x2 (0) x20 x2 ( t ) u ( t )
（5-106）
R T 其中 F 和 Q (t ) 是半正定矩阵， (t ) 是正定矩阵， 终端时间 f 固
定。
这一问题的物理涵义是： 以较小的控制能量为代价，使输出y (t ) 保持在零值附近。
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把 y (t ) C (t ) x (t ) 代入方程（5-106） ，得
1 J 2 xT (T f )C T (T f ) FC (T f ) x(T f ) 2 1 Tf T t [ x (t )C T (t )Q (t )C (t ) x (t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt 2 0
（5-113）
满足边界条件
K (T f ) C T (T f ) FC (T f )
（5-114）
而最优状态x (t ) 则是下列线性微分方程的解：
x (t ) [ A(t ) B (t ) R 1 (t ) B T (t ) K (t )] x (t )
（5-115）
x (t 0 ) 已知
[C (t ) x (t )]T Q (t )C (t ) x (t ) 0 。
可观测性意味着每一输出y (t ) 是由唯一的状态x(t ) 所
x T (t )C T (t )Q (t )C (t ) x (t ) 0 成 x (t ) ， 产生的， 因而对所有 关系式 C T (t )Q (t )C (t ) 是半正定的。 立，即
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整个系统的闭环传递函数可写成： G (s) ˆ (s) G 1 G (s) F (s) 1 (5-133) ˆ ˆ ˆ k nn n1 k2n k1n n s ( an1 ) s ( a1 ) s ( a0 ) r r r
最优闭环系统的极点是下列n 阶代数方程的根：
( D n a n 1 D n 1 a1 D a0 ) y (t ) u (t )
（5-122）
其传递函数G (s ) 是
y(s) 1 G (s) n u (s) s an 1s n 1 a1s a0
（5-123）
定义状态 x(t ) 的各个分量如下：
ˆ u (t ) R 1 B T Kx (t ) ˆ ˆ ˆ ˆ KA AT K KBR 1 B T K C T QC 0
（5-118） （5-119）
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ˆ 其中 K 是 n n 正定常数矩阵，满足非线性矩阵代数方程：
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此时最优状态x (t ) 是下列线性时不变齐次方程的解：
（5-127） （5-128）
1 0 0 1 0 0 an1 C 1 0 0
a1 a2
（5-129） 并设性能指标是 1 2 J 2 0 [ y (t ) ru 2 (t )]dt 2
（5-130）
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ˆ u (t ) R 1 BT Kx(t )
ˆ ˆ 令 kij 表示矩阵k 的元素，则由控制规律 5-4，可推出最优控制
的表达式：
1 ˆ ˆ ˆ u (t ) [k1n x1 (t ) k 2 n x2 (t ) k nn xn (t )] r 1 n ˆ [ k jn x j (t )] r j 1
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Q 命题 5-5 设系统（5-105）完全可观测，若F 和 (t ) 都是半
正定的，则矩阵 C T (T f ) FC (T f ) 和C T (t )Q (t )C (t ) 也都是半正定 的。
证
因为 F 和Q(t ) 都是对称的，所以
[C T (T f ) FC (T f )]T C T (T f ) F T C (T f ) C T (T f ) FC (T f )
d i 1 xi (t ) i 1 y (t ) dt i 1,2,, n
（5-124）
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则系统（5-122）的状态方程可写成
x1 (t ) 0 x (t ) 0 2 x (t ) a n 0 1 0 a1 0 1 a2 0 x1 (t ) 0 0 x2 (t ) 0 u (t ) an1 xn (t ) 1
ˆ x (t ) [ A BR 1 B T K ] x (t )
（5-120）
且矩阵
ˆ A BR 1 B T K
（5-121）
的特征值具有负实部，即系统是稳定的。
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下面应用控制规律 5-4，来求解单输入单输出系统的输出调 节器问题。
设系统方程是n 阶线性时不变方程
（5-125） 输出方程是
x1 (t ) x (t ) y (t ) 1 0 0 2 x (t ) n