【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时训练：2.3.2 等差数列的前n项和(习题课)

数学·必修5(人教A版)
2．3.2等差数列的前n项和(习题课)
►基础达标
1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()
A．30B．31C．32D．33
解析：中间项为a n＋1.
S奇＝(a1＋a2n＋1)
2·(n＋1)＝(n＋1)a n＋1＝512.
S偶＝a2＋a2n
2·n＝n·a n＋1＝480.
∴a n＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.故选C. 答案：C
2．等差数列{a n}的公差d＝1
2且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为()
A．52.5 B．72.5 C．60 D．85
解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.
解得x＝60，y＝85.故选C.
答案：C
3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3
S6＝1
3，则
S6
S12为()
A.3
10 B.1
3 C.
1
8 D.
1
9
解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，∵S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，∴S9－S6＝3，S12－S9＝4.∴S12＝S3＋(S6
－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.∴S6
S12＝3 10.
答案：A
4．等差数列{a n}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为()
A．a3＋a5B．a2＋2a10C．a20＋d D．a12＋a9
解析：∵S20＝a1＋a20
2×20＝10(a1＋a20)，
∴M＝a1＋a20＝a12＋a9.故选D.
答案：D
5．在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝15，a n＋a n－1＋a n－2＝78，S n ＝155，则n＝________.
解析：(a1＋a2＋a3)＋(a n＋a n－1＋a n－2)
＝3(a1＋a n)＝15＋78，∴a1＋a n＝31.
又S n＝n(a1＋a n)
2＝155，∴
31n
2＝155⇒n＝10.
答案：10
►巩固提高
6．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是()
A．a n＝2n2＋3n－1 B．a n＝n2＋5n－5
C．a n＝2n3－3n2＋3n－1 D．a n＝2n3－n2＋n－2
解析：当n＝1时，a1＝1，排除A、D.当n＝3时，
a 3＝5＋6＋7＋8＋9＝35.
而B 中，a 3＝32＋5×3－5＝19.故选C. 答案：C
7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝100，S 100＝10，则S 110
＝________.
解析：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 成等差数列，又S 1010＝10，S 100100＝110，
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 的公差为－11100
∴S 110110＝S 100
100＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－11100＝－1， ∴S 110＝－110. 答案：－110
8．把正整数以下列方法分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n 表示第n 组中所有各数的和，那么S 21等于( )
A ．1 113
B ．4 641
C ．5 082
D ．53 361
分析：第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．
解析：因为第n 组有n 个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个
数，S 21＝21×211＋21×20
2
×1＝4641，故选B.
答案：B
9．在等差数列{a n }中， 已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d .
解析：⎩⎪⎨⎪⎧
8a 1＋28d ＝48，
12a 1＋66d ＝168
⇒a 1＝－8，d ＝4.
10．(1)已知{a n}的首项a1＝1，a n＋1＝a n＋2n(n∈N*)，求{a n}的通项公式．
(2)已知{a n}中，a n＋1＝
n
n＋2
a n，且a1＝2，求数列{a n}的通项公式．
解析：(1)a n－a n－1＝2(n－1)，
a n－1－a n－2＝2(n－2)，
a n－2－a n－3＝2(n－3)，
…
a3－a2＝2×2，
a2－a1＝2×1.将上述式子相加，可得
a n－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n2－n，所以a n＝n2－n＋1，当n＝1时也成立．
(2)∵a n＋1＝
n
n＋2
a n，
∴a n＋1
a n＝
n
n＋2
，∴
a n
a n－1
＝
n－1
n＋1
，…
∴a n＝a n
a n－1·
a n－1
a n－2
·
a n－2
a n－3
·…·
a3
a2·
a2
a1·a1
＝n－1
n＋1·
n－2
n·
n－3
n－1
·
n－4
n－2
·…·
3
5·
2
4·
1
3·2
＝4
n(n＋1)
(n∈N*)．
1．等差数列的前n项和的性质：
(1)等差数列的依次k项之和，S k，S2k－S k，S3k－S2k，…，组成公差为k2d的等差数列．
(2)数列{a n}是等差数列⇔S n＝an2＋bn(a，b为常数)．
(3)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(a n＋a n＋1)且S偶－S奇＝
nd .S 偶S 奇＝a n ＋1a n
. 若等差数列的项数为2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n 且S 奇－S 偶＝a n ，S 偶S 奇
＝n －1n .
(4)若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 为
等差数列．
2．求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法： (1)由二次函数的最值特征得解．
S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 1－d 2n
＝d 22
12d a n d ⎡
⎤-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
－2
⎛⎫- ⎪⎝⎭1
2d d a 2 ＝d 22
⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦1
1a n 2d －d 2(12
－a 1
d )2 . 由二次函数的最大值、最小值知识及n ∈N *知，当n 取最接近
12－a 1
d 的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)．值得注意的是最接近 12
－a 1
d 的正整数有时是1个，有时是2个． (2)根据项的正负来定．
若a 1＞0，d ＜0，则数列的所有正数项之和最大； 若a 1＜0，d ＞0，则数列的所有负数项之和最小．。