1.3平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质和判定7

已知:如图,E ,E、 5 已知:如图,E、F、G、H分别是 菱形ABCD的各边上的点, ABCD的各边上的点 菱形ABCD的各边上的点, 且AE=CF=CG=AH. A 求证:四边形ABCD ABCD是矩形 求证:四边形ABCD是矩形。 Ｅ1 2 Ｈ 证明:在菱形ABCD ABCD中 证明:在菱形ABCD中, 3 菱形对边平行且相等) AD∥BC,AB=BC(菱形对边平行且相等) =180º B Ｄ ∴∠A+∠B =180º, AE=CF=CG=AH,AB=BC, =CF=CG=AH ∵AE=CF=CG=AH,AB=BC, 4 BE=BF， ∴BE=BF， Ｇ Ｆ 1=∠2,∠3=∠ 等边对等边) ∴∠1=∠2,∠3=∠4(等边对等边) 1+2∠ 2(∠1+∠ ∴2∠1+2∠3= 2(∠1+∠3) C =(180° ∠A)+(180° ∠B)=180° =(180°-∠A)+(180°-∠B)=180° 1+∠ FEH=90° ∴∠1+∠3=90°,即∠FEH=90°, 同理可证:DH=DG,CF=CG, ∴∠EFG= FGH=∠ EFG=∠ ∴∠EFG=∠FGH=∠FEH=90°, 是矩形. ∴四边形ABCD是矩形.
如何证明??? 如何证明???
思路整理
• 如果要证明一个平行四边形是矩形,只要 如果要证明一个平行四边形是矩形, 直角 或者证明___________; 证明有一角是____,或者证明 对角线相等 证明有一角是____,或者证明___________; • 要证明一个四边形是矩形,或者直接证明 要证明一个四边形是矩形, 直角 有三个角是____； 有三个角是____； 平行四边形 再证明它是矩形. 或者先证明它是__________,再证明它是矩形 或者先证明它是__________,再证明它是矩形.
回忆
• 矩形的定义是什么? 矩形的定义是什么? 直角 平行四边形 叫做矩形; 有一个角是____的_________叫做矩形 有一个角是____的_________叫做矩形; • 用矩形的定义,证明一个四边形是矩形, 用矩形的定义,证明一个四边形是矩形, 必须具备两个条件: 必须具备两个条件: 平行四边形 • 1.是__________;2.有一个角是____; 1.是__________;2.有一个角是 直角 有一个角是____; • 书写格式： 书写格式：
1.3平行四边形、 1.3平行四边形、矩形、菱形、 菱形、 平行四边形 正方形的性质和判定 正方形的性质和判定
教学目标
1.复习矩形的定义,会证明矩形的判定定理; 1.复习矩形的定义 会证明矩形的判定定理; 复习矩形的定义, 2.会判定一个图形是矩形; 2.会判定一个图形是矩形 会判定一个图形是矩形;
证明:有三个角是直角的四边形是矩形。 证明:有三个角是直角的四边形是矩形。
已知:如图,在四边形ABCD 已知:如图,在四边形ABCD中, ABCD中 ∠A=∠B=∠C=90º ∠A=∠B=∠C=90º. 求证:四边形ABCD是矩形. ABCD是矩形 求证:四边形ABCD是矩形. 证明: ∠A=∠B=∠C=90º 证明:∵∠A=∠B=∠C=90º. =180º ∴∠A+∠B =180º, D =180º ∠B+∠C =180º, ∴AD∥ ∴AD∥BC,AB∥DC 平行四边形定义), ∴得□ABCD(平行四边形定义), C ∠B=90º ∵∠B=90º, 四边形ABCD是矩形. ABCD是矩形 ∴四边形ABCD是矩形.
(矩形的定义). 矩形的定义).
∟ ∟ ∟
A
∟ ∟
B
证明:对角线相等的平行四边形是矩形。 证明:对角线相等的平行四边形是矩形。
已知:如图, 已知:如图,在□ABCD中,AC=BD.
A
O
D
求证: 求证:四边形ABCD是矩形. 是矩形. 证明: 证明:在□ABCD中,
AB=CD(平行四边形对边相等), 平行四边形对边相等) B C ABC与 DCB中 在△ABC与△DCB中, 已证) AB=CD(已证), 已知) AC=BD(已知), ∴2∠ABC=180º, ∠ABC=180º 公共边) BC=CB（公共边)， ABC=90º 即∠ABC=90º, ABC≌△DCB(SSS) ∴△ABC≌△DCB(SSS) ∵□ABCD中,∠ABC=90º ∴∠ABC=∠DCB ∠ 全等三角形对应角相等). (全等三角形对应角相等). 是矩形. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB∥CD, 矩形的定义). (矩形的定义). ∠ABC+∠DCB=180º ∴∠ABC+∠DCB=180º,
D C
∵在□ABCD中,∠A=90º, ABCD中 ∴四边形ABCD是矩形. 四边形ABCD是矩形. ABCD是矩形
A
B
矩形还有哪些判定方法? 矩形还有哪些判定方法?
相等 1.对角线_____的____________是矩形 1.对角线_____的____________是矩形; 对角线_____ 平行四边形 是矩形; 3 个角是_____角的________是矩形. 四边形 直角 2.有____个角是_____角的________是矩形 2.有____个角是_____角的________是矩形.Ａ Nhomakorabea Ｂ Ｃ Ｄ
小结
直角 • 有一个角是____的__________叫做矩形; 有一个角是____ __________叫做矩形 ____的 平行四边形 叫做矩形; 四边形 • 有___个角是____ 角的______形是矩形; ___个角是 直角 角的______形是矩形; ______形是矩形 3 个角是____ 相等 • 对角线_____的_______是矩形; 对角线_____ _______是矩形 _____的 四边形 是矩形; • 如果要证明一个平行四边形是矩形, 如果要证明一个平行四边形是矩形, 直角 只要证明有一角是____, 只要证明有一角是____, 对角线相等 或者证明_________; 或者证明_________; • 要证明一个四边形是矩形, 要证明一个四边形是矩形, 直角 可直接证明有三个角是____, 可直接证明有三个角是____, 或者先证明它是________,再证明它是矩形. ________,再证明它是矩形 或者先证明它是平行四边形 再证明它是矩形. ________,
3.已知:平行四边形ABCD中,对角线 已知:平行四边形ABCD ABCD中
AC、BD相交于点Ｏ AC、BD相交于点Ｏ,点Ｐ是四边形 相交于点 外一点, PA⊥PC,PB⊥PD,垂足为 垂足为Ｐ 外一点,且PA⊥PC,PB⊥PD,垂足为Ｐ. 求证:四边形ABCD ABCD为矩形 求证:四边形ABCD为矩形 Ｐ
四、挑战自我
１.已知:平行四边形的对角线相交于点Ｏ, 已知:平行四边形的对角线相交于点Ｏ 分别添加下列条件： 分别添加下列条件： (1)∠ABC＝90º (1)∠ABC＝90º ;(2)AC⊥BD; (3)AB=BC; (4)AC平分 平分∠ (4)AC平分∠BAD;(5)AO=DO. 能使四边形ABCD ABCD为矩形的条件的序号 能使四边形ABCD为矩形的条件的序号 为＿＿＿＿．
A
O
D
O C
B
A
Ｅ
２.已知:如图,矩形的对角线ABCD的对角线ＡＣ、 已知:如图,矩形的对角线ABCD的对角线ＡＣ、 ABCD的对角线 ＢＤ相交于点 相交于点Ｏ Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别 ＢＤ相交于点Ｏ,点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别 ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、ＯＤ上 在ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、ＯＤ上, ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ. 且ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ. 求证:四边形ＥＦＧＨ ＥＦＧＨ是矩形 求证:四边形ＥＦＧＨ是矩形 证明: 矩形中, 证明:∵在矩形中, 矩形的对角线相等), AC=BD(矩形的对角线相等), Ｄ
Ｏ Ｆ Ｈ Ｇ
OA=OC
1 1 =－AC=— =－AC=—BD=OB=OD， 2 2 矩形的对角线互相平分) (矩形的对角线互相平分)
Ｂ
OB=OC ∴OA=OB=OC=OD， OA=OB=OC=OD Ｃ ∵AE=BF=CG=DH, OE=OF=OG=OH OF=OG ∴OE=OF=OG=OH， 即:OE+OG=OF+OH， :OE+OG=OF+OH OE=OG,OF=OH, ∴EG=FH,且OE=OG,OF=OH, 是矩形. ∴四边形EFGH是矩形.