第二学期东莞一中高二文科数学周测试题(10)
广东省东莞市-度高二数学第二学期期末考试文科试卷
东莞市2008-2009学年度第二学期期末考试高二文科数学试题本试卷共4页，共20小题，满分为150分。
考试用时120分钟。
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分）1、已知全集{1,2,3,4,5}{2,3,4},{1,2}U A B ===且，则U A C B ⋂等于 （ ） A 、{2} B 、{5} C 、{3,4} D 、{2,3,4,5 2. 25sin()6π的值等于 （ ） A.21B. 21-C.23 D. 23-3、设a R ∈，则1a >是11a<的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．函数3(1,2)y x =2+2x -x 在点处的切线方程是 （ ） A ．640x y +-= B ．640x y --=C ．680x y --=D ．680x y -+= 5、已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题 的是 （ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝6、0.80.7log a =,0.91.1log b =,0.91.1c =,那么 （ ）A 、a b c <<B 、a c b <<C 、b a c <<D 、c a b <<7．函数3()2f x x ax =+-在区间[1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．[3,)-+∞C ．(3,)-+∞D ．(,3)-∞-8．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图所示，则()y f x =的图像最有可能 的是 （ ）9. 01lg =-xx 有解的区域是 （ ）(A)(0,1](B)(1,10](C)(10,100](D)(100,)+∞10．如图，直线l 和圆C ，当l 从l 开始在平面上绕点P 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是( )二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11、命题P:,x R ∀∈x x ≥2的否定是 .12、函数xex f -=11)(的定义域是 .13、设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥，若()3f x =，则x = 。
广东省东莞市东莞中学2024-2025学年高二上学期第一次段考(10月)数学试卷
广东省东莞市东莞中学2024-2025学年高二上学期第一次段考（10月）数学试卷一、单选题1．直线1x =的倾斜角等于（ ） A ．0B ．π4C ．π2D ．3π42．已知点G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA PB PC PD +++=u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．PG u u u rB ．2PG u u u rC ．3PG u u u rD ．4PG u u u r3．已知()2,1,3a =-r ，()4,,2b y =-r ，且()a ab ⊥+rr r ，则y 的值为（ ）A ．6B ．10C ．12D ．144．已知变量t ∈R ，对于每一个t 的取值，由3214x ty t =+⎧⎨=+⎩确定的点(),P x y 都在直线l 上，则直线l 的方向向量可以是（ ） A ．()3,2B ．()1,4C ．()3,4D ．()1,25．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r，点M 在OA 上，且23OM OA =u u u u r u u u r ，点N 为BC 中点，则MN u u u u r等于（ ）A ．111222a b c +-r r rB ．211322a b c -++r r rC ．221332a b c +-r r rD ．221332a b c -+-r r r6．已知直线1l ：()1y kx k R =+∈，直线2l ：10x y -+=，则直线1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．平行B ．相交C ．重合D ．相交或重合7．已知点(),3,5A a -，()0,,2B b ，()2,7,1C -，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的值分别是（ ） A ．2-，3B ．1-，2C ．1，3D ．2-，28．若直线1l ：240x y +-=与直线2l ：210kx y k -++=的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,26⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．直线10x y ++=在y 轴上的截距是1B ．直线()20mx y m m +++=∈R 恒过定点()1,2--C ．点()0,0关于直线10x y --=对称的点为()1,1-D ．过点()1,2且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为30x y +-=10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E F G M N 、、、、均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）A ．P 在BC 中点时，平面PEF ⊥平面GMNB ．异面直线EF GN 、所成角的余弦值为14C ．E F G M N 、、、、在同一个球面上D ．111112A P t A A A M t A B =+-u u u r u u u r u u u u r u u u u r ，则P 11．一般称具有某性质的所有直线的全体为一个直线系.例如，与直线y x =平行的直线系可表示为L ：()0y x b b =+≠.设直线系L ：()()4cos sin 102πx y θθθ--=≤≤，则（ ）A ．点()4,0Q 到L 中任意一条直线的距离为定值B ．存在定点P 不在L 中任意一条直线上C ．点()1,4M 到L 中所有直线距离的最大值为5D ．对任意的整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在L 中的直线上三、填空题12．若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F= 13．已知向量(9,8,5)a =r ，(2,1,1)b =--r ，则向量a r在向量b r 上的投影向量的坐标是．14．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将ABE V 沿直线AE 翻折成1AB E △，1B 与B ，F 不重合，连结1B D ，则在翻折过程中，1B D 与平面1BFB 所成角的正切值的取值范围为.四、解答题15．已知直线1l ：2320x y +-=，2l ：()2110mx m y +-+=，其中m 为实数. (1)当12l l ∥时，求直线1l ，2l 之间的距离；(2)当1m =时，求过直线1l ，2l 的交点，且垂直于直线240x y -+=的直线方程. 16．已知点()2,4A ，()4,2B ，直线l 的方程为：210x y -+=． (1)求直线l 关于点A 对称的直线m 的方程；(2)求经过,A B 两点，且圆心在直线l 上的圆的标准方程．17．三棱台111ABC A B C -中，1112,,AB A B AB BC AC BB =⊥⊥，平面11AA B B ⊥平面ABC ，13,2,1,2AB BC BB AE EB ====u u u r u u u r，1AC 与1AC 交于D ．(1)证明：DE ∥平面11A BC ； (2)求异面直线11AC 与DE 的距离．18．如图，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且2CD BD =，E 为边AB 的中点.S 是平面ABC 外的一点，且有()()20SA SB SC AB AC SC +⋅=+⋅=u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.(1)证明：SC SD ⊥；(2)已知1DE =，SD =3SE =，直线BC 与平面SDE . （i ）求SDE V 的面积； （ii ）求三棱锥S ABC -的体积.19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(,,)u a b c =r ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u r为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u r为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．(1)若平面1:210x y α+-=，平面1:210y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值； (3)若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S，求几何体S的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．。
广东省东莞市第二高级中学高二数学文月考试卷含解析
广东省东莞市第二高级中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.C．28D．6参考答案：D略2. △ abc 的三个内角∠ a ，∠ b ，∠ c 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin a sin b + b cos 2 a ＝，则＝( )．a． b． c． d．参考答案：D由余弦定理可求得，再由正弦定理得.3. 已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AG：GD=2:1，若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的中心为M，四面体内部一点O到各面的距离都相等，则AO：OM=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C4. 若点P( x，y )的坐标适合方程arcsin x = arccos y，则点P组成的图形是（）（A）一个圆（B）四分之三个圆（C）半个圆（D）四分之一个圆参考答案：D5. 某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛．该项目只设置一等奖一个，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A．甲B．乙C．丙D．丁参考答案：D1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.6. 点M ( x 0，y0 )是圆x2 + y 2 = r 2内圆心以外的一点，则直线x 0 x + y0 y = r 2与该圆的位置关系是（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交参考答案：C7. 设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．【解答】解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B8. 二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()参考答案：A略9. 设向量a ，b满足|a|=|b|=1，且a ，b的夹角为120°，则|a+2b|=（）A. B. C. D.参考答案：B10. 函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则 ( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某校高二（13）班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：组别第一组则全班学生的平均成绩是，标准差是。
广东省东莞市高二下学期数学期末考试试卷(文科)
广东省东莞市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·吉林期中) 函数y=x3﹣的导数是（）A . y′=3x2﹣B . y′=3x2﹣C . y′=3x2+D . y′=3x2+2. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知复数，则下列结论正确的是（）A . 的虚部为iB .C . 为纯虚数D .3. （2分）“因对数函数y=logax是增函数（大前提），而是对数函数（小前提），所以是增函数（结论）．”上面推理错误的是（）A . 大前提错导致结论错B . 小前提错导致结论错C . 推理形式错导致结论错D . 大前提和小前提都错导致结论错4. （2分）已知曲线，则曲线在点P(2,4)处的切线方程为（）A . 4x+y-12=0B . 4x-y-4=0C . 2x+y-8=0D . 2x-y=05. （2分）已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题：①若,,则；②若,,且,则；③若,,则；④若,,且,则．其中正确命题的序号是（）A . ①④B . ②③C . ②④D . ①③6. （2分）某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二下·长春月考) 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（）A . 35B . 48C . 63D . 808. （2分） (2018高二下·石家庄期末) 设，则，，（）A . 都不大于2B . 都不小于2C . 至少有一个不大于2D . 至少有一个大于29. （2分） (2018高一下·龙岩期末) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，与古老的“辗转相除法”实质是一样的.如图的算法语句即表示“辗转相除法”，若输入时，输出的（）A . 21B . 28C . 7D . 410. （2分） (2015高二下·咸阳期中) i是虚数单位，若 =a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A . ﹣15B . ﹣3C . 3D . 1511. （2分）(2019·深圳模拟) 若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（）A . 6B . 7C . 8D . 912. （2分）若函数的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间单调递增的是（）A . (-2,0)B . (0,1)C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高二上·寿光月考) 过点且与曲线在点处的切线垂直的直线方程为________．14. （1分） (2018高二下·聊城期中) ________15. （2分） (2016高二上·温州期末) 所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S﹣ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2 ，则正三棱锥S﹣ABC 的体积为________，其外接球的表面积为________．16. （1分） (2017高二下·如皋期末) 已知函数f（x）= ax3﹣x2+x在区间（0，2）上是单调增函数，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分）(2018高二下·河南月考)（1）已知，用分析法证明：；（2）若，用反证法证明：函数无零点.18. （15分） (2015高三上·潮州期末) 户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动合计男性5女性10合计50已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由；（3）经进一步调查发现，在喜欢户外运动的10名女性员工中，有4人还喜欢瑜伽．若从喜欢户外运动的10位女性员工中任选3人，记ξ表示抽到喜欢瑜伽的人数，求ξ的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：，其中n=a+b+c+d）19. （10分）(2018·武邑模拟) 已知函数（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有两个极值点x1、x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3-4ln2．20. （10分） (2017高二下·乾安期末) 某厂需要确定加工某大型零件所花费的时间，连续4天做了4次统计，得到的数据如下：零件的个数（个）2345加工的时间（小时） 2.534 5.5参考公式：两个具有线性关系的变量的一组数据：，其回归方程为，其中（1）在直角坐标系中画出以上数据的散点图，求出关于的回归方程，并在坐标系中画出回归直线；（2）试预测加工10个零件需要多少时间？21. （15分）(2017·南通模拟) 已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．22. （10分） (2019高三上·新疆月考) . （1）当时，，求范围.（2）若有两个极值点，且，求范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
广东省东莞市2023-2024学年高二下学期7月期末考试-数学含解析
2023—2024学年度第二学期教学质量检查高二数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知函数()sin cos f x x x=，则()f x 的导函数为（）A.()22sin cos f x x x=-' B.()22cos sin f x x x =-'C.()1f x '= D.()1f x '=-2.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(3)4(1)P X P X <=<，则(23)P X <<=（）A.35B.23C.310D.133.两个相关变量,x y 满足如下关系：x23456y25●465865根据表格已得经验回归方程为10.2 5.2ˆyx =+.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（）A.35.5B.36C.36.5D.374.在区间(0,1)上，若()1f x '>，则下列四个图中，能表示函数()y f x =的图像的是（）A. B.C. D.5.某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（）A.316种B.360种C.216种D.288种6.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X 为取出球的总数，则4X =的概率为（）A.514B.57 C.542D.5217.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（）A.34B.57C.1320D.13218.已知实数,,x y z 满足e ln e y x x y =且1e ln e zx z x=，若01y <<，则（）A.x y z >>B.x z y>>C.y z x>> D.y x z>>二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.变量x 与y 的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线1L 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定第二个点B 为离群点（对应残差过大），把点B 对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r ，决定系数为22R ，则以下结论正确的是（）A.12r r <B.2212R R >C.12ˆˆb b < D.12ˆˆaa <10.已知函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠在1x =处取到极大值1，则以下结论正确的是（）A.320a b c ++=B.21d a b =++C.3b a<- D.3b a>-11.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且712(),(),()1223P A P B P A B ==+=，则（）A.()14P AB =B.()512P AB =C.1(|)2P A B =D.4(|)7P B A =三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80，则=a ___________.13.若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有x 个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件A ，若()12P A ≥，则整数x 的最小值为__________.14.若直线y kx m =+是曲线e 2x y =-的切线，也是曲线1e x y -=的切线，则m =__________.四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16､17题各15分，第18､19题各17分，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.已知函数()sin xf x ax=的图象在点()π,0处的切线方程是ππ0x y +-=.（1）求实数a 的值；（2）若0x >，求证：()1f x <.16.某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？性别经常体育锻炼与否合计经常体育锻炼不经常体育锻炼男女合计（2）从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②临界值表α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82817.某企业生产一种热销产品，产品日产量为()1x x ≥吨，日销售额为y 万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量()1,2,..,5i x i =（单位：吨）和日销售额()1,2,,5i y i =⋯（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：51ii x =∑51=∑ii y 51ii u =∑()521ii x x =-∑()521ii yy =-∑()521ii u u =-∑()()51iii x x y y =--∑()()51ii i uu y y =--∑15734.810161.2 1.63915.9其中，ln (1,2,,5),,,i i u x i x y u ==⋯分别为数据(),,1,2,,5i i i x y u i =⋯的平均数.（1）请从样本相关系数的角度，判断ˆˆˆy bx a =+与ˆˆˆln y d x c =+哪一个模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系？（2）根据（1）的结果解决下列问题：（i ）建立y 关于x 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；（ii ）如果日产量x （单位：吨）与日生产总成本()c x （单位：万元）满足关系()132c x x =+，根据（i ）中建立的经验回归方程估计日产量x 为何值时，日利润()r x 最大？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑②经验回归方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑.16,25≈≈.18.已知函数()ln f x x =.（1）若()()()11a x g x f x x -=-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若01x <<，求证：()11ex f x x x +>-.19.设集合{}()*1,2,3,,,A n n B A =∈⊆N ，且B ≠∅，记集合B 中的最小元素和最大元素分别为随机变量,X Y .（1）若3X ≥的概率为731，求n ；（2）若20n =，求8X =且18Y =的概率；（3）记随机变量2X Y Z +=，证明：()12n E Z +=.2023—2024学年度第二学期教学质量检查高二数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知函数()sin cos f x x x=，则()f x 的导函数为（）A.()22sin cos f x x x =-' B.()22cos sin f x x x =-'C.()1f x '= D.()1f x '=-【答案】B 【解析】【分析】根据导数四则运算的乘法法则求导即可.【详解】由()sin cos f x x x =可得()()()22sin cos sin cos cos sin f x x x x x x x '''=+=-，即()22cos sin f x x x =-'.故选：B2.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(3)4(1)PX P X <=<，则(23)P X <<=（）A.35B.23C.310D.13【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布对称性得出概率.【详解】因为()()34,1P X P X <=<所以()()()()341,331P X P X P X P X <=<<+≥=,又因为正态分布的对称轴为2，所以()()31P X P X ≥=<,所以()()()14111,1,5P X P X P X <+<=<=所以()()()11132312122510P X P X P X <<=<<=-<=-=.故选：C.3.两个相关变量,x y 满足如下关系：x23456y25●465865根据表格已得经验回归方程为10.2 5.2ˆyx =+.若表格中有一数据模糊不清，则推算该数据是（）A.35.5B.36C.36.5D.37【答案】B 【解析】【分析】应用回归直线过样本中心点代入求参即可.【详解】因为2345645x ++++==，代入10.24 5.2ˆ46y=⨯+=,所以()4652546586536⨯-+++=.故选：B.4.在区间(0,1)上，若()1f x '>，则下列四个图中，能表示函数()y f x =的图像的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断.【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间(0,1)上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD 不合题意，对A 选项，函数在(0,0)处的切线斜率等于1，且在(0,1)上，切线斜率不断增大，则()1f x '>恒成立，故A 正确.故选：A.5.某中学推出了篮球､足球､排球､羽毛球､乒乓球共5门球类体育选修课供同学们选择，其中羽毛球火爆，只剩下一个名额，其余4门球类课程名额充足.现有某宿舍的四位同学报名选课，每人只选择其中的1门课程，四位同学选完后，恰好选择了3门不同球类课程，则不同的选课情况总共有（）A.316种B.360种C.216种D.288种【答案】D 【解析】【分析】分选不选羽毛球两种情况讨论，再分别利用分步乘法原理计算报名情况，利用分类加法原理求和即得结果.【详解】分两种情况讨论：不选羽毛球，其余4门球类课程选3门，有34C 种选法，四人中有2人选择同1门课程，其余2人各自选1门课程，有2343C A 种选法，故报名的情况有323443C C A 144=种；1人选羽毛球，则14C 种选法，再从其余4门球类课程选2门课程，则24C 种选法，其余3人中选1人选一门课程，其余2人同选另1门课程，则1232C A 种，故报名的情况有12124432C C C A 144=种.所以他们报名的情况总共有144144288+=种.故选：D6.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X 为取出球的总数，则4X =的概率为（）A.514B.57 C.542D.521【答案】A 【解析】【分析】先明确4X =所代表的意义以及所包含的可能情况，再根据全概率公式即可计算所求概率.【详解】根据题意第一、二、三、四次取出的球的颜色符合的情况有以下六种：白白黑白、白黑白白、黑白白白、黑黑白黑、黑白黑黑、白黑黑黑，这六种情况的发生是相互互斥的，所以由全概率公式得：()54435443454343524532498769876987698769876p X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+54325555555987663636312612612614⨯⨯⨯=+++++=.故选：A.7.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为（）A.34B.57C.1320D.1321【答案】D 【解析】【分析】先明确杨辉三角第20行的数的个数，通过320C 2024<和420C 2024>结合组合数对称性质得出杨辉三角第20行中比2024大的数的个数即可得解.【详解】由题意可知杨辉三角第20行共有21个数，其中从左往右第4个数为()32020!C 114020243!!203==-<，从左往右第5个数为()42020!C 484520244!!204==->，所以根据组合数的对称性得杨辉三角第20行的21个数里有214213-⨯=个大于2024，故从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2024的概率为1321.故选：D .8.已知实数,,x y z 满足e ln e y x x y =且1e lne zx z x=，若01y <<，则（）A.x y z >>B.x z y>>C.y z x >> D.y x z>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数运算法则将等式变形，根据指数函数值域及对数不等式可得,x z 的范围【详解】由e ln e y x x y =得ln e ex y x y=，由1e ln e z xz x =得ln e e x z x z -=，因此e ey z y z -=，又01y <<，所以0e e z yz y =-<，又e 0z >，所以0z <，利用01y <<得ln 0e ex y x y=>，又e 0x >，所以ln 0x >，即1x >，所以10x y z >>>>，即x y z >>，故选：A二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.9.变量x 与y 的成对数据的散点图如下图所示，由最小二乘法计算得到经验回归直线1L 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定第二个点B 为离群点（对应残差过大），把点B 对应的数据去掉后，用剩下的7组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r ，决定系数为22R ，则以下结论正确的是（）A.12r r <B.2212R R >C.12ˆˆb b < D.12ˆˆaa <【答案】AC 【解析】【分析】根据点B 的特点判断选项C ，D ；由于去掉B ，其它点的线性关系更强，从而可判断A ，B 选项．【详解】因为共8个点且离群点B 的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，而截距变小，所以C 正确，而D 错误；去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以221212r r R R <<，，故B 错误，A 正确.故选：AC ．10.已知函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠在1x =处取到极大值1，则以下结论正确的是（）A.320a b c ++=B.21d a b =++C.3b a <-D.3b a>-【答案】ABC 【解析】【分析】对函数进行求导，根据极值点导数意义，判断A ，B ；根据函数在1x =处取到极大值，则函数在1x =的附近单调性为“左增右减”，用导数正负来判断C ，D.【详解】因为()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.函数在1x =处取到极大值1.则()(1)11320f a b c d f a b c =+++=⎧⎨=++='⎩，则A 正确；两式子相减，得到21a b d ---=，即21d a b =++，则B 正确；由前面知道，32c a b =--，则()23232f x ax bx a b =-'+-，由于函数在1x =处取到极大值，则函数1x =的附近单调性为“左增右减”.则()23232f x ax bx a b =-'+-，对于1x +→时，()232320f x ax bx a b =+--<'，即23(1)2(1)0(1)a x b x x +-+-<→，即3(1)20(1)a x b x +++<→，即623(1)20(1)a b a x b x ++<++<→，即620(1)a b x ++<→，则3b a <-.则C 正确，D 错误.故选：ABC.11.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且712(),(),()1223P A P B P A B ==+=，则（）A.()14P AB =B.()512P AB =C.1(|)2P A B =D.4(|)7P B A =【答案】ACD 【解析】【分析】()()()()P A B P A P B P AB +=+-,求出()P AB ，利用()()()P AB P AB P B +=可判断A ，由()1()P P B AB A =-+可判断B ，由条件概率公式可判断D.【详解】由2()()()()3P A B P A P B P AB +=+-=，因为7()12P A =，则7()112125P A =-=，所以1()4P AB =，因为()()()P AB P AB P B +=，所以()111244P AB =-=，故A 正确；则5()()()()6P A B P A P B P AB +=+-=，所以()61()1A PB P A B =-+=，故B 错误；由于()1(|)(2)P AB P A B P B ==，所以C 正确；由于()()()P AB P AB P A +=，则()()711()1243P AB P A P AB =-=-=，所以(4(|)()7P AB P B A P A ==，故D 正确；故选：ACD三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80，则=a ___________.【答案】2【解析】【分析】由二项式定理公式1C r n rr r n T ab -+=即可得到结果.【详解】依题意，521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为:2551031551()(r r r r r r r T C ax C a x x---+==，当1034r -=时，2r =，此时5235580r rC a C a -==，所以2a =.故答案为：2.13.若甲筐中有5个苹果，3个梨子，2个橙子，乙筐中有x 个苹果､1个梨子､2个橙子，现从甲筐中随机取出一个水果放入乙筐，再从乙筐中随机取出一个水果，记“从乙筐中取出的水果是苹果”为事件A ，若()12P A ≥，则整数x 的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】记1A 、2A 、3A 分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子，则利用全概率公式()()()()()()()112233|||P A P A P A A P A P A A P A P A A =++即可得解.【详解】记1A 、2A 、3A 分别表示从甲筐中随机取出一个水果为苹果、梨子、橙子的事件，则1A 、2A 、3A 相互互斥，所以由全概率公式得：()()()()()()()112233|||P A P A P A A P A P A A P A P A A =++()5132211104104104242x x x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=≥++++，3x ⇒≥，故整数x 的最小值为3.故答案为：3.14.若直线y kx m =+是曲线e 2x y =-的切线，也是曲线1e x y -=的切线，则m =__________.【答案】2ln 2-【解析】【分析】设直线y kx m =+与e 2x y =-和1e x y -=的切点分别为()11,e 2xx -，()212,ex x -，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到m 的值.【详解】e 2x y =-和1e x y -=分布求导，得到e x y '=和1e x y -'=.设直线y kx m =+与e 2x y =-和1e x y -=的切点分别为()11,e 2xx -，()212,e x x -，则切线方程分别为，()()111e 2exx y x x --=-，()22112e e x x y x x ---=-，化简得，1111e e e 2xxxy x x -+=-，2221112ee e x x x y x x ---+-=.依题意上述两直线与y kx m =+是同一条直线，所以，12112211112e e e e 2e e x x x x x x x x ---⎧=⎨-+-=-+⎩，解得1ln2x =，所以11ln 21n21e e 2ln 2e e 22ln 2xxm x =-+-=-+-=-故答案为：2ln 2-.四､解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16､17题各15分，第18､19题各17分，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.已知函数()sin xf x ax=的图象在点()π,0处的切线方程是ππ0x y +-=.（1）求实数a 的值；（2）若0x >，求证：()1f x <.【答案】（1）1a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再根据导数几何意义以及切线方程即可求解.（2）先由（1）得()f x 解析式，再由解析式结构特征结合导数工具分1x >和01x <≤两段研究()f x 的值的情况即可得证.【小问1详解】由题()()22sin cos sin cos sin x ax x a x x x xf x ax ax ax '--⎛⎫=== ⎪⎝⎭'，所以由导数几何意义以及切线方程得()2πcos πsin π11ππππf a a -==-=-'，1a ⇒=.【小问2详解】由（1）()sin xf x x=，因为[]sin 1,1x ∈-，故当1x >时()1f x <恒成立；令()sin ,01g x x x x =-≤≤，则()1cos 0g x x ='-≥在[]0,1上恒成立，且当且仅当0x =时()0g x '=，所以()g x 在[]0,1上单调递增，所以()()00sin 00g x g ≥=-=，所以当(]0,1x ∈时sin 0x x ->即sin x x <恒成立，所以当(]0,1x ∈时，()sin 1x xf x x x=<=，综上得：若0x >，()1f x <.16.某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了体育锻炼的宣传和调查.调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有5名不经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼.（1）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析性别因素是否会影响经常体育锻炼？性别经常体育锻炼与否合计经常体育锻炼不经常体育锻炼男女合计（2）从不经常体育锻炼的15份调查问卷中得到不经常锻炼的原因：有3份身体原因；有2份不想锻炼；有4份没有时间；有6份没有运动伙伴.求从这15份问卷中随机选出2份，在已知其中一份是“没有时间”的条件下，另一份是“没有运动伙伴”的概率.附：①()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②临界值表α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）根据小概率值0.05α=的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼；（2）1225.【解析】【分析】（1）根据题意补全22⨯列联表，计算2χ的值，作出判断；（2）由条件概率公式求解即可.【小问1详解】由题可得50名男性中有5名不经常体育锻炼，45名经常体育锻炼，50名女性中有10名不经常体育锻炼，40名经常体育锻炼；22⨯列联表如下：性别经常体育锻炼与否合计经常体育锻炼不经常体育锻炼男45550女401050合计8515100所以22100(4510540)1001.9615050851551χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为1.961 3.841<，根据小概率值0.05α=的独立性检验，没有充分证据推断性别因素会影响经常体育锻炼.【小问2详解】设A 事件为其中一份是“没有时间”，B 事件为另一份是“没有运动伙伴”，2114411215C C C 64410()C 10521P A ++===，1146215C C 248()C 10535P AB ===，所以()()12(|)25P AB P B A P A ==17.某企业生产一种热销产品，产品日产量为()1x x ≥吨，日销售额为y 万元（每日生产的产品当日可销售完毕），且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量()1,2,..,5i x i =（单位：吨）和日销售额()1,2,,5i y i =⋯（单位：万元）的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表：51ii x =∑51=∑ii y 51ii u =∑()521ii x x =-∑()521ii yy =-∑()521ii u u =-∑()()51iii x x y y =--∑()()51ii i uu y y =--∑1573 4.810161.2 1.63915.9其中，ln (1,2,,5),,,i i u x i x y u ==⋯分别为数据(),,1,2,,5i i i x y u i =⋯的平均数.（1）请从样本相关系数的角度，判断ˆˆˆy bx a =+与ˆˆˆln y d x c =+哪一个模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系？（2）根据（1）的结果解决下列问题：（i ）建立y 关于x 的经验回归方程（斜率的结果四舍五入保留整数）；（ii ）如果日产量x （单位：吨）与日生产总成本()c x （单位：万元）满足关系()132c x x =+，根据（i ）中建立的经验回归方程估计日产量x 为何值时，日利润()r x 最大？附：①相关系数()()niix x y y r --=∑②经验回归方程ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑.16,25≈≈.【答案】（1）ˆˆˆln y d x c =+模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系（2）（i ）10ln 5ˆy x =+；（ii ）20【解析】【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可；（2）（i ）利用回归方程的定义计算求解即可；（ii ）求出()r x 的解析式，结合导数研究()r x 的单调性，即可求解.【小问1详解】设ˆˆˆy bx a =+模型的相关系数为1r ，设ˆˆˆln y d x c =+模型的相关系数为2r ，所以()()10.975niix x y y r --=∑，()()20.994nii y y r μμ--==≈∑，由于120r r <<，所以ˆˆˆln y d x c =+模型拟合更好，即ˆˆˆln y d x c =+模型更适合刻画日销售额y 关于日产量x 的关系【小问2详解】（i ）由(1)知y 关于x 的经验回归方程为ˆˆˆln y d x c =+，由题可得：()()()12115.99.9375101.ˆ6niii ni i y y dμμμμ==--===≈-∑∑，73 4.8ˆˆ10555cy d =-μ=-⨯=，所以10ln 5ˆyx =+（ii ）由题可得()1110ln 5310ln 222r x x x x x =+--=-+()1x ≥，所以()1012022x r x x x -'=-=，令()2002xr x x-'==解得：20x =当120x ≤<时，()0r x '>，当20x >时，()0r x '<则()r x 的单调增区间为()1,20，单调减区间为(20,)+∞，所以当20x =时，日利润()r x 最大18.已知函数()ln f x x =.（1）若()()()11a x g x f x x -=-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若01x <<，求证：()11e xf x x x +>-.【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意得()g x ，求导得()222(1)1(1)x a x g x x x +'-+=+，对a 分类谈论，判断函数单调性即可.（2）由（1）得，ln 2()11x x x <-+，因为(0,1)x ∈，整理得ln 211x x x >-+，只需证211ex x x +>-即可，即证()2()2e 10x h x x =-+>，对()h x 求导分析单调性，求出最小值即可证明.【小问1详解】由题可得()()1ln ,01a x g x x x x -=->+，则()()2222212122(1)1(1)(1)(1)x ax ax a x g x x x x x x x +-+-+=-==++'+，①当24(1)40a ∆=--≤，即02a ≤≤时，()0g x '≥恒成立，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增；②当24(1)40a ∆=-->，即a<0或2a >时，（i ）当a<0时，()222(1)10(1)x a x g x x x +++'-=>恒成立，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当2a >时，由()222(1)10(1)x a x g x x x +++'-==得11x a =-，21x a =-+断得120x x <<，当()0g x '>时，10x x <<或2x x >，当()0g x '<时，12x x x <<，()g x ∴在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增；在12(,)x x 上单调递减.综上所述，当2a ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，()g x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增；在12(,)x x 上单调递减.（其中11x a =-，21x a =-）.【小问2详解】由（1）得，当2a =，()1ln 2(1x g x x x -=-+在(0,1)上单调递增，()(1)0g x g ∴<=，∴ln 2()11x x x <-+，(0,1)x ∈ ，ln 211x x x ∴>-+，下面证211e x x x +>+，(0,1)x ∈，即证()2()2e 10x h x x =-+>在(0,1)x ∈上恒成立，()2e 22,(0,1)x h x x x '=--∈，令()x ϕ=()2e 22,(0,1)x h x x x '=--∈，()x ϕ'=2e 20x ->在(0,1)x ∈恒成立，()x ϕ∴在(0,1)上单调递增，()(0)220h x h ''∴>=-=恒成立，()h x ∴在(0,1)上单调递增，()(0)2110h x h ∴>=-=>恒成立，()22e 10x x -+>，即211ex x x +>-，(0,1)x ∈，ln 11e x x x x +∴>-，即()11ex f x x x +>-.【点睛】导数含参二次型讨论单调性的参数分类方法：求导后能通分则通分，通分后对分子因式分解，若不能因式分解，则讨论开口方向或是否为二次函数，接下来分为：①0∆≤时，()0f x '≥，则()f x 单调递增；②0∆>时，()0f x '=时，()f x 有两个根，然后需判断两根是否在定义域内.结合以上情况可以确定参数分类.19.设集合{}()*1,2,3,,,A n n B A =∈⊆N ，且B ≠∅，记集合B 中的最小元素和最大元素分别为随机变量,X Y .（1）若3X ≥的概率为731，求n ；（2）若20n =，求8X =且18Y =的概率；（3）记随机变量2X Y Z +=，证明：()12n E Z +=.【答案】（1）5n =（2）{}92028,1821P X Y ===-（3）答案见解析【解析】【分析】（1）运用非空集合子集个数的结论，得到非空集合B 的个数为21n -个.运用对立事件概率求法，221(3)1(1)(2)21n n P X P X P X --≥=-=-==-，解出即可.（2）当非空集合B 中的最小元素和最大元素分别为8,18时，分析出集合B 可能情况有92个，若20n =，非空集合B 的个数为2021-.古典概型相除求出概率即可.（3）与上面方法一样，求出当最小值X i =的概率()()21,2,,21n in P X i i n -===- .求出当最大值Y j =的概率()()121,2,,21j n P Y j j n -===- .则{}11()(),n ni j E X Y i j P X i Y j ==+=+==∑∑.运用求和规则，慢慢将式子展开，变形，得出结论即可.【小问1详解】非空集合B 的个数为1231C C C C 2n n n n n n ++++=- 个.所以1222221(3)1(1)(2)1212121n n n n n n P X P X P X ----≥=-=-==--=---因为2217(3)2131n n P X --≥==-，解得228n -=，则5n =.【小问2详解】当非空集合B 中最小元素和最大元素分别为8,18时，集合B 中元素一定有元素8,18，一定没有元素1,2,3,4.5,6,7,19,20,可有可无元素有9,10,11,12,13,14,15,16,17,则集合B 可能情况有92个.若20n =，非空集合B 的个数为2021-.所以{}92028,1821P X Y ===-.【小问3详解】非空集合B 的个数为21n -个，最小值X i =的集合B 的个数为2(1,2,,)n i i n -= 个，则()()21,2,,21n in P X i i n -===- .最大值Y j =的集合B 的个数为12(1,2,,)j j n -= 个，则()()121,2,,21j n P Y j j n -===- ，{}11()(),n ni j E X Y i j P X i Y j ==+=+==∑∑{}{}1111,,n n n n i j i j iP X i Y j jP X i Y j =======+==∑∑∑∑{}{}1111,,n n n ni j i j i P X i Y j P X i Y j j =======+==∑∑∑∑11{}{}n ni j iP X i jP Y j ====+=∑∑()()E X E Y =+111222121n i j nn n n i j i j --===+--∑∑1122(1)2121n k n knn n n k k k n k --===+-+--∑∑11221n n k n k n -=+=-∑11212112nn n n ⎛⎫+-==+ ⎪--⎝⎭所以()11222X Yn E E X Y ++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】知识方法点拨：新问题的求解策略：1、遇到新问题，应耐心读题，分析新问题的特点，弄清新问题的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.2、若新问题与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.3、若新定义与集合的运算有关，首先分析题意，同时用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.。
东莞市2018-2019学年度第二学期期末教学质量检查高二文科数学试卷(含答案)
2018—2019学年度第二学期教学质量检查高二文科数学考生注意：本卷共三大题，23小题（第22题、23题二选一），满分150分，考试时间120分钟. 不能使用计算器. 参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=(其中d c b a n +++=).一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分. 在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. )1. 双曲线1422=-y x 的渐近线方程为A . x y 41±=B. x y 4±=C. 12y x =±D. x y 2±=2. 已知复数iiz +=2（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥+-201022x y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最小值为A. 4-B. 3-C. 8D. 64. 曲线1)(+=xe xf 在点0=x 处的切线方程为A. 22+=x yB. 2+=x yC. 1++=e ex yD. 1+=x y5. 某商场为了确定下一年需要的宣传费用，对近5年的宣传费用x 与年销售额y (单位：百万元)进行了初步统计，得出如下数据：年宣传费用x 2 4 56 8 年销售额y3040a5070由最小二乘法原理，年销售额y 与年宣传费用x 的回归方程为5.175.6ˆ+=x y，则=a A. 55B. 60C. 65D. 706. 在建立两个相关变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合程度最好．．．．．．的模型是 A ．模型1的相关指数2R 为90.0 B ．模型2的相关指数2R 为88.0P (K 2≥k 0) 0.010 0.0050.001k 06.6357.879 10.828C. 模型3的相关指数2R 为0.50D. 模型4的相关指数2R 为95.07. 已知变量x 和y 满足关系78.005.0ˆ+-=x y，变量y 与z 负相关. 下列结论中正确的是 A. x 与y 负相关，x 与z 正相关 B. x 与y 正相关，x 与z 正相关C. x 与y 正相关，x 与z 负相关D. x 与y 负相关，x 与z 负相关8. 等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若01q <<，314S =，24a =，则q = A.41B.12C.13D.239. 过抛物线()022>=p px y 焦点的直线交抛物线于M ，N 两点，若M ，N 两点横坐标之和为4，且8=MN ，则抛物线的方程为 A. x y 22=B. x y 42=C. x y 62=D. x y 82=10. 等差数列{}n a 中，0765>++a a a ，085<+a a ，则该数列当前n 项和最大时，n 的值为 A. 4B. 5C. 6D. 711. 在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝3，D 为BC 边上的一点，若BD ＝3DC ，∠BAD ＝3π，则△ABC 的面积为A.21B.43C.23D.3412. 若函数()x x m x x f 4sin 2sin 21-+=在R 上单调递减，则实数m 的取值范围是 A. (]3 ,-∞-B. []3 ,3-C. ]62 ,62[-D. ) ,62[∞+二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案填在答题卡中相应的位置上. ) 13. 已知a ，R ∈b ，复数i a z 211-+=，322+=bi z ，且21z z =，则=+bi a _________. 14. 已知实数1>x ，则11-+x x 的最小值为_________. 15. 甲、乙、丙三位同学被问到是否参加了物理，化学，生物三项市级竞赛时， 甲说：我参加的市级竞赛项目比乙多，但没参加过物理竞赛； 乙说：我没参加过化学竞赛； 丙说：我们三人都参加过同一项竞赛.由此可判断丙一定参加过的竞赛为________.16. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，若2AF OB ⊥(O 为原点)，则椭圆的离心率为_________.三、解答题(本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n S n n =+. (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设+11=n n n b a a ()*N ∈n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. (本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若sin A ＝2sin B ，且a ，c ，b 成等差.(1) 求cos A 的值；(2) 若△ABC 的面积S △ABC ＝15，求边b .19. (本小题满分12分)基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，但同时也带来新的问题，某机构发布了《2018上半年共享单车消费者调查分析报告》. 本调查共计获得有效样本1000份(为方便计算，调查数据略有调整)，统计如下图表19-1、19-2：图19-1 是否通过对共享单车的使用图19-2 自行车骑行兴趣和自行车购买欲的对比进而增加对自行车骑行的兴趣图19-1显示有30%的用户因为对共享单车的使用增加了对自行车骑行的兴趣，有60%的用户兴趣不变，10%因为对共享单车的使用而更加讨厌自行车骑行.图19-2显示对自行车兴趣增加的用户当中约70%会考虑购买自行车，兴趣不变的用户中想要购买和不购买的比例为6 : 4，而讨厌骑行的用户里约70%不考虑购买自行车. 根据以上调查结果，请回答下列问题：(1) 保持骑行兴趣不变的用户约有多少人？这部分人中约有多少人会考虑购买自行车？ (2) 请完成以下22⨯列联表数据，并回答：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为骑行兴趣增加与否和是否考虑购买自行车之间有关？兴趣增加30%兴趣不变60%更为讨厌10%图表标题兴趣增加兴趣不变更为讨厌30%40%70%70%60%30%0%20%40%60%80%兴趣增加兴趣不变更为讨厌图表标题不会考虑购买会考虑购买不会考虑购买会考虑购买合计 增加 没有增加 合计20. (本小题满分12分)已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 经过点()1 ,0-A ，且离心率为36.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知过点()1 ,1B 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点（均异于点A ），试判断直线AP 与直线AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由.21. (本小题满分12分)已知函数()a x x x f +-=ln ，其中R ∈a .(1) 若函数()()x x f x h -=的最大值是0，求值； (2) 若，求函数在(]e ,1内的最大值()h a ，并求()h a 的取值范围.四、选做题(请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. )22. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 直线的参数方程为22222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(为参数)， 曲线的极坐标方程是3ρ=，与交于B A ,两点. (1) 求曲线的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2) 已知点F 的直角坐标为()0 ,2，求FA FB ⋅的值. 23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||5|f x x x =--+. (1) 求不等式()2f x ≥的解集；(2) 若不等式14()a x f x +≥--对[]3 ,5-∈∀恒成立，求实数a 的取值范围.a 3ln 22a ?2()()f x g x x =xOy x l t C l C C2018—2019学年度第二学期教学质量检查高二文科数学 参考答案及评分标准一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CDABBDABDCCB二、填空题13.5 14. 3 15. 生物 16.226- 三、解答题17． （1）当1n =时，11224a S ==， 12a =…………………………………………………1分 当2n ≥时，1222n n n a S S -=-. (2)分22=(3)[(1)3(1)]n n n n +--+-22n =+ (4)分12=21+2=4a ⨯符合上式 (5)分*1()n a n n N ∴=+∈ (6)分1112(1)(2)(1)(2)n b n n n n ==-++++（） ……………………………………………8分所以 123n n T b b b b =++++11111111233445(1)(2)n n =-+-+-++-++………………………10分1122n =-+2(2)n n =+ …………………………………………………12分 18. 解：（1）由正弦定理得sin 2sin A B =2a b ∴= ① ……………………………2分,,a c b 成等差数列2c a b ∴=+ ② ……………………………………………4分由①②得32c b =…………………………………………………………………………5分 由余弦定理得2222229414cos 32422b b b bc a A bc b b +-+-===-⋅ ………………………6分（2）1cos ,04A A π=-<< 15sin 4A ∴=………………………………………8分115=sin 2ABC ABC S S bc A ∆∆=， ………………………………………………10分131515224b b ∴⋅⋅= ………………… ……………………………………………11分 433b ∴=………………………………………………………………………………12分19．解：（1）∵1000×60%=600，600×60%=360，∴ 保持中性看待的用户约有600人， ……………………………………2分 这部分人中约有360人会考虑购买自行车. ………………………………4分 （2）列联表数据如下不会考虑购买会考虑购买合计 增加 90 210 300 没有增加 310 390 700 合计4006001000……………………………………………………7分可得K 2的观测值为700300600400)31021039090(10002⨯⨯⨯⨯-⨯=k ………………………………………………9分即12517.85710.8287k =≈> ………………………………………………11分 ∴能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为骑行兴趣增加与否和会否考虑购买自行车之间有关.………………………………………… 12分20. 解：（1）由题意知6,13c b a == …… ……………………………………………… 2分 又222b c a += (3)分解得23a = (4)分所以,椭圆的方程为2213x y += ………………………………………………………5分（2）设11(,)P x y 22(,)Q x y由题可知直线l 的方程为1(1)y k x -=- ……………………………………………6分由22131(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩消去y 得22(13)6(1)3(2)0k x k k x k k +--+-= ……………7分 ∴222=36(1)12(2)(13)010k k k k k k k ∆---+>⇒<->或 则1226(1)13k k x x k -+=+1223(2)13k k x x k -=+………………………………………………8分 因为直线l 与椭圆E 交于不同的两点P ，Q 均异于点A ，所以02k k ≠≠且 ………9分 从而直线AP 与AQ 的斜率之和121211AP AQ y y k k x x +++=+ 121222kx k kx k x x +-+-=+12122(2)x xk k x x +=+- (11)分6(1)2(2)3(2)k k k k k k -=+--2(22)2k k =--=∴直线AP 与直线AQ 斜率之和是定值2. ……………………………………………12分21. 解：（1）函数的定义域是 …………1分令， ………………………2分因此， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减。
2016-2017学年广东省东莞市高二下学期期末数学试题(文科)(解析版)
2016-2017学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是（）A．（1，3） B．[1，3]C．[1，3） D．（1，3]2．（5分）函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．3．（5分）直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．B． C．D．4．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣25．（5分）函数y=log a（x﹣2）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过的一个定点是（）A．（3，0） B．（3，1） C．（2，1） D．（2，2）6．（5分）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α的值是（）A．﹣B．﹣ C．﹣2 D．7．（5分）点A（sin2017°，cos2017°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（5分）设函数f（x）=g（x）+x3，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4 B．﹣ C．5 D．﹣9．（5分）终边经过点（a，a）（a≠0）的角α的集合是（）A．{}B．{，}C．{α|α=+2kπ，k∈Z}D．{α|α=+kπ，k∈Z}10．（5分）已知函数ƒ（x）=，则函数f（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f（f （x）﹣e x）=e+1，则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+1 C．3 D．e+312．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g （x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1） C．f（a）＜f（1）＜f （b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）=．14．（5分）已知如图程序框图的输出结果是y=3，则输入框中x的所有可能的值为．15．（5分）函数y=sinx+2|sinx|x∈[0，2π]的图象与直线的交点的个数为个．16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则：f（﹣1）=．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程.17．（10分）已知角α的终边上有一点（a，a），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的值．18．（12分）已知cosαsinα=，＜α＜．（1）求tanα的值；（2）求的值；（3）求的值．19．（12分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定m的范围．20．（12分）已知函数f（x）=alnx+bx2+x（a，b∈R）．（1）若a=﹣1，b=0，求f（x）的最小值；（2）若f（1）=f′（1）=0，求f（x）的单调递减区间．21．（12分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．2016-2017学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域是（）A．（1，3） B．[1，3]C．[1，3） D．（1，3]【分析】由题意得到关于实数x的不等式组，求解不等式组即可求得函数的定义域．【解答】解：函数有意义，则：，求解不等式可得函数的定义域为：1＜x≤3，即（1，3]．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域的求解，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．2．（5分）函数f（x）=ln|x﹣1|的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】题目中函数解析式中含有绝对值，须对x﹣1的符号进行讨论，去掉绝对值转化为对数函数考虑，利用对数函数的图象与性质解决．【解答】解：∵当x＞1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（x﹣1），其图象为：∵当x＜1时，f（x）=ln|x﹣1|=ln（1﹣x），其图象为：综合可得，B符合，故选B．【点评】本题考查对数函数的图象与性质，对数函数的图象是对数函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．3．（5分）直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是（）A．B． C．D．【分析】36°=（弧度），再利用弧长公式l=αr即可得出．【解答】解：36°=π（弧度）=（弧度）．∴36°的圆心角所对的弧长=×2=cm．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式l=αr，属于基础题．4．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．【解答】解：由设f（x）=x a，图象过点（，），∴（）a=，解得a=，∴log4f（2）=log42=．故选A．【点评】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．5．（5分）函数y=log a（x﹣2）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过的一个定点是（）A．（3，0） B．（3，1） C．（2，1） D．（2，2）【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得函数图象经过的定点的坐标．【解答】解：令x﹣2=1，求得x=3，y=1，故函数y=log a（x﹣2）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过的一个定点（3，1），故选：B．【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．6．（5分）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α的值是（）A．﹣B．﹣ C．﹣2 D．【分析】点在线上，点的坐标适合方程，得到sinα=﹣2cosα，利用二倍角公式化简sin2α+2cos2α，可得结果．【解答】解：∵点P在y=﹣2x上，∴sinα=﹣2cosα，∴sin2α+2cos2α=2sinαcosα+2（2cos2α﹣1）=﹣4cos2α+4cos2α﹣2=﹣2．故选C【点评】本题考查二倍角的正弦，二倍角的余弦，考查计算能力，是基础题．7．（5分）点A（sin2017°，cos2017°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据三角函数诱导公式，化简sin2017°=sin217°，cos2017°=cos217°；即可判断点A（sin2017°，cos2017°）在直角坐标平面上的位置．【解答】解：2017°=5×360°+217°，为第三象限角，∴sin2017°=sin217°＜0，cos2017°=cos217°＜0；∴点A（sin2017°，cos2017°）在直角坐标平面上位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查了三角函数的符号运用问题，是基础题目．8．（5分）设函数f（x）=g（x）+x3，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4 B．﹣ C．5 D．﹣【分析】利用y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，可得g'（1）=2，然后利用导数的几何意义求f（x）切线斜率，即可．【解答】解：因为曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，所以g'（1）=2，因为f（x）=g（x）+x3，所以f′（x）=g'（x）+3x2，所以f′（1）=g'（1）+3=2+3=5，故选C．【点评】本题主要考查导数的几何意义以及导数的基本运算，比较综合．9．（5分）终边经过点（a，a）（a≠0）的角α的集合是（）A．{}B．{，}C．{α|α=+2kπ，k∈Z}D．{α|α=+kπ，k∈Z}【分析】写出终边落在直线y=x上且在第一，三象限的角的集合，即可得解．【解答】解：当角的终边经过点（a，a）（a＜0），角的集合为{α|α=2kπ+π+，k∈Z}．当角的终边经过点（a，a）（a＞0），角的集合为{α|α=2kπ+，k∈Z}，综上所述角的集合为{α|α=kπ+，k∈Z}，故选：D【点评】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的集合的表示，是基础题．10．（5分）已知函数ƒ（x）=，则函数f（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】在函数的每一段上求出零点，从而得出函数的所有零点．【解答】解：由得x=﹣4，由得x=4 或x=0，故答案C【点评】本题考查求函数零点的方法，但本题为错题，建议x≥0 时，函数解析式为x（x﹣4）．11．（5分）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f（f （x）﹣e x）=e+1，则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+1 C．3 D．e+3【分析】根据复合函数的性质，对任意实数x，都有f（f（x）﹣e x）=e+1，设t=f （x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，由函数f（x）为单调递增函数，可知函数为一对一函数，解得t=1，带入即可求解．【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．【点评】本题考查了复合函数的性质和单调性的运用．属于基础题．12．（5分）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g （x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1） C．f（a）＜f（1）＜f （b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．【解答】解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）=0．【分析】利用lg2+lg5=1以及即可求得答案．【解答】解：∵lg2+lg5=lg10=1，∴lg22+lg2lg5+lg5﹣（﹣1）0=lg2（lg2+lg5）+lg5﹣1=lg2+lg5﹣1=lg10﹣1=1﹣1=0．故答案为：0．【点评】本题考查对数的运算性质，注意lg2+lg5=1的应用，属于基础题．14．（5分）已知如图程序框图的输出结果是y=3，则输入框中x的所有可能的值为﹣8，，1．【分析】根据已知中的程序框图我们易判断出程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，根据由分段函数的值，求满足条件的自变量值的办法，分x≤0，0＜x＜1，x≥1时三种情况，进行分类讨论，即可得到答案．【解答】解：由已知易得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值当x≤0时，若y=3，则，解得x=﹣8；当0＜x＜1时，若y=3，则，解得x=；当x≥1时，若y=3，则2x+1=3，解得x=1；故答案为：﹣8，，1【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知的程序框图分析出程序的功能是计算本题的关键．15．（5分）函数y=sinx+2|sinx|x∈[0，2π]的图象与直线的交点的个数为4个．【分析】本题是一个绝对值函数，故先应将其表示为分段函数，作出其图象，由图象判断出两个函数的交点个数即可【解答】解：由题意y=sinx+2|sinx|=图象如图，可知函数与y=有四个交点故答案为4【点评】本题考查正弦函数的图象，考查利用正弦函数的图象研究两个函数交点个数，利用图象是求解函数交点的个数以及方程根的个数的常用方法．16．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则：f（﹣1）=﹣3．【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），知f（0）=1+b=0，解得b=﹣1所以当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x+2x+1，由此能求出f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1∴f（x）=2x+2x﹣1．当x＜0时，﹣f（x）=2﹣x+2（﹣x）﹣1，∴f（x）=﹣2﹣x+2x+1，∴f（﹣1）=﹣2﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查函数性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意奇函数的性质的灵活运用．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程.17．（10分）已知角α的终边上有一点（a，a），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的值．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα，cosα，tanα的值．【解答】解：角α的终边上有一点（a，a），其中a≠0，∴x=a，y=a，当a＞0时，r=|OP|=a，∴sinα==，cosα==，tanα==，当a＜0时，r=|OP|=﹣a，∴sinα==﹣，cosα==﹣，tanα==．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．18．（12分）已知cosαsinα=，＜α＜．（1）求tanα的值；（2）求的值；（3）求的值．【分析】由已知求出sinα，cosα的值．（1）利用tan求解；（2）、（3）化弦为切，结合（1）得答案．【解答】解：由cosαsinα=，且＜α＜．得sinα+cosα=，sinα﹣cosα=．∴sinα=，cosα=．（1）tanα=；（2）==；（3）====．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查灵活运用所学知识处理问题与解决问题的能力，考查计算能力，是中档题．19．（12分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定m的范围．【分析】（1）利用f（0）=1，解得：c=1，由f（x+1）﹣f（x）=2x．利用待定系数法求解即可．（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）图象恒在y=2x+m的图象上方，就是不等式f （x）＞2x+m，化为x2﹣3x+1﹣m＞0．设h（x）=x2﹣3x+1﹣m，对称轴为x=，判断h（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数．然后最后求解即可．【解答】解：（1）设为f（x）=ax2+bx+c，由题可知：f（0）=1，解得：c=1，由f（x+1）﹣f（x）=2x．可知：[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣（ax2+bx+1）=2x化简得：2ax+a+b=2x，所以：a=1，b=﹣1．∴f（x）=x2﹣x+1．（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）图象恒在y=2x+m的图象上方，就是不等式f（x）＞2x+m，可化简为x2﹣x+1＞2x+m，在区间[﹣1，1]上恒成立．即：x2﹣3x+1﹣m＞0．设h（x）=x2﹣3x+1﹣m，则其对称轴为x=，∴h（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数．因此只需h（x）的最小值大于零即可，∴h（1）＞0．代入得：1﹣3+1﹣m＞0解得：m＜﹣1所以实数m的取值范围是：m＜﹣1（备注：此题分离参数也可）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，函数恒成立的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知函数f（x）=alnx+bx2+x（a，b∈R）．（1）若a=﹣1，b=0，求f（x）的最小值；（2）若f（1）=f′（1）=0，求f（x）的单调递减区间．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（2）由f（1）=0，求出b的值，由f′（1）=0，求出a的值，从而求出函数的递减区间即可．【解答】解：（1）若a=﹣1，b=0，则f（x）=x﹣lnx（x＞0），f′（x）=1﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，易知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f（x）min=f（1）=1．（2）由f（1）=b+1=0得b=﹣1，∴f（x）=alnx﹣x2+x，f′（x）=﹣2x+1，f'（1）=a﹣2+1=0，a=1，∴f′（x）=﹣2x+1=﹣，由f'（x）＜0得x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及解不等式问题，是一道中档题．21．（12分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．【分析】先利用f（x）为R上的奇函数得f（0）=0求出k以及函数f（x）的表达式，（1）利用f（1）＞0求出a的取值范围以及函数f（x）的单调性，再把不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0利用函数f（x）是奇函数进行转化，再利用求得的单调性解不等式即可；（2）先由f（1）=得a=2，得出函数f（x）的单调性，再对g（x）进行整理，整理为用f（x）表示的函数，最后利用函数f（x）的单调性以及最值来求g（x）在[1，+∞）上的最小值．【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴k﹣1=0⇒k=1，∴f（x）=a x﹣a﹣x（1）∵f（1）＞0，∴a﹣a﹣1＞0，a＞0，∴a＞1．∴f（x）为R上的增函数由f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0得：f（x2+2x）＞f（4﹣x）即：x2+3x﹣4＞0⇒x＜﹣4或x＞1．即不等式的解集（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．（2）由f（1）=得a=2，由（1）可知f（x）为[1，+∞）上的增函数．f（x）≥f（1）=所以g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x）=（f（x）﹣2）2﹣2≥﹣2（当f（x）=2时取等号）故g（x）在[1，+∞）上的最小值﹣2．【点评】本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查．对函数单调性和奇偶性的综合考查的一般出题形式是解不等式的题，解题方法是先利用奇偶性进行转化，再利用单调性解不等式．22．（12分）已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．【解答】解：（1）f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x=e2x﹣e x a﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣ae x﹣a2=（2e x+a）（e x﹣a），①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，e x﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，2e x+a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得：f（x）min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题．。
广东省东莞中学高二数学下学期期末考试试题 文(含解析
东莞中学2012-2013学年度第二学期高二期末考试文科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1. 设全集U=R ，A=｛x|x(x+3)＜0｝，B=｛x|x ＜-1},则下图中阴影部分表示的集合为（ ） A. {x|-3＜x ＜-1} B. {x|-3＜x ＜0｝C. {x|x ＞0｝D. {x|x ＜-1｝2. 方程322=+-x x的实数解的个数为（ ）A. 2B. 3C. 1D. 43. 已知函数b a x f x+=)(，其中2)0(-=f ，0)2(=f ，则)3(f =（ ） A. 222- B.393- C. 333- D. 333-或333--4. 函数93)(23--+=x x x x f ,已知)(x f 的两个极值点为1x ，2x ，则21x x ⋅=（ ）A. -1B. -9C. 1D. 95. 已知R b a ∈,，则“b a 33log log φ”是“ba)21()21(φ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A. （1，2） B. （2，e ） C. （e ，3） D. （e ，+∞）7. 若直线⎩⎨⎧+=-=ty tx 3221（t 为参数）与直线14=+ky x 垂直，则常数k=（ ）A.38 B. -6 C. 6 D. -388. 函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是（ ）A. （-∞，2）B. （0，3）C. （1，4）D. （2，+∞）9. 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且)()1(x f x '-＜0，若)0(f a =，)21(f b =，)3(f c =，则a ,b ,c 的大小关系是（ ）A. a ＞b ＞cB. c ＞b ＞aC. b ＞a ＞cD. a ＞c ＞b10. 已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足0)(2)2(=-++x f x f ；给出下列结论：①0)2(=f ②)(2)2(x f x f =+③)(4)4(x f x f =+④)(6)6(x f x f =+其中正确的结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分）11. 命题p ：R x ∈∀，m x f ≥)(，则命题p 的否定p ⌝是12. 如图所示，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则=+ADFG BC EF13. 如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A 的度数是 度．14. 我们知道：两个互为反函数的函数xy 2=与x y 2log =的图象关于直线y=x 成轴对称，利这一性质，若1x 和2x 分别是2x+x+a=0和log 2x+x+a=0的两根，则x 1+x 2的值为直线y=x 与直线y=-x-a 的交点的横坐标的2倍，即x 1+x 2=-a ； 由函数y=x 3与函数3x y =互为反函数，我们可以得出：若方程x 3+x-3=0的根为x 1，方程（x-3）3+x=0的根为x 2，则x 1+x 2= .三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分12分）已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232213（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=4.（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长.16. 已知命题p ：关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不等的负数根；命题q ：关于x 的方程4x 2+4（m-2）x+1=0无实数根．如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数m 的取值范围．17. 商场现有某商品1320件，每件成本110元，如果每件售价200元，每天可销售40件．节日期间，商场决定降价促销，根据市场信息，单价每降低3元，每天可多销售2件．（1）每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润最大？（2）如果商场决定在节日期间15天内售完，在不亏本的前提下，每件售价多少元，商场销售这一商品每天的销售额最大？18. 已知函数ab a x b ax x f ---+=)8()(2(0≠a )，当x∈（-3，2）时，f （x ）＞0； 当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f （x ）＜0 （1）求f （x ）在[0，1]上的值域；（2）c 为何值时，不等式02≤++c bx ax 在[1,4]上恒成立．19. 已知函数xax x f +=2)(（x ≠0，常数a ∈R)． （1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由．（2）若函数)(x f 在),2[+∞∈x 上为增函数，求a 的取值范围.20. 已知函数x xax f 22)(-=，将)(x f y =的图像向右平移两个单位，得到)(x g y =的图像.（1）求函数)(x g y =的解析式；（2）若函数)(x h y =与函数)(x g y =的图像关于直线1=y 对称，求函数)(x h y =的解析式；（3）设)()(1)(x h x f ax F +=，设)(x F 的最小值为m . 是否存在实数a ，使72+φm ，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由.。
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高二文科数学周测试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．复数(1 2 )=
i i
+ ( )
A. 2i
-+ B. 2i+ C. 2i
-- D. i
-
2 2．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．①②
3.直角坐标为(1)
－的点M的极坐标为( )
A.
4
(2, )
3
π
B.
7
(2, )
6
π
C.
5
(2, )
3
π
D.
5
(2, )
6
π
4.已知i是虚数单位，复数Z与复平面内的点(2,1)
-对应，则复数
Z
i2
1-
对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归
方法得到回归直线方程
1
l和
2
l，两人计算知x相同，y也相同，下列正确的是( )
A.
1
l与
2
l一定平行 B.
1
l与
2
l重合
C.
1
l与
2
l相交于点)
,
(y
x D. 无法判断
1
l和
2
l是否相交
6．已知不等式组
,
y x
y x
x a
≤
⎧
⎪
≥-
⎨
⎪≤
⎩
，表示的平面区域的面积为4，点(,)
P x y在所给平面区域内，则2
z x y
=+的最大值为 ( ) A．3 B．5 C．6 D．7
7.极坐标方程4cos
ρθ
=化为直角坐标方程是（）
A.22
(2)4
x y
-+= B.224
x y
+=
C.22
(2)4
x y
+-= D.22
(1)(1)4
x y
-+-=
8．设(0+)
a b c∈∞
，，，，则
111
a b c
b c a
+++
，，( )
①②③④
A ．至少有一个不小于2
B ．都不小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．都不大于2 9
则完成该工程所需最少的总工时数为( )
A ．17天
B ．15天
C ．13天
D ．11天
10．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，
此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =，若
3124
1234a a a a k ====，则()4
1
2i i S ih k ==∑.类比以上性质,体积为V 的三棱锥的
第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任一点
Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若
3124
1234S S S S K =
===, 则()4
1i i iH ==∑ ( ) A.4V K B. 3V K C. 2V K D. V
K
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若复数12z a i =-, 23+4z i =，且12z z +为纯虚数，则实数a 的值为
△ ．
12．定义运算“⊗”为：32a b a b ⊗=+，则25⊗= __ △___．
13．极坐标为2(4, )3π
的点对应的直角坐标是 △ ．
14．如果执行下面的程序框图，那么输出的S 的值为___△___．
2012—2013学年度第二学期东莞一中高二文科数学周测试题
班级 姓名 座号
一、选择题
二、填空题
11. ；12. ；
13. ； 14.
；
三、解答题：本大题共5小题，共80分． 15．（本小题满分16分）已知复数i
z -=
25
． ⑴ 求z 的实部与虚部；
⑵ 若2 1z m z n i ++=-(m n R z ∈，，
是z 的共轭复数)，求m 和n 的值．
16． (本小题满分16分)
某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如22⨯列联表所示（单位：人）．
⑴ 求m ，n ；
⑵ 你在犯错误的概率最小不超过多少时，认为“教学方式与成绩有关系”？ 参考公式及数据:
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中d c b a n +++=为样本容量.
17．(本小题满分16分) 运行如图所示的程序流程图．
⑴ 若输入x 的值为2
面的表格，并求输出的i 与x 的值；
⑵ 若输出 i 的值为2，求输入x 的取值范围．
18.(本小题满分16分)
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，并且满足n a S n
n +=2
2，0>n a （*∈N n ）.
（1）求1a ，2a ，3a ；
（2）猜想{n a }的通项公式，请加以验证；
（3）设0>x ，0>y ，且1=+y x ，证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .
19．(本小题满分16分)
已知二次函数()c bx ax x f ++=2．
⑴若c b a >>且()01=f ．证明：()x f 的图像与x 轴有两个不同的交点；
⑵证明：当12x x <且()()21x f x f ≠时，方程()()()2
21x f x f x f +=必有一实根
在区间 (1x ，2x ) 内．。