第二章 第三讲 函数的值域与最值

第2章 第3讲一、选择题(8×5＝40分)1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝512－xB ．y ＝(13)1－x C ．y ＝(12)x －1 D ．y ＝1－2x解析：y ＝512－x 中，12－x≠0，故y ≠1，值域为(0,1)∪(1，＋∞)，y ＝(13)1－x 的值域为(0，＋∞)，故选B.答案：B总结评述：对于不复杂的函数，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域．2．(2010·山东，3)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：∵3x >0，∴3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.∴f (x )∈(0，＋∞)．故选A.答案：A3．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪(12，2] B ．(－∞，2]C ．(－∞，12)∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)解析：∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)，∴2x －1∈(－∞，0)∪(12，2]，故应选A.答案：A4．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( )A ．(－∞，－1]B ．[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：y ＝log 2x ＋log x (2x )＝log 2x ＋1＋log 2x log 2x ＝log 2x ＋1log 2x＋1. ∵|log 2x ＋1log 2x |＝|log 2x |＋1|log 2x |≥2， ∴log 2x ＋1log 2x＋1∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选D. 答案：D5．当x ∈[0,2]时，函数f (x )＝ax 2＋4(a －1)x －3在x ＝2时取得最大值，则a 的取值范围是( )A ．[－12，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[23，＋∞) 解析：a ＝0时不成立．当a >0时，对称轴为x ＝－4(a －1)2a≤1， ∴a ≥23. 当a <0时，x ＝－4(a －1)2a≥2，a ∈∅，故选D. 答案：D6．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14B.12C ．2D ．4解析：f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)是单调递增(减)函数(原因是y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)单调性相同)，且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得，最值之和为f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ，∴log a 2＋1＝0.∴a ＝12. 答案：B7．(2010·天津，10)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x ).则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎡ －94，＋∞) D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：∵x <g (x )，x <x 2－2，(x －2)(x ＋1)>0，∴x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，x 2－x －2，x ∈[－1，2]， ＝⎩⎨⎧ (x ＋12)2＋74，x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)，(x －12)2－94，x ∈[－1，2].∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)． 答案：D8．(高考改编题)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( ) A.22 B.32C. 2D.53解析：由题意知函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}，∵y ＝1－x ＋x ＋3≥0，∴y 2＝4＋2(1－x )(x ＋3)＝4＋2－(x ＋1)2＋4，当x ＝－1时，y 2max ＝8，∴y max ＝M ＝22，当x ＝1或－3时，y 2min ＝4，∴y min ＝m ＝2，∴m M ＝222＝22. 答案：A二、填空题(4×5＝20分)9．函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________.解析：由9－x 2>0得－3<x <3，∴A ＝{x |－3<x <3}．∵0<9－x 2≤9，∴log 3(9－x 2)≤2.∴B ＝(－∞，2]故A ∩B ＝{x |－3<x ≤2}．答案：{x |－3<x ≤2}10．(2010·浙江，16)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是____________．解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x %)，八月份销售额为500×(1＋x %)2，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，可列出不等式为4360＋1000[(1＋x %)＋(1＋x %)2]≥7000.令1＋x %＝t ，则t 2＋t －6625≥0，即(t ＋115)(t －65)≥0.又∵t ＋115≥0， ∴t ≥65，∴1＋x %≥65， ∴x %≥0.2，∴x ≥20.故x 的最小值是20.答案：2011．设x 、y ≥0,2x ＋y ＝6，则Z ＝4x 3＋3xy ＋y 2－6x －3y 的最大值是__________，最小值是__________．分析：转化为一元函数最值，转化时注意挖掘出变元的取值范围(隐含条件)．解析：由y ＝6－2x ≥0及x ≥0得0≤x ≤3，将y ＝6－2x 代入Z 中得Z ＝2x 2－6x ＋18(0≤x ≤3)，从而解得：Z max ＝18，Z min ＝272. 答案：18 272 12．(2012·原创题)在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2.则函数f (x )＝(1 x )·x －(2 x )(x ∈[－2,2])的最大值等于________(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)．解析：当x ∈[－2,1]时，f (x )＝1·x －2＝x －2，f (x )max ＝－1；当x ∈(1,2]时，f (x )＝x 2·x －2＝x 3－2，f (x )max ＝6，故填6.答案：6三、解答题(4×10＝40分)13．求下列函数的值域：(1)y ＝x 2x ＋1；(2)y ＝x 2－x x 2－x ＋1； (3)y ＝x －1－2x ；(4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.分析：解析：(1)解法一：(反函数法)因为函数y ＝x 2x ＋1的反函数为y ＝11－2x，后者其定义域为{x |x ≠12，x ∈R }， 故函数的值域为{y |y ≠12，x ∈R }． 解法二：(分离常数法)y ＝x 2x ＋1＝x ＋12－122(x ＋12)＝12－122x ＋1. ∵12(2x ＋1)≠0，∴函数的值域为{y |y ≠12，y ∈R }． (2)解法一：(配方法)∵y ＝1－1x 2－x ＋1，而x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1. 解法二：(判别式法)由y ＝x 2－x x 2－x ＋1，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0， ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1，又∵x ∈R ，∴必须△＝(1－y )2－4y (y －1)≥0.∴－13≤y ≤1. ∵y ≠1，∴函数的值域为[－13，1)． (3)解法一：(单调性法)定义域为{x |x ≤12}，函数y ＝x ，y ＝－1－2x ，均在(－∞，12]上递增，则y ＝x －1－2x 在(－∞，12]上递增，故y ≤12－1－2×12＝12.解法二：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0，且x ＝1－t 22.∴y ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)， ∴y ∈(－∞，12]． (4)当x >1时，log 3x >0，故有y ≥2log 3x ·1log 3x－1＝1. 当且仅当log 3x ＝1log 3x，即log 3x ＝1，即x ＝3时等号成立． 当0<x <1时，log 3x <0，－log 3x >0，∴y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－(－log 3x －1log 3x)－1≤－2(－log 3x )·(－1log 3x )－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝1log 3x ，即x ＝13时等号成立， 综上可知，函数的值域为{y |y ≤－3或y ≥1}．14．对于函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)，解答下列问题： (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数f (x )在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围；(4)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值；(5)若函数f (x )的值域为(－∞，－1]，求实数a 的值；(6)若函数f (x )在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．思路探究：定义域为自变量x 的取值范围，值域为对应函数值的集合，单调区间为定义域的子区间．解析：设u ＝g (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2.(1)∵u >0对x ∈R 恒成立， ∴u min ＝3－a 2>0，∴－3<a <3(或由x 2－2ax ＋3>0的解集为R 得Δ＝4a 2－12<0求出－3<a <3)．(2)∵f (x )的值域为R ，∴u ＝g (x )的值域为(0，＋∞)，∴Δ＝4a 2－12≥0，即a ≥3或a ≤－ 3.∴实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(3)由f (x )在[－1，＋∞)上有意义，知u ＝g (x )＝x 2－2ax ＋3>0对x ∈[－1，＋∞)上恒成立．∵g (x )的对称轴为x ＝a ，∴当a <－1时，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <－12a ＋4>0，解得－2<a <－1.当a ≥－1时，Δ<0，即－3<a <3，∴－1≤a < 3.故所求a 的取值范围是(－2，－1)∪[－1，3)，即(－2，3)．(4)命题等价于x 2－2ax ＋3>0的解集为{x |x <1或x >3}．∴x 2－2ax ＋3＝0的两根为1和3，∴2a ＝1＋3，即a ＝2.(5)∵y ＝f (x )≤－1，∴u ＝g (x )的值域为[2，＋∞)．∴3－a 2＝2，即a ＝±1.(6)命题等价于即所求a 的取值范围是[1,2)．规律方法：(1)确定函数y ＝log a f (x )的定义域，即求不等式f (x )>0的解集；确定其值域，要根据f (x )的值域以及a 与1的大小关系．(2)函数y ＝log a f (x )的值域为R 的充要条件是：{y |y ＝f (x )}⊇(0，＋∞)．15．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x (x ＞0)台的收入函数为R (x )＝3000x －20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )＝500x ＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否具有相同的最大值？解析：(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝(3000x －20x 2)－(500x ＋4000)＝－20x 2＋2500x －4000(x ∈[1,100]且x ∈N )．MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－20(x ＋1)2＋2500(x ＋1)－4000－(－20x 2＋2500x －4000)＝2480－40x (x ∈[1,100]且x ∈N )．(2)P (x )＝－20(x －1252)2＋74125， 当x ＝62或63时，P (x )max ＝74125(元)．因为MP (x )＝2480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP (x )max ＝2440(元)．因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值．16．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2， 设1≤x 1≤x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)(1－12x 1x 2)， ∵1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0,2x 1x 2>2.∴0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0.∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数．∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. (2)在区间[1，＋∞)上f (x )>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数． ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.。