3.2_恒定磁场的边界条件3.3__矢量磁位2010
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电磁场 恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
2）无外场时，各分子环流无规取向，总体磁矩为零，此时无宏观 磁场。有外场时，这些微磁矩受到力矩
的作用，趋于沿外场方向排列（
）。此时，出现
的有
序分布，总磁场不再为零，宏观上呈现磁性。这个过程，称为物 质（媒质）的磁化。 3）磁化的后果，就是媒质产生附加的磁场，叠加于外磁场之上， 空间的磁场，由二者共同决定。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
•
也可以定义磁力线（ B 线），其微分方程：
工程电磁场导论：恒定磁场
【例3－1】有限长直线电流的磁场问题。
•
考虑对称性，选取柱坐标，导线中点为坐标原点，导线与 z 轴重 合。显然，磁场与 维度无关。
取元电流
在 z′处，其在 P
点产生的元磁场
其中
工程电磁场导论：恒定磁场 因此
故
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
• 各向同性线性磁介质，有本构方程
称为磁化率，是一个无量纲的纯数。此时有
其中
为相对磁导率，
为磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场 一些磁介质的性能
工程电磁场导论：恒定磁场
• 对于铁磁介质，情况十分复杂。
等式 仍然成立，但是
不成立。 M～H 间没有线性关系。
工程电磁场导论：恒定磁场
磁场能量课件ppt
S Jm dS
M dS
S
M dl
C
( B M ) dl I
C 0
令
H B M
0
H称为磁场强度，单位：安培每米（ A/ m）。有
CH dl I
上式为介质中安培环路定律的积分形式 利用斯托克斯定律有
C H dl S H dS I SJ dS
由于积分路径是任意的，所以有
量B也不会是 的函数。取场点为 (r,0, z)；源点为
(0,0, z') 。则
R r r' rer (z z')ez
R r (z z') eR R R er R ez
dl' ez dz'
dl 'e R
r R
dz' e
根据线电流的毕奥-沙伐公式得
B 0
4
Idl 'e R C' R2
2 ( 1 ) 4 (r r')
R
方程右边可变换为
B(r)
0 4Βιβλιοθήκη S'J
(r R
'
)
dS
'
0
J (r') (r r')dV '
v'
❖ 在导体表面上，电流密度总是与面的法线垂直，故
它们的点乘积恒为零，即：
J (r') dS' 0
因此方程右边第一项恒为零。所以
B(r) 0
J (r') (r r')dV '
【解】场源电流与 、z无关，所以磁感应强度关于z 轴圆对称，只要选择同心圆积分回路，则在积分回 路上只存在B的切向分量，且数值相等。
第3章-2-磁化+边界条件+电感
(r
1)
J (b2 2b
a2 )
ez
磁介质中自由电流激发磁化电流。
思考：为什么r=a-，r=b+ 没有磁化电流？ 真空r＝1
例题3-8 删
19
3.4 恒定磁场的边界条件
S B dS 0
B 0
L H dl I
H J
B H
2A J
利用上面方程讨论介质分界面的B、H、A的变化规律
20
3.4 恒定磁场的边界条件
定义磁场强度:
B
0
Pm
J
H B Pm A / m
0
（3-30）
B 0(H Pm)
D 0E P
H J
磁介质中安培环路定理的微分形式。
（3-31）
12
3.3 磁偶极子与介质磁化
3.3.3 介质中的恒定磁场方程 1. 磁场强度、安培环路定理 磁介质中安培环路定理的积分形式。
H J
上式两边取面积分：
B1n =0
21
3.4 恒定磁场的边界条件
3.4.2 磁场强度的切向边界条件
en
H1
H dl I
△h→0H1
L
l1
H2
l2
Jsl
1
l 1 h
et
2
2
JS
H1 etl H2 etl Jsl
H2
积分方向与电流呈右手关系！
(H1 H2 ) et Js
（3-40）
H1t H 2t J s 讨论：1）如果JS =0, 则
即
A1n A2n
综合两个结论，有 A1 A2 （3-42）
表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。 23
3.4 恒定磁场的边界条件
大学物理电磁场第3章讲义教材
zˆ4(a20Iaz22)3/2
2
0
d'
B(z)2(a20Iaz22)3/2 z
3.2 真空中的静磁场基本方程
1. 磁通连续性定理
定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：
BdS 单位 韦伯Wb
S
若S面为闭合曲面
ΦBdS0
磁通连续 性定理
上页 下页
ΦBdS0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头
Bdl 2B0I
l
得到
B
0I 2
e
323
I’ II 3 2 2-- 2 22 2 I 3 2 3 2-- 22 2
lBdl2B 0I3 2 3 2--22 2
得到
B
0I 2
32 -2 32 -22
e
同轴电缆的磁场分布
上页 下页
4.真空中的磁场方程
B (r)40 VJR 2R ˆd V '
磁矢位
注意 1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算 量，无明确的物理意义；
2 A适用于整个磁场区域；
③因
mBdSAdS Stokes’ A dl
S
S
l
m Adl
l
A的单位 Wb/m （韦伯/米）
④ 恒定磁场中A满足库仑规范
A0
2 . 磁矢位 A 的求解
应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为 场源问题和边值问题。
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律
真空中
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
l1
电磁场与电磁波(第四版)(王家礼) (4)
• E • (j ) 2j 0
第三章 恒定电流的电场和磁场 3.1.6 恒定电流场的边界条件
将恒定电流场基本方程的积分形式应用到两种不同导体的 界面上(如图 3-4所示)，可得出恒定电流场的边界条件为
n×(E2－E1)=0
(3-20)
n·(J2－J1)=0
(3-21)
或
J1n=J2n
(3-22)
3.1 恒定电流的电场
3.1.1 电流密度 我们知道，导体内的自由电子在电场的作用下，会沿着与
电场相反的方向运动，这样就形成电流。习惯上，规定正电荷 运动的方向为电流的方向，用电流强度描述一根导线上电流的 强弱(电流强度定义为单位时间内通过某导线截面的电荷量)。
第三章 恒定电流的电场和磁场 电流强度只能描述一根导线上总电流的强弱。为了描述电 荷在空间的流动情况(即考虑导体截面的大小)，要引入电流密 度的概念。电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某点的正 电荷运动方向相同（实际上是自由电子移动方向的反方向）， 大小等于与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度。若
C0
2π
ln b
a
可以直接得出同轴线单位长度的漏电导为
G0
2π
ln b
a
例 3-3 计算深埋地下半径为a的导体半球的接地电阻(如图
3-7 所示)。设土壤的电导率为σ；接地半球的电导率为无穷大。
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-7 半球形接地器
第三章 恒定电流的电场和磁场 解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将
流场的矢量线叫做电流线。
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-1 电流密度
第三章 恒定电流的电场和磁场
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情 况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积 S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即
第三章 恒定电流的电场和磁场 3.1.6 恒定电流场的边界条件
将恒定电流场基本方程的积分形式应用到两种不同导体的 界面上(如图 3-4所示)，可得出恒定电流场的边界条件为
n×(E2－E1)=0
(3-20)
n·(J2－J1)=0
(3-21)
或
J1n=J2n
(3-22)
3.1 恒定电流的电场
3.1.1 电流密度 我们知道，导体内的自由电子在电场的作用下，会沿着与
电场相反的方向运动，这样就形成电流。习惯上，规定正电荷 运动的方向为电流的方向，用电流强度描述一根导线上电流的 强弱(电流强度定义为单位时间内通过某导线截面的电荷量)。
第三章 恒定电流的电场和磁场 电流强度只能描述一根导线上总电流的强弱。为了描述电 荷在空间的流动情况(即考虑导体截面的大小)，要引入电流密 度的概念。电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某点的正 电荷运动方向相同（实际上是自由电子移动方向的反方向）， 大小等于与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电流强度。若
C0
2π
ln b
a
可以直接得出同轴线单位长度的漏电导为
G0
2π
ln b
a
例 3-3 计算深埋地下半径为a的导体半球的接地电阻(如图
3-7 所示)。设土壤的电导率为σ；接地半球的电导率为无穷大。
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-7 半球形接地器
第三章 恒定电流的电场和磁场 解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将
流场的矢量线叫做电流线。
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-1 电流密度
第三章 恒定电流的电场和磁场
可以从电流密度J求出流过任意面积S的电流强度。一般情 况下，电流密度J和面积元dS的方向并不相同。此时，通过面积 S的电流就等于电流密度J在S上的通量，即
恒定电场的基本方程和边界条件
E1t E2 t
E1t E2 t
J1n J 2 n
1 2 1 2 , 1 2 n n
1 1 1 D E E E E2 2 2 2
1 1 1 We D EdV E EdV E 2dV 2 V 2 V 2 V
17
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
本节内容
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导
J1n J 2n
22
3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界 形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这 两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就 可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场
的方法称为比拟法。
U
1 2 lim
Δl 0 P 1
P2
E dl 0
媒质1 1 媒质2
由 en ( D1 D2 ) S 和 D
2 1 2 1 S n n
1 2
2
1 P1 2 Δl
P2
2 1 2 1 • 若介质分界面上无自由电荷，即 S 0 n n • 导体表面上电位的边界条件： 常数， S n
13
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度
等位线方程：
1 1 E (r ) (er e e ) r r r sin q (er 2 cos e sin ) 3 4π 0 r
J 0 微分形式： E 0
电磁场-恒定磁场
PN = r cosθ
x
N
φ'
M
y
eϕ
NM 2 = a 2 + (r sinθ ) 2 − 2a(r sinθ ) cosϕ'
2a a2 R = (r cosθ ) + a + (r sinθ ) − 2a(r sinθ ) cosϕ ' = r 1 − sin θ cos ϕ '+ 2 r r
2 2 2
电磁场与电磁波
矢量磁位
v u µ0 Idl ' v dA= 4π R
v v dl ' = adϕ ' eϕ
P
r
z
µ 0 Ia cos ϕ ' dAϕ = 2dA cos ϕ ' = dϕ ' 2πR µ 0 Ia π cos ϕ ' Aϕ = ∫0 R dϕ ' 2π
θ
R
a
r'
其中
R 2 = PN 2 + NM 2
u v ∇⋅B = 0
磁通连续性原理
上式称为磁通连续性原理 上式称为磁通连续性原理 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零， 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零，即磁通 穿过任意闭合面的磁通量恒为零 总是连续的，磁场线总是闭合曲线 闭合曲线。 总是连续的，磁场线总是闭合曲线。磁通连续性原理是磁 场的一个基本特征 基本特征。 场的一个基本特征。
2010-12-8
Page 16
合肥工业大学
电磁场与电磁波
矢量磁位
因为 将上式展开为泰勒级数， r >> a 将上式展开为泰勒级数，取前两项
a 1 1 ≈ (1 + sin θ cos ϕ ' ) R r r
x
N
φ'
M
y
eϕ
NM 2 = a 2 + (r sinθ ) 2 − 2a(r sinθ ) cosϕ'
2a a2 R = (r cosθ ) + a + (r sinθ ) − 2a(r sinθ ) cosϕ ' = r 1 − sin θ cos ϕ '+ 2 r r
2 2 2
电磁场与电磁波
矢量磁位
v u µ0 Idl ' v dA= 4π R
v v dl ' = adϕ ' eϕ
P
r
z
µ 0 Ia cos ϕ ' dAϕ = 2dA cos ϕ ' = dϕ ' 2πR µ 0 Ia π cos ϕ ' Aϕ = ∫0 R dϕ ' 2π
θ
R
a
r'
其中
R 2 = PN 2 + NM 2
u v ∇⋅B = 0
磁通连续性原理
上式称为磁通连续性原理 上式称为磁通连续性原理 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零， 磁感应强度穿过任意闭合面的磁通量恒为零，即磁通 穿过任意闭合面的磁通量恒为零 总是连续的，磁场线总是闭合曲线 闭合曲线。 总是连续的，磁场线总是闭合曲线。磁通连续性原理是磁 场的一个基本特征 基本特征。 场的一个基本特征。
2010-12-8
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合肥工业大学
电磁场与电磁波
矢量磁位
因为 将上式展开为泰勒级数， r >> a 将上式展开为泰勒级数，取前两项
a 1 1 ≈ (1 + sin θ cos ϕ ' ) R r r
电磁场理论31
Jm M (A/ m2)
而M× n 对应一个面电流密度, 称为束缚面电流密度, 用JmS 表
示:
JmS M n
(A/ m)
例 3 - 7 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 3 -15 所示)， 磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电 流Jm和磁化面电流JmS。
图 3 – 15 例 3 - 7用图
c
S
强度H， 然后由H求出B和M。
当r≤a时， 电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培 环路定律得
0Idl ' C 4
S
1 R
dS
再由矢量恒定式：
V AdV S A dS
则有：
B dS 0Idl ' 1 dV
S
C 4 V
R
因梯度场为无旋场： 1 0 R
所以有：
B dS 0 磁通连续性原理 S
应用高斯定理
S B dS V BdV 0
由V的任意性，可得微分形式：
说明：以上三个计算磁矢位的公式，均假定电流分布在 有限区域，且磁矢位的零点取在无穷远处(与静 电位的积分公式类似)。
矢量磁位解的形式隐含着一个重要的性质, 就是恒 定电流分布在有限空间的条件下, A的散度是零,
A(r) 0
另外，引入矢量磁位可以简化磁通量的计算：
S B dS S ( A) dS l A dl
er
2
cos
e
sin
3. 磁偶极子的磁场 1） 磁偶极子的磁力线是没有头尾的闭合曲线。
2） 位于外磁场中的磁偶极子，会受到外磁场的作用力及其
力矩：
F mB
T mB
§3.5 磁介质中的基本方程
1 物质的磁化
而M× n 对应一个面电流密度, 称为束缚面电流密度, 用JmS 表
示:
JmS M n
(A/ m)
例 3 - 7 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 3 -15 所示)， 磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电 流Jm和磁化面电流JmS。
图 3 – 15 例 3 - 7用图
c
S
强度H， 然后由H求出B和M。
当r≤a时， 电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培 环路定律得
0Idl ' C 4
S
1 R
dS
再由矢量恒定式：
V AdV S A dS
则有：
B dS 0Idl ' 1 dV
S
C 4 V
R
因梯度场为无旋场： 1 0 R
所以有：
B dS 0 磁通连续性原理 S
应用高斯定理
S B dS V BdV 0
由V的任意性，可得微分形式：
说明：以上三个计算磁矢位的公式，均假定电流分布在 有限区域，且磁矢位的零点取在无穷远处(与静 电位的积分公式类似)。
矢量磁位解的形式隐含着一个重要的性质, 就是恒 定电流分布在有限空间的条件下, A的散度是零,
A(r) 0
另外，引入矢量磁位可以简化磁通量的计算：
S B dS S ( A) dS l A dl
er
2
cos
e
sin
3. 磁偶极子的磁场 1） 磁偶极子的磁力线是没有头尾的闭合曲线。
2） 位于外磁场中的磁偶极子，会受到外磁场的作用力及其
力矩：
F mB
T mB
§3.5 磁介质中的基本方程
1 物质的磁化
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H1 sin1 H2 sin2
由图3.17中可以看出，上式可以写为
H1t H2t 3.45
所以在两种磁介质的分界面上，H的切向分量是连续的。
2． B法向分量的边界条件
在两种磁介质的分界面上作一个极扁的跨过分界面两侧的小 扁状闭合柱面（高h为无穷小），圆柱形高斯面，设底面和顶面 的面积均等于ΔS,由恒定磁场的高斯定理（或应用磁通连续方程）: 仿照2.2.1节中D的法向分量边界条件的推导方法可以导出
界面上无面电流时 仿照2.2.1节中推导（2.86）式的 方法，可以导出B线和H线在分界面 上发生折射的关系式
H 2sin 2 H 1sin 1 B2 cos 2 B1cos 1
B2=μ2H2, B1=μ1H1
tg1 1 tg2 2
3.48
H1 sin1 H2 sin23．2．2 铁磁质表面的边界条B件 dS 约定铁磁质的下标为2，另一种介质的下S 标为1。对于铁
H2
B2
2
所以铁磁质表面处磁力线（磁感应 线）稀少并与界面垂直。
切向无磁力线 在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。
磁导率为无限大 的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体
中不可能存在磁场强度，否则，由式 可B见= ， H将需要无限
大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电 流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。因此，在 理想导磁体中不可能存在磁场强度。因为边界上磁场强度的 切向分量是连续的，可见，在理想导磁体表面上不可能存在 磁场强度的切向分量，换言之，磁场强度必须垂直于理想导 磁体表面。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。
A A A A B
所以对于给定的B，可引入无数个A。原因是由亥姆霍兹定理， 一个矢量场的性质由该矢量场的散度和旋度唯一地确定，（3.50） 式只定义了矢量场A的旋度，没有定义散度，所以矢量场A是不 确定的。
为了使A是唯一的，令
A0
此时
3.51
A A A 2 2 0
代入上式可得
nˆ H1 H2 0 3.44
nˆ 0M 0JmS ,
JmS M nˆ
3．3 矢量磁位
3.3.1 矢量磁位A的引入
由·B=0和矢量恒等式·(×A)=0，B可以写为
B A 3.50
A称为矢量磁位，单位是特斯拉·米或韦伯/米。由（3.50） 式定义的A不是唯一的，例如设另一矢量A A ，ψ为 任一标量函数，则
nˆ B1 B2 0JmS
3.49
由H B M
0
，真空中 B1 0 H1 ，介质中 B2 0 H2 0 M
nˆ 0 H1 nˆ (0 H2 0 M ) 0JmS
nˆ 0 H1 nˆ (0 H2 0 M ) 0JmS
由于介质2表面没有传导电流，由（3.44）式 nˆ H1 H2 0
l H dl H1 l1 H2 l2 H1 H2 l1
sˆ 由图3.17中可以看出 l1 sˆ nˆl , 是回路包围的曲
面ΔS的单位法线矢量，所以上式可以写为
l H dl H1 H2 (sˆ nˆ)l nˆ H1 H2 sˆl 3.41
H dl l
I0i
面，磁导率分别是1、2 ，两种
介质中的磁场强度分别是H1、H2, 图3.17 H切向分量的边界条件
与分界面法线的夹角分别是θ1, θ2,
单位法线矢量 由介nˆ 质2指向介质
1。在两种磁介质的分界面上作一
个极窄的跨过分界面两侧的矩形 回路ABCDA，这个小矩形回路的
两边平行于分界面，且分居于分 界面两侧，另外两边h垂直穿过分
3．2 恒定磁场的边界条件
3.2.1 两种磁介质界面上的边界条件
在不同磁介质的分界面上，由于 磁介质的磁导率存在突变，而且 在磁介质表面上一般还存在着束 缚电流，因此，B和H在经过分界 面时要发生突变。 B和H在分界面 两侧的变化关系称为B和H在分界 面上的边界条件。 1． H切向分量的边界条件
图3.17是两种磁介质的分界
例题3.7 试导出介质表面磁化 电流密度Jms的表达式。 解：设图3.17中介质1是真空，介 质2是磁介质，介质2表面没有传 导电流时，安培环路定理可以写 为
l B dl 0 Imi i
上式右边是对环路包围的所有磁
化电流求和。用与推导（3.43）式
相同的方法可以导出 nˆ H1 H2 JS 3.43
界面，且h→0。 AB=CD=l， BDC=DCA0 ，如图3.17中所示。
利用安培环路定理
H dl l
I0i
3.40
i
上式的左边可以写为
H dl l
AB H1 dl
H dl
BDC
CD H2 dl
H dl
DCA
由于矩形回路极窄， BDC=DCA＝h 0 ，
上式中第二项和第四项积分为零，所以
S B dS 0
可得
s B dS B1 n1S B2 n2S
即： nˆ
或者
(B1
B1 nS
B2) 0
B2Leabharlann nS 3.470
B1n B2n 3.46
故：磁感应强度的法向分量连续
n
B1
B1t
B1n
B1n
2 112
B2n
B1
B1t
1
2 B2t
B2
B2n B2
B2t
3．B线和H线在分界面的折射
3.40
（3.40）式的右边i 可以写为
I0i
i
JS sˆl
沿 sˆ3方.42向 的分量
把（3.41）式和（3.42）式代入（3.40）式可得
nˆ H1 H2 JS 3.43
界面上无面电流时
l H dl nˆ H1 H2 sˆl
nˆ H1 H2 0 3.44
所以
3.41
A’不满足（3.51）式，使得A是唯一的。所以矢量磁位A是由 （3.50）式和（3.51）式引入的，（3.51）式是一个附加的条件， 称为库仑规范。
B A 3.50
3.3.2 矢量磁位A的微分方程及其解
磁质，边界条件（3.45）式、（3.46）式和（3.48）式仍然成
立。H1t H2t 由（3.46）式
3, .在45与磁B通1n垂直B2的n 界3面.4上6 ，磁感应tt强gg1度2 B是12 连3.48
续的。由于μ2＞＞μ1，给定B，铁磁质内的磁场强度H2≈0，
由边界条件（3.45）式
H1t=H2t0