2016-2017学年高三第一次模拟(数学理)(含答案)word版
辽宁省葫芦岛市2017届高三第一次模拟考试试卷数学理Word版含答案
2017年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设全集{}{}{}2,1,0,1,2,|1,2,0,2U A x x B =--=≤=-，则()U C AB =A. {}2,0-B.{}2,0,2-C. {}1,1,2-D. {}1,0,2- 2.已知复数()1z i i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若34542a a a ++=，则7S =A. 98B. 49C. 14D. 147 4.下列命题中正确的是A.若两条直线和同一平面所成角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线垂直D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膳.已知“鳖膳”的三视图如图所示，则该鳖膳的外接球的表面积为A. 200πB. 50πC. 100πD.1252π 6.函数22ln x x y x=的图象大致是7.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术.下面的程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为20,17，则输出的c =A. 1B. 6C. 7D. 118.为了调查广告与销售额的关系，某厂商对连续5年的广告费和销售额进行了统计，得到统计数据如下表（单位：万元）。
天津市武清区2016-2017学年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
天津市武清区2016-2017学年高考一模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．23．已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．154．设a=log412，b=log515，c=log618，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a5．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．6．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知关于x的不等式（ab＞1）的解集为空集，则的最小值为（）A．B．2 C． D．4AM 8．如图，已知：|AB|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则DC 的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．求直线l与圆C相交所得弦长为．12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为．13．如图：PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为．14．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．17．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．（1，0），点H（2，）在椭圆上．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PFQ的2周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且a 2=2，S 5=15，数列{b n }满足：b 1=，b n+1=b n （n ∈N +），记数列{b n }的前n 项和为T n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ；（2）求数列{b n }的通项公式b n 及前n 项和公式T n ；（3）记集合M={n|≥λ，n ∈N +}，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围．20．设函数f （x ）=﹣aln （1+x ），g （x ）=ln （1+x ）﹣bx ． （1）若函数f （x ）在x=0处有极值，求函数f （x ）的最大值；（2）是否存在实数b ，使得关于x 的不等式g （x ）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式﹣1＜﹣lnn ≤（n=1，2．…）．天津市武清区2016-2017学年高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解： =，故选：D．2．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是（）A．4 B．C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（1，1）将C（1，1）的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2﹣1=1．即z=2x﹣y的最大值为1．故选：C．3．已知如程序框图，则输出的i 是（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15【考点】循环结构．【分析】写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C4．设a=log 412，b=log 515，c=log 618，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】由于a=1+log 43，b=1+log 53，c=1+log 63，而log 43＞log 53＞log 63，即可得出．【解答】解：∵a=log 412=1+log 43，b=log 515=1+log 53，c=log 618=1+log 63，而log 43＞log 53＞log 63，∴a ＞b ＞c ．故选：A ．5．已知f （x ）=2x+3（x ∈R ），若|f （x ）﹣1|＜a 的必要条件是|x+1|＜b （a ，b ＞0），则a ，b 之间的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】化简|f （x ）﹣1|＜a 得＜x ＜．化简|x+1|＜b 得﹣b ﹣1＜x ＜b ﹣1，由题意可得（， ）⊆（﹣b ﹣1，b ﹣1），故﹣b ﹣1≤，b ﹣1≥，由此求得a ，b 之间的关系．【解答】解：|f （x ）﹣1|＜a 即|2x+2|＜a ，即﹣a ＜2x+2＜a ，即＜x ＜． |x+1|＜b 即﹣b ＜x+1＜b 即﹣b ﹣1＜x ＜b ﹣1．∵|f （x ）﹣1|＜a 的必要条件是|x+1|＜b （a ，b ＞0），∴（， ）⊆（﹣b ﹣1，b ﹣1），∴﹣b ﹣1≤，b ﹣1≥，解得b ≥，故选A ．6．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A 1（﹣a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，b ），B 2（0，﹣b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），且a 2+b 2=c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为， 由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4， 即为b 2c 2=a 2（b 2+c 2），即有c 4+a 4﹣3a 2c 2=0，由e=，可得e 4﹣3e 2+1=0，解得e 2=，可得e=，（舍去）． 故选：A ．7．已知关于x 的不等式（ab ＞1）的解集为空集，则的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．4【考点】基本不等式；一元二次不等式的应用．【分析】由题意得：，，得．利用此式进行代换，将T化成，令ab﹣1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选D．8．如图，已知：|AB|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立适当的直角坐标系，求出相关点的坐标，求出与，然后求解的表达式，求出最大值即可．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣2，0），C（2，0），O（0，0），M（2，﹣2），设D（2cosα，2sinα）．∴=（4，﹣2），=（2﹣2cosα，﹣2sinα）．•=4×（2﹣2cosα）+4sinα=8﹣8cosα+4sinα=8+4sin（α﹣θ），其中tanθ=2．sin（α﹣θ）∈[﹣1，1]，∴的最大值是8+4，故选：A．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．若函数f（x）=，则f（x）与x轴围成封闭图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】射线画出函数图象，明确f（x）与x轴围成封闭图形，利用定积分表示后就是即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（x的）与x轴围成封闭图形如图，其面积为：==；故答案为：．10．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 2 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是以侧视图为底面，高为2的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由题意，几何体的直观图是以侧视图为底面，高为2的四棱锥体积V==2，故答案为：2．11．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，圆C的参数方程为（θ为参数）．求直线l与圆C相交所得弦长为．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】分别把直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d，利用弦长公式：弦长=2，即可得出．【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=1，展开可得：ρsinθ+=1，化为直角坐标方程：x+y﹣2=0．圆C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程： =4，可得圆心，半径r=2．圆心C到直线l的距离d==．∴直线l与圆C相交所得弦长=2=2=．故答案为：．12．（1+x）6（1﹣x）6展开式中x6的系数为﹣20 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式，求得=（1﹣x2）6开式中x6的系数为﹣，计算求的结果．【解答】解：（1+x）6（1﹣x）6=（1﹣x2）6开式中x6的系数为﹣=﹣20，故答案为：﹣20．13．如图：PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=10，PB=5，则AC长为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接AB，利用切割线定理先求出PC，进而求出BC；在Rt△ABC中，利用勾股定理有BC2=AC2+AB2①；再利用弦切角定理，可知∠PAB=∠BAC，再加上一组公共角，可证△PAB∽△PCA，那么就有PC：AC=PA：AB②；两式联合可求AC．【解答】解：连接AB，根据切割线定理有，PA2=PB•PC，∴102=5×（5+BC），解得BC=15，又∵∠PAB=∠PCA，∠APB=∠CPA，∴△APB∽△CPA，∴PA：AB=PC：AC，∴10：AB=20：AC①；∵BC是直径，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2=152②；①②联立解得AC=．故答案为：．14．已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为 4 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量，设函数．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．【考点】平面向量的坐标运算；两角和与差的正弦函数；正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）用向量的数量积法则及三角函数的二倍角公式化简f（x），再用三角函数的周期公式和整体代换的方法求出周期和单调区间（2）用三角形的面积公式和余弦定理列方程求．【解答】解：（1）∵，∴===∴令∴∴f（x）的单调区间为，k∈Z．（2）由f（A）=4得∴又∵A为△ABC的内角∴∴∴∵∴∴c=2∴∴（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，∴，∴，2 3数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PED；（Ⅱ）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由三角形的中位线定理得到线线平行，然后直接利用线面平行的判定定理得到线面平行；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小；（Ⅲ）假设存在点M，由共线向量基本定理得到M点的坐标，其中含有一个未知量，然后利用直线FM与直线PA所成的角为60°转化为两向量所成的角为60°，由两向量的夹角公式求出M点的坐标，得到的M点的坐标符合题意，说明假设成立，最后得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FG∥PE．又FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，所以FG∥平面PED．（Ⅱ）解：因为EA⊥平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥CD．又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD．如图建立空间直角坐标系，因为AD=PD=2EA，所以D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1）．因为F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，所以F（1，1，1），G（2，1，），H（0，1，1）．所以，，设为平面FGH的一个法向量，则，即，=1，得．再令y1，设为平面PBC的一个法向量，则，即，=1，得．令z2所以=．所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为．（Ⅲ）在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°证明：假设在线段PC上存在点M，使直线FM与直线PC所成角为60°．依题意可设，其中0≤λ≤1．由，则．又因为，所以．又直线FM 与直线PA 成60°角，，所以，即，解得：．所以，．所以，在线段PC 上存在点M ，使直线FM 与直线PC 所成角为60°，此时PM 的长为．18．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆x 2+y 2=b 2上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2+y 2=b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，问：△PF 2Q 的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上，建立方程组，可得a 值，进而求出b 值后，可得椭圆方程；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），分别求出|F 2P|，|F 2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2求出|PQ|，可得结论．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 2（1，0），点H （2，）在椭圆上，∴由题意，得，…解得a=3，b=2…∴椭圆方程为．…（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），（|x 1|≤3）∴|PF 2|2=（x 1﹣1）2+y 12=（x 1﹣9）2，∴|PF 2|=3﹣x 1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣连接OM ，OP ，由相切条件知：|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x 12+y 12﹣8=x 12，∴|PM|=x 1，∴|PF 2|+|PM|=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 同理可求|QF 2|+|QM|=3∴|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=6为定值．…19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且a 2=2，S 5=15，数列{b n }满足：b 1=，b n+1=b n （n ∈N +），记数列{b n }的前n 项和为T n ．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n ；（2）求数列{b n }的通项公式b n 及前n 项和公式T n ；（3）记集合M={n|≥λ，n ∈N +}，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围． 【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式即可得出；（2）先得到，再利用累乘法，得到数列{b n }的通项公式，再利用错位相减法求出前n 项和公式T n ；（3）根据函数的的单调性，得到不等式，n ∈N +继而求实数λ的取值范围 【解答】解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得，解得，∴a n =n ，∴．（2）由题意得，累乘得．由题意得①②②﹣①得：∴（3）由上面可得，令，则f（1）=1，，，，．下面研究数列的单调性，∵，∴n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．∵集合M的子集个数为16，∴M中的元素个数为4，∴不等式，n∈N+解的个数为4，∴20．设函数f（x）=﹣aln（1+x），g（x）=ln（1+x）﹣bx．（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：不等式﹣1＜﹣lnn≤（n=1，2．…）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由已知得：，且函数f（x）在x=0处有极值，得a=1，从而求出函数的表达式，找出单调区间求出最值；（2）由已知得：再对b分情况讨论：①若b≥1，②若b≤0，③若0＜b＜1综合得出b的取值范围是x∈[1，+∞）；（3）由前两问综合得出．【解答】解析：（1）由已知得：，且函数f（x）在x=0处有极值∴，∴a=1∴，∴当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；∴函数f（x）的最大值为f（0）=0．（2）由已知得：①若b≥1，则x∈[0，+∞）时，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx在[0，+∞）上为减函数，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx＜g（0）=0在（0，+∞）上恒成立；②若b≤0，则x∈[0，+∞）时，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx在[0，+∞）上为增函数，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx＞g（0）=0，不能使g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；③若0＜b＜1，则时，，当时，g'（x）≥0，∴g（x）=ln（1+x）﹣bx在上为增函数，此时g（x）=ln（1+x）﹣bx＞g（0）=0，∴不能使g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；综上所述，b的取值范围是b∈[1，+∞）．（3）由（1）、（2）得：取得：．令，则，．因此．又，故．。
2016-2017学年河北省唐山市高三(上)第一次摸底数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河北省唐山市高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，则满足条件的集合A 的个数是（）A．2B．4C．8D．162．（5分）已知复数满足（1+i）z＝i，则z＝（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i 3．（5分）某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在[110，130）的人数为（）A．12B．9C．15D．184．（5分）设函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为（）A．B．2C．D．16．（5分）要得到函数f（x）＝2sin x cos x，x∈R的图象，只需将函数g（x）＝2cos2x﹣1，x∈R 的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，b＝2，则输出的x＝（）A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.43758．（5分）设x0是方程（）x＝的解，则x0所在的范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．3D．10．（5分）把长为80cm的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于20cm的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+（8﹣a）x﹣5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f （x0）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），则|﹣2|＝．14．（5分）在（2x3﹣）n的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是．15．（5分）已知抛物线x2＝4y与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）有公共点P，若抛物线在P点处的切线与圆C也相切，则r＝．16．（5分）一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶30海里至B 岛，则A，B两岛之间距离是海里．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，S10＝110，S15＝240．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝+，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，P A＝BD＝，AB＝AD，E为PC的中点．（1）求AB；（2）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．19．（12分）甲将要参加某决赛，赛前A，B，C，D四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知A，B选择甲的概率均为m，C，D选择甲的概率均为n（m＞n），且四人同时选择甲的概率为，四人均未选择甲的概率为．（1）求m，n的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为X，求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，过椭圆E：+＝1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|＝+1．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S 的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+﹣2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若函数y＝f（x）的两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2a．四、[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，O为线段AB上一点，BD平分∠ABC，且OD∥BC．（1）证明：A，B，C，D四点共圆，且O为圆心；（2）AC与BD相交于点F，若BC＝2CF＝6，AF＝5，求C，D之间的距离．五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），将曲线C1上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C2．（1）写出C，D的直角坐标及曲线C2的参数方程；（2）设M为C2上任意一点，求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范围．六、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x+1|+|mx﹣1|．（1）若m＝1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．2016-2017学年河北省唐山市高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，∴A＝{1，2}，{1，2，4}，{1，2，5}，}，{1，2，4，5}，即满足题意A的个数是4．故选：B．2．【解答】解：由（1+i）z＝i，则＝＝，故选：C．3．【解答】解：根据频率分布直方图知，成绩大于等于90分的频率为1﹣0.005×20＝0.9，对应人数为36，所以班级人数为＝40；成绩在[110，130）的频率为0.9﹣（0.02+0.01）×20＝0.3，所求的人数为40×0.3＝12．故选：A．4．【解答】解：“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|是偶函数，x∈R．因此，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．故选：B．5．【解答】解：∵双曲线中，a＝2，b＝1∴c＝＝，可得F1（﹣，0）、F2（，0）∵点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝20根据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4∴两式联解，得|PF1|•|PF2|＝2因此△F1PF2的面积S＝|PF1|•|PF2|＝1故选：D．6．【解答】解：将函数g（x）＝2cos2x﹣1＝cos2x，x∈R的图象向右平移个单位，可得函数y＝cos2（x﹣）＝sin2x＝2sin x cos x，x∈R的图象，故选：D．7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1，b＝2，x＝1.5不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.5，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.25，满足条件x2﹣2＜0，a＝1.25，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.375，满足条件x2﹣2＜0，a＝1.375，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.4375，不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.4375，满足条件|a﹣b|＜0.1，退出循环，输出x的值为1.4375．故选：D．8．【解答】解：构建函数f（x）＝（）x﹣，则f（）＝＝＞0，f（）＝＜0∴函数的零点所在的区间是（，）∴解x0所在的区间是（，）故选：B．9．【解答】解：由题意，直观图为组合体，上方为三棱锥，下方为直三棱柱，由图中数据，可得几何体的体积为＝，故选：D．10．【解答】解：设把长为80cm的铁丝随机截成三段的长度分别为x，y，80﹣x﹣y，则由题意知，所以包含事件每段铁丝长度都不小于20cm所表示的面积为区域的面积为＝而基本事件所表示的平面80×80＝3200，所以由几何概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于20cm的概率为．故选：A．11．【解答】解：取CD的中点G，P A的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，∴EF＝HG＝PC＝2且EF∥HG∥PC，EH＝FG＝BD＝2且EH∥FG∥BD，故四边形EFGH为矩形，面积是4，△EIH中，EI＝HI＝，故EH上的高IJ＝，故△EIH的面积为，即平面EFGHI的面积为5，故选：C．12．【解答】解：设g（x）＝x3﹣3x2+8x﹣5，h（x）＝a（x+1），g'（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4），所以x＞4或者x＜2时函数递增，2＜x＜4时递减，并且g（1）＝，g（2）＝，g（3）＝1，g（4）＝，图象如图，函数h（x）经过（﹣1，0），要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，即g（x）＜h（x）有唯一正整数解，只要a＞0并且即解得；故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：向量＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），∴＝cos215°+sin215°＝1，||＝1；＝cos275°+sin275°＝1，||＝1；∴•＝cos15°cos75°+sin15°sin75°＝cos60°＝；＝﹣4•+4＝1﹣4×+4＝3，∴|a﹣2b|＝．故答案为：．14．【解答】解：∵在（2x3﹣）n的展开式中，各二项式系数的和为128，∴2n＝128，解得n＝7，∴T r+1＝＝•，由＝0，得r＝1，∴常数项是T2＝＝14．故答案为：14．15．【解答】解：设点P（x0，），则由x2＝4y，求导y′＝x，∴抛物线在P点处的切线的斜率为k＝x0，∵圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）的圆心的坐标为C（1，2），∴k PC＝，∴k PC•k＝•x0＝﹣1，解得：x0＝2∴P（2，1），∴r＝丨PC丨＝＝，故答案为：．16．【解答】解：连接AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得AN＝＝70，∴cos∠MAN＝＝∴cos∠ANB＝cos（30°+∠MAN）＝∴AB＝＝70，故答案为70．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S10＝110，S15＝240．∴d＝110，d＝240，联立解得a1＝d＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）b n＝+＝+＝2+，∴数列{b n}的前n项和T n＝2n++…+＝2n+1﹣．18．【解答】解：（1）连接AC，∵P A⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC，又∵BC⊥PB，PB∩P A＝P，∴BC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴BC⊥AB．∵△BCD为等边三角形，AB＝AD，∴△ABC≌△ADC，∴∠ACB＝30°，∠CAB＝60°，又BD＝，∴AB＝；（2）由（1）知，AC⊥BD，设AC∩BD＝O，分别以OC、OD所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系．则D（0，，0），B（0，﹣，0），E（，0，），A（，0，0），P（﹣，0，）．，，，．设平面BDE的一个法向量为，则，得，取，则；设平面ABP的一个法向量为，则，得，取，则．∴|cos＜＞|＝||＝||＝．平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值为．19．【解答】解：由已知得，解得m＝，n＝．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝×，P（X＝4）＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝2.2．20．【解答】解：（1）由题意可得P（﹣c，），∴k OP＝﹣，k AB＝﹣．由AB∥OP，∴﹣＝﹣，解得b＝c，a＝c，由|AF|＝a+c＝+1得b＝c＝1，a＝，故椭圆E的方程为+y2＝1．（2）由题意可设CD：y＝kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y＝kx代入+y2＝1，得x2＝，则x1＝，x2＝﹣．由A（，0），B（0，1）得|AB|＝，且AB：x+y﹣＝0，d1＝，d2＝﹣，S＝|AB|（d1+d2）＝[（x1﹣x2）+（y1﹣y2）]＝（1+k）（x1﹣x2）＝，S2＝2（1+），∵1+2k2≥2k，当且仅当2k2＝1时取等号，∴当k＝时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx+﹣2，（x＞0），f′（x）＝﹣＝，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（2）证明：由①可知0＜x1＜a，x2＞a，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；设h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x）0＜x＜a，∴h（x）＝ln+﹣，（0＜x＜a），h′（x）＝•﹣﹣＝﹣＜0，∴h（x）在（0，a）递减，∴h（x）＞h（a）＝0，∴f（x）＞f（2a﹣x），由x1∈（0，1），∴f（x1）＝f（x2）＞f（2a﹣x1），而x2＞a，2a﹣x1＞a，f（x）在（a，+∞）递增，∴x2＞2a﹣x1，即x1+x2＞2a，∴原不等式成立．四、[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（1）证明：因为△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，所以A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上．因为BD平分∠ABC，且OD∥BC，所以∠OBD＝∠CBD＝∠ODB，OB＝OD．又∠OAD+∠OBD＝90°，∠ODA+∠ODB＝90°，所以∠OAD＝∠ODA，OA＝OD．所以OA＝OB，O是AB的中点，O为圆心．…（5分）（2）解：由BC＝2CF＝6，得BF＝3，由Rt△ADF∽Rt△BCF得＝＝2．设AD＝2DF＝2x，则AF＝x，由BD平分∠ABC得＝＝2，所以＝2，解得x＝，即AD＝2．连CD，由（1），CD＝AD＝2．…（10分）五、[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），利用对称性可得：C，D，分别化为直角坐标：C，D．曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，化为直角坐标方程：x2+y2＝4．设曲线C2．上的任意一点坐标P（x，y），曲线C1的任意一点P′（x′，y′），则，可得．代入（x′）2+（y′）2＝4，得x2+4y2＝4，其参数方程为：．（2）A，B．设M（2cosθ，sinθ）．|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2＝++（sinθ﹣1）2++（sinθ+1）2++（sinθ+1）2＝12cos2θ+20∈[20，32]．六、选修4-5：不等式选讲24．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|＝2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号．故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[﹣1，1]．…（5分）（2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R；x＞0时，由f（x）＝x+1+|mx﹣1|≥2x得|mx﹣1|≥x﹣1，由y＝|mx﹣1|及y＝x﹣1的性质可得|m|≥1且≤1，解得m≥1，或m≤﹣1．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．…（10分）。
2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案
2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分,满分60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B D B C A BDAC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,满分20分.)13. 35 14.2211612x y += 15. 1(0,)216. 2015 三、解答题(本大题共6小题，满分70分.) 17、【解】 （Ⅰ）.1)6sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅-=πωωω依题意函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f 所以.1)632sin(2)(m x x f +-+=π分所以依题意的最小值为所以时当6.1)632sin(2)(.0,.)(,1)632sin(21,656326,],0[ -π+==≤π+≤π≤π+≤ππ∈x x f m m x f x x x （Ⅱ）.1)632sin(,11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f 22252,..863663622,,2sin cos cos(),2152cos sin sin 0,sin .102510sin 1,sin .122Rt C C C ABC A B B B A C A A A A A A πππππππ<+<+==∆+==+--±∴--==-<<∴= 而所以解得分在中解得分分18、∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB∴EF AE ⊥，EF BE ⊥ 又A E E B ⊥∴,,EB EF EA 两两垂直以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为轴 建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0）∴(2,2,0)EG = ，(2,2,2)BD =-,,x y z∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=∴B D E G ⊥-----------------6分()2由已知得(2,0,0)EB = 是平面DEF 的法向量,设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =∵(0,2,2),(2,2,0)ED EG ==∴00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =,得(1,1,1)n =- 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ则||23cos |cos ,|3||||23n EB n EB n EB θ=<>===∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33----------------12分 19．(本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP ………………10分 所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44k k kP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． 20.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）∵错误！未找到引用源。
(数学-理科)2017高三一模参考答案
二、填空题（13）60 （14）5 （15）（16）三、解答题（17）(本小题满分12分)在中，角所对的边长分别为，且满足,(Ⅰ)求的大小；(Ⅱ)若的面积为，求的值.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，难度：简单题．【解】(Ⅰ)由已知及正弦定理可得，…………………………（5分）(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得，又由题意可知，…………………………（12分）（18）(本小题满分12分)是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它是形成雾霾天气的主要原因之一.日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：针对日趋严重的雾霾情况各地环保部门做了积极的治理。
马鞍山市环保局从市区2015年11月~12月和2016年11月~12月的PM2.5检测数据中各随机抽取15天的数据来分析治理效果。
样本数(Ⅰ)月的空气质量是否比2015年同期有所提高？(Ⅱ)在2016年的样本数据中随机抽取3天，以X表示抽到空气质量为一级的天数，求X的分布列与期望.【命题意图】本题考查统计和离散型随机变量，难度：中等题．解答：（1）2015年数据的中位数是58，平均数是2016年数据的中位数是51，平均数是2016年11月~12月比2015年11月~12月的空气质量有提高。
…………………………（5分）（2）2016年的15个数据中有4天空气质量为一级，故X 的所有可能取值是0,1,2,33122131141141143333153344664(0),(1),(1),(0)C C C C C C P X P X P X P X C ============ .（19）(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，点是正方形的中心，，且，点为棱上一点.(Ⅰ) 当点为棱的中点时.，求证：；(Ⅱ)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查立体几何中的线面关系及空间向量的应用，难度：中等题．【解】(Ⅰ)由题意不妨设，则为等边三角形，当的中点时，又，.…………………………………………（5分）(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系则可得，假设存在符合题意的点，可设设平面的一个法向量为则 不妨取又 由可得解得.所以符合题意的点是棱上靠近点D 的三等分点. （20）(本小题满分12分)已知椭圆的焦距为4，过焦点且垂直于轴的弦长为．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点的直线交椭圆于点，设椭圆的左焦点为，求的取值范围．【命题意图】本题考查圆锥曲线的综合运用，难度：中等题．【解】(Ⅰ)椭圆的焦距是，所以焦点坐标是，由题可得，椭圆过点，椭圆的方程是…………………………………………………………（4分）(Ⅱ)由题易得，左焦点右焦点坐标为若直线垂直于轴，则点………………………………………………………（6分）若直线不垂直于轴，可设的方程为设点将直线的方程代入椭圆的方程得到则.，…………………………………………………（10分）的取值范围是………………………………………………………（12分）（21）(本小题满分12分)设函数（）．（Ⅰ）当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设，若恒成立，求的取值范围．【命题意图】本题考查导数知识的综合运用，考查学生应用知识解决问题的能力，难度：较难题．`【解】（Ⅰ）由已知，当时，上单调递增，且上单调递减，在上单调递增. ………………………………………（4分）（Ⅱ）（方法一）由题可得，，则上单调递增，令则，由知，且，的取值范围是.………………………………………………………（12分）（方法二）由题可得恒成立，令，则,解得的取值范围是.………………………………………………………（12分）四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线和曲线相交于两点，求的值．解：（Ⅰ）由………………………………3分由即.………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵直线与圆相交于两点，又的圆心，为半径为1，故圆心到直线的距离，∴．……………………………………………………10分选修4-5：不等式选讲（23）（本小题满分10分）已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，（，），求的最小值.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法和均值不等式，中等题. 解：（Ⅰ）当时，不等式为，即，∴或，∴原不等式的解集为；……………………5分（Ⅱ），∵的解集为∴………………………………………7分∴，∴（当且仅当即时取等号）∴的最小值为2．……10分解：（Ⅰ）当时，不等式为，即，∴或，∴原不等式的解集为；……………………5分（Ⅱ），∵的解集为∴………………………………………7分又，∴（当且仅当即时取等号）∴的最小值为2．……10分。
浙江省宁波市2016-2017学年高三一模数学试题Word版含答案
浙江省宁波市2016-2017学年⾼三⼀模数学试题Word版含答案浙江省宁波市2016-2017学年⾼三⼀模数学试题⼀、选择题：本⼤题共10个⼩题,每⼩题4分,共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.若复数z 满⾜：1(12)0z i ++=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部是（）A ．12- B ．12 C ．12i - D ．12i2.已知集合{|||3}M x x =≥，2{|16}N y Z y =∈≤，那么R C M N =（）A ．[3,3]-B ．(3,3)-C ．{3,2,1,0,1,2,3}---D ．{|33,}x x x Z -<<∈3.“sin sin αβ>”是“αβ>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4.已知平⾯α和共⾯的两条不同的直线,m n ，下列命题是真命题的是（）A ．若,m n 与α所成的⾓相等，则//m nB ．若//m α，//n α，则//m nC. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α?，//n α，则//m n5.函数cos ()([,])x f x xe x ππ=∈-的图像⼤致是（）A ．B ． C. D ．6.已知,x y 满⾜条件1102222x y x y x y ?-+≥??+≤??-≤??，若z mx y =+取得最⼤值的最优解不唯⼀，则实数m 的值为（）A ．1或-2B ．1或12- C. -1或-2 D ．-2或12- 7.袋⼦⾥有⼤⼩、形状相同的红球m 个，⿊球n 个（2m n >>），从中任取1个球是红球的概率记为1p ，若将红球、⿊球个数各增加1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为2p ；若将红球、⿊球个数各减少1个，此时从中任取1个球是红球的概率记为3p ，则（）A ．123p p p >>B ．132p p p >> C. 321p p p >> D ．312p p p >>8.设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点上的任意⼀点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中⼼，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离⼼率为（）A ．12B D 9.如图，半径为1的扇形AOB 中，23AOB π∠=，P 是弧AB 上的⼀点，且满⾜OP OB ⊥，,M N 分别是线段,OA OB 上的动点，则PM PN ?的最⼤值为（）A ．2B ．2C. 1 D 10.已知,a b 是实数，关于x 的⽅程2||1x ax b x +=-有4个不同的实数根，则||a b +的取值范围为（）A ．(2,)+∞B ．(2,2)- C. (2,6) D ．(,2)-∞⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知{}n a 是等⽐数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a += ，4a 的最⼤值为．12.某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：cm ），该⼏何体的表⾯积为 2cm ，体积为 3cm .13.已知1sin 3α=，0απ<<，则tan α= ，sin cos 22αα+= ． 14.若实数1a b >>且5log log 2a b b a +=，则log a b = ，2b a = ． 15.教育装备中⼼新到7台同型号的电脑，共有5所学校提出申请，鉴于甲、⼄两校原来电脑较少，决定给这两校每家⾄少2台，其余学校协商确定，允许有的学校1台都没有，则不同的分配⽅案有种（⽤数字作答）．16.已知曲线:C y =(1,0)A ，若曲线C 上存在相异两点,B C ，其到直线:10l x +=的距离分别为||AB 和||AC ，则||||AB AC += ．17.已知等腰Rt ABC ?中，2AB AC ==，,D E 分别为,AB AC 的中点，沿DE 将ABC ?折成直⼆⾯⾓（如图），则四棱锥A DECB -的外接球的表⾯积为．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）18. 在ABC ?中，⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos()cos )A B C A B C -+=-.（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）若2b =，求ABC ?⾯积的最⼤值.19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底⾯是菱形，3BAD π∠=，2AB PD ==，PB PC ==（1）求证：平⾯PBC ⊥平⾯ABCD ；（2）求直线PC 与平⾯PAB 所成⾓的正弦值.20. 已知函数()ln a f x x x x=+，32()3g x x x =--，a R ∈. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在1x =处的切线⽅程；（2）若对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成⽴，求实数a 的取值范围.21. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离⼼率12e =，原点O 到点(,0)A a -、(0,)B b 所在直线的距离为7. （1）求此椭圆C 的⽅程；（2）如图，设直线:l x my =与椭圆C 交于,P Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为'P ，直线'P Q 与x 轴是否交于⼀定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.22.已知数列{}n a 满⾜112a =，21(1)n n n a a a n n +=-+，数列1{}n n a a +的前n 项和为n S ，证明：当*n N ∈时，（1）10n n a a +<<；（2）31n n a n ≤-；（3）12n S n >-.浙江省宁波市2016-2017学年⾼三⼀模试题数学答案⼀、选择题1-5: BDDDB 6-10: ADCCA⼆、填空题11. 5，5212. 883+13. 4± 14. 1,12 15. 35 16.14 17. 10π三、解答题18.（1）在ABC ?中，A B C π++=，则cos()cos()))A B A B A B A B --+=-++，化简得：2sin sin cos A B A B =由于0A π<<，sin 0A ≠，则tan B =3B π=. （2）由余弦定理，224c a ca =+-2ac ca ac ≥-=，从⽽1sin 23S ca π=≤ 当且仅当a c =时取S 到最⼤值.19.（1）证明：如图，取BC 中点M ，连接PM 、DM 、DB ，则BCD ?和PBC ?分别是等边三⾓形、等腰直⾓三⾓形.故PM BC ⊥，DM BC ⊥，且1PM =，DM =所以222DM PM PD +=，故PM DM ⊥，所以PM ⊥平⾯ABCD .⼜PM ?平⾯PBC ，从⽽平⾯PBC ⊥平⾯ABCD .（2）如图，建⽴空间直⾓坐标系M xyz -.(0,0,1)P ，2,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，(1,0)AB =-，(0,1,1)PB =-，(0,1,1)PC =--，设平⾯ABP 的法向量为(,,)n x y z =，则00y y z ?-=??-+=??，令1x =-，解得y =z =(1,3,n =-，记直线PC 与平⾯PAB 所成⾓的平⾯⾓为θ，则||2sin 7||||14n PC n PC θ?===即直线PC 与平⾯PAB 所成⾓的正弦值为7. 20.（1）当1a =-时，1()ln f x x x x =-，(1)1f =-，'21()ln 1f x x x=++， '(1)2f =，从⽽曲线()y f x =在1x =处的切线为2(1)1y x =--，即23y x =-.（2）对任意的121,[,2]2x x ∈，都有12()()f x g x ≥成⽴，从⽽min max ()()f x g x ≥对32()3g x x x =--，'2()32(32)g x x x x x =-=-，从⽽()y g x =在12[,]23递减，2[,2]3递增，max 1()max{(),(2)}12g x g g ==. ⼜(1)f a =，则1a ≥.下⾯证明当1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成⽴. 1()ln ln a f x x x x x x x =+≥+，即证1ln 1x x x+≥. 令1()ln h x x x x =+，则'21()ln 1h x x x=+-，'(1)0h =. 当1[,1]2x ∈时，'()0h x ≤，当[1,2]x ∈时，'()0h x ≥，从⽽()y h x =在1[,1]2x ∈递减，[1,2]x ∈递增，min ()(1)1h x h ==，从⽽1a ≥时，ln 1a x x x +≥在1[,2]2x ∈恒成⽴.21.（1）由于12c e a ==，12c a =，b a =，直线AB 的⽅程为22y x a =+，原点O 到直线AB的距离为||7a d ===，解得：2a =，b =22143x y +=. （2）联⽴223412x y x my ?+=??=+??，则22(34)30m y ++-=. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，'11(,)P x y -，12234y y m -+=+，122334y y m -=+. 直线'P Q 的⽅程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则12211212x y x y x y y +==+12==即直线'P Q 与x轴交于定点. 22.证明：（1）由于210(1)n n n a a a n n +-=-≤+，则1n n a a +≤. 若1n n a a +=，则0n a =，与112a =⽭盾，从⽽1n n a a +<， 12312n a a a a =>>>>，⼜11110(1)2(1)n n n a a a n n n n +=->->++，1n a +与n a 同号，⼜1102a =>，则10n a +>，即10n n a a +<<. （2）由于10n n a a +<<，则11(1)(1)n n n n n n a a a a a a n n n n ++=-<-++.即111111(1)1n n a a n n n n +-<-=-++，111111n n a a n n +->-+，当2n ≥时，11221111111111()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 11111111311301212n n n n n a n n ->-+-++-+=-=>--- 从⽽31n n a n <- 当1n =时，112a =，从⽽31n n a n <-. （3）11111111()(1)(1)21n n n a a a a n n n n n n +=-≥-=--+++，叠加：3121211(1)21n n n a a a S n a a a n +=+++≥--+12n >-.。
甘肃省白银十中2016—2017学年第一学期高三年级第一次月考数学试题Word版含答案.doc
白银十中2016—2017学年第一学期高三年级第一次月考数学(理科)试题出题人：田学礼 审题人：王开泰第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B ＝{2,4,5}，则下图中的阴影部分表示( )A ．{5}B ．{1,3}C ．{2,4}D ．{2,3,4,5} 2．下列函数中，与函数y ＝x 相同的是( ) A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x)2C ．y ＝lg 10xD ． 2log 2x y =3. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为 ( )A ．2y x -=B ．1y x -=C ．2y x =D ．13y x =4. 给出以下四个判断，其中正确的判断是 ( )A ．函数f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的充分不必要条件B ．命题“若x≥4且y≥2，则x ＋y≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4且y ＜2”C ．若p ：∂0x ≥ ，x 2－x ＋1>0，则¬p ：∀x<0，x 2－x ＋1≤0D ．己知n ∈N ，则幂函数y ＝x 3n－7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝15．已知函数220()log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩ ，则方程1()2f x =的解集为（ ） A． B． C．{ D． 6. 如图给出了函数y ＝a x ，y ＝log a x ，y ＝log (a ＋1)x ，y ＝(a －1)x 2的图象，则与函数y ＝a x ，y ＝log a x ，y ＝log (a ＋1)x ，y ＝(a －1)x 2依次对应的图象是 ( )A ．①②③④B ．①③②④C ．②③①④D ．①④③②7. 已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x>0，都有1(2)()f x f x +=-，且当x ∈[0,2)时f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(2 015)＋f(2 016)的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．18. 定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x ，f(x))为顶点的△ABC 的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的大致图象为()9．函数2()(1)1f x x f x '=--+在x=1处的切线方程为（ ）A. 4y x =-+B. 3y x =C. 33y x =-D. 39y x =-10.已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数()y f x '＝的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：①函数f(x) 在x=0，4处取到极大值；②函数f(x)在区间[0，2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1＜a ＜2时，函数y ＝f(x)－a 不可能有3个零点．其中所有真命题的序号是（ ）A.①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④11.函数f(x)在定义域R 内可导，f(x)＝f(2－x)，当(1,)x ∈+∞时，()()10x f x '<－，设352a=f(),b=f 22(),c=f(5)log log log ，则( )A ．c<a<bB ．c<b<aC ．a<b<cD ．b<a<c12. 设函数2sin 20()20a x x f x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（其中a ∈R ）的值域为S ，若[1，+∞）⊆S ，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，）B ．[1，]∪（，2]C ．（﹣∞，）∪[1，2]D ．（，+∞）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．函数f(x)＝ 1－2log 6x 的定义域为________． 14．已知函数()()21()0,1m f x log x m m =-+>≠且的图象恒过点P,且点P 在直线1,,ax by a b R +=∈上,那么ab 的最大值为____________________.15. 已知a≥0，函数f(x)＝(x 2－2ax)e x ，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________.16. 设函数f(x)＝e 2x 2＋1x ，g(x)＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g(x 1)k ≤f(x 2)k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知()f x xlnx ＝.(1)求曲线f(x)在x e =处的切线方程.(2)求函数f(x)的单调区间.18. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax 3＋cx ＋d(a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f(x)取得极值－2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；19.（本小题满分12分）设函数f(x)＝a x －(k －1)a －x (a>0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x 2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象(二次函数图象的一部分),如图所示,请根据图象:(1)画出函数()f x 在y 轴右边的图像并写出函数()()f x x R ∈的解析式.(2)若函数()()[]2()2,1,2g x f x ax x =-+∈（a R ∈为常数），求函数()g x 的最小值及最大值.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若方程()0f x m -=有三个不同的的解，求m 的取值范围（用a 表示）。
青岛市2016年高三一模考试理科数学答案
青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B B A A C A C C D B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. i 12. 1215 13.1cos 2x π 14．3+ 15．14 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）22()sin sin ()6f x x x πωω=--1cos(2)1cos 2322x x πωω---=-111(cos 22)cos 2222x x x ωωω=+-112cos 2)22x x ωω=- 1sin(2)26x πω=- …………………………………………………………………………3分 由直线x π=是()y f x =图象的一条对称轴，可得sin(2)16πωπ-=±，所以2(Z)62k k ππωππ-=+∈，即123k ω=+ (Z)k ∈1(,1)2ω∈ ，Z k ∈，所以1k =，56ω= ………………………………………………6分所以15()sin()236f x x π=-则函数()f x 最小正周期26553T ππ==………………………………………………7分 （Ⅱ）15()sin()236f x x π=-311()sin()5264f A A π∴=-=,1sin()62A π∴-=0A π<< 5666A πππ∴-<-<,663A A πππ∴-==…………………………………9分 1a = ， ∴222212cos23b c bc b c bc bc bc bc π=+-=+-≥-=，即1bc ≤1sin 2ABC S bc A ∆∴==≤∴ABC ∆面积的最大值为4. …………………………………………………………１2分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元两人都付0元的概率为11114624P =⨯= …………………………………………………1分 两人都付40元的概率为2121233P =⨯= …………………………………………………2分两人都付80元的概率为31112111(1)(1)42634624P =--⨯--=⨯= ………………………………………3分则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++= …………………5分 （Ⅱ）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160111(0)4624P ξ==⨯=12111(40)43264P ξ==⨯+⨯=1112115(80)46234612P ξ==⨯+⨯+⨯=11121(120)26434P ξ==⨯+⨯=111(160)4624P ξ==⨯=ξ的分布列为……………………………………………………………………………………10分11511()040801201608024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在四边形ABCD 中， AC AD ⊥，2AD AC ==，045ACD ∴∠=45BCA ∠= ， 90BCD BCA ACD ∴∠=∠+∠= ，DC BC ⊥又AB BC ⊥ //AB CD ∴………………2分AB ⊂面PAB ，CD ⊄面PAB∴//CD 面PAB ……………………4分CD ⊂ 面PCD ，面PAB 面PCD l =∴//CD l ………………………5分（Ⅱ） PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，∴以A 为原点，以AD 所在的直线为x 轴，建系如图，则(0,0,2)P ，(0,0,1)E ，(2,0,0)D ，(0,2,0)C ，(1,1,0)B - ………………6分设面DCE 的法向量为1111(,,)n x y z =(0,2,1)CE =- ，(2,0,1)DE =-由111111020200n CE y z xz n DE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩令11x =，则11y =，12z =，1(1,1,2)n ∴=…………………………………8分设面BCE 的法向量为2222(,,)n x y z =(1,1,0)BC = ，(0,2,1)CE =-由22222200200n BC x y y z n CE ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩令21x =，则21y =-，22z =-，2(1,1,2)n ∴=--………………………………10分设二面角B CE D --的平面角为θ，则1212122cos cos ,3||||n n n n n n θ⋅=<>===-⋅…………………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为1)22n T =+所以1)122T =+，所以1)1224b =+=，解得：11a =所以1(1)221n a n n =+-⨯=-， 所以2(121)2n n n S n ⨯+-==, …………………………………………………………3分所以122n n T +=+,122n n T +=-当2n ≥时，1122(22)2n n n n n n b T T +-=-=---= 因为12b =适合上式所以2nn b = ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）令14(21)214nn n n c a b n =-=--，显然112c =-，22c =-，3n ≥，0n c > ……………………………7分3n ≥，12312312............22n n n W c c c c c c c c c c =--+++=++++--21232.................(21)214+28n n W n n =⨯+⨯++-- ……………………8分令21232.................(21)2n n Q n =⨯+⨯++-；则2 n Q =2311232......(23)2(21)2n n n n +⨯+⨯++-+- 两式做差得：23122222......22(21)2n n n Q n +-=+⨯+⨯++⨯-- 所以231222222......222(21)2 n n n Q n +-=⨯+⨯+⨯++⨯---2312(222......2)2(21)2n n n +=++++---21242(21)2n n n ++=----所以1(23)26n n Q n +=-+ ………………………………………………………11分所以112, (1)14, (2)(23)21434,(3)n n n W n n n n +⎧=⎪==⎨⎪--+≥⎩……………………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设MAB ∆的垂心为H ，AB边上的高所在的直线方程为：x =MAB ∆垂心的纵坐标为-H ∴-……………………………………………………………………………2分∴直线BH的斜率为BH k ==所以直线AM的斜率1AM BHk k =-=则AM的方程为：y x =+ ……………………………………………………4分由222184y x x x y y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩,所以P点的坐标为(2 ………………6分（Ⅱ）设P 点的坐标为11(,)x y ，Q 点坐标为22(,)x y ，则22111(8)2y x =-，22221(8)2y x =- 直线AP的方程为：y x =+由y x M x ⎧=+⎪⇒⎨⎪=⎩………………………………7分 由于,,M B Q 共线，所以BMBQ k k ===22221291(8)(8)x x --=⇒=⇒=化简得：12122)160x x x x -++=……()* ………………………………9分 设直线PQ 的方程为：y kx m =+由22222(12)4280184y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩所以2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++,代入()*得：2280m k ++=解得：m =，或m =- ………………………………………………11分当m =时，直线PQ的方程为：y kx =，即(y k x =，恒过；当m =-时，直线PQ的方程为：y kx =-，即(4y kx =-，恒过，此种情况不合题意综上可知：直线PQ恒过 …………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由()0f x >得:sin 0x ax ->,因为01x <<，所以sin xa x< 令sin ()x g x x =，2cos sin ()x x xg x x -'= ……………………………………2分 再令()cos sin m x x x x =-，()cos sin cos sin 0m x x x x x x x '=--=-< 所以()m x 在)1,0(上单调递减，所以()(0)0m x m <= …………………………………………………………4分 所以()0,g x '<则()g x 在)1,0(上单调递减，所以()(1)sin1g x g >=，所以sin1a ≤ ………………………………………6分 （Ⅱ）当1a =时，()sin f x x x =-,()ln 1h x x x ∴=-+ 11()1xh x x x-'=-= 由()0h x '=得：1x = ……………………………………………………………8分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(1,)+∞上单调递减；max ()(1)0h x h ∴== ……………………………………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当(1,)x ∈+∞时，()0h x <,即ln 1x x <- 令1n x n +=，则11ln1n n n n ++<-，即1ln(1)ln n n n+-< …………………………12分 分别令1,2,3,,n n = 得：l n 2l n 11-<,1ln 3ln 22-<,1ln 4ln 33-<,………………,1ln(1)ln n n n+-< 将上述n 个式子相加得：1111ln(1)1231n n n +<+++++- （*N n ∈） …………14分。
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江西省南昌市
2016—2017学年度高三第一次模拟测试
数学试题（理科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。
第I 卷 （选择题 共50分）
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题上粘
贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式：
样本数据
x x x ,,, 的标准差 锥体体积公式
s =
13
V Sh =
x 其中为样本平均数
S 其中为底面面积，h 为高
柱体体积公式
球的表面积、体积公式
V Sh =
234
4,3
S R V R ππ==
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．右图是计算函数ln(),20,232,3x x x y x x ⎧-≤-⎪
=-<≤⎨⎪>⎩
的值的程度框图，
在①、②、③处应分别填入的是 （ ） A ．ln(),0,2x y x y y =-== B ．ln(),2,0x
y x y y =-== C ．0,2,ln()x
y y y x ===-
D ．0,ln(),2x
y y x y ==-=
2．下列命题中是假命题的是
（ ）
A ．存在,,tan()tan tan R αβαβαβ∈+=+使
B ．对任意2
0,lg lg 10x x x >++>有 C ．△ABC 中，A>B 的充要条件是sin sin A B >
D ．对任意,sin(2)R y x ϕϕ∈=+函数都不是偶函数
3．设集合20
{|
(3106)0,0}x
P x t t dt x =-+=>⎰
，则集合P 的非空子集个数是 （ ）
A ．2
B ．3
C ．7
D ．8
4．甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，
成绩统计用茎叶图表如下，若甲、乙小组的平均成绩分别是 X 甲，X 乙，则下列结论正确的是 （ ） A ．X 甲>X 乙，甲比乙成绩稳定 B ．X 甲>X 乙，乙比甲成绩稳定 C ．X 甲<X 乙，甲比乙成绩稳定 D ．X 甲<X 乙，乙比甲成绩稳定 5．若()2sin()f x x m ωϕ=++，对任意实数t 都有(
)(
),()38
88
f t f t f π
π
π
+=-=-且，
则实数m 的值等于
（ ）
A ．—1
B ．±5
C ．—5或—1
D ．5或1
6．若9()x y x +按的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且1,0,x y xy x
+=<则的取值范围是
（ ）
A ．1
(,)5-∞
B ．4[,)5
+∞
C ．4(,]5
-∞-
D ．(1,)+∞
7．在棱长不a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，
则点C 到平面A 1DM 的距离为 （ ）
A B C D ．
12
a 8．抛物线22(0)y px p =>焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，
交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则△AKF 的面积是 （ ）
A ．4
B ．
C ．
D ．8
9．定义2a b ka *=-，
则方程0x x *=有唯一解时，实数k 的取值范围是（ ）
A ．{
B ．[2,1][1,2]--
C ．[
D ．[1][1-
10．函数()(2010)(2011)f x x x =-+的图象与x 轴、y 轴有三个交点，有一个圆恰好通过这
三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是
（ ）
A ．（0，1）
B ．
C ．
D ．1(0,)2
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
11．已知i 为虚数单位，则212i
i
-++的值等于 。
12．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，重心为G ，若0aGA bGB ++=
，
则∠A= 。
13．对一些城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （元）统计调查后
知，y 与x 具有相关关系，满足回归方程0.66 1.562y x =+。
若某被调查城市居民人均消费水平为7.675（千元），则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为
%（保留两个有效数字） 14．观察下列等式：
12
=1，
12—22
=—3，
12—22+32
=6，
12—22+32—42
=-10， …………………
由以上等式推测到一个一般的结论：对于*
n N ∈，12
—22
+32
—42
+…+（—1）n+1n 2
= 。
三、选做题：本大题共2小题，任选一题作答，若做两题，则按所做的第①题给分，共5分。
15．（1）设曲线C 的参数方程为23cos ()13sin x y θθθ
=+⎧⎨
=-+⎩为参数，直线l 的参数方程为121x t y t
=+⎧⎨=+⎩（t 为
参数），则直线l 被曲线C 截得的弦长为 。
（2）已知a ，b 为正数，且直线2(3)60x b y --+=与直线50bx ay +-=互相垂直，则
23a b +的最小值为 。
四、解答题：本大题共6小题，共75分。
其中（16）~（19）每小题12分，（20）题13分，
（21）题14分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若锐角C 满足
tan 2C = （1）求sin C 的值；（2）当2,4,a c ABC ==∆求的面积。
17．（本小题满分12分）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动。
（1）求所选3人中恰有一名男生的概率；
（2）求所选3人中男生人数ξ的分布列，并求ξ的期望。
18．（本小题满分12分）已知矩形ABCD 中，AB=6，BC=E 为AD 的中点（图一）。
沿BE 将△ABE 折起，使二面角A —BE —C 为直二面角（图二），且F 为AC 的中点。
（1）求证：FD//平面ABE ；
（2）求二面角E-AB-C 的余弦值。
19．（本小题满分13分）在数列*
11{},244(),23.n n n a a a n n N a ++=-∈=-中 （1）求n a ；（2）设{},n n n S a n S 为的前项和求的最小值。
20．（本小题满分13分）已知双曲线22221(0)x y b a a b
-=>>，0为坐标原点，离心率2,e =
点M 在双曲线上。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=
，
求：|OP|2
+|OQ|2
的最小值。
21．（本小题满分13分） 已知函数32
213()(3)2.32
a f x x x a a x a -=
++-- （1）如果对任意2[1,2],()x f x a '∈>恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）设实数()f x 的两个极值点分别为12,x x 判断①12,x x a ++②22
212,x x a ++③
33
312x x a ++是否为定值？若是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为
函数(),g a 并求出()g a 的最小值；
（3）对于（2）中的(),g a 设1
()[()27],,(0,1)9
H a g a m n m n =
-∈≠且，试比较 |()()|||m n H m H n e e --与（e 为自然对数的底）的大小，并证明。