专题23三角形中的三角函数(课件)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一轮总复习
2019届高考数学(文)大一轮：第3章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式sin(α±β)＝________， cos(α±β)＝________， tan(α±β)＝________. 2．公式变形(1)tan α±tan β＝________.(2)函数f(α)＝asin α＋bcos α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f(α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .答案1．sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α±tan β1∓tan αtan β2．(1)tan(α±β)(1∓tan αtan β)1．sin75°的值为________．解析：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 答案：6＋242．已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是____. 解析：∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310.答案：4－33103．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________. 解析：∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°) ＝3－3tan20°tan40°，∴原式＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 答案： 3知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．基本公式 sin2α＝________.cos2α＝________＝________＝________. tan2α＝________. 2．有关公式的逆用、变形等(1)cos 2α＝________，sin 2α＝________. (2)1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4. 答案1．2sin αcos α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α 2tan α1－tan 2α 2.(1)1＋cos2α2 1－cos2α24．计算：tan7.5°1－tan 27.5°＝________. 解析：tan7.5°1－tan 27.5°＝12×2tan7.5°1－tan 27.5° ＝12tan15°＝12tan(45°－30°) ＝12×tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝12×1－331＋33＝2－32. 答案：2－325．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin2x ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0)，则A ＝________，b ＝________. 解析：由于2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1.答案： 2 1热点一 三角公式的正用与逆用【例1】 (1)化简：＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0<θ<π)；(2)求值：sin50°(1＋3tan10°)．【解】 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos 60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(1)求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin 15°sin8°的值；(2)求tan20°＋4sin20°的值． 解：(1)原式 ＝－＋cos15°sin8°－－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝－＋＋cos20°＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3－cos20°＝ 3.热点二 三角函数式求值 考向1 给值求值【例2】 已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．【解】 (1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.1．在本例条件下，求sin(α－2β)的值． 解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cos β＝91050，sin β＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425.2．若本例中“sin α＝35”变为“tan α＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．解：∵tan α＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝35－131＋35×13＝29.考向2 给值求角【例3】 已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．【解】 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.(1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( )A.725B.15C ．－15D ．－725(2)已知cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求β的值． 解析：(1)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin2α＝1825，所以sin2α＝－725，故选D. (2)解：∵π<α<3π2，3π2<α＋β<2π，∴0<β<π.又cos α＝－1213，cos(α＋β)＝17226，∴sin α＝－513，sin(α＋β)＝－7226.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝17226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7226×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝－22，且0<β<π，所以β＝3π4.答案：(1)D热点三 三角恒等变换的综合应用 【例4】 (2016·天津卷)已知函数 f(x)＝4tanxsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；(Ⅱ)讨论f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性． 【解】 (Ⅰ)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋k π，k ∈Z}．f(x)＝4tanxcosxcos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sinxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sinx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx ＋32sinx － 3＝2sinxcosx ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos2x)－ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(Ⅱ)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sinz 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z. 由－π2＋2k π≤2x－π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x|－π12＋k π≤x≤5π12＋k π，k ∈Z}，易知A∩B＝[－π12，π4]．所以，当x ∈[－π4，π4]时，f(x)在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.已知函数f(x)＝2cos 2ωx －1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g(x)的图象是由y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解：(1)f(x)＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.因此2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.由2k π－π2≤x＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g(x)＝2cos x2，由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故π6<α＋π6<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310.求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效．其中蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化)，两种数学思想(转化思想和方程思想)，三个追求目标(化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项)，三种变换方法(切割化弦法，消元降次法，辅助元素法)．三角恒等变换中的解题策略三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，其公式多、变法活的特点使不少同学在学习此知识点时感到困难重重，力不从心．本文介绍了几种常用的三角恒等变换中的解题策略，旨在帮助大家全面、系统地了解和掌握三角变换中的常规思路与基本技巧，促进同学们的推理能力和运算能力的提升．策略1 从角入手，寻找关系好解题解有关三角函数的题目时，要特别注意角与角之间的关系，只要明确了其中的关系，解题就完成了一半．【例1】 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α＝________. 【解析】 解法1：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝35，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①可得cos 2α＝13⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋652，代入②并整理得100sin 2α＋60sin α－39＝0， 解得sin α＝43－310，或sin α＝－43＋310(舍)．解法2：因为α为锐角，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝43－310.【答案】43－310【点评】 不少同学习惯用解法1，却往往因运算量大而出现了各种问题；解法2抓住了α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6这一关系，减少了运算量，使求解轻松简捷． 策略2 从函数名入手，化切为弦助解题在有关三角函数的题目中，当正弦(余弦)与正切“相遇”时，可采用化切为弦的方法，即将正切转化为正弦(余弦)．【例2】 求1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.【解】 因为1tan5°－tan5°＝cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos 25°－sin 25°sin5°cos5°＝2cos10°sin10°， 所以原式＝2cos 210°4sin10°cos10°－sin10°·2co s10°sin10°＝cos10°2sin10°－sin20°sin10°＝cos10°2sin10°－－sin10° ＝cos10°2sin10°－cos10°－3sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32. 策略3 从结构入手，存同化异探思路三角恒等变换中的公式较多，每个公式都有其固有的结构．解题时要善于从结构入手，存同化异，寻求结构形式的统一．【例3】 (1)已知3sin β＝sin(2α＋β)，α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)已知cosxcosy ＝12，求sinxsiny 的取值范围． 【解】 (1)证明：由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，整理可得sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α. 因为α≠k π＋π2，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)， 所以cos(α＋β)·cos α≠0，则有tan(α＋β)＝2tan α.(2)设p ＝sinxsiny ，则cos(x －y)＝cosxcosy ＋sinxsiny ＝12＋p ，cos(x ＋y)＝cosxcosy －sinxsiny ＝12－p. 因为|cos(x±y)|≤1， 所以－1≤12＋p≤1，且－1≤12－p≤1， 解得－12≤p≤12. 【点评】 题(1)由条件向结论靠拢，从统一角的结构入手，顺利完成解题；题(2)从结构的相似(部分相似)展开联想，寻找解题突破口，亦成功解题．这两个方法都是值得重视的、从结构入手解题的常用方法．策略4 “先化简后求值”与“先局部后整体”“先化简后求值”本是初中数学中的一种题型，这里将其引申为一种解题策略．这种策略能简化解题过程，有事半功倍之功效；“先局部后整体”，则与之相反，虽其方法略显笨拙，但其逐个“击破”的策略却能降低解题难度，且解题方向明确，也是一个不错的思路．【例4】 已知0<x<π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，求 cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值． 【解】 解法1(先化简后求值)： 原式＝cos 2x －sin 2x22－＝2(cosx ＋sinx)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则原式＝21－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 解法2(先局部后整体)：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513. 下面从两个角度求cos2x ：角度1：cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 角度2：cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cosx －sinx)·(cosx＋sinx)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . ∵0<x<π4，∴0<π4－x<π4， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213， 故cos2x ＝2×513×1213＝120169. 所以cos2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169÷513＝2413. 【点评】 采用“先化简后求值”解题简捷流畅，采用“先局部后整体”解题思路简单，条理清晰．两种方法各有千秋，都是值得我们重视的好方法.。
2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第3章三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象与性质 Word
3．3 三角函数的图象与性质[知识梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[诊断自测] 1．概念思辨(1)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( )(2)函数f (x )＝sin(－2x )与f (x )＝sin2x 的单调增区间都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．( )(3)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A4P 46T 2)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期、最大值为( )A ．2π，2 B.3π2， 3 C ．π，2 D.π2， 3 答案 A解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x cos x ·cos x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则T ＝2π.最大值为2.故选A.(2)(必修A4P 40T 4)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )的最小正周期为πC ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 答案 D解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos2x ，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A ，B 正确．由函数y ＝cos x 的单调性知C 正确．函数图象的对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，显然，无论k 取任何整数，x ≠π4，所以D 错误．故选D.3．小题热身(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22 D ．0 答案 B解析 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.故选B.(2)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的单调递增区间是________，最小正周期是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 2π解析 由k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π3<x <2k π＋π3，k ∈Z .周期T ＝π12＝2π.题型1 三角函数的定义域和值域 典例1函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________． 本题采用数形结合．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6，－7π6∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8解析由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <5π6＋2k π(k ∈Z )．所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6，－7π6∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 典例2 是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．用转化法将问题化为二次函数型，然后分类讨论．解 y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12.当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1.若a 2>1，即a >2，则当cos x ＝1时，y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)，若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2，则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1⇒a ＝32或a ＝－4<0(舍去)．若a 2<0，即a <0，则当cos x ＝0时，y max ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)综合上述，存在a ＝32符合题设． 方法技巧1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．见典例1.2．三角函数值域的不同求法(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．见典例2.(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．冲关针对训练1．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6. ∵x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π.2．已知3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α，求y ＝sin 2α＋sin 2β的取值范围． 解 ∵3sin 2α＋2sin 2β＝2sin α， ∴sin 2β＝－32sin 2α＋sin α，∵0≤sin 2β≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32sin 2α＋sin α≥0，－32sin 2α＋sin α≤1，解得0≤sin α≤23，∵y ＝sin 2α＋sin 2β＝－12sin 2α＋sin α＝－12(sin α－1)2＋12，0≤sin α≤23，∴sin α＝0时，y min ＝0；sin α＝23时，y max ＝49， ∴0≤sin 2α＋sin 2β≤49. 题型2 三角函数的单调性典例1 (2017·长沙一模)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－12x ，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π 本题用子集法．答案 D解析 依题意得y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，当2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即4k π＋5π3≤x ≤4k π＋11π3(k ∈Z )时，函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x －π3是单调递增函数．又x ∈[－2π，2π]，因此函数y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，2π.选D. 典例2 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则实数ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 子集反推法．答案 A解析 由π2<x <π，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4.又y ＝sin α在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.故选A.方法技巧1．求三角函数单调区间的方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．(3)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．见典例1.2．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的方法 (1)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．见典例2.(2)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．提醒：要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．冲关针对训练1．(2017·济宁检测)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 答案 A解析 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．故选A.2．(2017·莆田一模)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0为f (x )图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC ＝4，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －23，2k ＋43，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －23，4k ＋43，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 答案 C解析 函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0为f (x )图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，∵BC ＝4，∴(23)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＝42，即12＋π2ω2＝16，求得ω＝π2. 再根据π2·13＋φ＝k π，k ∈Z ，可得φ＝－π6，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6. 令2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2，求得4k －23≤x ≤4k ＋43， 故f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －23，4k ＋43，k ∈Z . 故选C.题型3 三角函数的奇偶性及对称性典例1(2018·江西模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0， ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62 C.3 D ．－ 3数形结合思想．答案 D解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数， ∴f (0)＝A cos φ＝0 ∵0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx . ∵△EFG 是边长为2的等边三角形，则y E ＝3＝A ， 又∵函数的周期T ＝2FG ＝4，根据周期公式可得，ω＝2π4＝π2. ∴f (x )＝－A sin π2x ＝－3sin π2x ， 则f (1)＝－ 3.故选D.典例2(2018·江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋ φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且对∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0 应用公式法．答案 A解析 由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )．当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.故选A.方法技巧1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )，同时当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，同时当x ＝0时，f (x )＝0.见典例1.2．解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．见典例2.冲关针对训练1．(2017·揭阳模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 答案 C解析 ∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，∴y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x ，∴y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．故选C.2．(2018·南阳期末)已知函数f (x )＝1－cos 2x ，试讨论该函数的奇偶性、周期性以及在区间[0，π]上的单调性．解 因为y ＝1－cos 2x ＝sin 2x ＝|sin x |＝⎩⎨⎧sin x ，2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ，－sin x ，2k π＋π<x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，所以作函数的图象如下：所以，该函数是偶函数，周期为π.在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减函数，在区间[0，π]上不是单调函数．1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 答案 D解析 因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．f (x＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D.2．(2018·舟山模拟)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0<θ<π)是偶函数，则f (x )在[0，π]上的递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π 答案 B解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0<θ<π)是偶函数，∴θ＝π2，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝3cos2x ，令2k π－π≤2x ≤2k π，求得k π－π2≤x ≤k π，可得函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 则f (x )在[0，π]上的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.故选B. 3．(2014·北京高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，且2π3－π2＝π6.可作出示意图如图所示，∴x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.4．(2017·赣榆区期中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两个最值点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，2和(x 0，－2)上(x 0>0)，函数f (x )分别取最大值和最小值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (x )＝k ＋12在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32内有两个不同的零点，求k 的取值范围；(3)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤134，234上的对称轴方程．解 (1)A ＝2，T 2＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32＝32⇒T ＝3⇒ω＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋φ， 代入(0,1)点，2sin φ＝1，∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3x ＋π6.(2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32⇒2π3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6⇒1≤k ＋12<2⇒1≤k <3.(3)2π3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ⇒x ＝12＋32k ，k ∈Z ⇒函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤134，234上的对称轴方程为x ＝72，x ＝5.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A解析 依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．(2017·长沙模拟)已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C解析 由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0，且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－ 3.选A.4．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4， 这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x .因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A.5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D. 6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 答案 D解析 由题意得f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T 4≤t ，即152≤t ， ∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.选A.9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C解析 T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |cos x ，给出下列五个结论：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称． 其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A解析 ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A.二、填空题11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案 3π4解析 由题意得f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ，f ′(x )＝cos(x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4是奇函数，因此φ＋π4＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π4.又0<φ<π，所以φ＝3π4.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间的距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________. 答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数， ∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1， 则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sinπx ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数．所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1.(1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解16．(2017·洛阳校级月考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋a cosx ＋a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最大值；(2)如果对于区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的任意一个x ，都有f (x )≤1成立，求a的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94，∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时， f (x )max ＝94.(2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1，则1≤cos x ＋1≤2， ∴a ≤cos 2xcos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立．令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤(t －1)2t ＝t 2－2t ＋1t＝t ＋1t －2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min . 又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号， ∴a ≤0.。
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课件文
题型 3 与三角形有关的最值 角度 1 与三角形边长有关的最值
典例 (2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形 ABC 的内
角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，且
a＝bcosC＋
3 3 csinB.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求 ac 的最大值．
本题采用转化法．
解 (1)在△ABC 中，∵a＝bcosC＋ 33csinB， ∴sinA＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， 化为 cosBsinC＝ 33sinCsinB，sinC≠0， 可得 tanB＝ 3，B∈(0，π)，∴B＝π3.
(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
为
a，b，c，若
cosA＝45，cosC＝153，a＝1，则
21 b＝____1_3___.
解析 由已知可得 sinA＝35，sinC＝1123，则 sinB＝sin(A
＋C)＝35×153＋54×1123＝6635，再由正弦定理可得sianA＝sibnB⇒b
[条件探究 1] 将本典例条件变为“若 2sinAcosB＝
sinC”，那么△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 解法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，即 sin(A－B)＝0，
1 (2)S＝21bcsinA＝ 2acsinB
＝
1 2absinC .
(3)S＝21r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象课件理
)
π kπ π 解析：由2x≠kπ＋ ，k∈Z ，得x≠ ＋ ，k∈Z ， 2 2 4 所以y＝tan
kπ π 2x的定义域为 x x≠ 2 ＋ 4 ，k∈Z .
答案：D
3 1 4．函数f(x)＝ cos x－ sin xx∈[0，π]的单调递增区间为( 2 2
πx π 1．函数y＝2sin 6 － 3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(
)
A．2－ 3 C．－1
B． 0 D．－1－ 3
π πx π 7π 解析：∵0≤x≤9，∴－ ≤ － ≤ ， 3 6 3 6
过
基
础
小
题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数． (2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴． (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数． ( ( ( ) ) ) ) ) )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. ( (5)y＝sin|x|是偶函数． 2 π (6)若sin x> ，则x> . 2 4
π 0， 上的最小值为－ 4
2 . 2
2 答案：－ 2
课 堂 考 点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
考点一
三角函数的定义域和值域
[考什么·怎么考]
三角函数的定义域和值域问题是高考的重点，常 与三角恒等变换结合考查，常见的考查形式有： 1求已知函数的定义域和值域； 2由定义域或值域确定参数的值.考题多以选择 题、填空题的形式出现，难度中等.
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x 周期是kπ(k∈Z
周期是2kπ(k∈Z 周期是2kπ(k∈Z 且k≠0)，最小 正周期是2π
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课件文 共57页
[条件探究 1] 将本典例条件变为“若 2sinAcosB＝
sinC”，那么△ABC 一定是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 解法一：由已知得 2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋cosAsinB，即 sin(A－B)＝0，
则 cosA＝
1－sin2A＝
3 3.
由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 化简，得 b2－2b－15＝0，
解得 b＝5(b＝－3 舍去)．
所以 S△ABC＝12bcsinA＝21×5×
3×
36＝5
2
2 .
题型 2 利用正、余弦定理判断三角形的形状
典例 (2017·陕西模拟)设△ABC 的内角 A，B，C 所对 的边分别为 a，b，c，若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为( )
角度 2 与三角形内角有关的最值 典例 (2017·庄河市期末)在△ABC 中，a，b，c 分别为 角 A，B，C 的对边，设 f(x)＝a2x2－(a2－b2)x－4c2. (1)若 f(1)＝0，且 B－C＝π3，求角 C 的大小； (2)若 f(2)＝0，求角 C 的取值范围．
本题采用放缩法．
题型 3 与三角形有关的最值 角度 1 与三角形边长有关的最值
典例 (2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形 ABC 的内
角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，且
a＝bcosC＋
3 3 csinB.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求 ac 的最大值．
本题采用转化法．
解 (1)在△ABC 中，∵a＝bcosC＋ 33csinB， ∴sinA＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， ∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋ 33sinCsinB， 化为 cosBsinC＝ 33sinCsinB，sinC≠0， 可得 tanB＝ 3，B∈(0，π)，∴B＝π3.
2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第23讲解三角形应用举例课件
• ∴点A在点B的北偏西15°.
3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测
的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为( )
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
D．252 2 m
解析 由正弦定理得
AB＝AC·sisnin∠B ACB＝50×1
• 【例2】 要测量电视塔AB的高度，在点C测得塔顶A 的仰角是45° 点D测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°， ＝40 m，则电视塔的高度为_________m.
40
解析 设电视塔AB高为x m，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝ △ADB中，由∠ADB＝30°，得BD＝ 3x.
【例1】 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 3 km的点C，点D 得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则点A，B之间的 为_______5_____km.
解析 如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， ∴AC＝CD＝ 3(km)． 在△BCD中，∠BCD＝45°， ∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
• 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度(比))．
• 5．解三角形应用题的一般步骤
• (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清 量之间的关系．
• (据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
• (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、 计算的要求等．
8
解析 如图，由题意知在△ABC中， ∠ACB＝75°－60°＝15°， ∠B＝15°，∴AC＝AB＝8. 在Rt△AOC中，OC＝AC·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行41＝8(海里)．
2019版高考数学总复习专题三三角函数3.2解三角形基础题课件理
-9-
高考真题体验·对方向
新题演练提能·刷高分
1.(2018西南名校联盟适应性考试)在△ABC中,若原点到直线xsin
A+ysin B+sin C=0的距离为1,则此三角形为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
答案 A
|sin������|
解析 由已知可得 sin2������ + sin2������ =1,
解析 (方法1)设BC边上的高为AD,则BC=3AD. 结合题意知BD=AD,DC=2AD,
所以 AC= ������������2 + ������������2 = 5AD,AB= 2AD. 由余弦定理,得 cos A=������������22+���������������������·������2���-������������������2 =2���2������×���2+2���5������������������×���2-59������������������������2=- 1100,故选 C.
∴sin2C=sin2A+sin2B,
∴c2=a2+b2,故三角形为直角三角形.选A.
-10-
高考真题体验·对方向
新题演练提能·刷高分
2.(2018 广东茂名联考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
若 2bcos C+c=2a,且 b= 13,c=3,则 a=( )
A.1
高考真题体验·对方向
新题演练提能·刷高分
-11-
3.(2018 湖南益阳 4 月调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为
专题23 三角形中的三角函数()-2019高考数学(文)名师揭秘之一轮
b，c，且 BC 边上的高为 63a，则bc＋bc取得最大值时，
内角 A 的值为( D )
π
π
A. 2
B. 6
2π
π
C. 3
D. 3
【解析】因为12×a× 63a＝12bcsin A，得 a2＝2 3
bcsin
A
，
则
c b
＋
b c
＝
c2＋b2 bc
＝
a2＋2bccos A bc
＝
2
3bcsin A＋2bccos A bc
3
【基础检测】
1.设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,
若 bcos C＋ccos B＝asin A, 则△ABC 的形状为( B )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
【解析】由已知和正弦定理可得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin A·sin A，即 sin(B＋C)＝sin Asin A，亦
20
(2)由 fA2 ＝sin A－12＝0，得 sin A＝12，
由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ 23.
由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc，
即 bc≤2＋ 3，当且仅当 b＝c 时等号成立.
因此12bcsin A≤2＋4
3 .
【解析】(1)由正弦定理得 2sin Bcos A－ 3sin Ccos A＝ 3sin Acos C，
即 2sin Bcos A＝ 3sin Ccos A＋ 3sin Acos C＝ 3sin(A＋C)＝ 3sin B.
又 sin B≠0，所以 cos A＝ 23.而 A∈(0，π)，所 π
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【知识要点】 1．判断三角形的形状特征 必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、 余弦定理进行转化， 即化边为角或化角为边， 边角统一． ①等腰三角形：a＝b 或 A＝B. A＝90° b2＋c2＝a2 ②直角三角形：_____________ 或______________． a2＞b2＋c2 A＞90° ③钝角三角形：_____________ 或______________ ． ④锐角三角形：若 a 为最大边，且满足 A＜90° a2＜b2＋c2 ______________ 或 A 为最大角，且_______________ ．
1 3 1 【解析】因为 ×a× a＝ bcsin A，得 a2＝2 3 2 6 2 c2＋b2 a2＋2bccos A c b bcsin A ， 则 ＋ ＝ ＝ ＝ b c bc bc 2 3bcsin A＋2bccos A ＝ 2 3 sin A ＋ 2cos A ＝ bc π π π c b π 4sinA＋ ，所以当 A＋ ＝ ，A＝ 时 ＋ 取得 6 2 3 b c 6 最大值，则选 D.
【点评】(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状 时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边之 间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断. (2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有 明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形.
二、三角形中的三角函数求值问题 例2在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， 31 b，c，已知 a＝5，b＝4，cos(A－B)＝ . 32 (1) 求 sin B 的值； (在△ABC 中，若 (a2 ＋ b2)sin(A － B) ＝ (a2 － b2)sin(A＋B)，试判断△ABC 的形状.
【解析】 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴ b2[sin(A ＋ B) ＋ sin(A － B)] ＝ a2[sin(A ＋ B) － sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2， 即 a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 方法一 由正弦定理知 a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又 sinA·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC 中，0<2A<2π，0<2B<2π， π ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， ∴A＝B 或 A＋B＝ . 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形.
【解析】∵asin Asin B＋bcos2A＝ 2a， ∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝ 2sin A， b sin B ∴sin B＝ 2sin A，∴ ＝ ＝ 2. a sin A
3.在△ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， 3 c b b，c，且 BC 边上的高为 a，则 ＋ 取得最大值时， 6 b c 内角 A 的值为( D ) π π 2π π A. B. C. D. 2 6 3 3
方法二 由正弦定理、余弦定理得： 2 2 2 2 2 2 b ＋ c － a a ＋ c － b a2b ＝b2a ， 2bc 2ac ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0 或 a2＋b2－c2＝0. 即 a＝b 或 a2＋b2＝c2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.
A＋B 4.在△ABC 中，tan ＝2sin C，若 AB＝1， 2 1 则 AC＋BC 的最大值为 2
21 3
.
A＋B sinA＋B sin C 【解析】 ∵tan ＝ ＝ ＝ 2 1 － cos C A ＋ B 1＋cos 2sin C， 1 ∴ cos C＝ ， 而在 △ABC 中 ， 有 c2 ＝ a2＋ b2 － 2 2abcos C＝a2＋b2－ab＝1， 1 1 令 AC＋BC＝ b＋a＝m， ∴b＝2m－2a， 两式联 2 2 立可得： 7a2－10ma＋4m2－1＝0， 21 易知此方程有解，故 Δ≥0，解得 0<m≤ ，故 3 21 答案为 . 3
第四章
三角函数、平面向量与复数
第23讲
三角形中的三角函数
【学习目标】 掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数 求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式．
【基础检测】 1.设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 bcos C＋ccos B＝asin A, 则△ABC 的形状为( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
【解析】由已知和正弦定理可得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin A·sin A，即 sin(B＋C)＝sin Asin A，亦 即 sin A＝sin Asin A.因为 0<A<π，所以 sin A＝1，所 以 A＝
π
2
.所以三角形为直角三角形.故选 B.
2.△ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b 2 b，c，asin A·sin B＋bcos A＝ 2a，则 ＝( D ) a A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2
2．△ABC 中常用的一些基本关系式 π ①A＋B＋C＝_________ ． －cos A sin A __，cos(B＋C)＝__________ ②sin(B＋C)＝________ ， －tan A tan(B＋C)＝______________ ． A A B＋ C B ＋ C cos 2 sin 2 ， ③sin 2 ＝__________ ，cos 2 ＝_________ 1 A B＋ C tan 2 tan 2 ＝_____________ ．