(课标通用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节导数的应用_单调性课件理

第三章
导数及其应用
第二节
导数的应用(一)——单调性
1.了解函数单调性和导数的关系；2.能利用导数研究函数 的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过 三次).
知Байду номын сангаас识
梳 理 诊 断
函数的单调性与导数 导数 到单 调性 单调 递增 单调 递减 在区间(a， b)上， 若 f ′(x)>0， 则 f(x)
递增 在这个区间上单调______.
在区间(a，b)上，若 f ′(x)<0，则 f(x)
递减 在这个区间上单调______.
单调 单调性 到导数 递增 单调 递减
若函数 y＝f(x)在区间(a， b)上单调
≥0 递增，则 f ′(x)_____.
若函数 y＝f(x)在区间(a， b)上单调
≤0 递减，则 f ′(x)_____.
[解析]
根据导数图象可得， 函数 f(x)在(－∞， －2)和(0，
＋∞)上单调递减，在(－2，0)上单调递增，故为选项 A 中的 图象.
[答案] A
4.已知函数 f(x)＝x3＋ax，则“a>0”是“f(x)在 R 上单调递 增”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
[答案]
[－1，1]
考 点
题 型 突 破
考点一
求函数的单调区间——互动型
(1)(2016· 德州质检)已知函数 f(x)＝xcosx－sinx＋ 1(x>0)，求 f(x)的单调区间. (2)(2016· 北京卷)设函数 f(x)＝xea－x＋bx，曲线 y＝f(x)在 点(2，f(2))处的切线方程为 y＝(e－1)x＋4. ①求 a，b 的值； ②求 f(x)的单调区间.
“函数 y＝f(x)在区间(a，b)上的导数大(小)于 0”是
充分 条件. “其单调递增(减)”的______
1. 判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1) 若 函 数 f(x) 在 (a ， b) 内 单 调 递 增 ， 那 么 一 定 有 f′(x)>0.( )
(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f ′(x)＝0，则 f(x)在此 区间内没有单调性.( )
(2)①因为 f(x)＝xea－x＋bx， 所以 f ′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
a－2 ＋2b＝2e＋2， f(2)＝2e＋2， 2e 依题设， 即 a－2 f ′ (2) ＝ e － 1 ， － e ＋b＝e－1，
解得 a＝2，b＝e. ②由①知 f(x)＝xe2－x＋ex. 由 f ′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及 e2－x>0 知，f ′(x)与 1－x＋ ex－1 同号.
利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤 第一步：确定函数 f(x)的定义域. 第二步：求导数 f ′(x). 第三步：在函数 f(x)的定义域内解不等式 f ′(x)>0 和 f ′(x)<0. 第四步：根据第三步的结果确定函数 f(x)的单调区间.
lnx 1.(2016· 沧州一中期末)求函数 f(x)＝ x 的单调区间.
[解析] 故选 A.
[答案] A
a≥0 时， f ′(x)＝3x2＋a≥0， f(x)在 R 上单调递增.
lnx 5.若 f(x)＝ x ，e<a<b，则( A.f(a)>f(b) C.f(a)<f(b)
[解析]
)
B.f(a)＝f(b) D.f(a)f(b)>1
1－lnx f ′(x)＝ x2 ，当 x>e 时，f ′(x)<0，则 f(x)在(e，
＋∞)上为减函数，f(a)>f(b).故选 A.
[答案]
A
6.若函数 f(x)＝x＋asinx 在 R 上单调递增， 则实数 a 的取 值范围为
[解析]
.
∵f ′(x)＝1＋acosx，∴要使函数 f(x)＝x＋asinx
在 R 上单调递增，则 1＋acosx≥0 对任意实数 x 都成立. ∵－1≤cosx≤1， ①当 a>0 时，－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴0<a≤1； ②当 a＝0 时，显然成立； ③当 a<0 时，a≤acosx≤－a，∴a≥－1，∴－1≤a<0. 综上，－1≤a≤1.
[解]
(1)f ′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
令 f ′(x)＝0，得 x＝kπ(k∈N*). 当 x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sinx>0，此时 f ′(x)<0； 当 x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sinx<0，此时 f ′(x)>0. 故 f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调 递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N).
令 g(x)＝1－x＋ex
－1
，则 g′(x)＝－1＋ex
－1
.
所以，当 x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞， 1)上单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调 递增. 故 g(1)＝1 是 g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而 g(x)>0，x∈(－∞，＋∞). 综上可知，f ′(x)>0，x∈(－∞，＋∞). 故 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).
[解] 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞). 1－lnx lnx 因为 f(x)＝ x ，所以 f ′(x)＝ x2 . 当 f ′(x)>0，即 0<x<e 时，函数 f(x)单调递增； 当 f ′(x)<0，即 x>e 时，函数 f(x)单调递减.
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
)
(5)√
2.函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( A.(－∞，2) C.(1，4)
[解析] x>2.故选 D.
)
B.(0，3) D.(2，＋∞)
f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，令 f ′(x)>0，解得
[答案]
D
3.(2016· 西安五校)函数 f(x)的导函数 f ′(x)的 图象如图所示，那么 f(x)的大致图象是( )
(3) 函 数 f(x) 在 区 间 (a ， b) 内 单 调 递 增 的 充 要 条 件 是 f′(x)>0.( )
(4)函数 f(x)＝x2－2lnx 的单调递减区间是(－1，1).(
)
(5)“函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增”与“函数 f(x)的 单调递增区间是(a，b)”表示不同的含义.(