导数的应用(-)单调性
知识讲解_导数在函数性质中的应用——单调性
导数在函数性质中的应用——单调性编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 知识与技能能用导数判断函数的单调性、求不超过三次的多项式函数的单调区间；掌握求函数单调区间的方法和步骤.2. 过程与方法通过利用导数研究函数的单调区间的过程，掌握利用导数研究函数性质的方法.总结求函数单调区间和极值的一般步骤，体会其中的算法思想，认识到导数在研究函数性质中的应用.3. 情感、态度与价值观通过用导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，以及导数的应用价值.【要点梳理】要点一：函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数()f x在这一区间具有单调性.f x在某个区间是增函数或减函数，那么就说()已知函数2=-+的图象如图所示，f x x x()43由函数的单调性易知，当2f x是增函数.现在我们看看各个单f x是减函数；当2x<时，()x>时，()调区间内任意一点的切线情况：考虑到曲线()f x在改点的导数值，从图象可以看到：y f x=的在某点处切线的斜率就是函数()在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240f x x =<时，()f x 为减函数.在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240f x x =>时，()f x 为增函数.导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，则在这个区间上，（1）若()0f x '>，则()f x 在这个区间上为增函数；（2）若()0f x '<，则()f x 在这个区间上为减函数；（3）若恒有()0f x '=，则()f x 在这一区间上为常函数.反之，若()f x 在某区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；若()f x 在某区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）．要点诠释：①导函数的正负决定了原函数的增减；②在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.注意：只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.例如：32()'()30'(0)0,'()0(0)f x x f x x f f x x =⇒=≥=>≠，，而()f x 在R 上递增.③当在某区间内恒有()0f x '=，这个函数()y f x =在这个区间上才为常数函数.要点二：利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数；（2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数；（3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数.利用导数求函数()f x 单调区间的基本步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数'()f x ；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <；（4）确定()f x 的单调区间.或者：令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
导数的应用--函数的单调性
普宁市第一中学数学组
一、复习
1、怎样利用导数的符号判断函数的单调性。 怎样利用导数的符号判断函数的单调性。 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f (x)>0， f(x)为 设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f´(x)>0，则f(x)为 y=f(x)在某个区间内可导 增函数；如果f (x)<0， f(x)为减函数。 增函数；如果f´(x)<0，则f(x)为减函数。 为减函数 如果在某个区间内恒有f (x)=0， f(x)为常数。 如果在某个区间内恒有f´(x)=0，则f(x)为常数。 为常数 ☆值得注意的是：在判断函数的单调性时，如果出现个别点 值得注意的是：在判断函数的单调性时， (x)=0不会影响包含该点在某个区间上的单调性 不会影响包含该点在某个区间上的单调性， 使f´(x)=0不会影响包含该点在某个区间上的单调性， 例如： f )内 例如： ( x ) = x 3 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 内 是 增 函 数 ， 但 f ′(0)=0
年浙江理) 4、例题：(04年浙江理)设 f ′( x ) 是函数 f ( x ) 例题：(04年浙江理
y o
y = f ′(x )
1 2
y 的导函数， 的图象如图(1)所示， (1)所示 的导函数， = f ′( x ) 的图象如图(1)所示，
x
的图象最有可能是( )。 则 y = f ( x ) 的图象最有可能是( C )。
y 2 1 -2 -1 0 1 -1 -2 2 x -2 -1
3 2 1 0 -1 -2 1 2 x
)。 )。
y y 4 3 2 1 2 x -2 -1 0 -1 -2 1 2 x
图(3)
y 4 3 2 -2 -1 1 0 -1 -2
导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1
![导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1](https://img.taocdn.com/s3/m/1c72ddc005087632311212d6.png)
课后作业
P78习题3.3第1、2题
思考题: 函数f(x)=2x3－6x2+7 能不能画
出该函数的草图？
小结:
1.学习函数导数与单调性的关系．首先要确定函 数的定义域，再通过讨论导数的符号来判断函数 的单调区间，或证明函数的单调性． ２.利用导数的符号来判断函数的单调区间，是导 数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用，它 充分体现了数形结合的思想． ３.掌握研究数学问题的一般方法： 从特殊到一般；从简单到复杂。
导数在研究函数中的应用
—单调性
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们 发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
一般地， 设函数y＝f（x）在区间上可导，
例2、确定函数f(x)=sinx在x∈（０,２π） 上的单调减区间 解: f’(x)=cosx 令f’(x)＜０由cosx ＜０, 又x∈（０ , ２π） ∴x∈（ π／2, 3π／2） 所以函数f(x)单调减区间 是（ π／2 , 3π／2）
例３、若函数f(x)=ax3-x2+x-5(a≠0) 在Ｒ上单调递增,求a取值范围.
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
bபைடு நூலகம்
x
思考:上述结论的逆命题正确吗? 观察三次函数y=x3的图象； 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内 可导,则函数在该区间 如果f(x)为增函数, 则 f′(x) ≥0. 如果f(x)为减函数, 则 f′(x) ≤0. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
导数的应用的单调性与极值
导数的应用的单调性与极值在微积分学中，导数是一个非常重要的概念，它有着广泛的应用。
本文将讨论导数的应用方面，着重探讨其与单调性和极值的关系。
一、导数与函数的单调性在研究函数的单调性时，导数是一个非常重要的工具。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减性质。
1. 单调递增如果一个函数在某个区间内的导数恒大于零，那么这个函数在该区间内是单调递增的。
也就是说，函数的图像在这个区间上是向上的。
举个例子，考虑函数f(x) = x^2，我们可以求得它的导数f'(x) = 2x。
由于2x大于零，所以函数f(x)在整个实数轴上都是单调递增的。
2. 单调递减类似地，如果一个函数在某个区间内的导数恒小于零，那么这个函数在该区间内是单调递减的。
还是以前面的例子f(x) = x^2为例，我们可以看到，函数f(x)的导数2x在负数区间上小于零，因此函数f(x)在负数区间上是单调递减的。
通过上述例子可以看出，导数可以帮助我们分析函数的单调性，从而更好地理解函数的变化规律。
二、导数与函数的极值另一个与导数密切相关的概念是函数的极值。
极值分为极大值和极小值，而导数可以帮助我们判断函数的极值点。
1. 极值点一个函数在某个点上的导数等于零时，该点就是函数的极值点。
根据导数的定义，导数为零表示函数在该点附近的变化趋势趋向于水平。
2. 极大值如果一个函数在某个点的导数从正数变为负数，那么这个点就是函数的极大值点。
在极大值点上，函数的图像从上升转向下降。
3. 极小值与极大值相反，如果一个函数在某个点的导数从负数变为正数，那么这个点就是函数的极小值点。
在极小值点上，函数的图像从下降转向上升。
例如，考虑函数f(x) = x^3，我们可以求得它的导数f'(x) = 3x^2。
当x等于零时，导数为零，说明函数在x=0处有极值。
通过进一步的分析，我们可以得知这个点是极小值点。
三、综合应用导数的应用不仅仅局限于单调性和极值的讨论，还可以应用于其他问题的求解。
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思(精选15篇)
《导数在函数中的应用——单调性》教学反思〔精选15篇〕篇1：《导数在函数中的应用——单调性》教学反思本节课是一节新授课，教材所提供的信息很简单，假如直接得出结论学生也能承受。
可学生只能进展简单的模拟应用，为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课。
设计思路如下以便学生会考虑解决问题。
1、首先从同学们熟悉的过山车模型入手，将实际问题转化为数学模型，提出如何刻画函数的变化趋势，引出课题。
研究从学生熟悉的一次函数，二次函数入手，寻找导数和单调性的`关系，用几何画板演示特殊的三次函数的图像，研究单调性和导数。
在此根底上提出问题：单调性和导数到底有怎样的关系？学生通过考虑、讨论、交流形成结论。
也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
2、在结论得出后，继续引导学生考虑，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。
3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开场引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾照应。
4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。
虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深化。
5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切时机去施行，在例1的教学中，我让学生先纯熟法那么，再从形上分析^p ，加深印象，这样在后面紧接的高考题中〔没有给解析式〕，学生会迎刃而解。
为了培养学生的自主学习、自主考虑的才能，激发学习兴趣，在教学中采取引导发现法，利用多媒体等手段引导学生动口、动脑、参与数学活动，发挥主观能动性，主动探究新知。
让学生分组讨论，合作交流，共同讨论问题。
但是，真正做到以学生为中心，学生100%参与，表达三维目的，培养学习才能还是比拟困难。
导数在单调性中的应用
一、 导数在单调性中的应用：函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。
利用在(,)a b 内可导的函数()f x 在(,)a b 上递增（或递减）的充要条件是()0f x '≥（或()0f x '≤），(,)x ab∈恒成立（但()f x '在(,)a b 的任意子区间内都不恒等于0）。
方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。
1. 利用导数求单调区间：例：函数y =x ln x 在区间(0，1)上是 A. 单调增函数 B. 单调减函数C.在(0，e 1)上是减函数，在(e 1,1)上是增函数 D.在(0，e 1)上是增函数，在(e1,1)上是减函数例2.函数y =sin 2x 的单调递减区间是__________.2. 利用导数和单调性的关系，选择导函数与原函数的图像问题：例：设f ′(x )是函数f (x )的导函数,y =f ′(x )的图象如下图所示,则y =f (x )的图象最有可能是（ACBD3、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是( ）3. 利用导数和单调性的关系判断方程解的个数：例：方程3269100x x x -+-=的实根的个数是 （） A 、3 B 、2 C 、1 D 、04. 单调性的综合应用：例：已知()1xf x e ax =--。
（1）求()f x的单调增区间；（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a 使()f x 在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。
导数的应用----单调性、极值精华课件
典型例题 4
设 t0, 点 P(t, 0) 是函数 f(x)=x3+ax与 g(x)=bx2+c 的图象的一 个公共点, 两函数的图象在点 P 处有相同的切线. (1)用 t 表示 a, b, c; (2)若函数 y=f(x)-g(x) 在 (-1, 3) 上单调递减, 求 t 的取值范 围. 解: (1)∵函数 f(x) 的图象过点 P(t, 0), ∴ f(t)=0t3+at=0. ∵t0, ∴a=-t2. 又∵函数 g(x) 的图象也过点 P(t, 0), ∴ g(t)=0bt2+c=0. ∴c=ab. ∵两函数的图象在点 P 处有相同的切线, ∴ f(t)=g(t). 而 f(x)=3x2+a, g(x)=2bx, ∴3t2+a=2bt. 将 a=-t2 代入上式得 b=t. ∴c=ab=-t3. 综上所述, a=-t2, b=t, c=-t3. (2)方法一 y=f(x)-g(x)=x3-tx2-t2x+t3. y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当 y=(3x+t)(x-t)<0 时, y=f(x)-g(x)为减函数.
6.设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内可导, 求 f(x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x) 在 (a, b) 内的极值; (2)将 f(x) 的各极值与 f(a), f(b) 比较, 其中最大的一个是最大 值, 最小的一个是最小值.
如果应用导数解决实际问题, 最关键的是要建立恰当的数学 模型(函数关系), 然后再运用上述方法研究单调性及极(最)值.
三、知识要点
1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x)>0, 则 y=f(x) 为增函数, 如果 f(x)<0, 则 y=f(x) 为 减函数, (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x) 在某个区间内可 导, 如果 f(x) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f(x)≥0 (或 f(x)≤0). 注 当 f (x) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正 (或负)时, f(x) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的. 例 f(x)=x3 在 (-1, 1) 内, f(0)=0, f(x)>0(x0). 显然 f(x)=x3 在 (-1, 1) 上仍旧是增函数.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的单调性
沈阳第十一中学 赵拥权 1.已知函数1)(3--=ax x x f 在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围
2.设函数ax x x f -=ln )(在),1(+∞上是单调减函数求a 的取值范围
3.函数ax e x g x -=)(在),1(+∞-上是单调增函数求a 的取值范围
4.设ax x x x f 22131)(23++-
=.若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
5.的取值范围；则在定义域内是增函数，函数m x x mx x f 2ln )(2-+=
6.[]的取值范围；上不单调，则在函数t t t x x x x f 1,ln 3421)(2+-+-
= 7.3)2(3
1)(23++++=x b bx x x f 函数在R 上不单调，则b 的取值范围； 9.(]的取值范围；时增函数，则函数a x x
ax x f 1,0,12)(2∈-= 10.已知函数若f(x)在区间
上是减函数，求实数a 的取值范围; 11. 已知函数
若f(x)在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围;
10.已知函数ln ()x x k f x e
+=（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间；
11.已知a 、b 为常数，且a ≠0，函数f (x )＝－ax ＋b ＋ax ln x ，f (e )＝2，（e ＝2.71828…是自然对数的底数）。
（Ⅰ）求实数b 的值；
（Ⅱ）求函数f (x )的单调区间；
12. 已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．讨论)(x f 的单调性；
13. 的单调性；讨论已知函数)(,1ln )1()(2x f ax x a x f +++=
14. 的单调性；讨论函数)(,,ln 1)(x f R a x a x x x f ∈--
=
15.若定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2
x f f x e x f x -'=⋅+-， 21()()(1)24
x g x f x a x a =-+-+，∈a R. （Ⅰ）求函数()f x 解析式；（Ⅱ）求函数()g x 单调区间
16.已知函数x x a ax x f ln 1)(--+
=当21≤a 时，试讨论函数)(x f 的单调性；。