新课标九年级数学竞赛辅导讲座 第十六讲 锐角三角函数
初三数学锐角三角函数知识精讲
初三数学锐角三角函数知识精讲锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这样便定义了直角三角形中锐角的三角函数，常用的有正弦函数sin A a c =余弦函数cos A bc =正切函数tan A ab =余切函数cot A ba=BCAcab2. 互余角的三角函数间的关系sin cos()cos sin()tan cot()cot tan()αααααααα=︒-=︒-=︒-=︒-909090903. 同余角三角函数间的关系 （1）倒数关系tan cot αα⋅=1（2）商的关系tan sin cos cot cos sin αααααα==， （3）平方关系sin cos 221αα+=4. 三角函数值角度三角函数0°30°45°60°90°sin α 0 12 22 32 1 cos α1 32 22 120 tan α 0 33 13 不存在 cot α不存在3133 0（2）锐角三角函数值的变化情况 <1>锐角三角函数值都是正数且当090︒<<︒α时，01101<<>>+>sin cos sin cos αααα，，，tan α>0，cot α>0。
<2>当角度在090︒︒~间变化时正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题。
例（1999某某）已知∆ABC 的两边长a c ==35，，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程x x m 240-+=的两个正整数根之一，求sinA 的值。
九年级数学锐角三角函数知识精讲
九年级数学锐角三角函数【本讲主要内容】锐角三角函数包括：正弦、余弦、正切。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。
即c aA A sin ==斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c bA A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即b aA A A t an =∠∠=的邻边的对边。
2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。
3. 特殊角的三角函数值：30°45°60°sin α 1222 32 cos α 32 2212tan α331 34. 记忆方法：【解题方法指导】例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。
锐角α三角函数分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BCAC60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝12AC ，tan ∠DBC 可求。
解：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BCAC=， ∴AC ＝3BC 。
又D 是AC 中点， ∴DC ＝12AC ＝32BC 。
∴23BC BC23BC DC DBC tan ===∠。
评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。
例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知32ACD sin =∠，那么=ABBC______。
分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝23，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则ABBC 可求。
初三锐角三角函数市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
初三锐角三角函数教案一、教学目标：1. 理解什么是锐角和直角；2. 熟练掌握三角函数中的正弦、余弦和正切的概念；3. 能够利用三角函数求解简单的几何问题；4. 培养学生的观察力和逻辑思维能力。
二、教学重难点：1. 掌握三角函数中的正弦、余弦和正切的概念；2. 能够正确应用三角函数求解几何问题。
三、教学准备：课件、教学文具、同步练习题。
四、教学过程：Step 1：导入新知识通过展示一些常见的几何图形，引导学生思考并回答以下问题：- 这个角是否是锐角？- 是否存在角的边长与斜边之间的关系？- 是否能够利用角的知识求解几何问题？Step 2：引入概念与学生互动，引入正弦、余弦和正切三角函数的概念。
解释正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，并说明它们与锐角三角形之间的关系。
通过课件和实例，让学生理解这些函数的定义和使用方法。
Step 3：学习三角函数的性质解释三角函数中的一些基本性质，如：- 正弦函数的值域是[-1,1]；- 余弦函数的值域是[-1,1]；- 正切函数的值域是实数集。
Step 4：应用三角函数求解几何问题通过几个例题，让学生在课堂上应用所学的三角函数知识，解决实际的几何问题。
充分利用课堂互动，引导学生思考问题的解决方法，并在黑板上进行详细的解答过程。
Step 5：巩固练习根据学生的学习情况，分配一定数量的练习题，巩固所学的知识。
教师可以设计多种类型的题目，包括选择题、填空题和计算题等，以满足不同学生的学习需求。
在学生完成练习后，对答案进行讲解，帮助学生发现并解决问题。
五、教学总结：通过本节课的学习，学生理解了锐角三角函数的概念，掌握了正弦、余弦和正切的定义及其性质，并能够运用所学知识解决简单的几何问题。
教师可以对本节课内容进行总结，并提醒学生继续复习和巩固所学的知识，为下一节课的学习做好准备。
六、作业布置：要求学生完成课堂练习题，并预习下一节课的内容。
七、教学反思：在教学过程中，教师应注意与学生的互动，引导学生思考和讨论问题。
九年级数学《锐角三角函数》课件
h
A
α
l
C
展示评讲
坡比（坡度）：坡面的竖直高度h与水平长 B
度l的比叫做坡面的~ 即：i h
l
i h:l
h
A
l
C
正切：如图，在Rt∆ABC中，我们把锐角A
的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即
B
tan
A
A的对边 A的邻边
BC AC
a b
ha
注意：tanA还可以写成tan∠A或A α tanα或tan∠BAC或tan∠1
锐角三角函数
引入新课
汽车爬坡能力是衡量汽车性 能的一个重要标志，很明显， 若汽车所爬坡面越陡，汽车 爬坡能力越强. 即：坡角越大，坡面就越陡.
B
h
A αl
C
学习目标
1、理解并掌握正切的定义，明确角 与线段的比的关系； 2、会利用正切的定义求任意一个锐 角的正切值； 3、利用坡度和坡比的概念解决实际 问题。
自学思考
1、水平长度一定时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度越大，坡面越陡，坡角越大
2、竖直高度一定时，坡角与什么因素有关呢？
水平长度越小，坡面越陡，坡角越大
3、水平长度与竖直高度都不同时，坡角与什么因素有关呢？
竖直高度与水平长度的比值越大，坡面越 陡，坡角越大
展示评讲 三角函数：在直角三角形中
B
lb
C
当堂检测
1、(25分)在∆ABC中，AC=5，BC=4，AB=3，则tanA= ，
tanB=
.
2、(25分)在∆ABC中，∠C=90度，AB=2BC，则
tanA= ，
tanB=
.
ห้องสมุดไป่ตู้
3、(25分)如3 图1所示为某拦水坝的横截面，迎水坡AB的
初三上竞赛辅导资料4 (锐角三角函数 )
初三上竞赛辅导资料4第四讲 锐角三角函数知识要点锐角三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现。
直角三角形是特殊的三角形，锐角函数的定义、性质和特殊角的三角函数值是解直角三角形的有力工具.本讲的另一目的是能结合仰角、俯角、坡度等术语，把测量、工程技术等生产生活中的实际问题，抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形.有关锐角三角函数的问题，除定义、特殊角的三角函数值外，还涉及以下性质： 1.同角三角函数间的关系（1）平方关系 sin 2A+cos 2A=1.（2）商数关系.sin cos cot ,cos sin tan AAA A A A ==（3）倒数关系 tnaA •cotA=1.2.互余角的三角函数间的关系sinA=cos(900-A) cosA=sin(900-A).tanA=cos(900-A) cotA=tan(900-A). 3.三角函数的单调性当A 的锐角时，sinA 与tanA 的值随增大而增大，cosA 与cotA 的值随A 的值增大而减小.4.三角函数值的范围当0900≤≤A 时，.0cot ,0tan ,1cos 0,1sin 0>>≤≤≤≤A A A A解题指导例1、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且22cos ,21sin ==B A ，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）.A. ∠C>∠A>∠BB. ∠B>∠C>∠AC. ∠A>∠B>∠CD. ∠C>∠B>∠A [思路探究]由特殊三角函数值求出各角的度数，再比较各角的大小.例2 、菱形的两条对角线长分别是16和12，较长的一条对角线与菱形一边的夹角为θ，则θtan = .[思路探究]由菱形的性质可知两对角线相互垂直，由此构造直角三角形，θtan 的值不难求出.例3 、计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ∙∙-+＝ . [思路探究]待求式中的角不是特殊角，但观察易知，480与420互余，440与460互余，故可考虑用余角关系转换.[拓展题]化简：（1）263tan 27tan 0202-+＝ .（2）=++++0202020289sin 88sin ...2sin 1sin .例4 已知,81cos sin =∙a a 且009045<<a ，则a a sin cos -的值为（ ）. A.23 B.-23C.43D.23±[思路探究]注意利用隐含条件1cos sin 22=+a a ，结合已知条件，配方后再开方求解.[思维误区]有的同学这样解答例4，你认为对吗？ [解]因为,1cos sin ,81cos sin 22=+=∙a a a a 又 ,438121cos sin 2sin )sin (cos 22=⨯-=∙-=-a a a a a 所以.32sin cos ±=-a a例5 、如图8-1-1，在梯形ABCD 中，AB//CD ，∠BCD ＝900，且AB＝1，BC ＝2，tan ∠ADC=2.（1）求证：DC ＝BC ；（2）E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC ＝∠FBC ，DE ＝BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE ：CE ＝1：2，∠BEC ＝1350时，求sin ∠BFE 的值.能力训练1.已知a 的锐角，则下列结论：①;1cos sin =+a ②如果045>a ，那么;cos sin a a >③如果;60,21cos 0<>a a 则④a a sin 1)1(sin 2-=-.正确的有（ ）. A.1个B.2个C.3个D.4个2.（2006，成都中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于点D ，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝（ ）. A.35 B.32 C.552 D.253.（2007，烟台中考）如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB ＝ABCD,那么a 等于（ ）. A.sinaB.cosaC.tanaD.atan 1 5.已知关于x 的方程3x 2-4x •sina+2(1-cosa)=0有两个不相等的实数根，a 为锐角，那么a 的取值范围是 .6.已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足等式(2b)2=4(c+a) •(c-a),且有5a-3c=0,则sinA+sinB+sinC 的值为 .7.（2005，五羊杯竞赛）观察图（1）、（2），容易由图（1）与图（2）的关系发现图（2）中的∠1＝∠2+∠3.把图（2）推广到图（3），其中有8个角：∠1，∠2，.. ，∠8.可以验证∠1＝∠2+∠5+∠8成立.除此之外，恰好还有一组正整数x,y,z ，满足82≤≤≤≤z y x ，使得∠1＝∠x+∠y+∠z ，那么这组正整数(x,y,z)＝ .8.（2004，甘肃竞赛）如图，小明将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上，设此点为F ，若AB ：BC ＝4：5，则cos ∠DCF 的值是 .9.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900，AC ＝BC ，AD 是BC 边上的中线，CE ⊥AD 于E ，CE 的延长线交AB 于F ，则tan ∠BAD 的值等于 .10.（2006，河南中考）如图，把矩形纸片OABC 放入平南直角坐标系中，使OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A ’的位置，若OB ＝,21tan ,5=∠BOC 则点A ’的坐标为 .11.（2006.全国竞赛）若m 为实数，且sina 、cosa 是关于x 的方程3x 2-mx+1=0的两根，则sin 4a+cos 4a 的值为 .12.如图，（1）锐角的正弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化.试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化规律.（2）根据你探索到的规律，试比较180,340,500,620,880,这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小；（3）比较大小（在空格处填写“<”或“>”或“=”）:若a=450时，则sina cosa ；若a<450,则sina cosa ；若a>450,则sina cosa ；（4）利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，度比较下列正弦值和余弦值的大小.Sin100 cos300 sin500 cos70013.如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动. （1）当△ABC 滚动一周到△A 1B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 （精确到0.1，π＝3.14）.（2）△ABC 滚动2400时，C 点的位置为C ’, △ABC 滚动4800时，A 点的位置在A ’.请你利用三角函数中正切的两角和公式),tan tan 1()tan (tan )tan(βαβαβα∙-÷+=+求出∠CAC ’+∠CAA ’的度数.14.（2003，江苏竞赛）如图，在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别为斜边AB 上的高和中线，BC ＝a,AC=b(b>a),若tan ∠DCE ＝21，求ba的值.。
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
一、三角函数的定义1. 正弦函数sinx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的纵坐标就是sinx。
2. 余弦函数cosx：对于任意实数x，将x的终边与x轴正方向的夹角的终点的横坐标就是cosx。
3. 正切函数tanx：对于任意实数x，将sinx除以cosx就是tanx。
4. 余切函数cotx：对于任意实数x，将cosx除以sinx就是cotx。
5. 正割函数secx：对于任意实数x，将1除以cosx就是secx。
6. 余割函数cscx：对于任意实数x，将1除以sinx就是cscx。
二、三角函数的性质1. 基本关系式：sin^2x + cos^2x = 12. 周期性：sin(x+2kπ) = sinx，cos(x+2kπ) = cosx，其中k为任意整数。
3. 奇偶性：奇函数有sinx、tanx和cotx，偶函数有cosx、secx和cscx。
4. 正函数和负函数：在单位圆上，sinx和cscx为正函数，cosx和secx为负函数。
5. 三角函数的范围：sinx、cosx和tanx的范围是[-1,1]，cotx、secx和cscx的范围是(-∞,∞)。
三、特殊角的三角函数值1.0°、30°、45°、60°和90°的三角函数值。
2.30°、45°、60°和90°的三角函数值的推导。
四、角度的度量转换1.度和弧度之间的转换：π弧度=180°，1°=π/180弧度。
2.角度的换算：1°=60'，1'=60''。
五、倍角、半角和三倍角公式1. 倍角公式：sin2x = 2sinxcosx，cos2x = cos^2x - sin^2x，tan2x = 2tanx / (1 - tan^2x)。
2. 半角公式：sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2) =±√[(1+cosx)/2]，tan(x/2) = ±√[(1-cosx) / (1+cosx)]。
初三数学《锐角三角函数》优秀教学课件
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和 余割是根据三角形的边长关 系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函 数和带角的三角函数，每个 函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像 展示了它们的周期性、对称 性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条 连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数， 值域是[-1, 1]，具有周期性和对 称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的 曲线，与余弦函数图像对 称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的 曲线，与正弦函数图像对 称。
3 性质
正割和余割函数分别是余 弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内 呈现出重复的模式，这个范围 称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一 定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重 复模式和增减变化规律。
全国优质课一等奖人教版九年级数学下册《锐角三角函数》公开课课件
∠所邻的边
斜边
B
=
斜边
c
A
正弦和余弦的注意事项：
b
邻边
a 对边
C
1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
课堂练习 （求余弦）
则 = − = − = .
=
= ，
a
b
C
课堂练习 （求余弦）
变式2-3 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=____.
坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡的仰角为30°，
【问题一】为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？
∵在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一边
பைடு நூலகம்
∴ =
1
2
而BC=35 m ∴AB=2BC=70 m
【问题二】如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
【问题三】你发现了什么？
100 m
【解题技巧】
1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，
AB = c，则BC = ck，AC = ch
2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，
BC=a，则 AB = a ，AC = ah .
k
k
A
b
C
02
锐角三角函数-余弦
在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，
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第十六讲 锐角三角函数
古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：
1．单调性；
2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系．
平方关系：sin 2α+cos 2
α=1； 商数关系：tg α=
ααcos sin ，ctg α=α
α
sin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．
【例题求解】
【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝13
5
，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．
思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=13
5
=
AC CD ，tanB=
2=BD
CD
，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．
注：设△A BC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：
(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2
1
sin 21sin 21==；
（2）
R C
c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23-
思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．
（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．
思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=
13
12
，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；
(2) sinC=AC
AD
=
1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．
【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；
(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?
思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．
学历训练
1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>
2
1
，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．
2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB
13
5
，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得t an75°= ．
4．化简
(1)263tan 27tan 22-+ = ．
(2)sin 2
l °+sin 2
2°+…+sin 2
88°+sin 2
89°= ．
5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )
A ．甲的最高
B ．丙的最高
C ．乙的最低
D ．丙的最低
6．已知 sin αcos α=8
1
，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )
A ．
23 B ．2
3- C ．43 D ．43-
7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )
A ．3
B ．32
C ．
23 D ．4
3 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=5
1
，则AD 的长为( )
A ．2
B ．2
C ． 1
D ．22
9．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．
10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=4
3，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=
16
7
3，则sin α= ．
12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．
13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．
14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．
61 B ．5
1 C ．9
2 D ．10
3 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是
( ) A ．2 B ．2
3 C ．1 D ．21
16．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=
23
，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．
2
9 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，
又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．
18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．
19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．
20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．
(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)
(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．
参考答案。