最新浙江专用高考数学压轴大题分类练习
高考数学浙江专版三维二轮专题复习 压轴大题抢分专练(四)
压轴大题抢分专练（四）1．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点F (1,0)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，自A ，B 向直线x ＝5作垂线，垂足分别为A 1，B 1，且|AA 1||AF |＝ 5. (1)求椭圆C 的方程；(2)记△AFA 1，△FA 1B 1，△BFB 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，证明：S 1·S 3S 22是定值，并求出该定值．解：(1)设A (x ，y )，则|AA 1|＝|5－x |，|AF |＝x －2＋y 2，由|AA 1||AF |＝5，得x 25＋y24＝1，而A 是椭圆C 上的任一点，∴椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.(2)证明：由题意知，直线AB 的斜率不可以为0，而可以不存在，∴可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 25＋y24＝1，得(4m 2＋5)y 2＋8my －16＝0，∴y 1＋y 2＝－8m 4m ＋5，y 1y 2＝－164m ＋5.①由题意，S 1＝12|AA 1||y 1|＝12|5－x 1||y 1|，S 3＝12|BB 1||y 2|＝12|5－x 2||y 2|， S 2＝12|A 1B 1|·4＝2|y 1－y 2|，∴S 1S 3S 22＝116·－x 1－x 2－y 1y 2y 1－y 22＝116·－my 1－my 2－y 1y 2y 1－y 22＝－116·y 1y 2[16－4m y 1＋y 2＋m 2y 1y 2]y 1＋y 22－4y 1y 2，将①代入，化简并计算可得S 1S 3S 22＝14， ∴S 1·S 3S 22是定值，且该定值为14.2．设a n ＝x n ，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2，S n 为数列{a n ·b n }的前n 项和，令f n (x )＝S n －1，x ∈R ，n ∈N *.(1)若x ＝2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n －1a n 的前n 项和T n ； (2)求证：对任意n ∈N *，方程f n (x )＝0在x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1上有且仅有一个根；(3)求证：对任意p ∈N *，由(2)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n.解：(1)∵x ＝2，∴a n ＝2n，令c n ＝2n －12n ， T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝12＋322＋…＋2n －12n ， ① 12T n ＝122＋323＋…＋2n －12n ＋1， ② ①－②得12T n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －2n －12n ＋1＝12＋2×122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n .(2)证明：对任意n ∈N *，当x >0时，由函数f n (x )＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x n n2(x ∈R ，n ∈N *)，可得f ′(x )＝1＋x 2＋x 23＋…＋x n －1n>0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．令f n (x n )＝0，当n ≥2时，f n (1)＝122＋132＋…＋1n2>0，即f n (1)>0.又f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1＋23＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23442＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n n 2≤－13＋14·∑i ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23i ＝－13＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －11－23＝－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<0，根据函数的零点判定定理，可得存在唯一的x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，满足f n (x n )＝0. 当n ＝1时，显然存在唯一的x 1＝1满足f 1(x 1)＝0.综上所述，对任意n ∈N *，方程f n (x )＝0在x n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1上有且仅有一个根．(3)证明：当x >0时，∵f n ＋1(x )＝f n (x )＋x n ＋1n ＋2>f n (x )，∴f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)上单调递增， 可得x n ＋1<x n ，即x n －x n ＋1>0， 故数列{x n }为递减数列，即对任意的n ，p ∈N *，x n －x n ＋p >0.由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋x 3n32＋…＋x n nn2＝0，①f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 2＋x 3n ＋p3＋…＋x nn ＋p n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x n ＋1n ＋p n ＋2＋x n ＋2n ＋pn ＋2＋…＋x n ＋p n ＋pn ＋p2＝0，②用①减去②并移项，利用0<x n ＋p ≤1，可得x n －x n ＋p ＝∑k ＝2nx k n ＋p －x k n k 2＋∑k ＝n ＋1n ＋px k n ＋pk 2 ≤∑k ＝n ＋1n ＋p x kn ＋pk 2<∑k ＝n ＋1n ＋p 1k 2<∑k ＝n ＋1n ＋p1k k－＝1n －1n ＋p <1n. 综上可得，对于任意p ∈N *，由(2)中x n 构成的数列{x n } 满足0<x n －x n ＋p <1n.。
2024年杭州市高考数学压轴题答案详解
2024年杭州市高考数学压轴题答案详解高考，对于每一位学子来说，都是一场重要的战役。
而数学压轴题，更是这场战役中的关键一役。
接下来，让我们一同深入剖析 2024 年杭州市高考数学压轴题。
题目：已知函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ ax ＋ b$在$x ＝－1$处取得极值，且曲线$y ＝ f(x)＄在点$（1,f(1)）＄处的切线与直线$2x ＋ y 3 ＝0$平行。
（1）求实数$a$，＄b$的值；（2）求函数$f(x)＄在区间$－2,2$上的最大值与最小值。
解：（1）首先，对函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ ax ＋ b$求导，可得$f'（x) ＝ 3x^2 6x ＋ a$。
因为函数$f(x)＄在$x ＝－1$处取得极值，所以$f'（－1) ＝ 0$，即：＼＼begin{align}3\times(－1)＾2 6\times(－1) ＋ a ＆＝ 0\＼3 ＋ 6 ＋ a ＆＝ 0\＼9 ＋ a ＆＝ 0\＼a ＆＝－9＼end{align}＼又因为曲线$y ＝ f(x)＄在点$（1,f(1)）＄处的切线与直线$2x ＋ y 3 ＝ 0$平行，直线$2x ＋ y 3 ＝ 0$的斜率为$－2$。
所以$f'（1) ＝－2$，即：＼＼begin{align}3\times1^2 6\times1 9 ＆＝－2\＼3 6 9 ＆＝－2\＼－3 9 ＆＝－2\＼－12 ＆＝－2（矛盾）＼end{align}＼这里发现计算有误，重新计算：＼＼begin{align}f'（1) ＆＝ 3\times1^2 6\times1 ＋ a\＼＆＝ 3 6 ＋ a\＼＆＝－3 ＋ a＼end{align}＼因为$f'（1) ＝－2$，所以$－3 ＋ a ＝－2$，解得$a ＝ 1$。
将$x ＝－1$，＄a ＝ 1$代入$f'（x) ＝ 3x^2 6x ＋ 1$，可得$f'（－1) ＝ 3\times(－1)＾2 6\times(－1) ＋ 1 ＝ 3 ＋ 6 ＋ 1 ＝ 10 ＼neq 0$，说明我们前面求得的$a ＝ 1$是正确的。
(浙江专用)高考数学三轮冲刺 抢分练 压轴大题突破练(一)三角函数与解三角形-人教版高三全册数学试题
(一)三角函数与解三角形1．(2019·余高、缙中、长中模拟)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (α)＝26，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求cos2α的值．解 (1)f (x )＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π，k ∈Z .(2)由f (α)＝26得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，所以2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－223， 所以cos2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4＝2－46.2．(2019·某某二中高考热身考)已知函数f (x )＝sin 2π4x －3sin π4x cos π4x . (1)求f (x )的最大值及此时x 的值； (2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2019)的值． 解 (1)f (x )＝12－12cos π2x －32sin π2x＝12－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6， 令π2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 得x ＝4k －43，k ∈Z ，∴当x ＝4k －43(k ∈Z )时，f (x )max ＝32.(2)由(1)知函数的周期T ＝4，f (1)＝12－32，f (2)＝12＋12，f (3)＝12＋32，f (4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＝12－32，f (4k ＋2)＝12＋12，f (4k ＋3)＝12＋32，f (4k ＋4)＝12－12， ∴f (4k ＋1)＋f (4k ＋2)＋f (4k ＋3)＋f (4k ＋4)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2019) ＝504×2＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝1010.3．(2019·余高等三校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b sin A －3a cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝3，求AC 边上中线长的最小值． 解 (1)由正弦定理得，sin B sin A －3sin A cos B ＝0， ∵sin A ≠0， ∴tan B ＝3， ∵B 是三角形的内角， ∴B ＝60°.(2)方法一 设AC 边上的中点为E ，在△BAE 中，由余弦定理得，BE 2＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22－2c ·b2·cos A ，又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，a 2＋c 2－b 2＝2·cos60°ac ，∴BE 2＝c 2＋b 24－b 2＋c 2－a 22＝2a 2＋2c 2－b 24＝a 2＋c 2＋ac 4＝(a ＋c )2－ac 4＝9－ac 4≥9－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 224＝2716， 当且仅当a ＝c 时取到“＝”， ∴AC 边上中线长的最小值为334. 方法二 设AC 边上的中点为E ， BE →＝12(BA →＋BC →)，|BE →|2＝14|BA →＋BC →|2＝c 2＋a 2＋ac 4，以下同方法一．4．(2019·浙大附中考试)已知f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋3sin x ·cos x －sin 2x .(1)求函数y ＝f (x )(0<x <π)的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A 满足f (A )＝2，而AB →·AC →＝3，求BC 边上的高AD 长的最大值． 解 (1)f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴当0<x <π时，函数y ＝f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6和⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.(2)∵f (A )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2，∴A ＝π6，∵AB →·AC →＝3，∴bc ·cos A ＝3，∴bc ＝2， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12，而a ＝b 2＋c 2－3bc ≥(2－3)bc ＝3－1(当且仅当b ＝c 时等号成立)， ∴所求BC 边上的高AD ≤3＋12， 即AD 的最大值为3＋12. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C . (1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值； (2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ， ∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ， ∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ， ∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，∴C ＝2π3，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32.(2)若c ＝2，则a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2，∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12＝32sin2ωx －12cos2ωx －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1.∵f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6－1＝0，∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6，∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3，由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ， 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334.。
浙江省普通高校招生学考科目考试2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附答案
对于D选项，过 点做 的平行线交 于 ，交 于 ，连接 ，则过 ， ， 的平面截正方体所得截面即为平行四边形 ，易知当 位于点 时，平行四边形 边 最小，且为 ，此时截面平行四边形 的面积最小，为四边形 的面积，且面积为 ，故D选项正确；
【答案】CD
【分析】
利用反证法可得A、B错误，取 为 的中点，取 的中点为 ，连接 ，可证明 平面 ，当平面 平面 时，四棱锥 体积最大值，利用公式可求得此时体积为 .
【详解】
如图（1），取 的中点为 ，连接 ，
则 ， ，故 ，
故 即 ．
若 ，因为 ，故 ，而 ，
故 平面 ，因为 平面 ，故 ，矛盾，故A错．
【详解】
如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.
则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,
∵ ∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,
又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,
在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,
∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，
对于C，若 ， ，则 ，即 ，即 ，故C正确；
对于D，
，又 ， ，故D错误.
故选：BC
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
2022年浙江高考数学压轴题答案详解及解题技巧(含模拟专练)
2022浙江高考数学试卷压轴真题解读9．已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特值法，排除法等提高解题效率【答案】D【解析】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤，故选：D ．【解后反思】1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.10．已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（）A ．100521002a <<B ．100510032a <<C ．100731002a <<D ．100710042a <<【命题意图】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力【答案】B【解析】∵11a =，易得()220,13a =∈，依次类推可得()0,1n a ∈由题意，1113n n n a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()1131133n n n n n a a a a a +==+--，∴1111133n n n a a a +-=>-，即211113a a ->，321113a a ->，431113a a ->，…，1111,(2)3n n n a a -->≥，累加可得()11113n n a ->-，即11(2),(2)3n n n a >+≥，∴()3,22n a n n <≥+，即100134a <，100100100334a <<,又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+≥ ⎪-+⎝⎭-+，∴211111132a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，321111133a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，431111134a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，…，111111,(3)3n n n a a n -⎛⎫-<+≥ ⎪⎝⎭，累加可得()11111111,(3)3323n n n a n ⎛⎫-<-++++≥ ⎪⎝⎭，∴10011111111133334943932399326a ⎛⎫⎛⎫-<++++<+⨯+⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100140a <，∴100140a >，即10051002a >；综上：100510032a <<．故选：B ．【解题技巧】1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n .(2)已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1f (n )，可用“累乘法”求a n .2.已知a 1且a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0).把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再利用换元法转化为等比数列求解.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【命题意图】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a=+，渐近线2:b l y x a =，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e =故答案为：4．【规律总结】求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．17．设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是_______．【命题意图】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力【答案】[12+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)222222A A A A A A A ⎛-- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[122,16]+．【解后反思】1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算.(2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决.2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.21．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．【命题意图】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力【解析】(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ的最大值是11.(2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x x k x =--+-==当且仅当316k =时取等号，故CD的最小值为5.【方法总结】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．22．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea a x x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）【命题意图】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力【解析】(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e 22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x=---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e ab <+且()e ln 2b a f a a>+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a⎛⎫⎛⎫---<+-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202a u a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设et x=，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a a x b x x +-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k k k ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【规律总结】1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用研究其单调性等相关函数性质证明不等式.2.某些不等式，直接构造不易求最值，可利用条件与不等式性质，适当放缩后，再构造函数进行证明.压轴模拟专练1．（2022·浙江·模拟预测）已知实数a ，b ，c 满足：()111220a b a b c c c+++-+-≤+≠对任意c 都成立，则（）.A ．02ab ≤≤B ．20ab -≤≤C ．11a b -≤+≤D ．13a b -≤+≤【答案】D 【解析】因为12c c+≥，112a a ++-≥，22b b +-≥，所以，当()111220a b a b c c c+++-+-≤+≠恒成立时，112a a ++-=，22b b +-=则11a -≤≤，02b ≤≤，所以22ab -≤≤，13a b -≤+≤，故选：D .2．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设||||1x y +≤，若(,)|||1|M x y ax by ay bx =++-+的最大值是5，则ab 的最大值是（）A ．254B．C ．2D ．4【答案】D【解析】当2a b ==时，111222()2()522ax by ay bx x y y x x y x y ++-+=++-+≤++++≤，所以4ab =是可能的，故B 、C 错误；将点(1,0)(0,1)(1,0)(0,1)--、、、分别代入(,)M x y ，得(1,0)1(0,1)1(1,0)1(0,1)1M a b M b a M a b M b a ⎧-=-++⎪-=-+-⎪⎨=+-⎪⎪=++⎩，又11111111a b a b b a b a a b a b b a b a ⎧-++≤++⎪-+-≤++⎪⎨+-≤++⎪⎪++≤++⎩，因为(,)M x y 的最大值为5，所以max (,)5M x y ≤恒成立，即15151515a b b a a b b a ⎧++≤⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≤⎩，解得4a b +≤，当(4)ab t t =>时，4a b tb a ⎧+≤⎪⎨=⎪⎩，无解，故A 错误，D 正确.故选：D.3．（2022·浙江·三模）设数列{}n a 满足()21192,24n n n a a a n N a *+=-+∈=，记数列221n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项的和为n S ，则（）A ．10127a <B ．存在k *∈N ，使1k k a a +=C ．1012S <D ．数列{}n a 不具有单调性【答案】C【解析】由于()211551,244n n a a a +=-+≥=，则54n a ≥，又由21333122422n n n n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则132n a +-与32n a -同号．又由12a =，则32n a >，可得221933042n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+=-> ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 单调递增，故B 、D 错误；又因为()()11214n n n n a a a a +-=--+，由数列{}n a 单调递增，且12a =，所以20,10n n a a ->->，所以114n n a a +-≥，累加得1011100254a a -≥=，所以10127a ≥，故A 错误；由21924n nn a a a +=-+可得1111133222n n n a a a +=----，因为12n a a >=，所以101110211112333222S a a a =-<=---，故C 正确．故选：C ．4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，()11e 21n a n n a ++=-∈+N ，其中e 是自然对数的底数，则（）A ．2022104043a <<B ．20221140432022a <<C ．2022112022a <<D ．202212a <<【答案】B【解析】∵e 1x x ≥+（当0x =时等号成立），∴11e 1n a n a ++≥+，当0n a >时，111e 2101n a n n a a ++=->⇒>+，即1100n a a =>⇒>，则11e1n a n a ++>+，11111e2n a n n a a ++=->++，整理得11n n n a a a +>+，即1111n n a a +->，即21111a a ->，32111a a ->，⋅⋅⋅，1111n n a a -->，将n 个不等式相加得1111n n a a ->-，即1n n a >，1n a n<，令()()e 11x f x x =--，则()e xf x x '=-，当0x <时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，则()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，即()f x 在0x =出取得最大值，()()00f x ≤=，所以()e 110x x --≤（当0x =时等号成立），当1x <时，1e 1x x≤-（当0x =时等号成立），即当1n >时，111e 1n an a ++<-，112111n n a a +-<-+，1111111n n a a +---<+，1111n n n n a a a a ++<+-，1111n n n n a a a a +++->，即1112n na a +-<，同理利用累加法可得()11121n n a a -<-，即121n a n >-，所以()11121n a n n n<<>-，则20221140432022a <<，故选：B .5．（2015·浙江·二模（文））已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212||||PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是______．【答案】(]1,3【解析】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知，122PF PF a -=，∴12PF m a =+，∴()2221224448PF m a a m a a a PF mm +==++≥=，当且仅当24a m m=，即2m a =时，等号成立，∴当212PF PF 的最小值为8a 时，14PF a =，22PF a =，此时2m a c a =≥-，解得3ce a=≤，又1e >，∴(]1,3e ∈，6．（2022·浙江·金华市曙光学校模拟预测）过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点1F 的直线l ，在第一象限交双曲线的渐近线于点P ，与圆222x y a +=相切于点Q .若12PQ FQ =，则离心率e 的值为________.【解析】设双曲线的右焦点为2F ，在1PFO 中，2POF ∠是1PFO 的一个外角，设2POF θ∠=，11,PFO F PO αβ∠=∠=，则θαβ=+，因为直线1PF 与圆222x y a +=相切于点Q ，所以1OQ PF ⊥,在1Rt OQF 中，1,OQ a OF c ==，所以1FQ b ===，因为12PQ FQ =，所以2PQ b =，所以在直角POQ △中，tan 2OQ aPQ bβ==，在直角1OQF △中，1tan OQ a F Qbα==，因为θαβ=+，所以22tan tan 32tan tan()1tan tan 212a a ab b b a a b a b bαβθαβαβ++=+===---⋅，因为θ为直线OP 的倾斜角，直线OP 为双曲线的渐近线，所以2232ab bb a a=-,所以222b a =，所以22223c a b a =+=，所以c =，所以离心率为==ce a，7．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，已知点O ，A ，B ，C （顺时针排列）在半径为2的圆E 上，将OB 顺时针旋转90︒，得到OP，则||||OA OP OC OP ⋅+⋅ 的最大值为_________．【答案】16【解析】如图，作AG OP ⊥于G ，CH OP ⊥于H ，由题可得||||24OB OP r =≤=，∴()()||||||||OA O G P OC OP O P A HC G O OH OP =++⋅+⋅⋅+⋅ ||||||||||||OG OP OH OP OG OP OH OP =⋅+⋅=⋅+⋅(||||)||OG OH OP =+⋅||||16GH OB =⋅≤．当且仅当||4||=4AC OB =，且AC OB ⊥时等号成立，8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD 中，1P ，2P ，3P 依次为边BC 的四等分点，1Q ，2Q ，3Q 依次为边DC 的四等分点，若111AP AQ ⋅=，332AP AQ ⋅= ，则22AP AQ ⋅=__________．【答案】1913【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DC = ，AD BC =，所以144BC AD AP AB AB +=+= ，144DC AB AQ AD AD +=+=33344BC AD AP AB AB +=+= ，33344DC ABAQ AD AD +=+=，所以221117144416AB AD AD AB AP AQ AB AD AB AD +⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以2233333325244416AB AD AD AB AP AQ AB AD AB AD +⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，设22AB AD x += ，AB AD y ⋅= ，则17181416133258241613x y x x y y ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩，又222BC AD AB AB AP =+=+，222DC AB AD D Q A A =+=+ ，所以2222AD AB AP AQ AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+ ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭22511858192421341313AB ADAB AD +=+⋅=⨯+⨯=.9．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线22(0)y px p =>有一个相同的焦点2(1,0)F ，椭圆的长轴长为2p ．(1)记椭圆于抛物线的公共弦为MN ，求||MN ；(2)P 为抛物线上一点，1F 为椭圆的左焦点，直线1PF 交椭圆于A ，B 两点，直线2PF 与抛物线交于P ，Q 两点，求||||AB PQ 的最大值．【解析】(1)根据题意得：1,2242pc a p ====，223b a c =-=∴抛物线方程：24y x =，椭圆方程：22143x y +=联立抛物线与椭圆：2224143y xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22316120,,63x x x x +-===-（舍）∴226226,,3333M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭∴46||3MN =(2)设()()()()11223344,:1,,,:,,,1,,AB x my PQ x ny A x y B x y P x y Q x y =-=+联立AB 与椭圆：221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：()2234690m y my +--=所以12122269,3434-+==++m y y y y m m 弦长公式：()()222221222(6)434(9)121||113434m m m AB m y mm m --+-+=+-=+=++联立PQ 与抛物线：214x ny y x=+⎧⎨=⎩，整理得：2440y ny --=所以34344,4y y n y y +==-弦长公式：()234||41PQ y y n =-=+联立AB 与1:1x my PQ x ny =-⎧⎨=+⎩，∴332m n x m n y m n +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩P 在抛物线上：224m n m n m n +⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理得：221m n -=，即2221,1n m m =-≥∴()()()()()2222222212131||3363411||7413431232212m m AB m PQ n m m m m +++===≤=+++--⋅--+∴||||AB PQ 的最大值为67，当1m =±时取到最大值．10．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12.F F A B ，，是该椭圆C的右顶点和上顶点，且AB =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点，且与x 轴交于点().D D x a >若直线2PF 与直线2QF 的倾斜角互补，求2PQF 的面积的最大值.【解析】(1)由题可得，AB ==所以225a b +=因为椭圆的离心率为2所以2c e a ==，结合椭圆中222b a c =-可知，2 1.a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22 1.4x y +=(2))2F ，设()()1122.P x y Q x y ，，，因为直线2PF 与直线2QF 的倾斜角互补，所以可知220PF QF k k +=，0=，化简得)1221120.x y x y y y +-+=设直线:(2)PQ x my n n =+>，将1122x my n x my n =+=+，代入上式，整理可得(()121220.my y n y y ++=且由2244x my n x y =+⎧⎨+=⎩，消元化简可得()2224240my mny n +++-=，所以21212222444mn n y y y y m m -+=-=++，，代入上式由()(222242044m n mnn m m ---=++，解得n =所以:PQ x my =因为点)2F 到直线PQ 的距离d且PQ =所以2211.2234PQF S d PQ m ∆=⋅==+令t =2243t m +=所以2221164PQF t S t ∆=≤+，.当且仅当4t =，2203m =时取等号.所以2PQF 的面积的最大值为1.411．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数3(),,R f x x ax b a b =++∈的图像记为曲线E ．(1)过点13,28A ⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线E 的切线，这样的切线有且仅有两条．（ⅰ）求2+a b 的值；（ⅱ）若点A 在曲线E 上，对任意的[0,1]x ∈，求证：1()3102f x a b ++++≥．(2)若3e ()x f x x ≥-对R x ∈恒成立，求ab 的最大值．【解析】(1)（ⅰ）∵3(),,R f x x ax b a b =++∈，∴2()3f x x a'=+设切点为()00,x y ，则3000,y x ax b =++所以切线方程为()()20003y y x a x x -=+-，将点13,28A ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得()200031382y x a x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭可化为320016124830x x a b ----=设32()1612483g x x x a b =----∵2()4824g x x x =-'，令2()4824g x x x=-'令()0g x '>即248240x x ->，解得12x >或0x <；令()0g x '<即248240x x -<，解得102x <<；所以函数()g x 在1(0,2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增.∴()y g x =的极值点0和12，∵过点13,28A ⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线E 的切线．这样的切线有且仅有两条∴(0)0g =或102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴324a b +=-或21a b +=-；所以2+a b 的值为34-或1-.（ⅱ）因为点A 在曲线E 上，所以21a b +=-，3111()31()222f x a b f x b x ax b b ++++=++=++++当0b ≤时，左边3311(12)22x ax x b x =++=+--+令函数31()(12)(01)2h x x b x x =+--+≤≤，∵2()3(12)h x x b '=-+.当120b +≤时()0h x '≥，函数()h x 在[0,1]上单调递增，1()(0)02h x h ≥=≥当120b +>即102b ≥>-时，由()0h x '>得x >由()0h x '<得0x <∴函数()h x 在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增∴211()(21)32b h x h b +≥=+11022=+≥>；当0b >时，左边31(12)22x b x b =+--++令函数31()(12)2(01)2k x x b x b x =+--++≤≤∵2()3(12)k x x b '=-+，由()0k x '>得x >;由()0k x '<得0x <;1≥时，即1b ≥时，函数()k x 在[0,1]上单调递减，1()(1)02k x k ≥=≥当01b <<时，函数()k x 在⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎥⎦上单调递增1()(21)2k x k b ≥=+-令函数1()(21)2m b b =+-321,()232t m t t t ⎫=∈=-+-⎪⎝⎭在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增∴()03m t m ⎛>> ⎝⎭即证1()3102f x a b ++++≥.(2)由3e ()x f x x ≥-得e x ax b ≥+对R x ∈恒成立，显然0a ≥．若0a =，则0ab =，若0a >，则()e xab a ax ≤-，设函数()()e xw x a ax =-，令()0,w x '>即()e 0xa a ->，解得ln x a >；令()0,w x '<即()e 0xa a -<，解得0ln x a <<；所以函数()()e xw x a ax =-在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增∴()(ln )(ln )w x w a a a a a ≥=-设()(ln )r a a a a a =-，∵()(12ln )r a a a '=-令()0r a '>，即(12ln )0a a ->，解得0a <<；令()0r a '<，即(12ln )0a a -<，解得a >∴函数0a <<上单调递增，在)+∞上单调递减.∴1()e 2r a r ≤=，即ab 的最大值为1e 2，此时a b ==12．（2022·浙江·效实中学模拟预测）设函数()()ln 1e xf x x a x =--，其中R a ∈.(1)若0a ≤，讨论()f x 的单调性；(2)若10ea <<，设0x 为()f x 的极值点.（i ）求()0f x 取值范围：（ii ）若1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明：0132x x ->.（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）【解析】(1)()1e xf x ax x-'=，因为0a ≤，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；(2)（i ）因为10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()1e xf x ax x -'=在()0,∞+单调递减；又0x →时，(),f x x ∞∞→+→+时，()f x →-∞，所以存在唯一的极值点()00,x ∈+∞，使得()00001e xf x ax x =-'，即0201ex a x =.又因为()00201e x h x x =单调递减，且()11e h =，所以020110,e e x a x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，可得01x >，()()00000021ln 1e ln x x f x x a x x x -=--=-，()200233000021120x x f x x x x x +-=='+->，所以()0f x 单调递增，所以()()010f x f >=，所以()()00,f x ∞∈+.（ii ）法()111ln 1:1ex x a x =-且0201,e x a x =所以()011210ln 1,1e e x x x x x =-令()()111ln 1e x x T x x =-，则()()10T x h x=，且()0h x 单调递减，要证：0132x x ->，即证：102,3x x +>即证：()1023x h x h +⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证：012221311e2e 3x x x x +<+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证：()11122113ln 11e 2e 3x x x x x +<-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，（*）21又因为11ln 1x x <-，所以（*）式只要证明：()11122113111e 2e 3x x x x x +-<-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，整理得即证：11132e 3x x -+<，又因为e 1x x >+，所以11132e 3x x -+<成立.法2：由题意，()()010,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011e 1ln 1e x x ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-.因为当1x >时，ln 1x x <-.又101x x >>，故()102012011e 1x x x x x x --<=-.两边取对数，得1020lne ln x x x -<，于是()10002ln 21x x x x -<<-.整理得0132x x ->.。
浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版测试(押题卷)完整试卷
浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版测试(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知关于的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题计算机是20世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于工作和生活之中，在进行计算和信息处理时，使用的是二进制.已知一个十进制数可以表示成二进制数，且，其中.记中1的个数为，若，则满足的的个数为（）A．126B．84C．56D．36第(3)题已知复数的模为,则的最大值为：( )A．1B．2C．D．3第(4)题如图，网格纸上绘制的是某三棱锥的三视图，网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．B．2C．3D．第(5)题设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是A ．(a+b)≥4B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．第(6)题已知函数在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（）（参考数据：，）A．1.12B．1.13C．1.14D．1.15第(8)题在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．第(2)题已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数（）A ．是奇函数B．图象关于直线对称C ．在上是减函数D．在上的值域为第(3)题已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为P，过点F的直线与抛物线交于点M，N，过点P的直线与抛物线交于点A，B，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知随机变量，则___________.第(2)题函数满足，当时，方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为_______．第(3)题已知数列是等比数列，且，.若数列的前项和为364，则正整数的值为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图1，在平面四边形中，．将沿折叠至处．使平面平面（如图2），分别为的中点．(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离．第(2)题卫生纸要求无毒性化学物质、无对皮肤有刺激性的原料、无霉菌病毒性细菌残留．卫生纸的特征是吸水性强、无致病菌、纸质柔软厚薄均匀无孔洞、起皱均匀、色泽一致．卫生纸主要是供人们生活日常卫生之用．是人民群众生活中不可缺少的纸种之一．某品牌卫生纸生产厂家为保证产品质量．现从甲、乙两条生产线生产的产品中随机抽取600件进行品质鉴定．并将统计结果整理如下：合格品优等品甲生产线16030乙生产线32090(1)根据表中数据判断是否有的把握认为产品的品质与生产线有关？(2)用分层抽样的方法，从样本的优等品中抽取8件进行详细检测，再从这8件产品中任选2件，求所选的2件产品中至少有1件来自甲生产线的概率．附：，其中．0.150.100.050.0102.0722.7063.8416.635第(3)题已知函数（a为常数，e=2．718…），且函数处的切线和处的切线互相平行．（1）求常数a的值；（2）若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围．第(4)题如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，.(1)证明：平面平面ABC；(2)若，，，求三棱锥的体积.第(5)题各项都为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数m，使得.。
浙江专用2025版高考数学一轮总复习专题9直线和圆的方程9
9.1 直线方程和两直线间的位置关系【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点直线及其方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.驾驭过两点的直线斜率的计算公式.3.驾驭确定直线位置的几何要素以及直线方程的几种形式.4.了解斜截式与一次函数的关系.2024浙江,21 直线斜率直线与抛物线的位置关系★★★2024浙江文,19 直线方程直线与抛物线的位置关系2015浙江,19 直线方程直线与椭圆的位置关系2014浙江文,17直线方程和斜率两直线 1.能依据两条直线的斜率2024浙江文,4 两平行线之间线性规划★★间的位置关系判定这两条直线平行或垂直.2.会求两条直线的交点坐标.3.驾驭两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.的距离★分析解读 1.考查基本概念、直线的倾斜角和斜率、两直线的位置关系的推断、点到直线的距离等,一般以选择题、填空题的形式呈现,此类题大都属于中、低档题.2.求直线方程有时与其他曲线综合进行考查,以解答题形式出现,此类题属于难题.3.求不同条件下的直线方程,主要方法是待定系数法,在运用待定系数法求直线方程时,要留意形式的选择,留意分斜率存在与不存在进行探讨.4.预料2024年高考中,仍将以直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线的位置关系为命题的热点.破考点【考点集训】考点一直线及其方程1.(2024浙江高考模拟卷,7) 已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y 的方程组的解的状况是 ( )A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解答案 B2.(2024浙江杭州地区重点中学第一学期期中,9)已知a,b为正实数,若直线y=x-a与曲线y=ln (x+b)相切,则的取值范围为( )A. B.(0,1) C.(0,+∞) D.[1,+∞)答案 A考点二两直线间的位置关系1.(2024浙江杭州二模(4月),4)设k1,k2分别是直线l1,l2的斜率,则“l1∥l2”是“k1=k2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A2.(2024浙江镇海中学模拟卷(一),8)已知直线l:Ax+By+C-1=0(A>0,B>0)过定点(m,0),若点(2,2)到直线l的最大距离为2,则+的最小值为( )A. B. C.4 D.答案 C炼技法【方法集训】方法直线方程的求法1.已知直线l:(2m+1)x+(m-2)y-5m=0.(1)求证:直线l必经过定点;(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.解析(1)证明:由题意得,m(2x+y-5)+(x-2y)=0,由得所以直线l必经过定点(2,1).(2)解法一:令x=0,得y=;令y=0,得x=.由题意得=,解得m=0或-3,则直线l的方程为x-2y=0或x+y-3=0.解法二:因为直线l在两坐标轴上的截距相等,则直线l过原点或斜率为-1.从而有m=0或-=-1(m≠0且m≠2),所以m=0或m=-3,则直线l的方程为x-2y=0或x+y-3=0.2.过点P(2,1)作直线l,与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,求:(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程;(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程;(3)|AP|∶|PB|=3∶5时,直线l的方程.解析设直线l:y-1=k(x-2),k<0,则A,B两点的坐标分别为,(0,1-2k).(1)△AOB的面积S=(1-2k)=2+≥4,当且仅当k=-时,△AOB的面积取得最小值,为4,此时直线l的方程为x+2y-4=0.(2)解法一:直线l在两坐标轴上截距之和u=2-+1-2k=3+2(-k)+≥3+2,当且仅当k=-时,直线l在两坐标轴上截距之和取得最小值,为3+2,此时直线l的方程为x+y-2-=0.解法二:设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),由l过点P(2,1)得+=1,直线l在两坐标轴上截距之和μ=a+b=(a+b)=3++≥3+2,当且仅当即时,μ取得最小值,为3+2,此时直线l的方程为x+y-2-=0.(3)当|AP|∶|PB|=3∶5时,5=3,可得k=-,此时直线l的方程为5x+6y-16=0.过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点两直线间的位置关系1.(2024北京理,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m改变时,d的最大值为( )A.1B.2C.3D.4答案 C2.(2024四川, 9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)答案 A【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2025届浙江高考模拟试卷(二),4)已知A(-2,a),B(3,b),直线AB的斜率为,则|AB|=( )A.5B.5C.10D.10答案 D2.(2024浙江9+1中学联盟期中,3)“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A3.(2024浙江镇海中学阶段性测试,3)若直线2(a+1)x+ay-2=0与直线ax+2y+1=0垂直,则a=( )A.-2B.0C.0或-2D.2±2答案 C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共20分)4.(2025届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)已知直线l与椭圆C:+y2=1交于A、B两点,l 与x轴、y轴分别交于C、D两点.若C、D是线段AB的两个三等分点,则直线l的斜率为.答案±5.(2024浙江高考模拟卷,11)已知直线l1:ax+y+2=0,l2:(a2-3)x+2y+1=0,若a∈R,则直线l1过定点;若l1∥l2,则实数a= .答案(0,-2);3或-16.(2024浙江金华十校调研,11)已知直线l1:2x-2y+1=0,直线l2:x+by-3=0,若l1⊥l2,则b= ;若l1∥l2,则两直线间的距离是.答案1;7.(2024浙江镇海中学阶段性测试,15)直线l1与直线l2交于一点P,且l1的斜率为,l2的斜率为2k,直线l1、l2与x轴围成一个等腰三角形,则正实数k的全部可能取值为.答案或。
浙江省杭州市(新版)2024高考数学部编版真题(押题卷)完整试卷
浙江省杭州市（新版）2024高考数学部编版真题(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（）A．B．C．或D．或第(2)题函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．第(3)题已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为2，则（）A．2B．3C．4D．5第(4)题设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题如图，在四面体中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点在线段（不含端点）上运动.若线段（不含端点）上存在点，使异面直线与所成的角为，则线段的长度的取值范围是A．B．C．D．第(6)题过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在第(7)题设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为A．B．C．2D．3第(8)题已知，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则（）A．该正方体外接球的表面积为B．直线与所成角的余弦值为C．平面截正方体所得截面为等腰梯形D．点到平面的距离为第(2)题下列说法不正确的是（）A．存在，使得B．函数的最小正周期为C．函数的一个对称中心为D．若角的终边经过点，则角是第三象限角第(3)题已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于两点（其中在的上方），为坐标原点，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线于点.则（）A．若，则直线的斜率为B．C．若是线段的三等分点，则直线的斜率为D．若不是线段的三等分点，则一定有三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．第(2)题某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为__________．第(3)题如图，已知直角的斜边长为，设是以为圆心的单位圆的任意一点，则的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数，其导函数为.(1)若函数在时取得极大值，求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，函数有零点.第(2)题已知四棱锥如图所示，其中四边形为梯形，为等边三角形，且平面，平面，M为棱的中点，.(1)求证：平面；(2)求点M到平面的距离.第(3)题已知函数.（1）求函数f（x）的周期与的值；（2）若，求函数的取值范围.第(4)题差分密码分析（Differential Cryptanalysis）是一种密码分析方法，旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中；规定为的二阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”；如果的二阶差分数列满足，则称是“累差不变数列”.(1)设数列，判断数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；(2)设数列的通项公式，分别判断是否为等差数列，请说明理由；(3)设各项均为正数的数列为“累差不变数列”，其前项和为，且对，都有，对满足的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值.第(5)题已知正项数列中，，且.(1)求数列的通项公式；(2)，证明：.。