福建省三校12-13学年度高一下学期期末联考 数学试卷

福建省安溪一中、养正中学、惠安一中 2012—2013学年度下学期期末联考高一数学试题命题： 姚培基（养正中学） 审核：林清枝（惠安一中）陈阿成（安溪一中）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置. 1、不等式0623<-+y x 表示的平面区域是（ ）2、不等式0652≤+--x x 的解集为（ ）A ．}16|{-≤≥x x x 或B ． }32|{≥≤x x x 或C ．}16|{≤≤-x xD ．}16|{≥-≤x x x 或 3、下列说法正确的是（ ）A ．R b a ∈,，且b a >，则22b a >B ．若b a >，d c >，则db c a > C ．R b a ∈,，且0≠ab ，则 2≥+ab b a D ．R b a ∈,，且0<<b a ，则b a 11>4、等差数列{}n a 中，5133,21a a ==，则17S =（ ）A ．144B ． 186C ． 204D ． 256 5、要得到函数)32cos(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位6、已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+⊥b a c ，则λ=（ ） A ．311- B ．113- C ．12 D ．357、ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且B bC a C c A a sin sin 2sin sin =-+则B ∠=（ ） A ．6π B ． 4π C ．3π D ． 34π8、若一元二次方程22(1)10x a x a +-+-=有两个正实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．(1,1)-B ．3(,)[1,)5-∞-⋃+∞C ．3(1,]5--D ． 3[,1)5-9、数列}{n a 满足111,23n n a a a +=-=+，则7a 的值是 （ ） A ．125 B ．61 C ． 29 D ．63 10、等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，108111,2108S S a =--=，则11S = （ ） A ．－11B ．11C.10 D ．－1011、已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=，给出下列四个命题： ①)(x f 为奇函数 ②)(x f 的最小正周期是π2； ③)(x f 在区间]4,4[ππ-上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线43π=x 对称； 其中正确的命题为（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③D ．③④12、已知不等式222xy axy ≤+，若对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3519a -≤≤-B.3a ≥-C.1a ≥-D.31a -≤≤-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13、若向量)3,2(-=a ，),4(m b =， //a b ，则实数=m14、若2x >，则12x x +-的最小值为__________ 15、公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为__________16、已知角α的终边上一点(,)M x y 满足3010210x y y x x +-≤⎧⎪⎪-≥⎨⎪-≥⎪⎩，则1tan tan u αα=+的取值范围为三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分）锐角ABC △中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且3=a ，60C = , ABC △的面积等于233,求边长b 和c . 18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，()*+∈==N n a a a n n 2,111，数列{}n b 是公差为3的等差数列，且32a b =.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n b a -的前n 项和n S19、（本小题满分12分）已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（Ⅰ）求)(x f 的解析式;（Ⅱ） 若m x f y +=)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ的最小值为2，求m 值20、（本小题满分12分）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？21、(本小题满分12分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H （单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角ABE α∠=，ADE β∠=.（Ⅰ）该小组已经测得一组,αβ的值，tan 1.24α=，tan 1.20β=，请据此算出H 的值； （Ⅱ）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视的距离d （单位： m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时αβ-最大？22．〔本小题满分14分），数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈ （Ⅰ）设nn b a n =+，证明：数列｛n b ｝是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若n nn a c -⎪⎭⎫⎝⎛=21，212111+++=n n n c c d ，2013321d d d d P +⋅⋅⋅+++=，求不超过P 的最大整数的值。

参考答案二、填空题：（本小题4题，每小题4分，共16分）13. -6 14. 4 15. 3 16. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,2三、解答题（本大题有6小题，共74分）17．解：60C = ，sin 2C =--------------------------------------------------2分1sin 2S ab C ==代入3,sin 2a C ==得2b = ----------6分 22212cos 9423272c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯= ------------------10分∴2,b c == --------------------12分 18.解：（Ⅰ） ()*+∈==N n a a a n n 2,111，∴数列{}n a 是公比为2的等比数列，11221--=⨯=∴n n n a ----------3分等差数列{}n b 的公差为3，又32a b ==422=，()23322-=⨯-+=∴n n b b n----------6分 （Ⅱ）()()()n n n b a b a b a S -++-+-= 2211=()()n n b b b a a a ++-+++2121 ----------8分=()()223121211-+---⨯n n n ----------10分=122322-+-nn n ----------12分19.解：()4sin cos cossin sin33f x x x x ππωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭分22sin cos x x x ωωω=-+sin 22x x ωω= -----------------------------------------------------------3分2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ -----------------------------------------------------4分2,12T ππωω==∴= -----------------------------------------5分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f ---------------------------------------------------------6分(2) m x f y +=)(m x +⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 2π46x ππ-≤≤，22633x πππ∴-≤+≤当2,36x ππ+=-即4x π=-时，21m in =+-=m y ，3=∴m -------------12分20、解：设该儿童分别预订,x y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则 2.54z x y =+.可行域为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+,,0,,0,54106,4266,64812N y y N x x y x y x y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥∈≥≥+≥+≥+,,0,,0,2753,7,1623N y y N x x y x y x y x 作出可行域如图所示：经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为 2.54z x y =+=2.5×4+4×3=22元． 21．解：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan HAB α=，tan h BD β=。

AD —AB=DB ，故得t a n t a nt a nH Hhβαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--。

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H hd AD DB d αβ-====， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d-+≥当且仅当d ===取等号）故当d =tan()αβ-最大。

因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当d =α-β最大。

故所求的d是。

22．解:(Ⅰ) 因为213122n n a S n n +=--+，所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则112a =-，……………………………….（1分）② 当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --+=----+，…………………….（2分）所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，所以11(2)2n n b b n -=≥，而11112b a =+=，…………………….（3分） 所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，所以1()2n n b =．…………….（4分）（Ⅱ） 由(Ⅰ)得2n n nnb =．所以 ①n n n n n T 221..........242322211432+-+++++=- ②1232221..........24232212--+-+++++=n n n nn T …………….（6分）②-①得：n n n nT 221......2121112-++++=-…………….（7分）n n n n n n T 2222211211+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=………………（8分）（Ⅲ）由(Ⅰ)知n a n n -=)21( n c n =∴………………（9分）而=nd =(1)111111(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++，………………（11分） 所以111111111(1)(1)(1)(1)2014122334201320142014P =+-++-++-+++-=-， 故不超过P 的最大整数为2013．………………………………………………..（14分）。