2011A数模培训

•
建立的重金属元素传播模型适用于重金属 随地下水或土壤表层水稳定均匀的迁移。把重 金属元素的连续和脉冲输入作为边界条件，可 求得该方程的解析解， 阶梯函数可以用于在相 当长的时间里恒定浓度的污染物质的输入，其 中“相当长” 和“有限”是相对于问题中的时 间的历程而言的。 • 边界条件：
C ( x, y,0) 0, 其中（x, y） (0,0) C (0,0, t ) A C ( , y, t ) C ( x,, t ) 0, t 0
现要求你们通过数学建模来完成以下任务： (1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布， 并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型， 确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城 市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了 这些信息，如何建立模型解决问题？
D ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 a ( z z0 )
C0
C0
为重金属背景值
最小二乘法确定污染源：
设该地区每种重金属存在m个污染源，n个有效的采样点数， 则第i个污染源扩散后，在第j个采样点处的浓度贡献值记为Cij, 第j个采样点处的采样值记为Cj,通过调整每个污染源位置、排放 强度等参数，使下式达到最小值：
C ( x, y ) A e
D x2 y2
这里D可理解为是扩散系数。
海拔高度z的影响：
•
本题中的每个采样点都给出了海拔高度，海拔高度显 然会影响到重金属的扩散，简单的办法是对距离、或对扩 散系数等进行修正，可考虑它们是海拔高度z的函数，即 可得：
C ( x, y , z ) A e
min Cij C j j 1 i 1
n m
2
C ( r r ) C ( r ) k C ( r ) r dC( r ) kC ( r ) dr kr C ( r ) C0e
2011年A题 城市表层土壤重金属污染分析
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考 察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平 方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、 编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试 分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。 另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动 的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信 息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度， 附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
图一 城区的海拔分布图
图二 Cu 元素在该城区的空间分布
扩散方程： 重金属在土壤中的运动包括对流、扩散和阻 滞。题中城区的面积很大， 有几千平方公里， 所以我们可以忽略重金属元素的垂直运动，因 而，我们可以用下面的二维方程来加以描述重 金属元素在土壤中的传播：
C 2C 2C C Rd Vd L 2 Vd T 2 Vd t x x x
这是一个偏微分方程，这类方程适用于包括流体、质量 迁移、热转换和动力学在内的很广的一类型问题。
• 对于在t=0 处的瞬时点源，（如炸弹爆炸后的烟 雾扩散问题，“数学建模”，姜启源；墨水滴入 水中扩散等），可得出物质浓度随距离和时间成 指数衰减的解析解。 • 本题中假设重金属污染已经达到了稳态，所以 • C（x，y，t）与时间无关，因而可进行合理的简 化。