一元二次不等式(组)与平面区域
二元一次不等式(组)与平面区域 课件
|AB|＝|3×1＋－32×－1＋6|＝ 122.
∴S△ABC＝12×
12 × 2
122＝36.
(2)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求所有的正整数解．
【思路分析】
原不等式等价于
y＞2x－3 y≤3.
而求正整数解，则意味着x，y还有限制条件，即求：
xy＞ ＞00 y＞2x－3，
y≤3
的整数解．
例3 画出不等式组2x＋x＋2yy－－51≤＞00 ，所表示的平面区域． y＜x＋2
【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边 界直线，再根据不等号的方向，确定所表示的平面区域．
【解析】 先画直线x＋2y－1＝0，由于是大于号，从而将 直线画成虚线，∵0＋0－1<0，∴原点在它的相反区域内．
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点．
探究5 充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件 的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐 标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格 的形式列出限制条件．
思考题6 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资
源需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
(2)设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则 ①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域． ②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．
思考题1 (1)不等式x－2y≥0所表示的平面区域是下图中的 ()
【解析】
x－2y＝0的斜率为
1 2
，排除C、D.又大于0表示直
线右侧，选B.
【答案】 B
(2)不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的
【解析】 如图，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3)，共五组．
二元一次不等式(组)与平面区域
y
x0,y0
10
5x2y88
6
4
3x4y9 2
o
2
4
6
8 10
x
9
例 3 ( 3 ) 画 出 不 等 式 ( x 3 y 6 ) ( x y 2 ) 0 表 示 的 平 面 区 域
解 :不等 式 x x 3 yy 2 可 6 0 0 或 化 x x 3 yy 为 2 6 0 0
16
17
例5某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，对教育 市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为 单位）
学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元）
初中 45
2
26/班
2/人
高中 40
3
54/班
2/人
初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20~30个班为宜， 教师实行聘任制。分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。
14
解: 设生产甲,乙两种肥料分别为xt和yt 则x, y,应满足以下不等式组
4x y 10
y
18x 15y 66
25Βιβλιοθήκη x 0, y 020 15
18x15y6610
甲,乙两种肥料的产量范
5
围在直角坐标系中为图中
o 1 2 3 45
x
的阴影部分(包括边界)
4x y 10
15
小结: (1)看懂题,列好表格(若有表格,则不必) (2)用不等式(组)列出限制条件(要考虑实 际意义) (3)画图
直线AxByC0的一边
(不包括边,直 界线画成虚) 线 用特殊点来确定是直线的某一 (2)在直角坐边另标,找系一中一般不点用等原式点,A若x 直 B线y 过 C原点0(,则0)表示 :
二元一次不等式及简单的线性规划问题
线性目标函数 关于x，y的_一__次__解析式
可行解 满足线性约束条件的解_(x_，__y_)_
可行域 所有可行解组成的_集__合_
最优解 使目标函数取得_最__大__值_或最__小__值__的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的_最_大__ 值__或最__小__值__问题
课前·双基落实 课堂·考点突破
部分所示，平移直线y＝－2x，当直
线平移到过点A时，目标函数取得最
大值，由
2x－y＝0， x＋y＝3，
可得A(1,2)，
此时2x＋y取最大值为2×1＋2＝4．
答案：4
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课后·三维演练
二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 结 束
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一
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二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 结 束
2．常见的3类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by．
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为
直线的斜截式：y＝－
a b
x＋
z b
，通过求直线的截距
z b
的最
值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2．
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二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 结 束
[小题体验]
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是
()
A．(0,0)
B．(－1,1)
C．(－1,3)
D．(2，－3)
答案：C
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高二数学 二元一次不等式(组)与平面区域 知识讲解
二元一次不等式（组）与平面区域【要点梳理】要点一：二元一次不等式（组）的定义1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对(,)x y ，所有这样的有序实数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数. 要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定 二元一次不等式表示的平面区域由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,)x y ，把它的坐标(,)x y 代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点）以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法. 不等式组所表示的平面区域由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域.要点诠释： “直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法. 【典型例题】类型一：二元一次不等式表示的平面区域 例1. 画出不等式240x y +->表示的平面区域. 【解析】先画直线240x y +-=（画成虚线）. 取原点(0,0)代入24x y +-得200440⨯+-=-<, ∴原点不在240x y +->表示的平面区域内， 不等式240x y +->表示的区域如图：【总结升华】1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点.2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线 举一反三：【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域 （1）4312x y +≤； （2）1≥x 【答案】（1）（2）【变式2】图中阴影（包括直线）表示的区域满足的不等式是（）A．x-y-1≥0 B．x-y+1≥0 C．x-y-1≤0 D．x-y+1≤0【答案】直线对应的方程为x-y-1＝0，对应的区域，在直线的下方，当x＝0，y＝0时，0-0-1＜0，即原点在不等式x-y-1＜0对应的区域内，则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-1≥0，故选：A．【变式3】不等式3x+2y－6≤0表示的区域是（）【答案】可判原点适合不等式3x+2y－6≤0，故不等式3x+2y－6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y－6=0的左下方，故选D。
不等式表示的平面区域
x
2 0
a2
y
2 0
b2
1 表示点在含原点的区域外；
M(x0,y0)
y
x
2 0
a2
y
2 0
b2
1
x
2 0
a2
y2 0b21 Nhomakorabeax
2 0
a2
y
2 0
b2
1
F1
O
F2
x
四、二次不等式表示的平面区域
2.双曲线上、含原点和不含原点的区域
设点 M(x0,y0),
标准方程：
y2 a2
x2 b2
或区域的位置关系.
(1)x-2y+9=0 (2) y2 4x
(3)
x2 5
y2 9
1
(4) x2
y2 9
1
(5) (x 2)2 (y 1)2 5
(6) x2 y2 2x 6y 1 0
( 7) -2x +y>2
【解析】M ( 2 , 6) ，N ( -3, 3) (5) (x 2)2 (y 1)2 5
专题：不等式表示的平面区域
一、一次不等式与平面区域
1、一元一次不等式与区间
一元一次不等式的解集一般形式为：
x>a;
P
a
x
x<a;
a
x
x≥a;
a
x
x≤a.
a
x
实数 a 将数轴分成两段，用来表示不等
式的解集.
一、一次不等式与平面区域
2、一元一次不等式组与区间
一元一次不等式的解集一般形式为：
一元二次不等式及其解法-一元二次不等式解集
一元二次不等式也可以通过因式分解或配方法转换为 (x - x1)(x - x2) ≥ 0 或 (x - x1)(x - x2) ≤ 0 的形式，其中 x1 和 x2 是方程 ax^2 + bx + c = 0 的根。
02 一元二次不等式的解法
配方法
总结词
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方形式，从而求解。
05 一元二次不等式的扩展
一元高次不等式
一元高次不等式是指形如 ax^n > b (n ≥ 2) 的不等式，其中 a、b 是常数 且 a ≠ 0。
解一元高次不等式时需要注意不等式 的符号和临界点，确保解集的准确性。
解一元高次不等式需要利用因式分解、 不等式的性质以及数轴等方法，逐步 化简不等式，最终得到解集。
二元一次不等式组的解集可以通过平 面区域来表示，通过确定临界点和约 束条件来确定区域的边界。
一元二次不等式的解集可以通过抛物 线的开口方向和顶点坐标来表示，一 元高次不等式的解集可以通过相应函 数的图像来表示。
利用几何意义可以更加直观地理解不 等式的解集，有助于解决复杂的不等 式问题。
THANKS FOR WATCHING
函数分析
通过一元二次不等式，可以对一元二次函数进行全面的分析，包括函数的单调性、极值点、零点等。
在物理领域的应用
力学问题
在解决物理中的力学问题时，常常需要用到 一元二次不等式。例如，在解决碰撞、落体 等问题时，可以通过一元二次不等式来描述 物理量的变化范围。
波动问题
在研究波动问题时，如声波、电磁波等，一 元二次不等式可以用来描述波的传播范围以 及某些物理量的变化范围。
因式分解法
总结词
通过因式分解将一元二次不等式转化为 两个一次不等式的乘积形式，从而求解 。
2020版人教A数学必修5 课件：3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
即时训练3-1:某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和 漆工两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和 2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又木工、漆工 每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
[目标导航]
1.知道什么是二元一次不等式及二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,并会画其表示的平面 课标要求 区域. 3.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,并能用平面 区域表示二元一次不等式组的解.
x y 2 1 0,
x ky k 0
(2)将图中阴影部分表示的平面区域,用不等式表示出来.
(2)解:由图(1)可知,其边界所在的直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 1,故边界所在的直线 方程为 x+y-1=0, 将原点(0,0)代入直线方程 x+y-1=0 的左边,得 0+0-1<0, 故所求的不等式为 x+y-1≤0;
思考1:不等式2x-3y>0是二元一次不等式吗? 答案:是,符合二元一次不等式的两个特征. 2.二元一次不等式表示的平面区域
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
二元一次不等式Ax+By+C>0 所有点组成的平面区域,我们把直线画 成 虚线 ,以表示区域 不包括 边界
表示直线 Ax+By+C=0
某一侧
y
1)
0,
表示的平面区
域的面积等于( )
一元二次不等式组与平面区域
平面区域的性质
连通性
平面区域是连通的，即任意两点都可 以用一条完全位于该区域内的路径连 接起来。
封闭性
凸性
如果平面区域内的任意两点所连的线 段都完全位于该区域内，则该区域是 凸的。凸区域具有良好的几何性质， 便于进行数学分析和计算。
如果平面区域是由一个或多个闭合曲 线围成，则该区域是封闭的。封闭区 域具有明确的边界和内部。
一元二次不等式组 与平面区域
contents
目录
• 引言 • 一元二次不等式组的解法 • 平面区域的表示方法 • 一元二次不等式组与平面区域的关系 • 一元二次不等式组与平面区域的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
目的和背景
研究目的
探讨一元二次不等式组与平面区域的关 系，以及如何利用不等式组表示平面区 域。
VS
研究背景
一元二次不等式组是数学中的重要概念， 与平面区域有着密切的联系。在实际问题 中，经常需要利用不等式组来表示某些平 面区域，例如经济学中的生产可能性边界 、物理学中的相图等。因此，研究一元二 次不等式组与平面区域的关系具有重要的 理论意义和应用价值。
一元二次不等式组的概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。
解的判别与性质
判别式
一元二次方程的判别式为Δ=b²-4ac，根据判别式的值可以 判断方程的根的情况。
解的性质
当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有 两个相等的实根（即一个重根）；当Δ<0时，方程无实根 。
不等式组的解集性质
不等式组的解集可能是空集、一个区间或多个区间的并集 ，具体取决于不等式组中各个不等式的解集及其之间的关 系。
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x+4y>4
右上方
8 x
边界 左下方
x+4y=4
x+4y<4
课堂练习1 分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域 (1) x-y+5≥0
y 5
(2) x+y≥0
y
(3) x<3
y
x-y+5=0
x=3
-5
0 x 0 x 0 x
x+y=0
例题分析 例2：画出不等式组
C＝0时，可取其他特殊点，如（1,0）（0,1）
新知形成 2、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域 的判断方法：
直线定界，特殊点定域。
C≠0时，常把原点(0,0)作为特殊点; C＝0时，可取其他特殊点。
探究3： 怎样画出不等式x+4y<4表示的平面区域
发现特殊点，代入做检验 要求做什么？ 首先怎么做？ 分成哪三类？ 位置在哪儿？ 为什么？ 探究4： 右上方的区域可用怎样的 不等式表示?
y
x+y=0
5
x y 5 0 x y 0 x 3
表示的平面区域.
x-y+5=0
-5 O
x
x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
课堂练习2
课本P86
T 1 、2、3
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线 x – 2y + 6 = 0的（ A.右上方
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一、问题导入 阅读课本第82页的“银行信贷资金分配问题”，写出其 中的数学关系。 分析： 设用于企业贷款的资金为 x元，用于个人贷款的资金为 y元， 不等式 ①② 是什么样的 为什么称呼不等式 ①② 由题意可得： 不等式呢？ 为二元一次不等式呢？ x + y ≤ 25 000 000, ① 12x +10y≤ 3 000 000, ② x ≥0, ③ y≥0, ④ 1、二元一次不等式： （≤0， 形如 A x + B y+ C <0 ＞0， ≥0 ）的不等式 2、二元一次不等式的解集： （x，y） 点集
此区域为 所求 y 12 8 4 0 4 8 x y=-3x+12 x=2y
小结
1、二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点 组成的平面区域。 2、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的 判断方法： C≠0时，取原点作特殊点; 直线定界，特殊点定域。 C＝0时，取其他特殊点。 注意:(1)画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 (2) 若区域包括边界， 则把边界画成实线；
若区域不包括边界，则把边界画成虚线。课后作业 P93 A组1(1)(3)；2
直线上 的点
A(x,y2)
y （1）在直线x-y=6 上的点； 左上方 （2）在直线x-y=6左上方区域内的点 6 （3）在直线x-y=6右下方区域内的点； 3 探究2： O x-y=6 （1）直线上的点 -3 x-y<6 ？ （2）左上方区域内的点 -6 x-y>6 （3）右下方区域内的点 ？
l:x-y=6
二、问题探究 二元一次方程Ax+By+C=0 (A,B不全为零) 的解集也是点集。 问题： 它在坐标平面内形成的图形是直线。不等式Ax+By+C<0 （≤0，＞0，≥0 ）的解集既然也是点集。那么它在坐标平 面内形成的图形是什么? 探究1：方程x-y=6 表示的直线L把坐标平面内的所有点分成几类？
B）
C.左上方 D.左下方
B.右下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ D ）
x 3y 6 0 3、不等式组 x y 2 0 表示的平面区域是（ B ）
y 3x 12 练习．用平面区域表示不等式组 的解集； x 2y
学案3.1
二元一次不等式 (组)所表示的平面 区域
开始
1.含有 两 个未知数，且未知数的最高次数为 1 的 不等式称为二元一次不等式. 2.由几个 二元一次不等式 组成的不等式组称为二元 一次不等式组.
3.二元一次不等式解集
满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数 对（x,y）,所有这样的 有序数对 构成的集合二元一次不 等式（组）的解集。
x
9 6 3 P(x,y 1)
右下方
结论：二元一次不等式表示 相应直线的某一侧区域
新知探究：
1、如何判断二元一次不等式表示直线的哪一 侧平面区域？ 判断方法 直线定界，特殊点定域。 由于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代 入Ax+By+C所得实数的符号都相同(同侧同号)， 所以只需在直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),根 据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线 的哪一侧区域。 一般地 C≠0时，常把原点作为特殊点