议古典概型
概率论与数理统计-古典概型
{12 ,13,14 ,15 ,23,24 ,25 ,34 ,35 ,45}, A {12 ,13 ,23},
从而，
P( A) 3 0.3. 10
表达方法：
样本空间中基本事件总数： N
设 Ak 表示第k 次取得次品，则 Ak 包含的基本事件
总数为: M PNk11 M (N 1)(N 2)(N k 1),
于是，P( Ak
)
M
P k 1 N 1
PNk
M N
(N (N
1)( N 1)( N
2)(N 2)(N
k k
1) 1)
第一章 随机事件及其概率
§1.4 概率的古典定义
一、古典概型的定义
定义 设E是随机试验, 若E满足下列条件: 1。试验的样本空间只包含有限个元素; 2。试验中每个基本事件发生的可能性相同. 则称E为等可能概型. 等可能概型的试验大量存在, 它在概率论发 展初期是主要研究对象. 等可能概型的一些概念 具有直观、容易理解的特点, 应用非常广泛.
M N
.
P(Ak ) 与 k 无关!
* 2.几何概型
假设随机试验包含无穷多个基本事件,且每个基 本事件都是等可能的.
定义 假设试验的样本空间 包含无穷多个基本
事件，其总量可用某种几何特征进行度量；事件A包含 的基本事件可用同样的几何特征度量. 事件A的概率定 义为：
P( A) A的的度度量量.
29876 10 9 8 7 6
1 5
这就是抽签的公正性
[例4] 一批产品共有N 件,其中有M 件次品.每次从
概率论文---古典概型浅析
浅析古典概型1018202班于春旭1101800214经过一学期的概率论与数理统计的学习，从最开始的随机事件与概率到多维随机变量，再到数理统计，参数估计。
对于概率的一些基本知识已经有所掌握。
那么回过头来，让我们去分析一下概率论中最为基础的也是最为贴近平时生活的一种概型，古典概型。
所谓古典概型是一种概率模型。
古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。
若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）=m/n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。
历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。
计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。
例如：掷一次硬币的实验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。
是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。
相较于其他概型，古典概型有以下特点：1、实验的样本空间只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同。
求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。
古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。
古典概型的定义
古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。
所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。
具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。
以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。
古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。
1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。
比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。
比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。
3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。
在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。
所有的基本事件发生
概率之和为1。
应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。
比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。
总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。
通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。
古典概型课件
概率公式、全概率公式等。
对概率论的展望
概率论的发展方向
概率论作为数学的一个重要分支，将继续在金融、生物医 学、人工智能等领域发挥重要作用，同时也会随着实际应 用的需求不断发展新的理论和方法。
概率论与其他学科的交叉
概率论与统计学、金融学、生物学、医学等许多学科都有 密切的联系，未来这种交叉将会更加广泛和深入。
03 概率函数
用于计算每个事件发生的概率，通常用P()函数表 示。
02
古典概型的概率计算
排列与组合
排列
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数 。
组合
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 。
概率公式
概率的定义
概率是指事件发生的可能性，通常用P表示。
事件的概率
一个事件的概率是指该事件发生的可能性，即事件发生的概率。
概率论的应用前景
随着大数据和人工智能的快速发展，概率论在数据分析和 模式识别等领域的应用前景广阔，同时也会为解决实际问 题提供更加精确和有效的数学工具。
THANKS
感谢观看
古典概型的特征
01 等可能性
每个试验结果的出现概率相等。
02 有限性
试验结果的数量是有限的。
03 互斥性
试验结果之间是互斥的，即一个结果发生时，其 他结果不会发生。
古典概型的概率空间
01 样本空间
包含所有可能的试验结果，通常用大写字母表示 。
02 事件空间
包含所有可能的结果集合，通常用小写字母表示 。
06
总结与展望
对古典概型的总结
01
古典概型的定义和特点
古典概型是一种离散概率模型，其特点是样本空间有限且每个样本点等
高一数学古典概型课件
目录
• 古典概型的定义与特点 • 古典概型的概率计算公式 • 古典概型的应用 • 古典概型的概率性质 • 古典概型的经典问题 • 古典概型的练习题与解析
01 古典概型的定义与特点
定义
定义
古典概型是一种概率模型，其中 每个样本点发生的可能性是相等 的，并且样本空间是有限的。
描述
独立性
在古典概型中，如果两个试验相互 独立，则它们的概率也是独立的。
古典概型与几何概型的区别
样本空间
古典概型的样本空间是有限的，而几何概型的样本空间是无限的。
概率计算
在古典概型中，概率计算公式为$P(A) = frac{m}{n}$，其中$m$是事件A包含的 样本点个数，$n$是样本空间中样本点的个数；而在几何概型中，概率计算公式 为$P(A) = frac{长度（或面积、体积）}{总长度（或总面积、总体积）}$。
。
概率问题的实际应用
保险业
保险公司根据不同险种的概率 来制定保险费率。
医学研究
通过临床试验和数据分析来研 究疾病的发生概率和治疗方案 的有效性。
统计学
在数据分析和预测中，概率是 一个重要的工具。
游戏开发
游戏中的随机事件和概率设置 对于游戏的平衡性和趣味性至
关重要。
04 古典概型的概率性质
概率的加法性质
古典概型也被称为等可能概型， 它是一种最简单、最直观的概率 模型，常用于描述一些离散、随 机事件。
特点
样本空间有限
古典概型的样本空间是有限的， 即样本点数量是确定的。
等可能性
在古典概型中，每个样本点发生的 可能性是相等的，即每个样本点的 概率都是$frac{1}{n}$，其中$n$ 是样本空间中样本点的个数。
古典概型概念
古典概型概念
1. 定义
若随机试验具备以下两个特征：
（1）每次试验的基本事件数是有限的；
（2）每个基本事件的发生是等可能的；
则称该试验为古典概型。
2. 古典概型公式
古典概率的计算问题可以转化为计数问题。
通过概念我们发现，古典概型的核心就是在计算中如何找分母---基本事件的所有情况数，找分子---符合事件要求的情况数，然后他们的比值就是事件A 发生的概率。
往往和我们前面学习的计数原理，排列组合紧密结合，用来计算数值。
古典概型是最经典的一种概率模型，在这种模型中基本事件只有有限个，并且每个基本事件都是等可能的。
在生活中我们常见的此类模型有掷骰子，摸球抽奖等
用古典概型计算概率的方法很简单：通过满足条件的基本事件数与基本事件总数相比就可以得到了。
高二数学第三章古典概型知识点
高二数学第三章古典概型知识点
高二数学古典概型知识点
1.基本事件：
试验结果中无法再分的最简单的随机事件称作基本事件.
基本事件的特点：
1每个基本事件的出现都就是等可能将的.
2因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.
3任一两个基本事件都就是不相容的，一次试验就可以发生一个结果，即为产生一个基本事件.
4基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.
2.古典概型的定义：
1有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
2等可能性：每个基本事件发生的可能性成正比.
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.排序古典概型的概率的基本步骤为：
1计算所求事件a所包含的基本事件个数m;
2排序基本事件的总数n;
3应用公式pa?m计算概率.n
4.古典概型的概率公式：
pa?a包含的基本事件的个数
基本事件的总数.应用领域公式的关键在于精确排序事件a所涵盖的基本事件的个数和
基本事件的总数.
要点演绎：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题;若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题;“在线段ab上任取一点c，求ac>bc的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.。
正确理解古典概型
正确理解古典概型古典概型是各类概率模型中最基本的一种，在实际问题中经常会遇到，因此，它历来是概率论教学中的重点部分。
但是，在实际教学工作中，我们会发现许多学生在用古典概型公式解题时，不是无从下手，就是不得要领而发生计算错误。
为此，本文就如何正确理解古典概型，谈以下几点看法。
1.古典概型概率计算的条件我们知道，古典概型在概率论中占有相当重要的地位，在产品质量抽样检验等实际问题以及理论物理的研究中都有重要的作用。
与古典概型有关的事件的概率可根据其特点直接推算出来，无需进行大量试验。
古典概型有两大特点: 一是随机试验基本事件的总数是有限的; 二是每一基本事件发生的可能性相等。
古典概型概率的计算公式是P (A) =m/n,其中n是基本事件总数，m是事件A所含的基本事件数，各个基本事件具有等可能性。
利用此公式求解问题时要特别注意两点：(1) 求n 时结果必须是有限的；(2) 每个基本事件都是等可能的。
只有同时满足以上两点，才属古典概型问题。
例如，单位时间内，电话总机接到呼唤的次数，这一随机现象的基本事件可列无限多个，故不属古典概型问题。
再如，“一次射击命中的环数”，这一随机现象基本事件虽然是有限的，但一般说来射击中各环的可能性不全相同，这一随机现象的各基本事件非等可能，它也不属于古典概型。
它们都不能用古典概型公式计算。
对于事件的等可能性，在实际问题中，往往只能“近似地”出现等可能，“完全的”等可能是很难见到的。
以掷硬币为例，严格地说，出现正、反二面也不能认为完全是等可能的，因为两面的花纹不同、凸凹的分布不同等，不过这些因素对出现正反面的影响很小，因而可以把它们忽略而仍然认为是等可能的。
2.古典概型的基本事件空间在古典概型问题中，有时对同一个古典概型问题由于试验的条件和目的不同，所研究的基本事件空间就不同。
例如，求掷三枚硬币的基本事件空间。
如果我们只研究三枚硬币正(H) 、反(T) 两面出现的顺序时，有｛HHH｝,｛HHT｝、｛HTH｝、｛HTT｝、｛THH｝、｛THT｝、｛TTH｝、｛TTT｝这八种结果，故基本事件空间共有八个基本事件。
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E2 试验中结果有 6 个,且事先知道结果为 1 到 6 点之中一个.进行试验前不知出现几点,
可以在同一条件下反复抛掷.说明 E2 是一个随机试验.
E3 试验中结果有 11 种,且事先知道结果为 0 到 10 环之中一个.进行试验前不知出现几环,
可以在同一条件下反复射击.说明 E3 是一个随机试验.
应用分类加法原理,从而
不过,这种方法在计算更加复杂问题时,过于繁琐,我们通常采用正难则反的方法,建议选 用[方法一]. 若问题变为无放回抽样,则为： 例 5 （无放回抽样）设袋中有 a 个黑球, b 个白球,从中依次无放回的摸三次,每次摸一 个．求下列事件的概率：
A “仅第二次摸得黑球”; B “三次中仅有一次摸得黑球”; C “至少有一次摸得黑球”.
2.2 古典概型的定义
了解随机试验概念后,我们来了解古典概型的定义.如果一个随机试验 E 具有以下特征： （1）试验的样本空间中仅含有有限个样本点; （2）每个样本点出现的可能性相同; 则称该随机试验为等可能概型.等可能概型在概率论发展的初期,曾经是主要的研究对象, 所以习惯上就称之为古典概型. 例 2 我们依然借助上面的事例进行理解： 解 E1 抛掷一枚硬币试验中,样本空间的样本点只有 2 个（正面和反面）,且出现正面反 面的可能性一样.说明 E1 是一个古典概型. 同理, E2 抛掷骰子的试验中,样本空间的样本点只有 6 个（1 点到 6 点）,且出现每个点 数的可能性一样.说明 E2 也是一个古典概型. 但是, E3 连续打靶 10 次试验中,样本空间的样本点的确只有 11 个（0 环到 10 环）,但每 个结果出现的可能性不一样.（如结果可能只有 3 种,10 环 8 个,9 环 2 个,0 环 1 个,且命中每 个环的概率也是不一样的）,故 E3 是一个随机试验,但不是一个古典概型.
2.3 古典概型的计算公式
了解古典概型的概念后,我们继续了解计算公式.设试验 E 的样本空间 S 由 n 个样本点构 成, A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点, 则事件 A 出现的概率:
P ( A)
例3 解
A 中样本点的个数 m = S中样本点的总数 n .
5 个球中有 3 个黑球,2 个白球,求随机从中抽取一个黑球的概率. 样本空间 S 的总数是 5 个,事件 A （从中抽取一个黑球）样本点的个数是 3 个,所以
(3)问题要考虑顺序,用排列计算. C 包含样本空间 S 是总数中扣去三次都摸白球的数,故 样本空间 S 的总数为 Aa b Ab ,从而
3 3 3 3 Aa b Ab . 3 Aa b
P C
3.2
质点入盒问题
质点入盒问题在概率论及统计学中有不少的应用.它是一个抽象的数学模型,概括了很多 实际问题.在具体应用时,应分清“质点”是什么？“盒”是什么？ 放入方式 每盒可容纳任意个 质点 质点可分辨 质点不分辨 质点可分辨 质点不分辨 不同放法总数
（ P C） 1 （ P D） 1 (
[方法二]除了上述方法外,也可以这样考虑： “至少有一次摸得黑球”即有以下 3 种情况 （1）只有一次摸得黑球,记为 P 3. 1 ; （2）只有两次摸得黑球,记为 P 2 ; （3）全摸黑球,记为 P 从而
1 P 1 = C3
a 2 b a 3 a b 2 3 , P3 C3 ( ) ) , ( ) , P2 C32 ( ab a b ab ab ab P C P1 P2 P3 a 3 3ab 2 3a 2b . ( a b) 3
安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文
议古典概型
作者：王雷 摘要 指导老师：桂春燕
概率论是研究随机现象数量规律的数学学科,随机现象在我们日常生活中随处可见,随着科
技的日新月异,经济全球化的日益快速发展,概率论也发挥着越来越大的作用,古典概型是概率论中 的基本问题之一,是概率论发展初期的主要研究对象.内容比较简单,应用却十分广泛.本文的研究 目的是从一些典型的事件为例入手研究古典概率模型的一些解题方法,希望能给读者一定的启发.
质点需要分辨的问题就是排列问题,盒子能容纳任意多个质点的问题就是重复排列问题. 例 6 将 3 个球随机放入 4 个杯中,求杯子中球的最大个数分别为 1,2,3 的概率. 解 这里的随机实验是把 3 个球随机放入 4 个杯子中去,3 个球的任一种放法为一个基本 事件.由于不同的球可放入同一杯子中,每个球可放入 4 个杯子中的任一个,故 3 个球的放法 总数等于从 4 元素中选取 3 个进行可重复排列,故基本事件总数 43 . 设 Ai {杯子中的球的个数为 i 个}
E1 ：抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况. E2 ：抛掷一颗骰子,观察出现的点数. E3 ：连续向靶射击 10 次,记录整数环.
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安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文
解
E1 试验中结果有 2 个,且事先知道结果为正面或反面.进行试验前不知出现哪个面,
可以在同一条件下反复抛掷.说明 E1 是一个随机试验.
1 2 1 2 1
P ( A2 )
1 2 1 C4 C3 C3 9 . 43 16
（3）事件 A3 的完成可先选杯子,从 4 个杯子中选出一个共有 4 种选法,再将 3 个球全部 放入选中的杯子中只有一种选法.由乘法原理知,有利于事件 A3 的基本事件数 C4 .从而
1
P ( A3 )
情况二 例7
1 C4 1 . 3 4 16
每盒能容纳任意多个质点,且质点不需分辨
有 5 个相同质点,每个都以一样的概率
(1)事件 A {指定的 5 个盒子中各有一个质点}的概率. (2)事件 B {指定的一盒中恰有 3 个质点}的概率. 解 质点不需分辨属组合问题.又每个盒子容纳的质点不限,故该组合为元素可重复组合 其基本事件总数
计数原理,从而
（2） B 基本事件总数是一次摸黑球另两次摸白球,共有三种情况：(1)黑白白(2)白黑白 (3)白白黑.情况（2）已经在第一问讨论过,而情况（1） 、情况（3）的概率和情况（2）相同. 应用分类加法计数原理,从而
3ab 2 . （ P B） C ·（ P A） ( a b) 3
在这 36 种可能中出现 7 点的占 6 次且最多,也就是压 7 点赢的概率大些,而这就是最初 古典概型的出处.
2
古典概型的定义与计算 随机试验的定义
2.1
在了解古典概型定义之前,我们先了解这样一个概念--随机试验：概括的讲,在概率论中 把符合下面三个特点的试验叫做随机试验： （1）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果. （2）进行一次试验之前无法确定哪一个结果会出现. （3）可以在同一条件下重复进行试验. 例 1 可以根据以下示例进行理解：
(i 1, 2,3)
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安庆师范学院数学与计算科学学院 2014 届毕业论文
（1）事件 A1 可以理解为从 4 个杯子中选出 3 个，共有 C4 种选法，再将 3 个球分别放入 选中的杯子中，每个杯子有且仅有一个球，共有 A3 种放法.由乘法原理，有利于事件 A1 的基 本事件总数为 C4 A3 ,从而
b （a b） ,此时将球放回,第二个黑球的样本空间个数是 ,抽到黑球的样本点的个数是 ab a b a ,故 P2 ;第三个是白球,情况同第一个白球,故 P3 .综合上述,应用分步乘法 ab ab P 1 （ P A） P1·P2 ·P3 b a b ab 2 . a b a b a b (a b ) 3
nm
m Cn m 1 m An m Cn
m 个质点随机 放入 n 个盒中
每盒最多只容纳一 质点
如上表所示,该问题是指有 n 个可分辨的盒子, m 个质点,按照质点是否可分辨、每盒可 容纳质点的多少等不同情况,把 m 个质点放入 n 个盒中,从而形成不同的样本空间,然后在各 自样本空间里计算事件的概率. 情况一 每盒能容纳任意多个质点,且质点需分辨
抽到黑球的概率为 P ( A)
m 3 . n 5
3
古典概型的典型实例 摸球问题
3.1
例 4 （有放回抽样）设袋中有不同的 a 个黑球, b 个白球,从中依次有放回的摸三次,每 次摸一个．求下列事件的概率：
A “仅仅第二次摸得黑球”; B “三次中仅有一次摸得黑球”; C “至少一次摸得黑球”.
Ab2 种,所以 A 包含的基本事件数是 a Ab2 .从而 （ P A） a Ab2 . 3 Aa b
(2)问题要考虑顺序用排列计算,样本空间总数是 a b 个球中任取三个的排列数,共有
1 2 3 Aa b ,一次摸黑球另两次摸白球摸法有 C3 a Ab 种, 从而 1 C3 a Ab2 . P B 3 Aa )
3 3 C4 A3 3 . 43 8 1
(2)事件 A2 可理解为先从 4 个杯子中选出一个,共有 C4 种选法,再从 3 个球中选出 2 个球 放入选中的杯子中共有 C3 种选法,最后将剩下的 1 个球随机地放入其他 3 个杯子中,共有 C3 种放法,由乘法原理知,有利于事件 A2 的基本事件数为 C4C3 C3 .从而
关键词 随机试验 等可能性 古典概型
1
引言
古典概型的起源与赌博问题有关.17 世纪中叶,法国一位热衷于掷骰子赌博的贵族赌徒 德·梅耳,他有要急于处理的事情必须中途停止赌博,要对胜负的预测把赌资进行合理的分配, 但不知用什么比例分配才好,于是就写信向当时法国的最高数学家帕斯卡请教.帕斯卡邀请当 时数学家费尔玛一起,研究了德·梅耳提出的关于骰子赌博的问题:掷两个骰子时,下注猜几 点赢的机会大.掷两个骰子朝上的面共有 36 种可能,它们的点数为 2 到 12 的整数.如下表所 示： 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12