古典概型(一)
1-4 等可能概型(古典概型)
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
3.2.1古典概型
123,132,213,231,312,321，其中能被 2 整除的有 132,312 这 2 个数，故能被 2 整除的概率为13.
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20
复习总结
1．古典概型的适用条件：
(1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ;
.
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11
问题 2 在抛掷骰子的试验中，如何求出现各个点的概率？ 解 出现各个点的概率相等，即 P(“1 点”)＝P(“2 点”) ＝P(“3 点”)＝P(“4 点”)＝P(“5 点”)＝P(“6 点”)，反 复利用概率的加法公式，我们有 P(“1 点”)＋P(“2 点”) ＋P(“3 点”)＋P(“4 点”)＋P(“5 点”)＋P(“6 点”)＝ P(必然事件)＝1. 所以 P(“1 点”)＝P(“2 点”)＝P(“3 点”)＝P(“4 点”) ＝P(“5 点”)＝P(“6 点”)＝16.
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4
例 1 从字母 a、b、c、d 中任意取出两个不同字母的试验中, 有哪些基本事件?事件“取到字母 a”是哪些基本事件的和? 解 所求的基本事件有 6 个， A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝ {a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d}; “取到字母 a”是基本事件 A、B、C 的和，即 A＋B＋C. 小结 基本事件有如下两个特点： (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
②事件 B 包括 x 的取值为 4,5,6.
③事件 C 包括 x 的取值为 1,2.
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6
探究点二 古典概型 问题 1 抛掷一枚质地均匀的硬币，每个基本事件出现的可能
古典概型1
1、掷一枚质地均匀的硬币的试验，可能 出现几种不同的结果？
正面朝上，正面朝下
2、掷一枚质地均匀的骰子的试验，可 能出现几种不同的结果？
1点，点，点， 5点， 2 3 4点， 6点
像上面的“正面朝上”、 “正面朝 下”；出现“1点”、 “2点”、 “3点”、 “4点”、 “5点”、 “6点”这些随机事 件叫做构成试验结果的基本事件。
例如：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间为：
Ω ＝｛1,2，3,4，5,6｝ 它有6个基本事件
1、连续抛掷两枚硬币，写出所有的 基本事件。
解
2、连续抛掷两枚骰子，共有多少 个基本事件。
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
共有36个基本事件，每个事件发生 的可能性相等，都是1/36
3、一个袋中装有红、黄、蓝三个大小形状完 全相同的球，（1）从中一次性摸出两个球， 其中可能出现不同色的两个球的结果。
3．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因 决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的 基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基 因为Dd，若第二子代的基因的遗传是等可 能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基 因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时， 才显现矮茎）．
4(1)掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数 点的概率。 (2)掷一颗均匀的骰子，求掷得点数是3 的倍数的概率。
28 45
4、从分别写上数字1, 2，3，…，9的 9张卡片中，任取2张，则取出的两张 卡片上的“两数之和为偶数”的概率 是__________ 4
9
小 结：
1、古典概型
(1)有限性：在随机试验中，其可能出 现的结果有有限个，即只有有限个 不同的基本事件；
(2)等可能性：每个基本事件发生的机 会是均等的。
高中数学古典概型 古典概型常见题型 同步练习(一)北师大版必修3
高中数学古典概型古典概型常见题型同步练习(一)北师大版必修31．随意安排甲、乙、丙3人在三天节日里值班，每人值班一天，请计算：（1）这3人的值班顺序共有多少种不同的安排方法？（2）甲在乙之前的排法有多少种？（3）甲排在乙之前的概率是多少？2．A、b、c、d、e五位同学按任意次序排成一排，试求下列事件的概率：（1）a在边上；（2）a正好在中间；（3）a和b都在边上；（4）a或b在边上；（5）a和b都不在边上。
注意与有顺序排元素问题的区别。
请解决以下3-4题。
3．假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A、C、J、K、S。
她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用。
如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：（1）女孩K得到一个职位；（2）女孩K和S各自得到一个职位；（3）女孩K或S得到一个职位。
4．抛掷两颗骰子，计算：（1）事件“点数之和小于7”的概率P1；（2）事件“点数之和等于或大于11”的概率P2；（3）在点数和里最容易出现的数是几？密码中的数字是允许重复的。
请解决第5题。
5．储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这十个数字中选取。
（1）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率只有多少？（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？6．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球。
求：（1）共有多少种不同的结果？（2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？（3）摸出2个黑球的概率是多少？7．袋子中装有红、白、黄、黑、大小相同的四个小球。
（1）从中任取一球，求取出白球的概率；（2）从中任取两球，求取出的是红球、白球的概率；（3）先后各取一球，求分别取出的是红球、白球的概率。
8．下表列出了三个游戏规则，从袋中取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？（袋中球的数目见表中各游戏）游戏1 游戏2 游戏3 1个红球和1个白球2个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球取出的球是红球甲胜取出的两个球同色甲胜取出的两个球同色甲胜取出的球是白球乙胜取出的两个球不同色乙胜取出的两个球不同色乙胜9．在5张卡片上分别写有数字1、2、3、4、5，将它们混和，然后再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是（）A、0.2B、0.4C、0.6D、0.810．从0到9这十个数中任取两个数（可重复），求这两个数的和等于3的概率。
第一章古典概型
10000
5067
0.5067
可见，掷的次数越多，频率越接近0.5 如上表说明硬币出现正面的概率为0.5。
如何求概率？ 下面我们来讨论下面两种特殊概型.
1、古典概型
要求: (1)只有有限个样本点。有限性 (2) 每个基本事件发生的可能性相同。 等概性
P(A)
事件A中包含的样本点数 样本空间中样本点总数
所以
P ( A) 5 36 P(B) 6 36 1 6
思考：如何是两个骰子同时投，样本空间和事件又会 如何？
复习：排列与组合的基本概念
乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
P ( A) 构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ） 全部结果构成的区域长度（面积或体积）
例1 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于 十分钟的概率.
10分钟
9点
P( A) 10 60 1 6
10点
例 2 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5点之间在某地 会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内的各时 刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。 解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机
抽取k 次，每次取一个，记录其结果
后放回，将记录结果排成一列，
n n n
n
共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，
古典概型(一)
古典概型（一）姜灶中学李欣荣【教学目的】（1）理解基本事件、等可能事件等概念；（2）会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．【教学重点】理解古典概型及其概率计算公式【教学难点】古典概型的特征【情感目标】以学生为主体，引导学生积极参与探究古典概率模型及计算，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍求学精神．教学过程：一、设置情境有红心A,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌,将其牌点向下置于桌上,现从中任意抽取一张,那么抽到红心A 的概率有多大？抽到的牌为红心的概率有多大?二、探究活动活动一抽一张牌，有多少种不同的结果？活动二从字母,,,a b c d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些不同结果？活动三一枚硬币连续抛掷2次，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”，有哪些不同结果？三、基本概念（1）基本事件活动四掷一枚质地均匀的骰子（其中四个面分别标有1,2,3,4，另两个面标有5）一次的试验中有哪些不同的结果？反思：能否说明一下以上基本事件的共同点是什么？不同点是什么？（2）等可能事件判断下列试验中，哪些试验给出的随机事件是等可能的？（1）投掷一枚质地均匀的硬币，“出现正面”与“出现反面”（2）一只口袋中有三个大小完全相同的小球，其中红、黄、黑球各一个，从中任取一个球，“取出的是红球”、“取出的是黄球”、“取出的是黑球”（3）一只口袋中有四个大小完全相同的小球，其中红球、黄球各一个，黑球两个，从中任取一个球，“取出的是红球”、“取出的是黄球”、“取出的是黑球”（3）古典概型问题：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？四、公式推导古典概型的概率五、数学运用例1 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．（1）共有多少个基本事件?（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少?（3）摸出的两只球“一白一黑”的概率是多少？六、随堂练习：1．一枚硬币连掷三次，只有一次出现“正面朝上”的概率为．2．某拍卖行拍卖的20幅名画中，有两幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了1幅画，则买入的这幅画是赝品的概率为．3．某班准备到郊外野营，为此向商店订购了帐篷．如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则淋雨的概率为．4．从1,2,3，…，6这6个数字中任取两个数字．（1）2个数字都是奇数的概率为；（2）2个数字之和为偶数的概率为．5．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”呢?七、布置作业八、课后反思。
25《古典概型(一) 》
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第一章 1.1 课时作业(01)
解析： 从数字 1,2,3 中任取两个不同的数组成的两位数， 共有 6 种不同结果， 即 12,13,21,23,31,32.其中大于 21 的两位数有 3 个，记“这个两位数大于 21”为 3 1 事件 A，则由古典概型的概率公式可知 P(A)＝ ＝ .故选 D. 6 2 答案：D
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第一章 1.1 课时作业(01)
解：(1)从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球，共有 6 种不同结果． (2)若摸出的 2 个是黑球，则有 3 种不同的摸法． 3 1 (3)P＝ ＝ . 6 2
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第一章 1.1 课时作业(01)
状元之路 高中· 新课标A版· 数学· 必修3
传播课堂正能量 唱响课堂好声音
12．假设有 5 个条件很类似的女孩，把她们分别记为 A、C、J、K、S， 她们应聘秘书工作，但只有 3 个秘书职位，因此 5 人中仅有 3 人被录用，如 果 5 个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率． (1)女孩 K 得到一个职位； (2)女孩 K 和 S 各得到一个职位； (3)女孩 K 或 S 得到一个职位．
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第一章 1.1 课时作业(01)
状元之路 高中· 新课标A版· 数学· 必修3
传播课堂正能量 唱响课堂好声音
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7．下列试验：(1)种下一粒种子，观察它是否发芽；(2)从规格直径为 250 mm± 0.6 mm 的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径 d；(3)抛一枚硬币， 观察其朝上的一面是正面还是反面；(4)某人射击，中靶或不中靶．则其中是古 典概型的是__________．(填序号)
高中数学必修3 3.2.1古典概型(1)优秀课件
的概率为1
10
解：〔4〕那么根本领件仍为10个，其中取出的两
个球一白一红的的事件包括6个根本领件，所以，
所求事件的概率为
6 3
10 5
变式1.一个口袋内装有大小相同的5个红球和3 个黄球，从中一次摸出两个球。
⑴问共有多少个根本领件；
⑵求摸出两个球都是红球的概率；
n
如果某个事件A包含了其中m个等可能根本 领件，那么事件A的概率 P( A) m
n
例1.(摸球问题〕 一只口袋内装有大小相同的5只球， 其中3只白球，2只红球，从中一次摸出两只球(1)共有 多少根本领件(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？
解: (1)分别记白球1,2,3号，红球为4,5号,从中摸出2只球,
有如下根本领件〔摸到1，2号球用〔1，2〕表示〕：
〔1，2〕〔1，3〕〔1，4〕〔1，5〕
〔2，3〕〔2，4〕〔2，5〕 〔3，4〕〔3，5〕
I
(1,2) (1,3)(2,3)
〔4，5〕 故共有10个根本领件 A
(1,4)(1,5) (2,4)(2,5) (3,4)(3,5) (4,5)
(2)记摸到2只白球的事件为事件A，
2．考察抛硬币的实验，为什么在实验之前 你也可以想到抛一枚硬币，正面向上的概率为1 ?
2
原因:〔1〕抛一枚硬币，可能出现的 结果只有两种；
〔2〕硬币是均匀的，所以出现这两 种结果的可能性是均等的。
3．假设抛掷一枚骰子，它落地时向上的 点数为3的概率是多少？ 为什么？
归纳：
由以上两问题得到，对于某些随机事件，也可 以不通过大量重复实验，而只通过对一次实验中 可能出现的结果的分析来计算概率。
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古典概型（一）
班级姓名
一、基本事件
试验1：掷一枚质地均匀的硬币，观察可能出现哪几种结果？
试验2：掷一枚质地均匀的骰子，观察可能出现的点数有哪几种结果？
基本事件：
问题1：掷一枚质地均匀的骰子
（1）在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？（2）事件“出现点数小于3”包含哪几个基本事件？
事件“出现点数大于3”包含哪几个基本事件？
基本事件的特点：（1）
（2）
例1 从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？变式：将标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入一个不透明的口袋中，从中任意摸
出2个球，有哪些基本事件？
2.古典概型
问题2：（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，每个基本事件出现的概率是多少？
（2）掷一枚质地均匀的骰子一次，每个基本事件出现的概率是多少？
问题3：综合上述问题，总结古典概型有哪些特征
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有；（填写“有限个”或者“无限个”）
（2）每个基本事件出现的可能性(填写“相等”或者“不相等”)
我们将具有着两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型
古典概型的特征：（1）
（2）
3.求解古典概型
问题6：掷一枚质地均匀的骰子，“出现的点数小于3”和“出现的点数大于3”的概率分别是多少？
古典概型的概率计算公式：
其中基本事件总数为n,A事件所包含的基本事件个数为m，
例2.某小组有5个学生组成，其中3个男生，2个女生，现要从中选2人去参
加由团委组织的关于中学生心理健康的讲座，计算：
（1）列举所有的基本事件；
（2）事件“选出1个男生和1个女生”的概率；
变式：事件“选出的2人都是男生”的概率
[课堂训练]
“雪顿节”期间，超市为了促销，组织抽奖活动。
抽奖箱中有大小均匀的4个红球和2个蓝球。
抽奖规则：要求一次抽取两球，如果抽出2个蓝球则为一等奖，如果抽出1个红球和1个蓝球则为二等奖，否则不中奖。
请同学们结合题意回答下列问题：
(1)顾客中一等奖的概率；
(2)顾客中二等奖的概率；
(3)顾客不中奖的概率.。