【解析版】2015高考二模 北京市丰台区2015届高三二模数学理试题(PDF)
22 3 28 B． 3 32 C． 3 34 D． 3
A． 答案：A 解 析 ： 由 题 意 ， 作 出 两 个 函 数 图 像 ：
此封闭图形面积为
22 1 3 − x + x 2 + 3x = −1[( x + 4 ) − ( x − x + 1)]dx = −1 ( − x + 2 x + 3) dx = 3 −1 3
解析：如图所示
，根据抛物线的性质，可知
AK =
1 π AB 故直线 AB 的倾斜角为 ，其方程为 y = 3 ( x − 1) 联立抛物线方程，解 2 3
得 A(3, 2 3) 所求 △ AKF 的面积 4 3
第二部分 （非选择题 共 110 分）
一、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．已知正实数 x ， y 满足 xy = 3 ，则 2 x + y 的最小值是 答案： 2 6 解析： 2 x + y ≥ 2 2 xy = 2 6 10．直线 l 的斜率是 −1 ，且过曲线 方程是 ．
z = 4 x + 3.5 y + 2 (15 − x − y ) = 2 x + 1.5 y + 30
则
其
产
值
作出可行域： 在 x = 0, y = 15 时，取得最高产值为 52.5 8．抛物线 y = 4 x 的焦点为 F ，经过 F 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，与
2
准线 l 交于点 B ，且 AK ⊥ l 于 K ，如果 | AF |=| BF | ，那么 △ AKF 的面积是 A． 4 B． 3 3 C． 4 3 D． 8 答案：C
x = 2 + 2 cos θ , （ θ 为参数）的对称中心，则直线 l 的 y = 3 + 2sin θ
．
答案： x + y − 5 = 0 解析：曲线
x = 2 + 2 cos θ , 2 2 化为直角坐标方程是 ( x − 2 ) + ( y − 3) = 4 ，此圆方程的对 y = 3 + 2sin θ
2
A． {x x < 0 或 x ≥ 1} B． {x 1 < x < 2} C． {x x < 0 或 x > 1} D． { x x > 0} 答案：D 解析： B = {x x − 2 x < 0} = x 0 < x < 2 ，故 A B = {x x > 0}
2
{
}
2． “a=0”是“复数 z = a + bi (a，b∈R)为纯虚数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B b∈R)为纯虚数， 等价于 a = 0, b ≠ 0 。 故 “a=0” 是 “复数 z = a + bi (a， 解析： 复数 z = a + bi (a， b∈R)为纯虚数”的必要不充分条件 3．直线 y = x + 4 与曲线 y = x − x + 1 所围成的封闭图形的面积是
答案： 解析： f ( x) =
3 2 3 2
3
4．函数 f ( x ) = A． 1 − 2π B． 1 −
x − 1, x ≥ 0, 的所有零点的和等于 2 cos x − 1, − 2 π ≤ x < 0
3π 2 C． 1 − π π D． 1 − 2 π 5π x − 1, x ≥ 0, 的零点分别是 x = 1, x = − , x = − 它们的和是 3 3 2 cos x 1, 2 x 0 − − π ≤ <
丰台区 2015 年高三年级第二学期统一练习（二） 数学（理科）
第一部分 （选择题 共 40 分）
2015.5
选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项． 1．已知 A = {x x > 1} ， B = {x x − 2 x < 0} ，则 A B =
则每周最高产值是 A． 30 B． 40 C． 47.5 D． 52.5 答案：D 解 析 ： 设 生 产 A ， B ， C 的 吨 数 分 别 是 x, y,15 − x − y ，根据题意可得
x ≥ 0, y ≥ 0,15 − x − y ≥ 0, 1 1 1 x + y + (15 − x − y ) ≤ 5 3 4 2
故左视图面积为 A．
3
B． 2 3 C． 3 D． 6
答案：A
C
D
A
解析：如图所示
B
， AD =
1 AB + AC = a − b 2
(
)
AD = a − b =
2 2 a − 2a ⋅ b + b = 3
7．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按 5 天计算）生产 A，B，C 三种产品共 15 吨（同一时间段内只能生产一种产品） ，已知生产这些产品每吨 所需天数和每吨产值如下表：
答案：A 解析： f ( x ) =
1 − 2π
3
3 正俯俯
1
2
2
5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示 A． 6 B．
俯俯俯
，则其左视图面积为
9 2 3 2
： 根 据 三 视 图 作 出 此 几 何 体 直 观 图 ：
C． 3 D．
答案：C 解 析
1 × 3× 2 = 3 2 π 6．平面向量 a 与 b 的夹角是 ，且 a = 1 ， b = 2 ，如果 AB = a + b ， AC = a − 3b ， 3 D 是 BC 的中点，那么 AD =
称中心即为圆心 ( 2,3) 所求直线是 x + y − 5 = 0
已知函数 f ( x ) = 11．
Hale Waihona Puke 1 则 f ( x ) 的最小正周期是π； 如果 f ( x ) 的 sin 2 x + 3 cos2 x ， 2 π 导函数是 f ′( x ) ，则 f ′( ) = -1． 6 1 1 3 π 3 sin 2 x + 3 cos 2 x = sin 2 x + ( cos 2 x + 1) = sin 2x + + 2 2 2 3 2
2015年高三二模数学（理）北京市海淀区试题Word版带解析.doc
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =，那么()U C A B =（ ）（A ）∅（B ）{3}x x Z ∈≥（C ）{3,4}（D ）{1,2}【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】C 【解析】因为{}1,2A =，{1,2,3,4}AB =，所以集合B 中一定含有元素3,4，可能含有1,2()U C A B 表示集合B 中不属于集合A 的元素，所以，{}()3,4U C A B =，选C（2）设30.320.2,log 0.3,2a b c ===，则（ ）（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）b a c <<【考点】对数与对数函数 【难度】1 【答案】D 【解析】3000.20.21a <=<=，所以01a <<； 22b log 0.3log 0.51=<=-，所以1b <-；0.30221c =>=，所以1c >综上，b a c <<，选D（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）cos ρθ=（B ）cos ρθ=（C ）sin 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=-【考点】简单曲线的极坐标方程 【难度】1 【答案】D 【解析】以极点为原点，以极轴为x 轴建立平面直角坐标系，点π(2,)6-的直角坐标为：(2,1)-，所求直线方程为：1y =-， 转化为极坐标方程为：sin 1ρθ=-，选D（4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件 【难度】1 【答案】A 【解析】“p q ∧为真命题”等价于“p 真，q 真” “p q ∨为真命题”等价于“p 、q 至少一为真”所以，“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，选A（5）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）（A ）2-（B ）0（C ）2（D ）1【考点】函数的奇偶性【难度】2 【答案】B 【解析】由奇函数的性质得：()0cos 0f φ==，选B（6）已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()d f x x ⎰的值约为（ ）（A ）99100 （B ）310 （C ）910（D ）1011【考点】几何概型 【难度】2 【答案】A 【解析】记图中阴影部分的面积为S ，几何概型的概率公式得：333100S ≈， 即：99100S ≈，所以()1099100f x dx S =≈⎰，选A（7）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ）（A）5 （B）4 （C）3 （D）2【考点】利用导数求最值和极值【难度】2【答案】C【解析】()21'=++，f x x x e+(4)(1)xf x为偶函数，所以又因为()f x的极值点的个数为3个，选C所以，函数()n n≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平（8）若空间中有(5)面垂直，则这样的n值（）（A）不存在（B）有无数个（C）等于5 （D）最大值为8【考点】合情推理与演绎推理【难度】3【答案】C【解析】n=时，存在符合题意的情况：当5一个正四面体的4个顶点再加上正四面体的中心点 当5n >时，任取不共线的三点确定一个平面α， 假设存在三点之外的其他不共面的3个点不妨设为A 、B 、C ，由题意AC α⊥、AB α⊥，过平面外一点不可能存在作出两套直线与同一平面垂直，所以假设不成立 综上，5n =，选C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015年高三一模数学(理)北京市丰台区试题Word版带解析
丰台区2014—2015学年度第二学期统一练习高三数学（理科）2015.31． 在复平面内，复数734ii++对应的点的坐标为（ ） (A) (1,1)- (B) (1,1)-(C) 17(,1)25- (D) 17(,1)5- 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】A 【解析】277212542525=1342525i i i i ii i ++---===-+()(3-4i ）(3+4i)(3-4i ） 故选A2．在等比数列}{n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）(A) -2 (B) 1或-2(C) 1(D)1或2【难度】1 【考点】等比数列 【答案】B 【解析】22342()2()4a a a q q q q +=+=+=，解得：12q q ==-或 故选B3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为（ ）(A)22126x y -= (B)22162x y -= (C)2213y x -= (D) 2213x y -= 【难度】1 【考点】双曲线 【答案】C 【解析】由题意得：22232ba c abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得：221,3a b ==所求双曲线的方程为：2213y x -= 故选C4．当n =5时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值是（ ）(A) 7(B)10(C) 11(D) 16【难度】2【考点】算法与程序框图 【答案】C 【解析】程序执行过程如下： 开始，输入5n =，1m =，1S =，满足条件m n <，进入循环体； 2S =，2m =，满足条件m n <，进入循环体； 4S =，3m =，满足条件m n <，进入循环体； 7S =，4m =，满足条件m n <，进入循环体； 11S =，5m =，不满足符合条件m n <，跳出循环体；输出11S =，结束。
2015北京西城高考二模数学理(含解析)
北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科） 2015．5第一部分（选择题 共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设集合{}10A x x =->，集合{}3B x x =≤，则AB =（ ）．A ．()1,3-B ．(]1,3C ．[)1,3D ．[]1,3-2．已知平面向量a ，b ，c 满足()1,1a =-，()2,3b =，()2,c k =-，若()//a b c +，则实数k =（ ）． A ．4 B ．4- C ．8 D 8-3．设命题p ：函数()1x f x e -=在R 上为增函数；命题q ：函数()()cos πf x x =+为奇函数．则下列命题中真命题是：（ ）．A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝ 4．执行如图所示的程序框图，若输入的{}1,2,3n ∈，则输出的s 属于（ ）． A ．{}1,2 B ．{}1,3 C ．{}2,3 D ．{}1,3,95．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系2464y x =+，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 的前21项的和等于（ ）．A ．212B ．21C ．42D ．84 7．若“1x >”是“不等式2x a x >-成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是：（ ）． A ．3a > B ．3a < C ．4a > D ．4a <8．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 11BC AA ==，点M 为1AB 的中点，点P 为对角线1AC 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，（点P Q 、可以重合），则MP PQ +的最小值为（ ）．A B C ．34 D ．1第二部分（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．复数10i3i=+______． 10．双曲线22:184x y C -=的离心率为_________；渐近线的方程为_________．11．已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α=______;cos 2α=_________．12．如图，P 为O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于B C 、，且2PC PA =，D 为线段PC 的中点，AD 的延长线交O 于E ，若34PB =，则PA =_____；AD DE =________．13．现有6人要排成一排照相，其中①②，则不同的排法有______种．（用数字作答）14．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x []()0,πx ∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③任意12π,π2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＜ 其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 分）在锐角ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，已知a =3b =sin B A +=． （Ⅰ）求角A 的大小． （Ⅱ）求ABC △的面积．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图：为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”的数量为n ，比较m n 、的大小关系．（Ⅱ）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为和值时，2s 达到最小值．（只需写出结论）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D DC ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：1A E ⊥BCDE ．（Ⅱ）求二面角1E A B C --的余弦值；（Ⅲ）判断在线段EB 上是否存在点P ，使平面1A DP ⊥1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13 分）已知函数()211xf x ax -=+，其中R a ∈．（Ⅰ）当14a =-时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ＞时，证明：存在实数0m ＞，使得对于任意的实数x ，都有()f x m ≤成立．19．（本小题满分14 分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且2AB =．（Ⅰ）若椭圆E E 的方程； （Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明：OP >20．（本小题满分13 分）无穷数列12:,,,,n P a a a ，满足i a N *∈，且1()i i a a i N *+∈≤．对于数列P ，记{}()m i n ()k n T P na k k N *=∈≥，其中{}min n n a k ≥表示集合{}n n a k ≥中最小的数． （Ⅰ）若数列:1,3,4,7,P ，写出1()T P ，2()T P ，，()s T P ；（Ⅱ）若()21k T P k =-，求数列P 前n 项的和； （Ⅲ）已知2046a =，求12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++的值．北京市西城区高三年级二模数学试卷（理工类） 2015．5一、选择题：二、填空题：三、解答题：15．（本小题满分13分） （Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，3sin B=3sin B A =，解得sin A =， 因为ABC △为锐角三角形，所以π3A =． （Ⅱ）在ABC △中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c =或2c =，当1c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去．当2c =时，因为222cos 02a c b B ac +-==>．且b c >，b a >．所以ABC △为锐角三角形，符合题意．所以ABC △的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯=．16．（本小题满分13分）（Ⅰ）根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=．由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m =， 乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n =． 所以m n =．（Ⅱ）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，且02552102(0)9C C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，20552102(2)9C C P X C ===，所以X 的分布列：所以252()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）当0b =时，2s 达到最小值． 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）因为DE BE ⊥，BE DC ∥， 所以DE DC ⊥，又因为1A D DC ⊥，1A D DE D =I ， 所以DC ⊥平面1A DE ， 所以1DC A E ⊥，又因为1A E DE ⊥，DC DE D =I ， 所以1A E ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）因为1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，所以1A E ，DE ，BE 两两垂直，以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系．易知DE =则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，C，D ，所以1(2,0,2)BA =-u u u r，BC =u u u r， 平面1A BE 的一个法向量为(0,1,0)n =r， 设平面1A BC 的法向量为(,,)m x y z =u r， 由10BA m ⋅=u u u r u r ，0BC m ⋅=u u u r u r，得22020x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(,m =u r，所以cos ,m n m n m n⋅<>==⋅u r ru r r u r r 由图，得二面角1E A B C --的平面角为钝二面角， 所以二面角1E A B C --的余弦值为．（Ⅲ）结论：在线段EB 上不存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ． 假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．设(,0,0)P t （02t ≤≤），则1(,0,2)A P t =-u u u r，12)A D =-u u u r ， 设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =u r，由10A D p ⋅=u u u r u r ，10A P p ⋅=u u u r u r，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得)p t =u r ， 因为平面1A DP ⊥平面1A BC ，所以0m p ⋅=u r u r，即0+=， 解得3t =-， 因为02t ≤≤，所以在线段上EB 不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ． 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）当14a =-时，函数21()114xf x x -=-． 其定义域为{|2}x x ∈≠±R ，求导，得22222224(1)3()0114(1)4(1)44x x x f x x x -+----'==<--，所以函数()f x 在区间(,2)-∞-，(2,2)-，(2,)+∞上单调递减． （Ⅱ）当0a >时，21()1xf x ax -=+的定义域为R ，求导，得22221()(1)ax ax f x ax --'=+，令()0f x '=，解得110x =-，211x =+， 当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， 又因为(1)0f =，当1x <时，21()01x f x ax -=>+；当1x >时，21()01xf x ax -=<+， 所以当1x ≤时，10()()f x f x ≤≤；当1x >时，2()()0f x f x <≤，记12max{(),()}M f x f x =，其中12max{(),()}f x f x 为两数1()f x ，2()f x 中最大的数 综上，当0a >时，存在实数[),m M ∈+∞，使得对任意的实数x ，不等式()f x M ≤恒成立． 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）设由题意，得224a b +=，且c a =解得a 1b =，c =所以椭圆E 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）由题意，的224a b +=，所以椭圆E 的方程为222214x y a a+=-，则1(,0)F c -，2(,0)F c ，c ，设00(,)P x y ， 由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c=-，所以直线2F P 的方程为00(c)y y x x c=--， 当0x =时，00y c y x c -=-，即点00(0,)y cQ x c--， 所以直线1F Q 的斜率为10F Q y k c x =-， 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⨯=⨯=-+-， 化简，得22200(24)y x a =--，①又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内， 所以22002214x y a a+=-，00x >，00y >，② 由①②，解得202a x =，20122y a =-，所以22222001(2)22OP x y a =+=-+，因为22242a b a +=<，所以22a >，OP > 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）1()1T P =，2()2T P =，3()2T P =，4()3T P =，5()4T P =． （Ⅱ）由题意，1()1T P =，2()3T P =，3()5T P =，4()7T P =，L 因为2()3T P =，且()min{|}k n T P n a k =≥， 所以32a ≥，且22a <，同理，由3()5T P =，()min{|}k n T P n a k =≥， 得53a ≥，且43a <，以此类推，得74a ≥，64a <；L ；21n a n -≥，22n a n -<；L 因为1()i i a a i +∈*N ≤，i a ∈*N ，所以121a a ==，342a a ==，L ，212n n a a n -==，L当n 为奇数时，21211(1)2(12)224n n n n a a a -+++++=++++=L L ，当n 为偶数时，21222(12)24n n n na a a ++++=+++=L L ，所以数列{}n a 前n 项的和22(1),21,42,2,4n n n k S k n n n k ⎧+=-⎪⎪=∈⎨+⎪=⎪⎩*N （Ⅲ）解法一：考察符合条件的数列P 中，若存在某个(119)i i ≤≤满足1i i a a +<，对应可得()k T P ， 及12201246()()()s a a a T P T P T P =+++++++L L ． 因为()min{|}k n T P n a k =≥，所以1()1i a T P i +=+．下面将数列P 略作调整，仅将第i a 的值增加1，具体如下：设1j j a a '=+，对于任何(1)j j ≠，令j j a a '=，可得数列P '及其对应数列()k T P '， 根据数列()k T P '的定义，可得1()i a T P i +'=，且()()(1)j j i T P T P j a '=≠+． 显然11()()1i i a a T P T P ++'=-．所以12201246()()()s a a a T P T P T P '''''''=+++++++L L121120121246(1)()()(1)()i i i i i a a a a a a a a T P T P T T T P -+++=++++++++++++-+++L L L L 12201246()()()a a a T P T P T P s =+++++++=L L ． 即调整后得s s '=，如果数列{}n a '还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{}n a 中的每一项变为相等，且操作中保持s 的值不变， 而当122046a a a ====L 时，1246()()()1T P T P T P ====L ， 所以12201246()()()966s a a a T P T P T P =+++++++=L L ．解法二：将问题一般化，下面求1212()()()n n a s a a a T P T P T P =+++++++L L ． 当1n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，故11112s a a a =+⨯=．当2n =时，1()1T P =，2()1T P =，L ，()1i a T P =，1()2i a T P +=，2()2i a T P +=，L ，2()2a T P =， 故1242421()23s a a a a a a =++⨯+-⨯=，猜想(1)n s n a =+，下面用数学归纳法证明：（1）当1n =时，由以上叙述可知，命题成立． （2）假设当n k =时，命题成立，即4(1)s k a =+． 当1n k =+时， 若1k k a a +=，则12112()()()k k a s a a a a T P T P T P +=++++++++L L 11(1)(2)k k k k a a k a ++=++=+，命题成立． 若1k k a a +>，则11211212()()()()()()k k k k k k a a a a s a a a a T P T P T P T P T P T P ++++=++++++++++++L L L112112()()()(1)(1)(1)k k k k k a a a a a a a T P T P T P k k k ++-=+++++++++++++++L L L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)(1)(1)k k k k a a k a a k k k ++-=+++++++++L 144444444444424444444444443共个11(1)(1)()k k k k k a a k a a ++=++++-1(2)k k a +=+，命题成立．由（1）和（2），得(1)()n s n a n =+∈*N ． 所以当2046a =时，(201)46966s =+⨯=．北京市西城区2014—2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科）选填解析1. 【答案】B【解析】{}1A x x =>，{}3B x x =≤，所以(]1,3A B =． 故答案为B ．2. 【答案】D【解析】()1,4a b +=，且()//a b c +，所以有4812k k =⇒=--． 故答案为D ．3. 【答案】D【解析】由题意得命题p 为真，命题q ：函数()()cos πcos f x x x =+=-为偶函数，命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，从而()p q ∧⌝为真命题． 故答案为D ．4. 【答案】A【解析】当1n =时，经过判断得31n s =⇒=，所以输出1s =，当2n =时，经过判断得92n s =⇒=，所以输出2s =，当3n =时，经过判断得1s =，所以输出1s =，综上输出的s 满足的集合为{}1,2． 故答案为A ．5. 【答案】B【解析】设平均费用为y ，则246464432x y x x x+==+≥，当且仅当644x x =，即4x =时取到最小值．故答案为B ．6. 【答案】B【解析】由数列{}n a 为等差数列，根据等差数列的性质得2420a a a +++()2205a a =+()121510a a =+=，所以()1212a a +=，则()1212121212a a S +⨯==．故答案为B ．7. 【答案】A【解析】由于1x >是2x a x >-的必要而不充分条件，所以2x a x >-，即2x x a +>的解集是{}1x x > 的子集，令()2xf x x =+，则()f x 为增函数，那么()()13f x f >=，则3a >，此时满足2x x a +>条件的x 一定是{}1x x >的子集． 故答案为A ．8. 【答案】C【解析】对角线1AC 上的动点P 到底面ABCD 上的Q 点的最小值为点P 在底面ABCD 上的投影，即直线AC 上，所以选择确定点Q ，点1B 沿着线1AC 旋转，使得11ACC B 在一个平面上，过1AB 的中点M 做AC 的垂线，垂足为Q ，MQ 与1AC 的交点为P ，线段MQ 的长度为我们求的最小值．由题意长方体1111ABCD A B C D -，11AB BC AA ===可得111π6B AC CAC ∠=∠=，则1π3MAC ∠=，另外1AB =则AM =π334MQ ==． 故答案为C ．9. 【答案】13i +【解析】()()()()10i 3i 10i 3i 10i13i 3i 3i 3i 10--===+++-． 故答案为13i +．10. y =【解析】由题意得，2228,412a b c ==⇒=，所以离心率c e a ===，渐近线为b y x a =±==．y x =．11. 【答案】35-，725-【解析】由题意得3cos 5α=-，所以2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⋅--=- ⎪⎝⎭．故答案为35-，725-．12. 【答案】32， 98【解析】由切割线定理得22PA PB PC PB PA =⋅=⋅，所以32PA =3PC =；再根据相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，由D 是PC 的中点，所以32DC =，34BD PD PB =-=，则339248AD DE BD DC ⋅=⋅=⋅=．故答案为32，98．13. 【答案】288【解析】所有甲乙不相邻的排法为4245A A ，排除甲与乙两人不相邻，但甲站在两端的情况为114244C C A ，故所以满足条件的排法为4211445244288A A C C A -= 故答案为288．14. 【答案】①②【解析】①如图，当π3AOP ∠=时，OP 与AM 相交于点M ，因为1AO =，则AM =，π132f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭正确；②由于对称性ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恰好是正方形的面积，所以ππ422f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确； ③显然()f x 是增函数，所以()()12120f x f x x x ->-，错误．故答案为①②．。
2015西城区高三二模数学(理)试题及答案
1．设集合，集合 ，则A B ＝（）A．（－1‚ 3）B．（1‚ 3］C．［1‚ 3）D．（－1‚ 3］2．已知平面向量，，则实数k ＝（）A．4 B．－4 C．8 D．－83．设命题p ：函数在R上为增函数；命题q：函数为奇函数．则下列命题中真命题是（）4．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的s属于（）A． {1‚ 2}B．{1‚ 3}C．{2 ‚ 3}D．{1‚ 3‚ 9}5．某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（）A．3 B．4 C．5 D．66．数列为等差数列，满足，则数列前21 项的和等于（）A．B．21 C．42D．847．若“ x ＞1 ”是“不等式2x >a -x成立”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a ＞3 B．a ＜3 C．a ＞4 D．a ＜4第Ⅱ卷（非选择题 共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．复数＝＿＿＿＿10．双曲线C ：的离心率为 ；渐近线的方程为 ．11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．12．如图，P 为O 外一点，P A 是切线， A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B 、C ，且 PC ＝ 2P A ， D 为线段 PC 的中点， AD 的延长线交O 于点 E ． 若PB ＝34，则P A ＝ ；AD ·DE ＝ ．13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ＝3，．（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ） 求△ABC 的面积．16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝ b ＝ 3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4 的菱形ABCD中，于点E ，将△ADE沿DE 折起到的位置，使，如图2．⑴求证：平面BCDE ；⑵求二面角的余弦值；⑶判断在线段EB上是否存在一点P ，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13 分）已知函数，其中a R ．⑴当时，求f (x)的单调区间；⑵当a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜ f (x)｜≤m成立．。
2015丰台区数学二模试题(word)及答案
丰台区2015年初三毕业及统一练习（二）数学试卷学校姓名准考证号考生须知1．本试卷共7页，共五道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．13的倒数是A．3B．3-C．13D．13-2．一根头发丝的直径约为0.00 006纳米，用科学记数法表示0.00 006，正确的是A．6×10-6 B． 6×10-5 C． 6×10-4 D． 0.6×10-43．下面的几何体中，主视图为三角形的是A B C D4．函数2y x=-中，自变量x的取值范围是A．2x≠ B．2x＞ C．2x≥ D．2x≤5．妈妈在端午节煮了10个粽子，其中5个火腿馅，3个红枣馅，2个豆沙馅（除馅料不同外，其它都相同）．煮好后小明随意吃一个，吃到红枣馅粽子的概率是A．110B．15C．310D．126．下面的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是菱形扇形平行四边形等边A B C D7．如图，A ，B 是函数2=y x的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴， AC ∥y 轴，如果△ABC 的面积记为S ，那么A ．4S =B ．2S =C ．24S ＜＜D ．4S ＞ 8．甲、乙、丙、丁四位同学角逐“汉字听写大赛”的决赛资 格，表中统计了他们五次测试成绩的平均分和方差．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参 加全市“汉字听写大赛”，那么应选A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF 最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，∠AEF =143°，AB =AE =1.2米， 那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）A B C D10．如图，点N 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，（不与点A ，B 重合），AB =4，M 是OA 的中点，设线段MN 的长为x ，△MNO 的面积为y ，那么下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是甲 乙 丙 丁平均分 80 80 85 85 方 差 59 41 54 42FCBA EEAFCB OyAxA O BM N图3图1 图2A E Fy1y1y1y1A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：34a a -= ．12．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ， 如果35AD DB =，AE =6，那么EC 的长为 ．13．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知AB 的长是_________m ．14．将二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，那么=h k + ．15．在四边形ABCD 中，如果AB AD =，AB CD ∥，请你添加一个．．条件，使得该四边形是菱形，那么这个条件可以是 .16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的表达式是y ＝33x ，点A 1坐标为(0，1)，过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交y 轴于点A 2；再过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交y 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点B 4的坐标为 ，2015OA = ．2m ABCO A BCED图1图 2l : y=33xy xOB 3B 2B 1A 4A 3A 2A 1三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：20153822cos45+--+︒（-1）．18．已知：如图，AB =AE ，∠1=∠2 ，∠B =∠E ．求证：BC =ED ． 19．解不等式组：240,321 5.x x +⎧⎨-->⎩≤（）20．已知3=yx ，求代数式22212y x y x xy y x⎛⎫--⋅ ⎪-+⎝⎭的值．21．已知关于x 的方程2(3)30(0)mx m x m -++=≠．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，且有一根大于1，求满足条件的整数m 的值．22．列方程或方程组解应用题：为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?四、解答题（本题共20分，每小题5分）21ABCED23．如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上的一点，将△ABE 沿AE 翻折得到△AFE ，点F 恰好落在线段DE 上．（1）求证：∠FAD =∠CDE ；（2）当AB =5，AD =6，且tan 2ABC ∠=时，求线段EC 的长．24．某校九年级有200名学生参加《中小学生国家体质健康标准》测试赛活动．为了解本次测试的成绩分布情况，从中抽取了20名学生的成绩进行分组整理．现已完成前15个数据的整理，还有后5个数据尚未累计：62，83，76，87，70，学生测试成绩频数分布表 学生测试成绩频数分布直方图（1）请将剩余的5个数据累计在“学生测试成绩频数分布表”中，填上各组的频数与频率，并补全“学生测试成绩频数分布直方图”；（2）这20个数据的中位数所在组的成绩范围是 ；（3）请估计这次该校九年级参加测试赛的学生中约有多少学生成绩不低于80分.25．如图，AB 是⊙O 的直径，以AB 为边作△ABC ，使得AC = AB ，BC 交⊙O 于点D ，联结OD ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 延长线于点E ，交AC 于点F ． （1）求证：OD ∥AC ；成绩x （分） 频数累计 频数 频率 50≤x ＜60 3 0.15 60≤x ＜70 70≤x ＜80 80≤x ＜90 90≤x ≤1005 0.25合计201.00BFACEDOA1357成绩（分）10090807060506284频数（2）当AB =10，5cos 5ABC ∠=时，求BE 的长．26．问题背景：在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为5，32，17，求这个三角形的面积． 小军同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求出△ABC 的高，借用网格就能计算出它的面积．CBA图1 图2 （1）请你直接写出△ABC 的面积________； 思维拓展：（2）如果△MNP 三边的长分别为10，25，26，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的格点△MNP ，并直接写出△MNP 的面积．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过(13)A ，，(21)B ，两点.（1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在 点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如 76541123321213xOy果图象G 沿y 轴向上平移t （0t >）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求t 的取值范围．28． 已知△ABC 是锐角三角形，BA =BC ，点E 为AC 边的中点，点D 为AB 边上一点，且∠ABC =∠AED =α．（1）如图1，当α=40°时，∠ADE = °；（2） 如图2，取BC 边的中点F ，联结FD ，将∠AED 绕点E 顺时针旋转适当的角度β(β<α)，得到∠MEN ，EM 与BA 的延长线交于点M ， EN 与FD 的延长线交于点N ． 错误！未找到引用源。
北京各区2015届高三二模理科数学分类汇编(概率统计)
北京各区二模理科数学分类汇编概率统计(2015届西城二模)16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，………1分乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. …………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m=，………………3分乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n=，所以m n=. ………………4分（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，………………5分且0255210C C2(0)C9P X===，1155210C C5(1)C9P X===，2055210C C2(2)C9P X===，…………8分所以X的分布列为：X0 1 2P295929………………9分所以252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：当b=0时，2s达到最小值．………………13分(2015届海淀二模)答案：A(2015届海淀二模)（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．………………3分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．………………4分73 5 5 284 5 519 7 8 乙甲()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；………………10分 （Ⅲ）略. ………………13分 评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.(2015届东城二模) （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（B ）（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >(2015届东城二模) （16）（本小题共13分）某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==． 因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．1=6,a则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分(2015届丰台二模) 16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. 解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．A 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为 所以1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分。
北京市丰台区2015届高三二模数学理试卷
丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二） 2015.5数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<，则A B =(A) {0x x <或1}x ≥ (B) {12}x x << (C) {0x x <或1}x >(D) {0}x x >2．“a =0”是“复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 “复数i z a b =+(a ，b ∈R)为纯虚数”成立的充分不必要条件是 (A) a =0，b ≠0 (B) a =0 (C) b =0 (D) a =0，b =2 3．直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为(A) 223 (B)283 (C) 323(D) 343原题：如图所示，直线1y x =+与曲线321y x x x =--+与x 轴所围成的封闭图形的面积是 ．4．函数1,0,()2cos 1,20x f x x x -≥=--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于(A) 1-2π (B) 312π-(C) 1-π(D) 12π-5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为(A) 6 (B)29 (C) 3(D) 23俯视图正视图6．平面向量a 与b 的夹角是3π，且1a = ，2b = ，如果AB a b =+ ，3AC a b =- ，D 是BC 的中点，那么AD =(B) (C) 3(D) 67．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：则每周最高产值是 (A) 30 (B) 40 (C) 47.5 (D) 52.5某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按5天计算）生产A ，B ，C 三种产品共15吨（同一时间段内只能生产一种产品），且C 种产品至少生产5吨，已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如下表：(A) 40 (B) 42.5 (C) 45 (D) 50 说明：这两个题没有本质区别，主要差一句话（且C 种产品至少生产5吨），这句话意味着什么？考题希望交给学生遇到问题应如何思考。
北京市2015届高三综合能力测试(二)数学(理)试题含答案
A．充分不必要条件 C．充要条件
6、已知数列 an 满足 a1 1 ，且 an an 1 2n ，则数列 an 的前 20 项的和为（ A． 3 211 3 B． 3 211 1 C． 3 210 2
7、已知向量 a ， b 是夹角为 60 的单位向量．当实数 1 时，向量 a 与向量 a b 的夹角范围是（ ） A． B． 0 , 60 60 ,120
3 210 3
-1-
C． 120 ,180
D． 60 ,180
8、某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是 （ A． 2 D． 8 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． ） 9、双曲线 C : x 2
5
若直线 y x b 与 f x 在 x 1 处相切，求实数 a ， b 的值；
-3-
若 a 0 ，求证： f x 存在唯一极小值．
2 19、 （本小题满分 14 分）已知椭圆 C1 过点 2 ,1 ，且其右顶点与椭圆 C2 : 2 2 x 2 y 4 的右焦点重合．
求证：平面 1AC 底面 AC ； 求 1C 与平面 A1A1 所成角的正弦值； 若 ， F 分别是线段 A1C1 ， C1C 的中点，问在线段 1F 上是否存在点 ，使
得 // 平面 A1A1 ．
18、 （本小题满分 13 分）已知函数 f x x a ln x ．
7 ，求边 C 的长．
-2-
16、 （本小题满分 13 分）在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组 的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场） ，并规定小组积分前两名 的队出线，其中胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分．由于某些特殊原 因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积 7 分，乙队积 1 分，丙和丁 1 队各积 0 分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为 ，乙队 4 1 胜、平、负丁队的概率均为 ，且四个队之间比赛结果相互独立． 3 求在整个小组赛中，乙队最后积 4 分的概率；
北京市丰台区高三二模理科数学试卷含答案
丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合2{R |21},{R |20}A x x B x x x =∈-<<=∈-<，那么A B = （A ）(2,0)- （B ）(2,1)-（C ）(0,2) （D ）(0,1)2.极坐标方程ρ=2cos θ表示的圆的半径是（A ） 12（B ）14（C ）2 （D ）13. “0x >”是“2212x x +≥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4.已知向量13(,2a =，(3,1)b =-，c a b λ=+，则c a ⋅等于_________ . （A ）λ （B ）λ- （C ） 1 （D ）-15.如图，设不等式组11,01x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD内的曲线为抛物线2y x =的一部分，若在长方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于 （A ）23（B ）13（C ）12（D ）146.要得到2()log (2)g x x =的图象，只需将函数2()log f x x =的图象（A ）向上平移1个单位 （B ）向下平移1个单位 （C ）向左平移1个单位 （D ）向右平移1个单位 7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论中一定成立的 （A ）若50a ，则20150a（B ）若50a ，则20150S（C ）若60a ，则2016a（D ）若60a ，则2016S8. 如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD 为正方形，给出下列命题：① 不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o 或90o ；② 四边形AECF 是正方形； ③ 点A 到平面BCE 的距离为1.其中正确的命题有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.在复平面内，点A 对应的复数是2+i.若点A 关于实轴的对称点为点B ，则点B 对应的复数为___________.10. 执行右侧程序框图，输入n =4,A =4,x =2,输出结果A 等于______11.已知点(,4)P t 在抛物线24y x =上,抛物线的焦点为F ，那么|PF |=____________.12.已知等差数列{}n a 的公差不为零，且236a a a +=，则12345a a a a a +=++ ______.13. 安排6志愿者去做3项不同的工作，每项工作需要2人，由于工作需要，A ，B 二人必须做同一项工作，C ，D 二人不能做同一项工作，那么不同的安排方案有_________种.14.已知1,3x x ==是函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x =处的导数3'()02f <，则1()3f =________；三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1cos2a C c b+=.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，5b=,求c的值.16.（本小题共13分）某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如下表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等.根据以上数据，回答下列问题.（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率；（Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ,方差为21S ，如果表中n x ，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为22S ，试判断21S 与22S 的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）.17.（本小题共14分）如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，∠B =90O , BE ∥CD ,且BE =2 CD =2BC =2，A 为BE 的中点.将△EDA 沿AD 折到△PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P-ABCD .图2图1（Ⅰ）求证AD ⊥PB ；（Ⅱ）若PA ⊥平面ABCD .①求二面角B-PC-D 的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足(01)PM PC λλ=≤≤，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45O ，求λ的值.18.（本小题共13分）设函数()e (R)ax f x a =∈.（Ⅰ）当2a =-时，求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值；（Ⅱ）若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围.19.（本小题共13分）已知椭圆C ：22143x y +=.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若椭圆C 与直线y x m =+交于M ，N 两点，且|，求m 的值；（Ⅲ）若点A 11(,)x y 与点22(,)P x y 在椭圆C 上，且点A 在第一象限，点P在第二象限，点B 与点A 关于原点对称，求证：当22124x x +=时，三角形△PAB 的面积为定值.20.（本小题共13分）对于数对序列11:(,)P a b ，22(,)a b ，，(,)n n a b ，(,R ,1,2,3,,)i i a b i n +∈=，记0()0(0)f y y =≥，10,1,2,3,,()max {()}(0,1)k k k k k k k x mf y b x f y a x y k n -==+-≥≤≤，其中m为不超过kya 的最大整数.(注：10,1,2,3,,max {()}k k k k k k x mb x f y a x -=+-表示当k x 取0,1,2,3，…,m时，1()k k k k k b x f y a x -+-中的最大数）已知数对序列:(2,3),(3,4),(3,)P p ，回答下列问题：（Ⅰ）写出1(7)f 的值；（Ⅱ）求2(7)f 的值，以及此时的12,x x 的值；（Ⅲ）求得3(11)f 的值时，得到1234,0,1x x x ===，试写出p 的取值范围.（只需写出结论,不用说明理由）.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（二）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 2-i 10. 49 11. 5 12. 1313. 12 14.12三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及1cos2a C c b+=得：1sin cos sin sin2A C C B+=，----------------------2分化简1sin cos sin sin()2A C C A C+=+----------------------4分解得：1cos2A=，----------------------6分因为0o<A<180o,所以60oA=. -----------------------7分（Ⅱ）由余弦定理得：221255c c=+-，即2540c c-+=.---------------------10分解得1c=和4c=，---------------------12分经检验1，4都是解，所以c的值是1和 4.---------------------13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100=9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000=9300种---—————-----—--3分设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ，则P （A ）=9395.——-——-----5分（Ⅱ）在该结案案件中任取一件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法.—8分设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B ，则P （B ）=1229.-----------10分 (注：讲评时应告诉学生这个概率低是因为人民法院做了大量工作如法庭调解案件、使得当事人撤诉等工作，有时法律不能解决感情问题)（Ⅲ）21S >22S .--------------------------13分（可以简单直观解释，也可以具体：设4类案件的均值为X ，则34x xX x +==. 2222212342()()()()4x x x x x x x x S -+-+-+-=2222123()()()()4x x x x x x x x -+-+-+-=222123()()()4x x x x x x -+-+-=22221231()()()3x x x x x x S -+-+-<=）17.（本小题共14分）解：（Ⅰ）在图1中，因为AB ∥CD ，AB =CD ，所以ABCD 为平行四边形，所以AD ∥BC ,因为∠B =90O ,所以AD ⊥BE ，当三角形EDA 沿AD 折起时，AD ⊥AB ，AD ⊥AE ，即：AD ⊥AB ，AD ⊥PA ，-----------------------3分又AB ∩PA =A .所以AD ⊥平面PAB ，-----------------------4分又因为PB 在平面PAB 上，所以AD ⊥PB .---------------------5分（Ⅱ）①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系，如图. -------6分则A （0,0,0），B （1,0,0），C （1,1,0），P （0,0,1）.即(1,1,1)PC =-，(0,1,0)BC =，(1,0,0)DC =设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,PC n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0,0x y z y +-=⎧⎨=⎩，取1z =，取1x =，所以(1,0,1)n =；同理求得平面PCD 的法向量(0,1,1)m =--.设二面角B-PC-D 为α，所以1cos 2||||n m n m α⋅-==⋅,所求二面角B-PC-D 为120o.②设AM 与面PBC 所成的角为ϕ.(0,0,1)(1,1,1)(,,1)AM AP PM λλλλ=+=+-=-，平面PBC 的法向量 1(1,0,1)n =,sin ϕ=1|cos ,|||2AM n <>==, 解得：20,3λλ==18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当2a =-时，22()e x g x x -=，222'()e (22)=-2(1)e x x g x x x x x --=--—-2分x 与'()g x 、()g x 之间的关系如下表：函数在区间(0,)+∞内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点1x =，---4分最大值21(1)e g =. （Ⅱ）（1）当0a =时，2()1h x x =-，显然在区间(0,16)内没有两个零点，0a =不合题意.(2)当0a ≠时，2()1e ax x h x =-，222()(2)e '()e eaxax axax x x ax a h x ---==. ①当0a <且(0,16)x ∈时，'()0h x >，函数()h x 区间(0,)+∞上是增函数，所以函数()h x 区间(0,16)上不可能有两个零点，所以0a <不合题意；②当0a >时，在区间(0,)+∞上x 与'()h x 、()h x 之间的关系如下表：因为(0)1h=-，若函数()h x区间(0,16)上有两个零点，则2()0,216,(16)0haah⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪<⎪⎪⎩，所以22816410,1,8210ae aae⎧->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪-<⎪⎩，化简20,e1,8ln22aaa⎧<<⎪⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩.因为1ln214ln21ln1616 82e<⇔<⇔<⇔<，2ln24eln243eln2e2>⇔>⇔>>,所以1ln22 82e <<.综上所述，当ln222ea<<时，函数2()1()xh xf x=-在区间(0,16)内有两个零点.19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为2,a b ==1c =，离心率12e =. ————————3分（Ⅱ）22,3412y x m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y的并化简得22784120x mx m ++-=.------4分2226428(412)16(213)0m m m ∆=--=->，—————----------5分设1122(,),(,)M x y N x y ，则||7MN ==，-------7分解得2m =±，且满足0∆>. —————————8分（Ⅲ）直线AB 的方程为11y y x x =，即110y x x y -=. 点22(,)P x y 到直线AB 的距离d =，||AB =分21211||||2PAB S AB d y x x y ∆===-， -----—10分因为12120,0,0,0x x y y ><>>，2222112233(4),(4)44y x y x =-=-，12y y ==--12分所以21212112||||||y x x y y x y x -=+-------------13分21|||)x x =2221)2x x =+，=.所以当22124x x +=时，三角形△PAB 的面积为定值. ---------------14分（Ⅲ）方法二：设直线AB 的方程为y kx =，即0kx y -=.220,3412kx y x y -=⎧⎨+=⎩，解得2121234x k =+.1||2||AB x ==点22(,)P x y ）到直线AB 的距离d =，11221||||||||2PAB S AB d x x kx y ∆===-，-------------10分因为12120,0,0,0x x y y ><>>，则0k >.所以1x =，2x ==，212y x ===，----------------12分22kx y k -=⨯-=122||||PAB S x kx y ∆=-==.所以三角形△PAB 的面积为定值.---------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）1110,1,2,3(7)max {3}max{0,3,6,9}9x f x ====，当13x =时,1(7)9f =.-----4分（Ⅱ）222120,1,2(7)max{4(73)}x f x f x ==+-，111max{0(7),4(4),8(1)}f f f =+++当21x =时，1110,1,2(4)max{3}max{0,3,6}6x f x ====,当12x =时1(4)6f =.当22x =时，1110(1)max{2}0x f x ===,即当10x =时,1(1)0f =.2(7)max{9,46,80}10f =++=，即当21x =，12x =时2(7)10f =.-----10分（Ⅲ）答：4 4.5p <<. ----- -----13分。
数学_2015年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分）1. 设集合A ＝{x|x −1>0}，集合B ＝{x|x ≤3}，则A ∩B ＝（ ） A (−1, 3) B (1, 3] C [1, 3) D [−1, 3]2. 已知平面向量a →，b →，c →，a →=(−1, 1)，b →=(2, 3)，c →=(−2, k)，若(a →+b →) // c →，则实数k ＝（ ）A 4B −4C 8D −83. 设命题 p ：函数f(x)=e x−1在R 上为增函数；命题q ：函数f(x)=cos(x +π)为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A p ∧qB (￢p)∨qC (￢p)∧(￢q)D p ∧(￢q)4. 执行如图所示的程序框图，若输入的n ∈{1, 2, 3}，则输出的s 属于（ ）A {1‚2}B {1‚3}C {2‚3}D {1‚3‚9}5. 某生产厂商更新设备，已知在未来x 年内，此设备所花费的各种费用总和y （万元）与x 满足函数关系y ＝4x 2+64，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为（ ）A 3B 4C 5D 66. 数列{a n }为等差数列，满足a 2+a 4+...+a 20＝10，则数列{a n }前21 项的和等于（ ） A 212 B 21 C 42 D 847. 若“x >1”是“不等式2x >a −x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A a >3 B a <3 C a >4 D a <48. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =√2，BC =AA 1=1，点M 为AB 1的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点（点P ，Q 可以重合），则MP +PQ 的最小值为( )A √22 B √32 C 34 D 1二、填空题：（本小题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 复数10i3+i =________． 10. 双曲线C:x 28−y 24=1的离心率为________；渐近线的方程为________．11. 已知角α的终边经过点(−3, 4)，则cosα=________；cos2α=________．12. 如图，P为⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．若PB=34，则PA=________；AD⋅DE=________．13. 现有6人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有________种．（用数字作答）14. 如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x(x∈[0, π])，OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S＝f(x)，那么对于函数f(x)有以下三个结论：①f(π3)=√32；②任意x∈[0, π2]，都有f(π2−x)+f(π2+x)＝4；③任意x1，x2∈(π2, π)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=√7，b＝3，√7sinB+sinA＝2√3．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求△ABC的面积．16. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．(Ⅰ)当a＝b＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n，比较m，n的大小关系；(Ⅱ)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X的分布列和数学期望．(Ⅲ)若a＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）17. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝60∘，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥DC，如图．（1）求证：A1E⊥平面BCDE；（2）求二面角E−A1B−C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由．18. 已知函数f(x)=1−x1+ax2，其中a∈R．（1）当a=−14时，求f(x)的单调区间；（2）当a>0时，证明：存在实数m>0，使得对于任意的实数x，都有|f(x)|≤m成立．19. 设F1，F2分别为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A为椭圆E的左顶点，点B为椭圆E的上顶点，且|AB|＝2．（1）若椭圆E的离心率为√63，求椭圆E的方程；（2）设P为椭圆E上一点，且在第一象限内，直线F2P与y轴相交于点Q，若以PQ为直径的圆经过点F1，证明：|OP|>√2．20. 无穷数列P:a1，a2，…，a n，…，满足a i∈N∗，且a i≤a i+1(i∈N∗)，对于数列P，记T k(P)=min{n|a n≥k}(k∈N∗)，其中min{n|a n≥k}表示集合{n|a n≥k}中最小的数．（1）若数列P:1‚3‚4‚7‚…，写出T1(P)，T2(P)，…，T5(P)；（2）若T k(P)=2k−1，求数列P前n项的和；（3）已知a20=46，求s=a1+a2+...+a20+T1(P)+T2(P)+...+T46(P)的值．2015年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. D4. A5. B6. B7. A8. C9. 1+3i 10. √62,y =±√22x 11. −35,−725 12. 32,9813. 28814. ①②15. （1）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得√7sinA=3sinB，∴ √7sinB ＝3sinA ，再根据√7sinB +sinA ＝2√3，求得sinA =√32，∴ 角A =π3．（2） 锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a 2＝7＝c 2+9−6c ⋅cos π3，解得c ＝1 或c ＝2．当c ＝1时，cosB =a 2+c 2−b 22ac=−√714<0，故B 为钝角，这与已知△ABC 为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c ＝2时，△ABC 的面积为12bc ⋅sinA =12⋅3⋅2⋅√32=3√32． 16. （1）根据茎叶图，可得甲组数据的平均数为10+10+14+18+22+25+27+30+41+4310=24，乙组数据的平均数为10+18+20+22+23+31+32+33+33+4310=26.5，甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ＝5，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ＝5，所以m ＝n ；（2）X 的可能取值为0，1，2， P(X ＝0)=C 50C52C 102=29，P(X ＝1)=C 51C51C 102=59，P(X ＝2)=C 52C50C 102=29，X 的分布列为：∴ Eξ＝0×29+1×59+2×29=1． (Ⅲ)若a ＝1，b ＝0时，s 2达到最小值． 17. 证明：∵ DE ⊥BE ，BE // DC ， ∴ DE ⊥DC ，∵ A 1D ⊥DC ，A 1D ∩DE ＝D ， ∴ DC ⊥平面A 1DE ， ∴ DC ⊥A 1E ，∵ A 1E ⊥DE ，DC ∩DE ＝D ， ∴ A 1E ⊥平面BCDE ；由题意，以EB ，ED ，EA 1分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，则DE ＝2√3， A 1(0, 0, 2)，B(2, 0, 0)，C(4, 2√3, 0)，D(0, 2√3, 0)， ∴ BA 1→=(−2, 0, 2)，BC →=(2, 2√3, 0)， 平面A 1BE 的一个法向量为n →=(0, 1, 0)，设平面A 1BC 的一个法向量为m →=(x, y, z)，则{−2x +2z =02x +2√3y =0，∴ m →=(−√3, 1, −√3)， ∴ cos <m →，n →>=√77， ∴ 二面角E −A 1B −C 的余弦值为−√77； 在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，设P(t, 0, 0)(0≤t ≤2)，则A 1P →=(t, 0, −2)，A 1D →=(0, 2√3, −2)，设平面A 1DP 的法向量为p →=(a, b, c)，则{2√3b −2c =0ta −2c =0，∴ p →=(2, √3, t)，∵ 平面A 1DP ⊥平面A 1BC ， ∴ −2√3+√3−√3t ＝0，∴ t ＝−3， ∵ 0≤t ≤2，∴ 在线段EB 上不存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ．18. 解：（1）当a =−14时，f(x)=1−x 1−14x 2；f(x)的定义域为{x|x ≠±2}； f′(x)=−14(x 2−2x+4)(1−14x 2)2=−(x−1)2−34(1−14x 2)2<0；∴ f(x)在(−∞, −2)，(−2, 2)，(2, ∞)上单调递减；∴ f(x)的单调递减区间为(−∞, −2)，(−2, 2)，(2, +∞)； （2）证明：当a >0时，f(x)=1−x1+ax 2的定义域为R ； f′(x)=ax 2−2ax−1(1+ax 2)2，令f′(x)=0得：x1=1−√1+1a <0，x2=1+√1+1a>1；∴ f(x)在(−∞, x1],[x2, +∞)上单调递增，在(x1, x2)上单调递减；又f(1)=0，当x<1时，f(x)1−x1+ax2>0；当x>1时，f(x)<0；∴ x≤1时，0≤f(x)≤f(x1)；x>1时，f(x2)≤f(x)<0；记M=max{|f(x1)|, |f(x2)|}，其中max{|f(x1)|, |f(x2)|}表示两数|f(x1)|，|f(x2)|中最大的数；综上，当a>0时，存在实数m∈[M, +∞)，使得对任意的实数x，不等式|f(x)|≤m恒成立．19. 设c=√a2−b2，由题意可得a2+b2＝4，且e=ca =√63，解得a=√3，b＝1，c=√2，则椭圆方程为x 23+y2＝1；证明：a2+b2＝4，则椭圆E:x2a2+y24−a2=1，F1(−c, 0)，F2(c, 0)，c=√a2−b2=√2a2−4，设P(x0, y0)，则x0≠c，直线F1P的斜率k F1P =y0x0+c，直线F2P的斜率为k F2P =y0x0−c，直线F2P:y=y0x0−c(x−c)，当x＝0时，y=−y0cx0−c ，即Q(0, −y0cx0−c)，F1Q的斜率为k F1Q =y0c−x0，以PQ为直径的圆经过点F1，即有F1P⊥F1Q，即有k F1P ⋅k F1Q=y0x0+c⋅y0c−x0=−1，化简可得y02＝x02−(2a2−4)①又P为E上一点，在第一象限内，则x02a2+y024−a2=1，x0>0，y0>0，②由①②解得x0=12a2，y0＝2−12a2，即有|OP|2＝x02+y02=12(a2−2)2+2，由a2+b2＝4<2a2，即a2>2，则有|OP|>√2．20. 解：（1）∵ 数列P:1‚3‚4‚7‚…，即从第三项起每项是前两项的和，∴ T 1(P)=1，T 2(P)=2，T 3(P)=2，T 4(P)=3，T 5(P)=4； （2）∵ T k (P)=2k −1，∴ T 1(P)=1，T 2(P)=3，T 3(P)=5，T 4(P)=7，… ∵ T 2(P)=3，且T k (P)=min{n|a n ≥k}(k ∈N ∗)， ∴ a 3≥2，且a 2<2，同理，由T 3(P)=5，且T k (P)=min{n|a n ≥k}(k ∈N ∗)， 得a 5≥3，a 4<3，以此类推，得a 7≥4，a 6<4；…；a 2n−1≥n ，a 2n−2<n ；… ∵ a i ≤a i+1(i ∈N ∗)，a i ∈N ∗，∴ a 1=a 2=1，a 3=a 4=2，…，a 2n−1=a 2n =n ，… 当n 为奇数时，a 1+a 2+a 3+...+a n =2(1+2+...+n−12)+n+12=(n+1)24，当n 为偶数时，a 1+a 2+a 3+...+a n =2(1+2+...+n 2)=n 2+2n 4，∴ 数列{a n }前n 项的和S n ={(n+1)24，n 为奇数n 2+2n4，n 为偶数；（3）考查符合条件的数列P 中，若存在某个i(1≤i ≤19)满足a i ≤a i+1，对应可得T k (P)，及s =a 1+a 2+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+T 46(P)． ∵ T k (P)=min{n|a n ≥k}(k ∈N ∗)，∴ T a i +1(P)=i +1，下面将数列P 略作调整，仅将第a i 的值增加1，具体如下：将a j ′=a j +1，对于任何j(j ≠1)令a j ′=a j ，可得数列P′及其对应数列T k (P′)， 根据数列T k (P′)的定义，可得T a i +1(P′)=i ，且T j (P′)=T j (P)(j ≠a i +1)． 显然T a i +1(P′)=T a i +1(P)−1，∴ s′=a 1′+a 2′+...+a 20′+T 1(P′)+T 2(P′)+...+T 46(P′)=a 1+a 2+...+a i−1+(a i +1)+a i+1+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+(T a i +1−1)+T a i +2+...+T 46(P)=a 1+a 2+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+T 46(P)=s ， 即调整后s′=s ．如果数列{a n ′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作， 最终一定可以经过有限次的操作，使得{a n }中的每一项变为相等， 且操作中保持s 的值不变，而当a 1=a 2=...=a 20=46时，T 1(P)=T 2(P)=...=T 46(P)=1，∴ s =a 1+a 2+...+a 20+T 1(P)+T 2(P)+...+T 46(P)=46×20+46=966．。