第9章 平稳时间序列模型
平稳时间序列建模步骤
平稳时间序列建模步骤什么是时间序列建模时间序列建模是一种用于分析和预测时间序列数据的统计方法。
时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测值，例如每日销售额、每月气温、每年股票收益等。
通过建立时间序列模型，我们可以探索时间序列的内在规律和趋势，并做出相应的预测。
平稳时间序列建模是时间序列建模的一种常用方法，它假设时间序列的统计特性在时间上是不变的。
平稳时间序列具有恒定的均值、方差和自协方差，这使得我们可以应用各种经典的时间序列模型进行建模和预测。
以下是平稳时间序列建模的步骤：步骤一：数据收集和观察首先，我们需要收集要建模的时间序列数据。
可以从各种数据源获取时间序列数据，包括经济指标、物理测量、金融数据等等。
收集到数据后，我们需要对数据进行观察，检查数据的特点、趋势、异常值等，并做必要的数据清洗和准备工作。
步骤二：时间序列分解时间序列通常由趋势、季节性和随机因素组成。
为了更好地分析和建模时间序列，我们需要先对时间序列进行分解，将其拆分为这些组成部分。
常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。
加法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之和，而乘法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之积。
选择合适的分解模型可以根据时间序列的特点和趋势来确定。
步骤三：平稳性检验平稳性是时间序列建模的前提之一。
在进行建模之前，我们需要对时间序列的平稳性进行检验。
平稳性检验可以通过统计检验方法来进行，例如单位根检验、ADF检验等。
如果时间序列不平稳，我们需要进行差分处理，使其变成平稳序列。
步骤四：模型选择和拟合在确定时间序列的平稳性后，我们可以选择合适的时间序列模型进行拟合。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）等。
模型选择可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来辅助判断。
ACF图可以显示序列之间的相关性，PACF图可以显示去除其他变量的直接相关性。
第9章 时间序列计量经济学模型的理论与方法-李子奈计量经济学课件
第九章时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节 时间序列的平稳性及其检验第二节 随机时间序列模型的识别和估计第三节 协整分析与误差修正模型1§9.1 时间序列的平稳性及其检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程2一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型3⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”问题表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的R2)：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。
这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
7时间序列分析模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论。
时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。
8二、时间序列数据的平稳性9时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列{X t}（t=1, 2,t=1, 2, ……）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：1）均值E(X t)=µ是与时间t 无关的常数；2）方差Var(X t)=σ2是与时间t 无关的常数；3）协方差Cov(X t,X t+k)=γk是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
2019年第9章平稳时间序列分析ppt课件.ppt
9.2.4 自回归模型转化为移动平均模型
(L) yt (1 1L) yt c t 由于
(1 1L 12L2 )1 1L) 1
在上述一阶自回归模型两边同乘 1(L)
yt
(1 1L)1
yt
c
1 1
(1 1L
12L2
)t
150个样本的时序图：
9.00
一阶自回归时序图
8.00
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00 1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 109 118 127 136 145
9.2 时间序列模型
9.2.3 移动平均模型
对一阶自回归模型进行递推：
平稳时间序列分析
9.4 自回归模型定阶和估计
9.4.1 自回归模型定阶 9.4.2 自回归模型估计 9.4.3 自回归模型再定阶—信息准则
9.5 自回归分布滞后模型
9.5.1 自回归分布滞后模型 9.5.2 格兰杰因果关系检验
9.6 ARCH模型
9.6.1 ARCH模型的定义 9.6.2 ARCH模型估计
2
(1 2)[(1 2)2
12 ]
9.3 自回归模型的平稳性和相关函数
9.3.2 自回归模型的自相关函数
• AR(2)模型的自相关函数
结论2：AR(2)模型的自相关函数（ACF）为
(1) 1 , 1 2
(2)
2
1
12 2
(k) 1(k 1) 2(k 2), k 2
(L) (1 1L 2L2 k Lk )
平稳时间序列模型的建立概述
平稳时间序列模型的建立概述平稳时间序列模型是一种常用的时间序列分析方法，用于描述和预测时间序列数据的变化模式。
该模型假设时间序列数据的统计特性在时间上保持不变，即均值和方差不随时间发生明显的变化。
以下是平稳时间序列模型的建立概述。
第一步是数据的预处理。
在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。
去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。
去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。
第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。
这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。
通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。
第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。
常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。
第四步是模型参数的估计与诊断。
对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。
这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。
估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。
常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。
第五步是模型预测与评估。
通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。
预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。
若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。
总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。
通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。
平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
第9平稳时间序列分析-第9-精选
的联合分布与 {yt1,yt2,,ytn}
{yt1s,yt2s, ,ytns}
的联合分布相同，称{ yt}Tt 1 严平稳。
• 二阶矩存在的严平稳时间序列一定宽平稳，
宽平稳的时间序列不一定严平稳，本书只
讨论宽平稳，将宽平稳时间序列简称为平
稳时间序列。
9.1 时间序列的概念
•
若{
yt
}T t 1
c
11
(11L12L2)t
c
11
t
1t112t2
9.2 时间序列模型
9.2.4 自回归模型转化为移动平均模型
• 可以转化为移动平均模型的自回归模型称 为可逆的（invertible）。
• 从上面推导可以看出，一阶自回归模型可 逆的条件是 |1 |1。实际上，自回归模型的 可逆条件，是滞后多项式的根在单位圆外。 滞后多项式即：
(L ) (1 1 L 2 L 2 kL k)
9.3 自回归模型的平稳性和相关函数
9.3.1 自回归模型的平稳性 9.3.2 自回归模型的自相关函数
9.3 自回归模型的平稳性和相关函数
9.3.1 自回归模型的平稳性
k阶自回归模型：
yt c1yt1kytkt t ~N(0,2)且{ t }为白噪声序列
上式即为 k阶移动平均模型。
9.2 时间序列模型
9.2.4 自回归模型转化为移动平均模型
(L )y t ( 1 1 L )y t c t
由于
(1 1 L 1 2 L 2 )1 1 L ) 1
在上述一阶自回归模型两边同乘 1(L)
yt
(11L)1yt
9.3 自回归模型的平稳性和相关函数
9.3.2 自回归模型的自相关函数
平稳时间序列分析
0
varX t
(1
2 1
2 q
)
2
1
cov( X t , X t1 )
(1
1 2
2 3
q
1
q
)
2
q 1
cov( X t ,
X t q1 )
( q1
1
q
)
2
q
cov( X t , X tq )
q
2
当滞后期不小于q时，Xt旳自协方差系数为0。
所以:有限阶移动平均模型总是平稳旳。
3、ARMA(p,q)模型旳平稳性
• 有时，虽然能估计出一种较为满意旳因果关系回归方程， 但因为对某些解释变量将来值旳预测本身就非常困难，甚 至比预测被解释变量旳将来值更困难，这时因果关系旳回 归模型及其预测技术就不合用了。
在这些情况下，我们采用另一条预测途径：经过时间 序列旳历史数据，得出有关其过去行为旳有关结论，进而 对时间序列将来行为进行推断。
0
2 X
2
12
在稳定条件下，该方差是一非负旳常数，从而有 ||<1。
而AR(1)旳特征方程
(z) 1 z 0
旳根为
z=1/
AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根不小于1。
例 AR(2)模型旳平稳性。 对AR(2)模型
X t 1 X t1 2 X t2 t
方程两边同乘以Xt，再取期望得：
所使用旳工具主要是时间序列旳自有关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自有关函 数（partial autocorrelation function， PACF ）。
1、AR(p)过程
(1)自有关函数ACF 1阶自回归模型AR(1)
平稳时间序列建模步骤
平稳时间序列建模步骤一、什么是平稳时间序列平稳时间序列是指在统计意义下具有不变性的时间序列。
具体来说，平稳时间序列的均值、方差和自相关函数都不随时间变化而发生显著的改变。
二、为什么要建立平稳时间序列模型建立平稳时间序列模型可以对数据进行预测和分析，从而更好地理解数据背后的规律和趋势。
此外，平稳时间序列模型还可以用于信号处理、金融分析等领域。
三、建立平稳时间序列模型的步骤1.观察数据并进行预处理首先需要观察数据并进行预处理，包括去除趋势、季节性和异常值等。
这有助于使数据更加平滑，并且减少噪声对模型的影响。
2.确定差分阶数如果原始数据不是平稳的，需要进行差分操作使其变成平稳的。
差分阶数可以通过观察自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来确定。
3.选择合适的模型根据差分后得到的数据，可以选择适合该数据集的ARIMA模型。
ARIMA模型包括AR(p)、MA(q)和ARMA(p,q)三种类型。
4.估计模型参数使用最大似然估计（MLE）或最小二乘法（OLS）等方法来估计模型参数。
5.检验模型的拟合程度对于建立的模型，需要对其进行检验，包括残差的自相关性、正态性等。
如果存在问题，则需要调整模型或重新选择模型。
6.预测未来值使用建立好的模型进行未来值的预测，并对预测结果进行评估和修正。
四、总结建立平稳时间序列模型是一个复杂的过程，需要对数据进行观察和处理，选择合适的模型并估计参数，最后对模型进行检验和预测。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活运用这些步骤，并结合领域知识和经验来优化建模过程。
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第9章平稳时间序列模型§9.1随机过程、时间序列1.随机过程由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，随机过程简记为 {x t} 或x(t)，x t。
随机过程也常简称为过程。
2.随机过程的为类随机过程一般分为两类。
（1）离散型。
如果一个随机过程{x t}对任意的t∈T 都是一个离散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过程。
（2）连续型。
如果一个随机过程{x t}对任意的t∈T 都是一个连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。
3．宽平稳过程（1）m阶宽平稳过程。
如果一个随机过程m阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为m阶宽平稳过程。
（2）二阶宽平稳过程。
如果一个随机过程{x t}E[x(t) ] = E[x(t +k)] =μ< ∞,Var[x(t)] = Var[x(t +k)] =σ2 < ∞,Cov[x(t i),x(t j)] =Cov[x(t i +k),x(t j+k)]=σi j2 < ∞,其中μ, σ 2 和σij2为常数，不随t, (t∈T ); k,((t r + k) ∈T, r = i, j ) 变化而变化，则称该随机过程 {x t} 为二阶平稳过程。
该过程属于宽平稳过程。
4.时间序列随机过程的一次实现称为时间序列，也用{x t}或x t表示。
时间序列中的元素称为观测值。
{x t}既表示随机过程，也表示时间序列。
x t 既表示随机过程的元素随机变量，也表示时间序列的元素观测值。
在不致引起混淆的情况下，为方便，x t也直接表示随机过程和时间序列。
5.滞后算子(1) 一阶滞后算子。
L称为一阶滞后算子，其定义是：Lx t= x t-1(2) 高阶滞后算子。
L2 x t= x t- 2， L n x t= x t- n6.差分算子时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。
对于时间序列x t，（1）一阶差分可表示为∆ x t = x t - x t -1 = x t - L x t =(1- L ) x t (9.1) 其中∆ 称为一阶差分算子。
∆ =(1- L ) （2）二次一阶差分表示为∆2x t =∆(∆x t ) =∆x t - ∆x t -1 =(x t - x t -1)–(x t -1-x t -2)= x t - 2x t -1+ x t –2，或 ∆2x t = (1- L )2x t = (1–2L +L 2 ) x t= x t –2 x t -1+ x t –2 (9.2)(3)k 阶差分可表示为∆k x t = x t - x t -k = x t – L k x t =(1- L k ) x tk 阶差分常用于季节性数据的差分。
7.两种基本的随机过程(1)白噪声（white noise ）过程对于随机过程{ x t , t ∈T }, 如果 (1) E(x t ) = 0,(2) Var(x t ) = σ 2 < ∞ , t ∈T ;(3) Cov(x t ,x t + k )=0, (t + k ) ∈ T , k ≠ 0 , 则称{x t }为白噪声过程。
白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。
显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。
(2)随机游走（random walk ）过程 对于下面的表达式x t = x t -1 + u t (9.3) 如果u t 为白噪声过程，则称x t 为随机游走过程。
“随机游走”一词首次出现于1905年自然（Nature ）杂志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。
该信件的题目是“随机游走问题”。
文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。
①随机游走过程的均值为零x t = x t -1 + u t = u t + u t -1 + x t -2 = u t + u t -1 + u t -2 + … E(x t ) = E(u t + u t -1 + u t -2 + …) = 0, ②随机游走过程的方差为无限大Var(x t ) = Var(u t + u t -1 + u t -2 + …)= ∑∞-tu 2σ→∞所以随机游走过程是非平稳的随机过程。
§1.2时间序列模型的分类1．自回归过程 1)定义如果一个线性过程x t 可表达为x t = φ 1x t -1 + φ 2 x t -2 + … + φ p x t -p + u t (9.4)其中φi ,i =1,…,p 是自回归参数，u t 是白噪声过程，则称x t 为p 阶自回归过程，用AR(p )表示。
模型: x t = φ 1x t -1 + φ 2 x t -2 + … + φ p x t -p + u t称为p 阶自回归模型。
x t 是由它的p 个滞后变量的加权和以及u t 相加而成。
2) 滞后算子表示自回归过程x t = φ 1x t -1 + φ 2 x t -2 + … + φ p x t -p + u t x t = φ 1 Lx t + φ 2 L 2x t + … + φ p L p x t + u t 即 x t -φ 1 L x t - φ 2 L 2x t - … - φ p L p x t = u t(1- φ 1L - φ 2 L 2 - …- φ p L p ) x t = u tΦ (L ) x t = u t (9.5) 其中Φ (L ) = 1- φ 1L - φ 2 L 2 - …- φ p L p 称为特征多项式或自回归算子。
Φ (L )=0,或1- φ 1L - φ 2 L 2 - …- φ p L p = 0，称为特征方程。
3）平稳性（1）一阶自回归过程的平稳性AR(p )过程中最常用的是AR(1)过程: x t = φ 1 x t -1 + u t 特征方程是 (1 - φ 1 L ) = 0 特征方程根是 L =1/φ1保持其平稳性的条件是特征根的绝对值必须大于1，满足 |1/φ1|> 1 也就是 | φ1| < 1解释如下：一阶自回归过程，x t = φ 1 x t -1 + u t ，可写为 (1- φ1L ) x t = u tt tu L x 111φ-= 在 | φ1| < 1条件下，有x t = (1+ φ1L + (φ1 L ) 2 + (φ1 L ) 3 +…) u t若保证AR(1)具有平稳性，∑∞=0i 1i i L φ必须收敛，即φ1必须满足|φ1|< 1。
这是容易理解的，如果|φ1| ≥ 1，∑∞=0i 1i i L φ发散，于是x t 变成一个非平稳随机过程。
（2）一阶自回归过程的均值方差 由（9.7）式有x t = u t + φ1 u t -1 + φ12 x t -2= u t + φ1 u t -1 + φ12 u t -2 +… （短记忆过程） 因为u t 是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1)过程 E(x t ) = 0Var (x t ) = σu 2+ φ12σu 2+ φ14σu 2+… =22111u σφ-上式也说明若保证x t 平稳，必须保证 | φ1| < 1。
（3）一般的自回归过程AR (p )平稳性对于一般的自回归过程AR (p )，保证AR(p )具有平稳性的条件是特征方程的全部根必须在单位圆（半径为１）之外，即 |1/G i | >1。
对于自回归过程AR(p )，如果其特征方程Φ (z ) = 1- φ 1 z - φ 2 z 2 - …- φ p z p = 0 (9.6)的所有根的绝对值都大于1，则AR(p )是一个平稳的随机过程。
2．移动平均过程 1）定义如果一个线性随机过程x t 可用下式表达x t = u t + θ 1 u t –1 +θ 2 u t -2 + … + θ q u t – q其中θ 1, θ 2, …, θ q 是回归参数，u t 为白噪声过程，则称x t 为q 阶移动平均过程，记为MA(q ) 。
上式称移动平均模型。
2) 滞后算子表示移动平均过程x t = u t + θ 1 u t –1 +θ 2 u t -2 + … + θ q u t – q= (1 u t + θ 1L u t + θ 2 L 2 u t + … +θ q L q u t ) = (1 + θ 1L + θ 2 L 2 + … +θ q L q ) u t = Θ(L ) u t其中Θ(L ) = 1 + θ 1L + θ 2 L 2 + … +θ q L q 称为特征多项式或移动平均算子。
Φ (L )=0,或1 + θ 1L + θ 2 L 2 + … +θ q L q = 0，称为特征方程。
之所以称“移动平均”，是因为x t 是由q +1个u t 和u t 滞后项的加权和构造而成。
“移动”指t 的变化，“平均”指加权和。
3）平稳性由定义知任何一个q 阶移动平均过程都是由q +1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均过程都是平稳的。
4）可逆性与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。
（1）一阶移动平均过程可逆性MA(q ) 过程中最常见的是一阶移动平均过程，x t = (1+ θ 1 L ) u t (9.7)其具有可逆性的条件是（1 + θ 1L ) = 0的根（绝对值）应大于1，即 |1/θ 1| >1, 或|θ 1|< 1。
当|θ1|< 1时，MA(1)过程（1.14）应变换为u t =(1+θ 1L )–1 x t =(1-θ1L +θ 12L 2 -θ 13L 3 + …) x t (9.8)这是一个无限阶的以几何衰减特征为权数的自回归过程。
（2）一阶移动平均过程的均值和方差 对于MA(1)过程有E(x t ) = E(u t ) + E(θ 1 u t - 1) = 0Var(x t ) = Var(u t ) + Var(θ 1 u t – 1) = (1+θ 12 ) σu 2 （3）一般移动平均过程可逆性移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程。
Θ(z ) = (1 + θ 1 z + θ 2 z 2 + … + θ q z q ) = 0 (9.9) 的全部根的绝对值必须大于1。
MA(q )过程具有可逆性的条件是特征方程Θ (L ) = 0的根必须在单位圆之外。
（4）移动平均过程均值方差 对于无限阶的移动平均过程x t = ∑∞=0i (θ i u t -i ) = (1 + θ1 L + θ2 L 2 +… ) u t (9.10)其方差为Var(x t ) = ∑∞=0i (θ i 2 Var (u t – i )) = σu2∑∞=0i θ i 2(9.11)很明显虽然有限阶移动平均过程都是平稳的，但对于无限阶移动平均过程还须另加约束条件才能保证其平稳性。