传热学A-第二章B

传热学 Heat Transfer
将两个积分常数代入原通解，可得圆筒壁内的温度 分布如下
t 2 − t1 t = t1 + ln(r / r1 ) ln(r2 / r1 )
t1 − t2 1 d 2t t1 − t2 1 dt =− = ; 2 2 dr ln(r2 r1 ) r dr ln(r2 r1 ) r
传热学 Heat Transfer
§2-3 典型一维稳态导热问题的分析解
∂t = 0 温度不随时间而变化。 稳态导热 ∂τ 几种典型的一维稳态导热问题：
通过平壁的导热,直角坐标系中的一维问题。 通过圆筒壁的导热,圆柱坐标系中的一维问题。
传热学 Heat Transfer
一、通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大 于其厚度，且平板两侧保持均 匀边界条件，则该问题就可以 归纳为直角坐标系中的一维导 热问题过空隙中介质的导热、对流和辐射的 方式传递的，存在传热阻力，称之为接触热阻。
传热学 Heat Transfer
接触热阻是普遍存在的，而目前对其研究又 不充分，往往采用一些实际测定的经验数据。 通常，对于导热系数较小的多层壁导热问题 接触热阻多不予考虑；但是对于金属材料之间的 接触热阻就是不容忽视的问题。
tf1 h1 t2 t3
q=
tf1 −tf 2
δi 1 1 +∑ + h1 i =1 λi h2
n
h2 tf2
tf
1
t1
t2
t3
t2
tf
2
三层平壁的稳态导热
传热学 Heat Transfer
3.接触热阻 在多层壁导热问题中，假定了壁面之间是保持 了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在工程实 际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之间的接 触都不可能是紧密的。 x 在这种情况下，两 壁面之间只有接触的地方 才直接导热，在不接触处 存在空隙。
t1 − t4 = r3 r2 r4 1 1 1 ln + ln + ln 2πλ1l r1 2πλ2l r2 2πλ3l r3
传热学 Heat Transfer
课后作业
习题：3，6（可按平板导热处理）
传热学 Heat Transfer
知识拓展: 给出温度分布曲线如何比较其 导热性能强弱或者保温性能优劣? 以平板导热问题为例分析:
[W]
q
随r增加而减小
Φ 与r无关
通过圆筒壁导热的热阻：
ln(r2 / r1 ) Rλ = 2π l λ
传热学 Heat Transfer
2.通过多层圆筒壁的导热 采用热阻的概念进行分析。 在稳态、无内热源的情况下，通 过各层的热流量相等。
t 2 − t3 t3 − t 4 t1 − t2 Φ= = = r2 r3 r4 1 1 1 ln ln ln 2πλ1l r1 2πλ2l r2 2πλ3l r3
t1
t2 t3
q t4
dt t1 − t2 q = −λ = dx δ λ dt q =− dx λ
相同热流密度下,斜率大的导热 系数就小,则它的导热性能就差.
t t1 t2
0 x
δ
dt = c1 ⇒ t = c1 x + c2 dx
利用两个边界条件
x = 0 , t = t1 x = δ , t = t2
c2 = t1 t 2 − t1 c1 =
δ
传热学 Heat Transfer t t1 t2
将两个积分常数代入原通解，可 得平壁内的温度分布如下
t = t1 −
t1 − t 2
若 t1 > t2 : d 2t >0 2 dr
传热学 Heat Transfer
通过圆筒壁的热流密度
dt λ t1 − t2 = q = −λ dr r ln(r2 r1 )
⎡ W m2 ⎤ ⎣ ⎦
通过圆筒壁的热流量
t1 − t2 t1 − t2 Φ = 2π rlq = = r2 1 Rλ ln 2πλ l r1
传热学 Heat Transfer
二、通过圆筒壁的导热
通过管壁的导热当作圆柱坐标系上的一维导热问题
r1
r2 r
r1 r r2
传热学 Heat Transfer
1.通过单层圆筒壁的导热 ①前提： 1D,稳态，无内热源，λ为常数，两侧 均为第一类边界 ②物理问题及数学描述:
d ⎛ dt ⎞ ⎜r ⎟=0 dr ⎝ dr ⎠
t1 t2
r1 r r2
r = r1 , t = t1 r = r2 , t = t 2
传热学 Heat Transfer
③解微分方程 积分上面的微分方程两次得到其通解为
t = c1 ln r + c2
利用两个边界条件
r = r1 , t = t1 r = r2 , t = t 2
t 2 − t1 c1 = ln(r2 / r1 ) t 2 − t1 c2 = t1 − ln r1 ln(r2 / r1 )
t3 q t4
由合比定理得：
q=
δ1 ＋δ 2 ＋δ 3 λ1 λ2 λ3
t1 r1 t2 r 2 t3 r3 t4
t1 − t4
推广到n层壁的情况:
q=
t1 − tn +1
δi ∑λ i =1 i
n
传热学 Heat Transfer
问：现在已经知道了q，如何计算层间分界面壁温？
第一层：
λ1 δ1 q = (t1 − t2 ) ⇒ t2 = t1 − q δ1 λ1
δ
0
δ
x
传热学 Heat Transfer
1.通过单层平壁的导热 （1） 1D,稳态，无内热源，λ为常数，两侧均为 第一类边界 ①问题图示：
t1 t2
②数学描写：
d 2t =0 2 dx
x = 0 , t = t1 x = δ , t = t2
o
δ
x
传热学 Heat Transfer
③求解： 对微分方程直接积分两次，得微分方程的通解
λ2 δ2 q = (t2 − t3 ) ⇒ t3 = t2 − q δ2 λ2
λi δi q = (ti − ti +11 ) ⇒ ti +1 = ti − q δi λi
第二层：
第 i 层：
传热学 Heat Transfer
（2）前提：多层平壁，1D,稳态，无内热源，λ 为常数，两侧均为第三类边界
t1 t2 t3 q t4
假设各层之间接触良好， 可以近似地认为接合面上 各处的温度相等
传热学 Heat Transfer
（1）前提：多层平壁，1D,稳态，无内热源，λ 为常数，两侧均为第一类边界 t1 t2 t1 − t2 t2 − t3 t3 − t4 q= = =
δ1 λ1
δ2 λ2
δ3 λ3
t t1 t2 h，tf
或 qw d 2t =0 2 dx 0 x δ x = 0, t = t1 dt dt x = δ , -λ = qw 或 − λ = h (t2 − tf ) dx dx
传热学 Heat Transfer
2.通过多层平壁的导热
多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥沙浆层、红 砖（青砖）主体层等组成
δ
x
0
δ
x
线性分布，与λ无关
传热学 Heat Transfer
利用Fourier导热定律可得通过平壁的热流密度和热流量
dt t1 − t2 = q = −λ dx δ λ
W/m
2
t1 − t2 t1 − t2 dt Φ = −λ A = λA = dx δ δ (λ A)
W
Φ ，q 与x无关
④热阻图
t1 Rλ q t2
传热学 Heat Transfer
（2） 1D,稳态，无内热源，变导热系数，两侧均为 第一类边界
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
（3） 1D,稳态，无内热源，λ为常数，一侧为第一 类边界，另一侧为第二类或第三类边界 ①问题图示： ②数学描写：