传热学-第二章2
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传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
传热学第二章(2)精品PPT课件
t2
tf2
三层平壁的稳态导热
1-8
10.10.2020
Department of Thermal Energy Engineering
有内热源时的导热
电机绕组线圈和输电线、电缆的冷却，核电站中核燃料元件的释 热，水泥的固化，微波加热食品以及半透热介质对辐射的吸收 等. 特点：通过有内热源物体中各等温面的热流量不再处处保持相等， 而是从绝热面到边界面具有一种累加的效果.
q(x)V x
Heat and Mass Transfer
1-11
10.10.2020
Department of Thermal Energy Engineering
变导热系数问题
实际工程问题的需要. 材料的导热系数一般随温度呈非线性变化。但只要温度范围不 很大，可以近似视为线性. 通常表示为：
0(1b)t
图2.4 复合平壁导热与等效热网络
• 温度场和热流场很难 继续保持严格的一维;
• 只要并排两种材料的导 热系数相近,仍按一维问 题处理不失为一种合 的假设和简化处理方法.
Heat and Mass Transfer
1-6
10.10.2020
Department of Thermal Energy Engineering
1-7
10.10.2020
Department of Thermal Energy Engineering
多层、第三类边界条件
q
1 h1
tf1 tf 2
n
i1
i i
1 h2
单位：
W m 2
tf1 h1
t2
t3
h2
tf2
传热系数？
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学第2章
根据第一类边界条件时的结果:
dt tw1 tw2 1
（此时壁温tw1和tw2为未知）
dr
ln r1 r
r2
与以上两个边界条件共三式变形后
相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
ql
tf1 tf2 1 1 ln r2 1
tf1 tf 2
1 1 ln d 2 1
h1 2r1 2 r1 h2 2r2 h1d1 2 d1 h2d 2
x h2 t x t f 2
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知）
q dt tw1 tw2 dx
与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层平壁的热流密度：
q
tf1 tf2
1 1
k tf1 tf2
h1 h2
多层平壁的热流密度：
接触热阻的定义：
Rc
tc
接触热阻的影响因素： 粗糙度
挤压压力 硬度匹配情形 空隙中介质的性质
减小接触热阻的措施： 表面尽量平整 增加挤压压力
两表面一软一硬 涂导热姆
第七节 二维稳态导热
应用领域：房间墙角，地下埋管，矩形保温层，短肋片
二维稳态导热微分方程：
2t x2
2t y 2
0
解析法
二维稳态导热问题的研究手段：
几种导热过程的形状因子
第二章重点：
1.各种稳态导热问题的数学模型 和求解方法
2.临界热绝缘直径问题
3.肋片性能分析
请同学们思考一个问题:
肋高越大，肋的散热面积越大，因而采用 增加肋高的方法可以增加肋的散热量。这 种方法在实际换热器设计中是否可行？若 可行，是否会有某些局限性？
传热学-第二章_1-2节
作用
r q = -λ grad t
计算导热量 确定热应力 确定最佳绝热厚度
非金属的热导率： (2) 非金属的热导率： 小于金属的热导率
导热机理： 导热机理：晶格结构的振动
§2-2 导热微分方程式（Heat Diffusion Equation） ）
问题的提出： 问题的提出：研究导热问题有两个任务
1、确定导热量 、 2、确定物体内的温度分 、确定物体内的温度分布
方法
热平衡法 付氏定律
如常温下： 如常温下： λ纯 铜 = 398w/m.0 c λ黄铜 = 109w/m.0 c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
⇒λ↓
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T ↑ ⇒ λ ↑ 温度升高、晶格振动加强、导热增强 温度升高、晶格振动加强、
∂t q = −λ ∂x W / m2 W
导热基本定律 数学表达式
∂t 或： Φ = − λ A ∂x
式中负号表示热量传递方向指向温度降低的方向 热量传递方向指向温度降低的方向， 式中负号表示热量传递方向指向温度降低的方向，满 足热力学第二定律：高温向低温传热。 足热力学第二定律：高温向低温传热。
∂t ∂x
的变化率； 方向的热流密度。 是 t 沿 x 的变化率；q 是沿 x 方向的热流密度。 若是三维问题： 若是三维问题：
r q = - λ grad t [ W m2]
(m ⋅ o C)
（ ） 热导率（导热系数） λ : 热导率（导热系数） Thermal conductivity） W
r u r uu r uu r r r r ∂t u ∂t uu ∂t uu 直角坐标中： 直角坐标中： q = qx i + qy j + qz k = −λ ∂x i − λ ∂y j − λ ∂z k
传热学第二章--稳态导热精选全文
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t ( t ) Φ x x
d 2t dx2
0
o
x 0,
x ,
t t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
2024/11/6
35
带入边界条件：
c1
t2
t1
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin
sin
t
r2
1
sin 2
t
Φ
2024/11/6
26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
4
2 等温面与等温线
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
2024/11/6
5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属 非金属
金属 12~418 W (m C) 非金属 0.025 ~ 3W/(mC)
合金 纯金属
《传热学》第2章-稳态导热
第一类边界条件： x 0 , t t w1 积分得:
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
传热学-第二章2
x 30 20x
即可计算出沿墙壁厚度的温度 分布
温度，℃
பைடு நூலகம்3 一双层玻璃窗系由两层厚为6mm 的玻璃及其间的空气隙所 组成，空气隙厚度为 8mm。假设面向室内的玻璃表面温度 与面向室外的玻璃表面温度各为20℃及-20℃，试确定双层 玻璃窗的热损失。如果采用单层玻璃窗，其他条件不变， 其热损失是双层玻璃的多少倍？玻璃窗的尺寸为 60cm×60cm。不考虑空气间隙的自然对流。玻璃的导热系 数为0.78w/(m℃) 解：查附录可知 0℃时空气的导热系数为 0.0244w/(m℃) ，根据 多层平板导热计算公式可知，通过双层玻璃窗的热损失为
通过炉墙的热损失为
995 60 q 800.68 w / m 2 1 2 0.348 0.116 1 2 1.3061 0.1287
t1 t3
1 0.348 t 2 t1 q 995 800.68 781.67℃ 1 1.3061
t2计算值与假设不符，重新假设交界面温度为779℃
tw 1 tw 2 tw 1 tw 2 2 rlq ln( r2 r1 ) R 2 l
与r无关,表明通过圆 筒壁热流量是定值
w
长度为 l 的圆筒 壁的导热热阻
4. n层圆筒壁
由不同材料构成的多层圆筒壁，
其导热热流量可按总温差和总热阻计 算
tw 1 tw ( n 1)
d dt (r )0 dr dr
r r1， t tw1 第一类边界条件： r r2， t tw 2
对方程(a)进行两次积分:
第一次积分 第二次积分 应用边界条件 获得两个系数
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
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RA
则
RA钢
1103 46.4
2.16 103
m 2K/w
RA水
1103 1.16
8.62103
m 2K/w
RA灰
1103 0.116
8.62102
m 2K/w
RA水 RA钢
8.62104 2.16105
39.9
t2
t3
h2
tf2
单位：
W m2
传热系数？
1/h1
1/h2
tf1
t1
t2
t3
t2
tf2
三层平壁的稳态导热
例1 已知钢板、水垢及灰垢的导热系数各为46.4w/(mK)、1.16 w/(mK) 及 0.116w/(mK)，试比较厚为1mm的钢板、水垢及灰垢的面积热阻 。
解：根据平板壁导热热阻计算公式有
25℃ q
q t 0.87 (30 25) 17.4 w/(m℃) 0.25
根据平壁导热温度分布的公式
t
t1
(t1
t2)
x
30
20x
即可计算出沿墙壁厚度的温度
分布
温度，℃
31 30 29 28 27 26 25 24
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 厚度，m
t
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
t1 t2
o
线性分布
t
t2
t1
x
t1
dt
t2
t1
dx
带入Fourier 定律
q
t2
t1
t
t
例3 一双层玻璃窗系由两层厚为6mm 的玻璃及其间的空气隙所 组成，空气隙厚度为8mm。假设面向室内的玻璃表面温度 与面向室外的玻璃表面温度各为20℃及-20℃，试确定双层 玻璃窗的热损失。如果采用单层玻璃窗，其他条件不变， 其热损失是双层玻璃的多少倍？玻璃窗的尺寸为 60cm×60cm。不考虑空气间隙的自然对流。玻璃的导热系 数为0.78w/(m℃)
t2
硅藻土 0.0477 0.0002t
q
t3
假设分界面处的温度为750℃，则可算得
黏土 0.8 0.00058 872.5 1.3061 w/(m ℃) 硅藻土 0.0477 0.0002 405 0.1287 w/(m ℃)
通过炉墙的热损失为
q
t1
(A)
r
R
A
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2. 多层平壁的导热
• 多层平壁：由几层不同材料组成
t1
• 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥 沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成
• 假设各层之间接触良好，可以近似地认 为接合面上各处的温度相等
t2
t3 t4
边界条件： x 0
n
x i i1
t t1 t tn1
热阻：
r1
1 1
, , rn
n n
t1
t2
t3
t4
三层平壁的稳态导热
由热阻分析法：
q
t1 tn1
n
ri
i 1
t1 tn1
n i i1 i
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
1
t3
2
995 60 0.348 0.116
800.68 w / m2
1 2 1.3061 0.1287
t2
t1
q
1 1
995
800.68 0.348 1.3界面温度为779℃
黏土 0.8 0.00058 887 1.3145 w/(m ℃) 硅藻土 0.0477 0.0002 419.5 0.1316 w/(m ℃)
b 物理条件：、c、 已知；无内热源
c 时间条件：稳态导热 t 0
d 边界条件：第一类
o x
根据上面的条件可得：
控制方程
c t ( t ) Φ x x
d2t dx2
0
第一类边条：
x 0,
x ,
t t1 t t2
边界条件
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面 物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平
板和圆柱内的导热。
直角坐标系： c t ( t ) ( t ) ( t ) Φ x x y y z z
1. 单层平壁的导热
a 几何条件：单层平板；
例4 一台锅炉的炉墙由两层材料叠合组成。最里面的是耐火黏 土砖，厚为348mm；外面是B级硅藻土砖，厚116mm，已 知炉墙内外表面温度分别为995℃和60℃，试求每平方米 炉墙每小时的热损失及耐火黏土砖与硅藻土砖分界面上的 温度。
解： 由附录7查得两种耐火材料的导热系数
t1
黏土 0.8 0.00058t
41.95 w
如果采用单层玻璃，则通过玻璃的热损失为
单
t R玻
20 (20) 0.006
1872 w
0.6 0.6 0.78
n 单 1872 44.6 双 41.95
答：双层玻璃窗的热损失41.95w 如果采用单层玻璃，则通过玻璃的热损失为双层玻璃 窗的44.6倍
、RA灰 RA钢
8.62104 2.16105
399.1
例2 有一砖砌墙壁，厚为0.25m。已知内外壁面的温度分别为25 ℃和30℃。试计算墙壁内的温度分布和通过的热流密度。
解：从附录查得红砖的导热系数 =0.87w/(m℃) ， 根 据 通 过
30℃
平板壁导热热流密度的计算 公式可求得
第一层：q
1 1
(t1
t2
)
t2
t1
q
1 1
第二层：q
2 2
(t2
t3 )
t3
t2
q
2 2
第
i
层：q
i i
(ti
ti11)
ti1
ti
q
i i
多层平壁、第三类边界条件 tf1
h1
q
1 h1
tf1 tf2
n
i1
i i
1 h2
解：查附录可知0℃时空气的导热系数为0.0244w/(m℃)，根据 多层平板导热计算公式可知，通过双层玻璃窗的热损失为
双
t R玻内 R空
R玻外
0.006
20 (20)
0.008
0.006
0.6 0.6 0.78 0.6 0.6 0.0244 0.6 0.6 0.078