中文版传热学-第二章
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中文版传热学-第二章
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In-Class Problems
在任意直角坐标系下，对于以下两种关于第三类边界条件的表 达形式，你认为哪个对？简述理由。
t x
tw
h(t f t w )
w
tf
t x h(t w t f )
w
2019/1/14
20
Quick Review：
1 重要概念：温度场、温度梯度、导热系数及其性质、 导温系数（热扩散率）定义及性质；
体的导热
2-4 通过肋片的导热
2-5 具有内热源的导热及多维导热
2019/1/14 22
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和 圆柱内的导热。 直角坐标系：
c
t t t t ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
2 导热微分方程式的理论基础及推导过程
3 导热微分方程式的一般形式、组成、及在推导给定条 件下的具体形式；
4 灵活运用导热微分方程，如温度的空间分布通过导热 方程与时间分布建立联系等 5 定解条件？边界条件？三类边界条件的数学表达式？
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第二章 导热基本定律及稳态导热
2-1 导热基本定律 2-2 导热微分方程式及定解条件 2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物
Φxdx
dy
Φ y dy Φ y
Φ z dz
t ( )dxdydz y y
y o x
t Φz ( )dxdydz z z
Φy
dx
Eout
2019/1/14
t t t Ein ( ) ( ) ( ) dxdydz x x y y z z
传热学(第二章)
(2-32)
热阻
R=
1 1 1 ( 4πλ r r2 1
(2-33)
由球坐标系一般形式的导热微分方程
1 T 1 T 1 T T (λr2 + 2 2 (λ ) + 2 (λ sin θ ) + Φ = ρcp r2 r r) r sin θ r sin θ θ θ τ
2 1
λ1
第二章
导热基本定律及稳态导热
2-3 通过平壁,圆筒壁,球壳和其他变截面物体的导热 通过平壁,圆筒壁,
1 T 1 T T T (λr + 2 (λ ) + (λ ) + Φ = ρcp τ r r r) r z z d dt 简化变为 dr (r dr ) = 0 (2-25)
⒉ 通过圆筒壁的导热 由导热微分方程式(2—12)
⒉ 通过圆筒壁的导热 根据热阻的定义,通过整个圆筒壁的导热热阻为 (2-29) 29) 与分析多层平壁—样,运用串联热阻叠加的原则,可得通过图2-9所示的多层圆筒壁的 导热热流量 2πl(t1 t4 ) Φ= (2-30) ln( d2 / d1) / λ1 + ln( d3 / d2 ) / λ2 + ln( d4 / d3) / λ3 ⒊ 通过球壳的导热 导热系数为常数,无内热源的空心球壁.内,外半径为r1,r2,其内外表面均匀 恒定温度为t1,t2,球壁内的温度仅沿半径变化,等温面是同心球面. 由傅立叶定律得: dt 各同心球面上的热流率q不相等,而热流量Φ相等. Φ = 4πr2λ dr dr Φ 2 = 4πλdt r
的热传导微分方程:
T(r,τ ) τ ρc 当 λ = const 时, 2T(r,τ ) + Φ = p T(r,τ ) λ λ τ [λT(r,τ )] + g(r,τ ) = ρcp
《传热学》第二章 稳态导热
断面周长： 断面面积：
进行负内热源处理后等截面直肋导热微分方程组如下：
（假定肋端绝热）
定义： 令：
—— 过余温度
使导热微分方程齐次化：
并解出其通解为：
代入边界条件求出c1和c2，并代入通解，得出特解：
等截面直肋的温度分布：
肋端过余温度：
肋片散热量：
当考虑肋端散热时，计算肋片散热量时可采用假想肋高
n层圆筒壁的单位管长热流量：
二、第三类边界条件
常物性时导热微分方程组如下：
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知） 与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
三、临界热绝缘直径
有绝缘层时的管道总热阻：
当dx增大时： 增 大 减 小
代入肋片效率定义，得到：
肋片效率计算式：
m和l对肋片效率的影响分析：
a. m一定时，l越大，Φ越大，但ηf越低
采用长肋可以提高散热量，但却使肋片散热有效性降低
b. l一定时，m越大，ηf越低
可采用变截面肋片设法降低m
根据肋片效率计算散热量的方法（查线图法）：
矩形及三角形直肋的肋片效率
环肋的肋片效率
h较小时
应用实例：细管，电线 电线的绝缘层外直径小于临界热绝缘直径时， 可起到散热作用
第四节 具有内热源的平壁导热
应用领域：混凝土墙壁凝固
研究对象：厚度为2δ的墙壁，内热源强度为qv， 两边为第三类边界，中间为绝热边界， 取墙壁的一半为研究对象建立导热微分方程 常物性时导热微分方程组如下：
积分两次，得：
《传热学》
第二章 稳态导热
导热微分方程：
稳态时满足：
《传热学》第二章热传导
第二章热传导一、名词解释1．温度场：某一瞬间物体内各点温度分布的总称。
一般来说，它是空间坐标和时间坐标的函数。
2．等温面(线)：由物体内温度相同的点所连成的面（或线）。
3．温度梯度：在等温面法线方向上最大温度变化率。
4．热导率：物性参数，热流密度矢量与温度降度的比值，数值上等于1 K／m的温度梯度作用下产生的热流密度。
热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。
5．导温系数：材料传播温度变化能力大小的指标。
6．稳态导热：物体中各点温度不随时间而改变的导热过程。
7．非稳态导热：物体中各点温度随时间而改变的导热过程。
8．傅里叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热面积的热流密度正比于该导热面法向温度变化率。
9．保温(隔热)材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)的材料。
10．肋效率：肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
11．接触热阻：材料表面由于存在一定的粗糙度使相接触的表面之间存在间隙，给导热过程带来额外热阻。
12．定解条件(单值性条件)：使微分方程获得适合某一特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。
二、填空题1．导热基本定律是_____定律，可表述为。
（傅立叶，）2．非稳态导热时，物体内的_____场和热流量随_____而变化。
（温度，时间）3．导温系数的表达式为_____，单位是_____，其物理意义为_____。
（a=λ/cρ,m2/s,材料传播温度变化能力的指标）4．肋效率的定义为_______。
（肋片实际散热量与肋片最大可能散热量之比。
）5．按照导热机理，水的气、液、固三种状态中_______态下的导热系数最小。
（气）6．一般，材料的导热系数与_____和_____有关。
（种类，温度）7．保温材料是指_____的材料.（λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不高于350℃时)）8．已知材料的导热系数与温度的关系为λ＝λ0(1+bt)，当材料两侧壁温分别为t1、t2时，其平均导热系数可取下的导热系数。
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
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（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
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2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学-第二章
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
1、气体的热导率
气体 0.006~0.6W (m C)
0 C : 空气 0.0244W (m C) ; 20 C : 空气 0.026W (m C)
气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
dt dx
表示t只与x有关，是一维导热；
t x
表示t只与x有关，是一维导热，且在Δ x内dt/dx保持不变。
§2-2 导热微分方程式（Heat Diffusion Equation） 傅里叶定律： q -grad t [ W m2 ]
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场: t f ( x, y, z, ) 确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 一、导热微分方程式 理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度 qv [W/m3]; 内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热 体在单位时间内放出的热量
T
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
保温材料：国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）
t dt t 问题： 、 、 有何区别？ x dx x
t 表示t除与x有关还与其他因素有关，如y、z、时间等； x
t t t q x ; q y ; q z x y z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑料板、叠层 金属板，其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料
传热学第二章--稳态导热精选全文
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t ( t ) Φ x x
d 2t dx2
0
o
x 0,
x ,
t t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
2024/11/6
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带入边界条件：
c1
t2
t1
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin
sin
t
r2
1
sin 2
t
Φ
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6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
4
2 等温面与等温线
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
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5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属 非金属
金属 12~418 W (m C) 非金属 0.025 ~ 3W/(mC)
合金 纯金属
传热学第2章稳态热传导
（2）该平壁热力学能的变化速率；
λсρ
（3）x=0m和x=0.5m两处温度 随时间的变化速率。
t w1 t=450-320x-160x2
ΦV
t w2
0 δ 0.5 x
2.3 典型一维稳态导热问题的分析解
2.3.1 通过平壁的导热
h (8 ~ 10)
1. 第一类边界条件下单层平壁的导热
假设；大平壁λ= 常数，表面积A，厚度δ，
无内热源，平壁两侧维持均匀恒定
温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
A
λ
确定（1）平壁内的温度分布；
tw1
（2）通过此平壁的热流密度。
tw2 ф
0 x dx δ x
导热数学描述（导热微分方程+边界条件）
d 2t dx2
0
B.C x 0 t tw1
t
A
λ
tw1
x t tw2
tw2
求解微分方程，得通解：
dx
t
A
λ
tw1
tw2 ф
0 x dx δ x
大小和方向
结论
t
tw1
tw1
tw2
x
q tw1 tw2
✓ 当λ= 常数时，平壁内温度分布呈线性分布，
且与λ无关。
t
✓ 通过平壁内任何一个等温面的
A tw1
λ
热流密度均相等，与坐标x无关。
✓ 导热热阻（Conductive resistance）
1. 定义：温度场描述了各个时刻物体内所有各点 的温度分布。
t f ( x, y, z, )
2. 分类：
按温度场是否随时间变化
• 稳态温度场： t 0
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纯 3 铜 W 9 ( C m 8 ; 大 ) 2 .7 理 W ( C m 石 )
0 C :冰 2 .2W 2 ( m C ; 水 ) 0 .5W 5(1 m C)
蒸汽 0.01W 83 (m C)
2020/7/15
5
A 气体的导热系数 气 体 0.0 ~00W .6 6 (m K)
§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
b 导出微元体的总热流量Eout
采用Taylor级数展开，并忽略高阶项，则有
Φxdx Φx Φ xx dxΦx x(xtdydz)dx
Φx x(xt)dxdydz
Φx
dy
Φ ydy
Φ ydyΦ y y( y t)ddxydz
y
Φ zdzΦ z z( z t)ddx ydz
2-1 导热基本定律
2-2 导热微分方程式及定解条件
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物 体的导热
2-4 通过肋片的导热
2-5 具有内热源的导热及多维导热
2020/7/15
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§2-2 导热微分方程式及定解条件
1 导热微分方程式的推导 为什么需要导热微分方程？ 理论基础：Fourier 定律 + 能量守恒定律 导热微分方程式
2020/7/15友情提示：非直角坐标系下的导热微分方程式自己看 15
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
非稳态项
扩散项
源项
？ 是不是有了导热微分方程式，就可以获得温度分布呢
答案是否定的！
定解条件(单值性条件)
导热微分方程 + 定解条件 + 求解方法 = 确定的温度场
o
Φy
x dx
2020/7/15E ou E tin x( x t) y( y t) z( z t) dd y x d z
Φxdx
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§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
c 内热源的生成热 QgΦ dVΦ dxdydz
d 热力学能的增量 Qst Φctdxdydz ？
定解条件包括四项：几何、物理、时间、边界 下面详细介绍边界条件！
2020/7/15
16
§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
边界条件：规定了物体与外部环境之间的换热条件，包括以下三类：
特点：(a) 气体的导热系数基本不随压力的改变而变化 (b) 随温度的升高而增大 (c) 随分子质量减小而增大
B 液体的导热系数 液 体 0.~ 007.W 7(m C)
特点：(a) 随压力的升高而增大 p
(b) 随温度的升高而减小 T
2020/7/15
6
C 固体的导热系数
金属 1~ 241W 8(m C)
图2-1 温度场的图示
3
2 导热基本定律——Fourier Law
对于一维情况， A dt
dx
对于三维直角坐标系情况，有
qx
t x
qy
t y
qz
t z
gratdtti t jtk x y z
q x ti y tj z tk t n tn
2020/7/15
图2-2 温度梯度
通用形式的
Fourier Law
下面我们来考察一个矩形微元六面体，如下图所示。
x
x+dx
zy
dx
x
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10
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质
(2) 导热系数、比热容和密度均为已知
(3) 物体内具有内热源；强度 Φ [W/m3]; 内热源均匀
分布；
2020/7/15
11
§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
非金 0 属 .02~5 3W(m C)
特点：纯金属：
T
合金和非金属：T
金属的导热系数与温度的依变关系参见图2-7
保温材料：国家标准规定，温度低于350度时导热系数 小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）
2020/7/15
7
图2-7 导热系数对温度的依变关系
2020/7/15
8
第二章 导热基本定律及稳态导热
第二章 导热基本定律及稳态导热
2-1 导热基本定律
2-2 导热微分方程式及定解条件
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物 体的导热
2-4 通过肋片的导热
2-5 具有内热源的导热及多维导热
2020/7/15
1
§2-1 导热基本定律
1 几个基本概念: 温度场、等温面、等温线、温度梯度、热流密度矢量
根据能量守恒定律有：
导入微元体的总热流量in + 微元体内热源的生成热 g =
导出微元体的总热流量 out + 微元体热力学能的增量 st
Φ ydy
a 导入微元体的总热流量Ein
Φx
dy/15
Φy
dx
Φxdx
Φ
x
t x
dydz
Φ
y
t y
dxdz
Φ
z
t z
dxdy
in Φ x Φ y Φ z x td y d z y td x d z z td x d 1y 2
把Qin、Qout、Qg、Qst 带入前面的能量守恒方程
Q inQgQ outQst
得： c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
这就是三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微分方 程的一般形式。
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§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
2 几种特殊情况
(1) 若物性参数 、c 和 均为常数：
t a ( x 2 2 t y 2 2 t z 2 2 t) Φ c; or t a 2 t Φ c
a —热扩散率（导温系 [m数 2 s]） c
(2) 无内热源、常物性： t a2t
物理
意义
(3) 稳态、常物性： 2t 0
？
(4) 稳态、常物性、无内热源：2t 0
4
§2-1 导热基本定律（续）
3 导热系数(热导率) q
- grad t
(1)物理意义：热导率的数值就是物体中单位温度梯度、单位时
间、通过单位面积的导热量 W(m C。) 热导率的数值表征物质
导热能力大小，由实验测定。
(2) 影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等
金属 非;金固 属相 液相 气相
(1) 温度场： tf(x,y,z,)
三维非稳态温度场： tf(x,y,z,)
三维稳态温度场： tf(x,y,z)
二维稳态温度场： tf(x,y)
一维稳态温度场： t f (x)
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2
§2-1 导热基本定律（续）
(2) 等温线 (3) 等温面 (4) 等温面和等温线的特点
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0 C :冰 2 .2W 2 ( m C ; 水 ) 0 .5W 5(1 m C)
蒸汽 0.01W 83 (m C)
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A 气体的导热系数 气 体 0.0 ~00W .6 6 (m K)
§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
b 导出微元体的总热流量Eout
采用Taylor级数展开，并忽略高阶项，则有
Φxdx Φx Φ xx dxΦx x(xtdydz)dx
Φx x(xt)dxdydz
Φx
dy
Φ ydy
Φ ydyΦ y y( y t)ddxydz
y
Φ zdzΦ z z( z t)ddx ydz
2-1 导热基本定律
2-2 导热微分方程式及定解条件
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物 体的导热
2-4 通过肋片的导热
2-5 具有内热源的导热及多维导热
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§2-2 导热微分方程式及定解条件
1 导热微分方程式的推导 为什么需要导热微分方程？ 理论基础：Fourier 定律 + 能量守恒定律 导热微分方程式
2020/7/15友情提示：非直角坐标系下的导热微分方程式自己看 15
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
非稳态项
扩散项
源项
？ 是不是有了导热微分方程式，就可以获得温度分布呢
答案是否定的！
定解条件(单值性条件)
导热微分方程 + 定解条件 + 求解方法 = 确定的温度场
o
Φy
x dx
2020/7/15E ou E tin x( x t) y( y t) z( z t) dd y x d z
Φxdx
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§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
c 内热源的生成热 QgΦ dVΦ dxdydz
d 热力学能的增量 Qst Φctdxdydz ？
定解条件包括四项：几何、物理、时间、边界 下面详细介绍边界条件！
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§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
边界条件：规定了物体与外部环境之间的换热条件，包括以下三类：
特点：(a) 气体的导热系数基本不随压力的改变而变化 (b) 随温度的升高而增大 (c) 随分子质量减小而增大
B 液体的导热系数 液 体 0.~ 007.W 7(m C)
特点：(a) 随压力的升高而增大 p
(b) 随温度的升高而减小 T
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C 固体的导热系数
金属 1~ 241W 8(m C)
图2-1 温度场的图示
3
2 导热基本定律——Fourier Law
对于一维情况， A dt
dx
对于三维直角坐标系情况，有
qx
t x
qy
t y
qz
t z
gratdtti t jtk x y z
q x ti y tj z tk t n tn
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图2-2 温度梯度
通用形式的
Fourier Law
下面我们来考察一个矩形微元六面体，如下图所示。
x
x+dx
zy
dx
x
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假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质
(2) 导热系数、比热容和密度均为已知
(3) 物体内具有内热源；强度 Φ [W/m3]; 内热源均匀
分布；
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§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
非金 0 属 .02~5 3W(m C)
特点：纯金属：
T
合金和非金属：T
金属的导热系数与温度的依变关系参见图2-7
保温材料：国家标准规定，温度低于350度时导热系数 小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）
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图2-7 导热系数对温度的依变关系
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第二章 导热基本定律及稳态导热
第二章 导热基本定律及稳态导热
2-1 导热基本定律
2-2 导热微分方程式及定解条件
2-3 通过平壁、圆筒壁、球壳和其它变截面物 体的导热
2-4 通过肋片的导热
2-5 具有内热源的导热及多维导热
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§2-1 导热基本定律
1 几个基本概念: 温度场、等温面、等温线、温度梯度、热流密度矢量
根据能量守恒定律有：
导入微元体的总热流量in + 微元体内热源的生成热 g =
导出微元体的总热流量 out + 微元体热力学能的增量 st
Φ ydy
a 导入微元体的总热流量Ein
Φx
dy/15
Φy
dx
Φxdx
Φ
x
t x
dydz
Φ
y
t y
dxdz
Φ
z
t z
dxdy
in Φ x Φ y Φ z x td y d z y td x d z z td x d 1y 2
把Qin、Qout、Qg、Qst 带入前面的能量守恒方程
Q inQgQ outQst
得： c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
这就是三维、非稳态、变物性、有内热源的导热微分方 程的一般形式。
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§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
2 几种特殊情况
(1) 若物性参数 、c 和 均为常数：
t a ( x 2 2 t y 2 2 t z 2 2 t) Φ c; or t a 2 t Φ c
a —热扩散率（导温系 [m数 2 s]） c
(2) 无内热源、常物性： t a2t
物理
意义
(3) 稳态、常物性： 2t 0
？
(4) 稳态、常物性、无内热源：2t 0
4
§2-1 导热基本定律（续）
3 导热系数(热导率) q
- grad t
(1)物理意义：热导率的数值就是物体中单位温度梯度、单位时
间、通过单位面积的导热量 W(m C。) 热导率的数值表征物质
导热能力大小，由实验测定。
(2) 影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等
金属 非;金固 属相 液相 气相
(1) 温度场： tf(x,y,z,)
三维非稳态温度场： tf(x,y,z,)
三维稳态温度场： tf(x,y,z)
二维稳态温度场： tf(x,y)
一维稳态温度场： t f (x)
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§2-1 导热基本定律（续）
(2) 等温线 (3) 等温面 (4) 等温面和等温线的特点
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