第一章 点的运动学

宝剑锋从磨砺出
梅花香自苦寒来
第一章 点的运动学
讲师： 讲师：乔丽苹 邮箱: 邮箱 qiaolp@
山东大学土建与水利学院工程力学系
主要内容
1 2 3 4
概念与实例 矢量法 直角坐标法 自然法
1
概念与实例
点的运动学
质点运动学: 质点运动学:质点在空间的位置随时间的变化规律
车辆在道路转弯中的力学问题
已知： 已知： OC = AC = BC = l, MC = a,ϕ = ωt
求：① M 点的运动方程 ② 轨迹 ③ 速度 ④ 加速度
作曲线运动， 解：点M作曲线运动，取坐标系 作曲线运动 取坐标系xoy 运动方程
x = (OC + CM) cosϕ = (l + a) cosωt y = AM sin ϕ = (l − a)sin ωt
•参考体 (reference body): 参考体
观察者所依附的物体为参考体
•参考系 参考系(reference frame): 参考系
与参考体固连的坐标系
参考系的分类： 参考系的分类：
1、按参考体的运动： 、按参考体的运动：
如果参考体是静止的，固连其上的参考系为静坐 如果参考体是静止的，固连其上的参考系为静坐 标系或定坐标系，反之称为动坐标系 动坐标系。 标系或定坐标系，反之称为动坐标系。
(副法线 副法线) 副法线 自然轴系坐标轴方向规定: 自然轴系坐标轴方向规定
自然法 (主法线) 主法线)
τ ——正向指向弧坐标正向 正向指向弧坐标正向
正向指向曲线内凹的一 n ——正向指向曲线内凹的一 边 曲率中心在主法线上
s+
b
——正向由 b =τ ×n 确定 正
s-
b n P τ
(切线 切线) 切线
cos(a, j) =
ay a
=−
(l − a) sin ωt l + a + 2al cos 2ωt
2 2
4
自然法
自然法
问题的提出: 问题的提出:如果已知点的运动轨迹或点速度的大
小随时间的变化规律,如何确定点的加速度? 小随时间的变化规律,如何确定点的加速度?
v
M
列车沿铁路行驶 若将列车视为质点其运 动轨迹已知
点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影 等于点的相应坐标对时间的二阶导数。 等于点的相应坐标对时间的二阶导数。
直角坐标法
加速度大小
2 2 2 a = ax + ay + az
方向余弦
cos(a, i ) = a x a a,
cos(a , j) = a y a
cos(a , k ) = a z a
问题：如何求点运动方程、运动轨迹、 问题：如何求点运动方程、运动轨迹、点的
ɺ y ay = vy = ɺɺ = −(l − a)ω2 sin ωt
a = a +a =
2 x 2 y 2 (l + a) ω4 cos2 ωt + (l − a） 4 sin 2 ωt ω 2
= ω2 l 2 + a2 + 2al cos 2ωt
ax (l + a) cosωt cos(a, i) = = − a l 2 + a2 + 2al cos 2ωt
自然轴系的特点: 自然轴系的特点
跟随动点在轨迹上作空间 曲线运动 自然轴系的单位矢量 τ 、 、 n
ν (t )
瞬时: t＋∆ t 瞬时:速度 ν (t + ∆t ) ∆ t 时间间隔内速度的改变量
∆v = v (t + ∆t ) − v (t )
点在 t 瞬时的加速度
∆v dv d 2 r a = lim = = 2 ∆t → 0 ∆t dt dt
动点的加速度等于动点的速度对时间的一阶导数， 动点的加速度等于动点的速度对时间的一阶导数， 矢径对时间的二阶导数。 矢径对时间的二阶导数。
s = f (t)
弧坐标特点： 弧坐标特点：
在轨迹上任选一参考点作为坐标原点 有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向， 有正、负方向(一般以点的运动方向作为正向，反之为 即弧坐标是一代数量 负)；即弧坐标是一代数量 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置 自然坐标法。 的方法叫自然坐标法 的方法叫自然坐标法。
速度和加速度的大小与方向。 速度和加速度的大小与方向。
几何性质
运动方程 点的速度
运动轨迹
点的加速度
点的运动方程， 例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度
OA = R, AB = L, AP = l,θ = ωt
y O θ A P ϕ B x
R L = sin ϕ sin θ
解：1、P点运动方程 点运动方程
2、按坐标系： 、按坐标系： z y x o
直角坐标系
z
z
θ
x o ϕ
R y Rϕ
柱坐标系 参考方向
极坐标系
2
矢量法
矢量法 一、点的运动方程 O——固定点 固定点 M——动点 动点 z
M
M´
r
矢量形式的 O x
r = r (t )
动点M在空间运动时，矢径 r 的末端将描绘出一条连续 曲线，称为矢端曲线 矢端曲线，它就是动点运动的轨迹。 矢端曲线 动点运动的轨迹
矢量法
关于速度
瞬时运动快慢和运动方向的力学量 描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方向的力学量 速度的方向沿着运动轨迹的切线 指向与点的运动方向一致 速度大小等于矢量的模 国际单位： 小时(km/h) 国际单位：米/秒(m/s)、公里 小时 、公里/小时
矢量法 三 、点的加速度 t 瞬时: 速度 瞬时:
矢量法
关于加速度
描述点在 t 瞬时速度大小和方向变化率的力学量 瞬时速度大小和方向变化率的力学量 加速度的方向沿速度端图的切线方向 加速度的方向沿速度端图的切线方向 加速度大小等于矢量 a 的模 国际单位： 国际单位： 米/秒2(m/s2)
3
直角坐标法
直角坐标法 一、点的运动方程
不受约束的点在空间有三个自由度，在 不受约束的点在空间有三个自由度， 直角坐标系中， 直角坐标系中，点在空间的位置由三个 方程确定。 方程确定。
R
h
y ϕ x
hω vz = 2π
v = R2ω2 + (hω 2π )2
ax= –R ω2 cosω t ay= –R ω2 sinω t
az = 0
a = ω2 R
例 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与 规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分 别在相互垂直的滑槽中运动。
O
的车轮在地面上纯滚动， 例：半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大 半径为 的车轮在地面上纯滚动 小为u（常量）。求圆盘与地面接触点的加速度。 小为 （常量）。求圆盘与地面接触点的加速度。 ）。求圆盘与地面接触点的加速度
解：建立M点的运动方程 建立 点的运动方程
x = R(ϕ − sinϕ)
y = R(1− cosϕ)
ɺ u = ϕR
ɺ vx = x = u(1− cosϕ) ɺ vy = y = u sin ϕ
ɺ ax = ɺɺ = uϕ sin ϕ x ɺ ay = ɺɺ = uϕ cosϕ y
2
u 当 ϕ = 2kπ (k = 0, 1, ⋯ v =0, ax = 0, ay = ) R
螺距为h， 例：车床在车削园柱时的匀转速为ω，螺距为 ，求： 车刀端部P的速度 加速度a。 的速度v, 车刀端部 的速度 加速度 。
y
解： x=Rcosϕ=Rcosω t y=Rsinϕ=Rsinω t
z P x
h z h z ω t。 = ；= 2π ϕ 2π
vx= –R ω sinω t vy= R ω cosω t
矢量法 二、点的运动速度 t 瞬时: 矢径 r (t ) 瞬时: 瞬时: t＋∆ t 瞬时: 矢径 r (t + ∆t ) ∆ t 时间间隔内矢径的改变量
∆r = r (t + ∆t ) − r (t )
点在 t 瞬时的速度
∆r dr ν = lim = ∆t → 0 ∆t dt
动点的速度等于动点的矢径对时间的一阶导数
z M k i x
O
r j y
x = f1(t) y = f2(t) z = f3(t)
矢径 r 与x、y、z的关系 、 、 的关系
r = x i + y j + zk
直角坐标法 二、点的速度
ν =
dr dx dy dz = i+ j+ k dt dt dt dt
ν = vx i + v y j + vz k
直角坐标法 三、点的加速度
dvx d2 x = 2 ax = dt dt dvy d2 y = 2 ay = dt dt dvz d2 z = 2 az = dt dt
a = ax i + a y j + az k
dv y dvx dvz d2 x d2 y d2 z a= i+ j+ k = 2 i+ 2 j+ 2 k dt dt dt dt dt dt
vx (l + a) sin ωt cos(v, i) = = − v l 2 + a2 − 2al cos 2ωt vy (l − a) cosωt cos(v, j) = = 2 2 v l + a − 2al cos 2ωt
加速度
ɺ x ax = vx = ɺɺ = −(l + a)ω2 cosωt
xp = Rcosθ + l cosϕ yp = (L − l) sin ϕ